Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Автомат	на кондитерской фабрике заворачивает 324 конфеты за 3 мин .
	Автомат	фасует масло в пачки по 1/5 кг .
	Величина	острого угла меньше 90 ° .
	Величина	.
	Величина	есть результат измерения , она определяется числом , выраженным в некоторых единицах .
	Величина	тупого угла больше 90 ° , но меньше 180 ° .
	Вершина	угла .
	Вершина	треугольника .
	Вершина	четырёхугольника .
	Вершина	многоугольника .
	Вершина	прямоугольного параллелепипеда .
Купили 3 коробки конфет по 400 г и 4 пачки печенья по 250 г.	Вес	чего можно найти следующим способом .
	Выражение	« цифры равны » употребляется для упрощения речи .
	Вычитаемое	.
	Вычитание	дробей .
	Вычитание	.
	Вычитание	смешанных дробей .
	Вычитать	большее число из меньшего нельзя , оставаясь среди неотрицательных чисел .
	Вычтите	произведение чисел 12 345 и 9 из числа 1 000 000 .
	Вычтите	сумму чисел 328 и 532 из числа 1000 . е )
	Градус	.
	Градус	обозначают знаком « ° » .
	Грани	пересекаются по отрезкам — рёбрам прямоугольного параллелепипеда .
	Деление	дробей .
	Деление	с остатком .
	Деление	нацело .
	Деление с остатком	.
	Делимое	.
	Делитель	.
	Делится	ли сумма .
	Делится	ли разность .
	Делить	на нуль нельзя .
	Десятичная	система , которой широко пользуются в настоящее время во всём мире , более совершенна .
	Десятичная	позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа .
	Десятичная	система записи натуральных чисел .
	Десятки	.
	Десятки	тысяч .
	Десятки	миллиардов .
	Десятки	миллионов .
	Диагональ	многоугольника .
	Диаметр	.
	Длина	отрезка AD больше длины отрезка АС , т .
	Длина	других частей была вычислена на основе этих измерений .
Точка А расположена на прямой между точками В и С.	Длина	отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Точка С расположена на прямой между точками A и В.	Длина	отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
	Длина	ломаной ABCDE больше расстояния АЕ между её концами .
	Длина	ломаной .
	Длина	отрезка AD равна сумме длин отрезков АС и CD .
	Длина	автобусного маршрута 24 км .
	Длина	верёвки 27 м .
	Длина	отрезка ОA равна 5 единичным отрезкам .
	Длину	отрезка AВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим , что два равных отрезка имеют равные длины .
	Доказательство	.
	Дробная	часть смешанной дроби .
	Дробь	означает две третьих части единицы .
	Дробь	называется правильной , если её числитель меньше знаменателя .
	Дробь	неправильная .
	Дробь	несократимая .
	Дробь	обратная данной .
	Дробь	обыкновенная .
	Дробь	правильная .
	Дробь	смешанная .
	Дробь	сократимая .
	Дробь	называют обратной для дроби .
	Дробь	означает половину , или одну вторую часть единицы ( миллиметра , килограмма , часа и т . п. ) .
	Дробь	с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи натурального числа р .
	Дробь	называется неправильной , если её числитель больше знаменателя или равен ему .
	Дробь	— означает одну третью часть единицы .
	Дробь	называют несократимой , если её числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей .
	Дробь	записывали так .
	Единицу	они обозначали знаком , десяток , сотню .
	Единицы	миллиардов .
	Единицы	времени .
	Единицы	миллионов .
	Единицы	.
	Единицы	тысяч .
	Единицы	площади .
	Единицы	объёма .
	Единицы	длины .
	Единицы	массы .
	Знак	называют знаком приближённого равенства и читают « приближённо равно » .
	Знаменатель	дроби .
	Касательная	.
	Квадрат	со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
	Квадрат	числа .
	Квадрат	площадью 1 м2 разрезали на несколько равных квадратов площадью .
	Квадрат	разделён на равные части , площадь каждой из которых равна дм2 .
	Координаты	точек А и В , найдите координаты точек С и D .
	Кратное	.
	Круг	.
	Круг	состоит из точек , удалённых от данной точки на расстояние , меньшее или равное его радиусу .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )	Куб	с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
а )	Куб	с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
	Куб	, сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных параллелепипедов ? .
	Куб	, ребро которого равно лилейной единице , называют единичным кубом .
	Куб	.
	Куб	числа .
	Ломаная	ABODE , она имеет четыре звена АВ , ВС , CD и DE .
	Ломаная	.
	Ломаная	ABCD .
	Луч	.
	Луч	ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше угла ВОС .
	Луч	ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше угла ВОС .
	Луч	обычно располагают горизонтально и направляют вправо .
Каждую из этих частей называют лучом с началом в точке A .	Луч	, так же как и прямую , обозначают двумя заглавными буквами .
	Луч	с началом в точке A можно обозначить и АВ , и АС .
	Многозначные	числа складывают и вычитают но разрядам , используя переместительный , сочетательный и распределительный законы .
	Многоугольник	называют выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от каждой прямой , содержащей его сторону .
	Многоугольник	ABCDE выпуклый , а многоугольник MNKLO нет .
	Многоугольник	.
	Многоугольник	, замкнутая ломаная линия , не являющаяся многоугольником .
	Многоугольник	называю правильным , если все его углы и все стороны равны .
	Многоугольники	.
	Многоугольники	ABCDE и KLMNO равны , так как они совмещаются при наложении .
	Множитель	.
Например , 12 делится на 4 , следовательно ,	НОД	( 12 , 4 ) 4 .
Чему равен	НОД	( а , b ) ? .
Например , числа 56 и 45 взаимно простые :	НОД	( 56 , 45 ) 1 .
В этой же книге указан способ ( алгоритм ) нахождения	НОД	двух натуральных чисел .
Найти	НОД	( 56 , 45 ) .
В разложении чисел 180 и 336 подчёркнуты все их общие делители , поэтому	НОД	( 180 , 336 ) 12 .
Наибольший общий делитель чисел а и b обозначают :	НОД	( а , b ) .
Найдите	НОД	( 12 321 , 111 ) .
Найти	НОД	( 180 , 336 ) .
Укажите все общие делители и	НОД	числителя и знаменателя дроби , затем сократите дробь .
Даны разложения чисел а и b на простые множители , найдите	НОД	( а , b ) и НОК ( а , 1 ) .
Найдите	НОД	( а , b ) .
Ученик нашёл	НОД	( 33 , 198 ) и получил 66 .
Придумайте пять пар таких чисел а и b , чтобы	НОД	( а , b ) = 1 .
Напишите пять пар чисел а и b , чтобы	НОК	( а , b ) = а .
Это число обозначают :	НОК	( а , b ) .
48 не делится на 18 , 72 — делится на 18 , поэтому	НОК	( 24 , 18 ) — 72 .
Ученица нашла	НОК	( 33 , 198 ) и получила 99 .
Найдём	НОК	( 18 , 24 ) .
Чему равно	НОК	( а , b ) ? .
Например , 120 делится нацело на 24 , следовательно ,	НОК	( 120 , 24)= 120 .
Разложим числа 24 и 18 на простые множители :	НОК	( 24 , 18 ) должно делиться и на 24 , и на 18 .
Даны разложения чисел а и b на простые множители , найдите НОД ( а , b ) и	НОК	( а , 1 ) .
Так как	НОК	( 36 , 54 ) — 108 , то наименьший общий знаменатель равен 108 , поэтому .
	Наибольший общий делители	взаимно простых чисел равен 1 .
	Наибольший общий делитель	чисел а и b обозначают : НОД ( а , b ) .
	Наибольший общий делитель	.
	Наибольшим общим делителем	чисел 12 и 54 является число 6 .
	Найдите	разность чисел 46 и 22 .
	Найдите	высоту прямоугольника .
	Найдите	большую сторону прямоугольника .
	Найдите	площадь его основания и площадь боковой поверхности , т .
	Найдите	стороны прямоугольника .
Сторона квадрата равна 13 см.	Найдите	его периметр .
	Найдите	в учебнике , справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см.	Найдите	сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
	Найдите	длину стороны квадрата .
	Найдите	среднее арифметическое чисел .
	Найдите	число х , для которого равенство верно .
	Найдите	площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда .
	Найдите	все несократимые дроби со знаменателем 60 , большие , но меньшие .
	Найдите	все делители числа а .
	Найдите	эти числа .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а )	Найдите	площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
	Найдите	все дроби со знаменателем 10 , которые больше , но меньше .
	Найдите	периметр прямоугольника со сторонами : а ) 12 см и 9 см ; б ) 93 см и 2 см ; в ) 11 см и 47 мм ; г ) 17 см и 3 дм .
	Найдите	периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 37 см , а другая : а ) на 6 см больше ; б ) на 8 см меньше .
	Найдите	его .
	Найдите	периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 26 см , а другая : а ) в 3 раза больше ; б ) в 2 раза меньше .
	Найдите	все дроби со знаменателем 13 , которые больше , но меньше .
	Найдите	трёхзначное число .
	Найдите	задуманное число .
Периметр прямоугольника равен 56 см , одна из его сторон равна 17 см.	Найдите	его другую сторону .
	Найдите	целое число , равное дроби .
	Найдите	двузначное число .
	Найдите	частное чисел .
	Найдите	неизвестное число , обозначенное буквой х .
	Найдите	равные четырёхугольники .
	Найдите	сумму этих чисел .
а ) Ребро куба равно 5 см.	Найдите	площадь поверхности куба , т .
б )	Найдите	сторону квадрата , площадь которого равна площади данного прямоугольника .
	Найдите	DOC .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см.	Найдите	длину отрезка ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
На прямой даны точки А , В и С , причём AB 6 см , АС 13 см.	Найдите	длину отрезка ВС , если .
	Найдите	длину отрезка А В .
	Найдите	а .
Известно , что .	Найдите	b .
	Найдите	длину отрезка АВ .
	Найдите	длину отрезка AB .
	Найдите	дробь с числителем 7 , равную дроби .
	Найдите	скорость течения .
	Найдите	скорость аэроплана .
	Найдите	частное и проверьте ответ умножением .
а )	Найдите	дробь со знаменателем 18 , равную дроби .
	Найдите	параллельные прямые .
	Найдите	несколько чисел , кратных 10 , и несколько чисел , кратных 15 .
	Найдите	несколько общих кратных чисел 10 и 15 .
	Найдите	наименьшее общее кратное этих чисел , не выполняя разложения чисел на простые множители .
	Найдите	наименьшее общее кратное этих чисел .
	Найдите	один из возможных маршрутов .
	Найдите	число .
	Найдите	несколько таких чисел .
	Найдите	число , — которого равны 60
	Найдите	все числа вида , кратные 36 .
AB 12 см . а )	Найдите	длины отрезков АС и СВ .
	Найдите	число , которого равны 99 .
	Найдите	число х , для которого верно равенство .
	Найдите	делимое .
	Найдите	частное .
	Найдите	все несократимые дроби с числителем 60 , бóльшие но меньшие .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см.	Найдите	длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача ? .
	Найдите	несократимую дробь , равную дроби .
На луче AM отложили отрезки AB и АС , АС 89 см.	Найдите	длину отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
	Найдите	ABC и ВОС .
	Найдите	количество .
	Найдите	координаты точек , делящих отрезок АВ на три равные части .
	Найдите	координату точки В по координатам точки А и точки С — середины отрезка АВ .
Даны точки А и В.	Найдите	координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
	Найдите	координату середины отрезка , соединяющего точки .
	Найдите	длину отрезков АВ , ВС , АС .
	Найдите	правила , по которым ребята заполнили клетки , и придумайте ещё одно решение .
	Найдите	целую часть дроби .
	Найдите	другие решения для 0 и 1 .
	Найдите	объём комнаты .
	Найдите	все делители чисел 45 и 60 .
	Найдите	первоначальную сумму денег .
	Найдите	высоту комнаты .
Укажите координаты точек А , В , С , D и Е.	Найдите	расстояние от этих точек до нулевой точки .
	Найдите	все общие делители чисел 45 и 60 .
	Найдите	: Число 12 321 делится на 111 .
	Найдите	площадь пола .
	Найдите	скорость течения реки , если известно , что расстояние между мостами 1 км .
	Найдите	НОД ( 12 321 , 111 ) .
	Найдите	в справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы .
	Найдите	сумму .
	Найдите	уменьшаемое и вычитаемое .
	Найдите	.
	Найдите	НОД ( а , b ) .
	Найдите	периметр треугольника .
7	Найдите	в учебнике , справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы .
	Найдите	слагаемые .
	Найдём	НОК ( 18 , 24 ) .
	Найдём	длину отрезка , соединяющего точки а и b , и координату середины этого отрезка .
	Найдём	.
	Найти	НОД ( 180 , 336 ) .
	Найти	НОД ( 56 , 45 ) .
	Натуральные	числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
	Натуральные	числа можно сравнивать по их десятичной записи .
	Натуральные	числа , записанные одной цифрой , называют однозначными , а записанные несколькими цифрами — многозначными : двумя — двузначными , тремя — трёхзначными и т .
	Натуральные	числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
	Натуральные числа	можно сравнивать по их десятичной записи .
	Натуральные числа	, записанные одной цифрой , называют однозначными , а записанные несколькими цифрами — многозначными : двумя — двузначными , тремя — трёхзначными и т .
	Натуральные числа	и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
	Натуральные числа	записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
	Необходимо	покрыть кафельной плиткой пол , имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется , если в каждом ящике 50 плиток ?
	Нуль	не считают натуральным числом .
Глава 4	Обыкновенные дроби	.
	Окружность	с центром О , касательная АВ и радиус окружности ОС .
	Окружность	.
	Окружность	и круг .
	Основание	степени .
	Остаток	меньше делителя .
	Остаток	.
	Отрезок	АН разделён на 6 равных частей .
	Отрезок	, соединяющий центр сферы с любой её точкой , называют радиусом сферы .
	Отрезок	с концами в точках А и B обозначают AВ или ВА .
	Отрезок	.
	Отрезок	, соединяющий центр окружности с любой её точкой , называют радиусом .
а )	Отрезок	длиной 1 м разделили на несколько равных частей длиной 1/10 м .
	Отрезок	АН , разделённый на 7 равных частей .
	Отрезок	, соединяющий две любые точки окружности , называют хордой .
	Отрезок	, соединяющий две несоседние вершины многоугольника , называют диагональю многоугольника .
	Отрезок	, длина которого принята за единицу измерения , называют единичным отрезком .
	Периметр	треугольника .
	Периметр	равнобедренного треугольника AВС равен 30 см , а одна из сторон на 3 см больше другой .
	Периметр	четырехугольника .
	Периметр	прямоугольника равен 56 см , одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую сторону .
	Периметр	прямоугольника равен 54 см , основание на 5 см больше высоты .
	Периметр	прямоугольника 36 дм , основание на 6 см больше высоты .
а )	Периметр	прямоугольника равен 48 см , основание на 4 см больше высоты .
	Периметр	квадрата равен : а ) 16 см ; б ) 14 см ; в ) 13 см ; г ) 17 см .
	Периметр	треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
	Периметр	многоугольника .
	Периметр	равностороннего треугольника равен 27 см. Вычислите сторону этого треугольника .
	Периметры	треугольников BCD , BDE и ABE равны соответственно 20 см , 21 см и 22 см , а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см. Определите длины диагоналей BD и BE , если известно , что они равны .
	Плоскость	можно выложить также равными прямоугольниками .
	Площадь	пола комнаты 16м2 , высота комнаты 2 м .
	Площадь	пола комнаты 24 м2 , высота комнаты 3 м .
	Площадь	S основания прямоугольного параллелепипеда равна .
	Площадь	прямоугольника .
	Площадь	прямоугольника 91 см2 , а его высота 7 см. Определите основание прямоугольника .
	Площадь	прямоугольника равна 4 дм2 .
	Поверхность	стола или поверхность воды в пруду ( в безветренную погоду ) может служить примером части плоскости .
	Показатель	степени .
	Поле	площадью 5 га разделили на 8 равных участков прямоугольной формы .
	Положительные	дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
	Прав	ли Петя ? .
	Правильная	дробь меньше 1 , а неправильная дробь больше или равна 1 .
	Правильная дробь	меньше 1 , а неправильная дробь больше или равна 1 .
	Правые	части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 28 , 22 , 81 и 100 .
	Прибавьте	к числу .
	Прибавьте	к уменьшаемому и вычитаемому по 1 ; по 2 ; по 3 и в каждом случае найдите разность .
	Приведите	примеры .
	Приведите	как можно больше таких примеров .
	Приведите	пример деления с остатком , назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
	Приведите	другие примеры .
	Приведите	пример .
	Приведите	примеры взаимно простых чисел .
	Приведите	дробь к знаменателю 10 , или 100 , или 1000 .
	Приведите	дроби к общему знаменателю .
	Приведите	дроби к наименьшему общему знаменателю .
	Приведите	дроби к общему знаменателю , равному произведению знаменателей дробей .
п.	Приведите	контрпример , показывающий , что Вася не прав . б ) Как исправить утверждение Васи , чтобы оно стало верным ? .
	Приведите	несколько примеров .
	Приведите	пример смешанной дроби , укажите её целую и дробную части .
	Произведение	одинаковых чисел также записывают короче . и называют степенью .
	Произведение	четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024 .
	Произведение	двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
	Произведение	.
	Произведение	взаимно обратных чисел равно 1 .
	Простым числом	называют такое натуральное число , которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
	Простых чисел	бесконечно много , есть первое число 2 , но нет последнего простого числа .
	Прямая	MN перпендикулярна прямой AС . .
	Прямая	.
	Прямая	не имеет ни начала , ни конца — она бесконечна .
	Прямоугольник	, у которого все стороны равны , называют квадратом .
	Прямоугольник	4 x 9 разрежьте на две части так , чтобы из них можно было сложить квадрат .
	Прямоугольник	ABCD .
	Прямоугольник	с основанием а 3 см и высотой b 5 см. Его можно разрезать на 5 слоёв по 3 квадрата в каждом слое , т .
	Прямоугольник	имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
	Прямоугольник	.
	Прямоугольник	состоит из таких частей , поэтому его площадь равна .
	Прямоугольный	параллелепипед .
	Прямоугольный	параллелепипед , у которого все рёбра равны , называют кубом .
	Прямоугольный	параллелепипед состоит из таких частей .
	Прямоугольный	параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
Формула верна и при дробных а , b и с.	Прямоугольный	параллелепипед с рёбрами а дм , b дм и с дм .
	Прямоугольный параллелепипед	.
	Прямоугольный параллелепипед	состоит из таких частей .
Формула верна и при дробных а , b и с.	Прямоугольный параллелепипед	с рёбрами а дм , b дм и с дм .
	Прямоугольный параллелепипед	, у которого все рёбра равны , называют кубом .
	Прямоугольный параллелепипед	, у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
	Прямые	параллельные .
	Путь	, скорость , время .
	Равенство	верно , так как сумма разности и вычитаемого равна уменьшаемому .
	Равенство	дробей .
	Равенство	можно записать и в обратном порядке .
	Радиус	окружности .
	Разделим	путь , который проехал велосипедист , на его скорость : 3 ( ч ) — время движения велосипедиста .
	Разделим	путь , пройденный пешеходом , на время движения : 4 ( км / ч ) — скорость пешехода .
	Разделите	полтину на половину .
	Разделите	с остатком числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби .
	Разложение	на простые множители .
	Разложите	на простые множители число .
	Разложить	данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней .
	Разность	двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
	Разность	.
в ) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9 . г )	Разность	чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
	Разность	чисел а и b обозначают а — b .
	Разностью	чисел а и b называют такое число , которое при сложении с числом b даёт число а .
	Разностью	двух дробей называют дробь , которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое .
сумму площадей всех его граней . б )	Ребро	куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
а )	Ребро	куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба , т .
	Решение	этой задачи коротко записывают .
	Решение	текстовых задач с помощью умножения и деления .
	Решение	. 450 ( р . ) — покупатель истратил на вторую покупку ; 600 ( р . ) — всего истратил покупатель .
	Решение	.
	Решение	. 1 ) Сколько рублей стоил купленный товар ? .
	Решение	. 2 ( кор . ) — стоят 720 р .
	Решение	. 1 ) 6 ( км / ч ) — удвоенная скорость течения .
	Решение	. 1 ) 18 ( км / ч ) — скорость катера по течению реки .
	Решение	текстовых задач с помощью сложения и вычитания .
	Решения	таких задач можно оформить с помощью вопросов и ответов на них .
	Решения	таких задач можно оформить с помощью вопросов и ответов на них , а можно использовать более короткую запись — после действия пояснять , что найдено этим действием .
	Ромб	.
	Ряд	натуральных чисел .
	Система	счисления десятичная .
	Система	счисления двоичная .
	Скобки	, в которые заключено одно действие умножения или деления , принято для краткости опускать .
	Следы	этой системы сохранились сейчас в единицах измерения времени : 1 ч — 60 мин , 1 мин — 60 с .
	Сложение	.
	Сложение	и вычитание чисел столбиком .
	Сложение	смешанных дробей выполняют с помощью законов сложения .
	Сложение	смешанных дробей .
	Сложение	дробей .
	Сложите	дроби , полученную дробь сократите .
	Сложите	величины .
	Сложите	числа .
	Сложите	дроби , предварительно сократив их .
	Сложите	дроби .
	Собственная	скорость теплохода 27 км / ч , скорость течения реки 3 км / ч .
	Сократите	дробь .
	Сократите	дроби по образцу .
	Среднее	арифметическое .
	Среднее	арифметическое пяти чисел равно 2 .
а )	Среднее	арифметическое двух чисел равно 5 .
	Среднее арифметическое	.
	Среднее арифметическое	пяти чисел равно 2 .
а )	Среднее арифметическое	двух чисел равно 5 .
	Средний	возраст оставшихся игроков оказался равным 20 года .
	Средний	возраст одиннадцати игроков футбольной команды 21 год .
	Степень	числа .
	Степень	с натуральным показателем .
	Сторона	квадрата равна 13 см. Найдите его периметр .
а )	Сторона	равностороннего треугольника равна 7 см. Вычислите периметр этого треугольника .
	Сторону	квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр квадрата ? .
	Стороны	прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
	Стороны	треугольника .
	Стороны	угла .
	Стороны	прямоугольника равны 4 см и см. Его площадь равна .
	Сумма	возрастов первого и четвёртого сына равна 9 годам , первого и шестого — 8 годам , второго и пятого — 8 годам , второго и третьего — 9 годам , третьего и шестого — 6 годам , четвёртого и седьмого — 4 годам , а седьмого и пятого — также 4 годам .
а )	Сумма	двух чисел 230 .
	Сумма	показывает , на сколько километров в час удаляются пешеходы друг от друга , эту величину называют скоростью удаления .
	Сумма	дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
	Сумма	двух чисел 350 .
	Сумма	двух чисел 432 , первое больше второго на 18 .
	Сумма	двух чисел 537 , первое меньше второго на 131 .
а )	Сумма	двух чисел равна 96 , а разность равна 18 .
	Сумма	двух чисел равна 87 , а разность равна 19 .
	Сумма	двух чисел равна 500 , а разность равна 6 .
	Сумма	цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
	Сумма	.
	Сумму	натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
	Сумму	длин сторон многоугольника называют его периметром .
	Сумму	длин сторон четырёхугольника называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом .
	Сумму	длин всех сторон треугольника называют его периметром .
	Сумму	длин всех звеньев ломаной называют длиной ломаной .
	Сфера	и шар .
	Сфера	.
	Таблицу умножения	однозначных чисел надо помнить наизусть .
	Точка	A , лежащая на прямой , делит её на две части .
	Точка	касания .
	Точка	С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
	Точка	А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
	Точки	А и В называют его концами .
	Точки	А , В , С и D называют вершинами прямоугольника , а отрезки AВ , ВС , CD и АD — его сторонами .
	Точки	обозначают заглавными ( большими ) латинскими буквами , например A , B , C .
	Точки	А , В и С называют вершинами треугольника .
	Точки	, в которых пересекаются рёбра , называют вершинами прямоугольного параллелепипеда .
	Точки	пересечения окружностей обозначьте буквами М и N. Постройте отрезки AM , AN , ВМ , BN .
	Точку	, изображающую на координатном луче дробь , называют точкой с координатой или , коротко , точкой .
	Точку	О называют центром окружности .
	Точку	В называют вершиной угла , лучи ВА и ВС — его сторонами .
	Третье	ребро разделим на три равные части ; две из них составляют высоту параллелепипеда .
	Третью	степень числа называют кубом числа .
	Треугольник	со сторонами 1 см , 2 см и 3 см тоже построить нельзя .
	Треугольник	тупоугольный .
	Треугольник	равносторонний .
	Треугольник	равнобедренный .
	Треугольник	с вершинами А , В и С обозначают так : АВС , читают : « треугольник AВС » .
	Треугольник	остроугольный .
	Треугольник	.
	Треугольник	прямоугольный .
	Треугольники	.
Говорят : «	Угол	ABD равен углу DВС » .
	Угол	, больший прямого , но меньший развёрнутого , называют тупым .
	Угол	.
	Угол	прямой .
	Угол	острый .
	Угол	развёрнутый .
	Угол	тупой .
	Угол	АВС обозначают так : ABC .
	Угол	, меньший прямого , называют острым .
	Уменьшаемое	.
	Умножение	чисел столбиком .
	Умножение	дробей .
	Умножение	.
	Умножение	и деление смешанных дробей .
В старину на Руси творили : «	Умноженье	— моё мученье , а деление — беда » .
	Умножим	числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8 .
	Умножим	скорость поезда на время движения : 260 ( км ) — путь поезда .
	Умножить	натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
	Фигуру	следует раскрасить « в шахматном порядке » , отсоединить закрашенные области друг от друга так , чтобы каждая из них имела не больше одной общей точки с какой - либо другой закрашенной областью .
	Фигуру	, образованную такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев ломаной , называют многоугольником .
	Фигуры	домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх квадратов так , чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом .
	Фигуры	пентамино можно получить из фигур тетрамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
	Фигуры	гексамино можно получить из фигур пентамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
	Фигуры	тримино можно получить из единственной фигуры домино , приставляя к ней различными способами ещё один квадрат .
	Хорда	.
	Хорду	, проходящую через центр окружности , называют диаметром .
	Целая	часть смешанной дроби .
	Целую	часть писали над дробью .
	Центр	окружности .
	Четырехугольник	.
	Четырёхугольник	, все стороны которого равны , называют ромбом .
	Четырёхугольник	ABCD , изображена фигура , не являющаяся четырёхугольником , в дальнейшем такие фигуры рассматриваться не будут .
	Четырёхугольник	, у которого все углы прямые , называют прямоугольником .
	Четырёхугольники	ABCD и KLMN равны , так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по прямой m .
	Четырёхугольники	.
	Числа	взаимно обратные .
	Числа	3 и 4 называют множителями .
	Числа	иногда удобно обозначать буквами латинского алфавита ( см. форзац ) .
	Числа	можно сравнивать при помощи натурального ряда .
	Числа	простые .
	Числа	от 1 до 9 записывали так .
	Числа	взаимно простые .
	Числа	от 1 до 21 обозначают так .
	Числа	удобно представлять точками прямой .
	Числа	, не имеющие общих простых делителей , называют взаимно простыми числами .
	Числа	рациональные .
	Числа	разделите : а ) на 3 ; б ) на 1/3 .
	Числа	составные .
	Числа	5 и 3 называют слагаемыми .
	Числа	, которые используют при подсчёте предметов , называют натуральными числами .
	Числа	20 , 30 , 40 , 50 разделите : а ) на 4 ; б ) на 1/4 .
	Числитель	дроби .
	Число	3 показывает , сколько раз нужно взять множителем основание степени — число 2 .
а )	Число	уменьшили на этого числа , получилось 210 .
	Число	трёх- и пятирублёвых монет составляет 2/9 числа рублёвых монет .
	Число	« три » они называли « два и один » , число « четыре » — « два и два » , число « пять » — « два , два и один » , число « шесть » — « два , два и два » .
	Число	мальчиков составляет 3/8 числа девочек .
	Число	345 записывалось так .
	Число	называется средним арифметическим чисел а и b .
а )	Число	2 умножили на некоторую правильную дробь .
Найдите :	Число	12 321 делится на 111 .
	Число	нуль также целое , но не положительное .
	Число	2 простое — обведём его кружком , а все числа , кратные ему ( они стоят во втором , четвёртом и шестом столбцах ) , вычеркнем .
	Число	, которое можно записать в виде где р и q — натуральные числа , называют рациональным числом .
	Число	р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
	Число	54 имеет делители 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 , 27 , 54 .
	Число	12 имеет делители 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 .
а )	Число	а имеет простые делители .
	Число	50 увеличили в 3 раза , полученное число увеличили на 100 .
	Число	14 не делится нацело на 3 , так как нет натурального числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
	Число	375 не делится на 9 , так как сумма его цифр не делится на 9 .
	Число	7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
	Число	, не делящееся на 2 , называют нечётным .
	Число	, делящееся на 2 , называют чётным .
	Число	, большее нуля , называют положительным .
	Число	137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
	Число	52 не делится на 5 , потому что сумма числа 50 , делящегося на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
	Число	2305 оканчивается цифрой 5 , оно делится на 5 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 5 ( по свойству 3 ) .
	Число	тысяч — 14 — меньше 36 .
	Число	4561 не делится на 10 , потому что сумма числа 4560 , делящегося на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
	Число	123 454 321 делится на 11 111 .
а )	Число	12 сначала увеличили в 2 раза , полученный результат увеличили ещё в 3 раза .
	Число	4 можно записать в виде суммы , разности , произведения , частного , степени или другими способами .
	Число	200 увеличили на 1/10 этого числа , полученный результат уменьшили .
	Число	а называют уменьшаемым , число b — вычитаемым .
	Число	, делящееся на 12 , называют кратным числу 12 .
	Число	136 оканчивается цифрой 6 , оно делится на 2 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 2 ( по свойству 3 ) .
	Число	и его половина составляют 9 .
	Числу	12 кратны числа 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 и т .
	Шар	.
Эти умения будут использоваться не только в 5–6 классах , но и при изучении	алгебры	, физики и других школьных предметов в старших классах .
Здесь не сказано , сколько палочек разламывали на части каждый раз и на сколько именно частей , поэтому перебор всех возможных	вариантов	довольно сложен .
При измерении площадей чаще всего используют приближённые значения	величин	.
Чему равна сумма	величин	углов 1 и 3 ?
Глава 2 Измерение	величин	.
Чему равна сумма	величин	углов 3 и 2 ?
Чему равна сумма	величин	смежных углов ? .
Решая геометрические задачи , вы будете встречать знакомые предметы окружающего вас мира , познакомитесь с различными единицами измерения	величин	, с формулами , знание которых поможет вам не только успешно учиться , но и решать практические задачи .
Одна и та же	величина	в разных единицах выражается разными числами .
д. , называют	величинами	.
С помощью транспортира постройте угол	величиной	100 ° .
Измерьте длину отрезка LN и	величину	угла L .
Теперь рассмотрим задачи , для решения которых некоторую	величину	надо принять за одну или несколько равных частей .
Определите на глаз	величину	угла .
Сумма показывает , на сколько километров в час удаляются пешеходы друг от друга , эту	величину	называют скоростью удаления .
а ) Какую	величину	на Руси измеряли вёдрами ? .
Постройте развёртку спичечного коробка на альбомном листе в натуральную	величину	.
Рассмотрим задачу , в которой явно упоминаются части ( равные ) некоторой	величины	.
Данные	величины	запишите с точностью до 1 кг : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Однако известно , при этом	величины	5 см и 6 см отличаются от AB не более чем на 1 см. Их называют приближениями или приближёнными значениями длины AB с точностью до 1 см .
Сложите	величины	.
Данные	величины	запишите с точностью до 1 дм с недостатком ; с избытком ; с округлением по образцу .
Определите	величины	этих углов , если один из них : а ) в 5 раз больше другого ; б ) на 40″ больше другого .
Для обозначения	величины	пишут число , а рядом — название единицы .
Нижнюю и	верхнюю грани	называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней , рёбер и	вершин	? .
У прямоугольного параллелепипеда шесть граней , двенадцать рёбер и восемь	вершин	.
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной	вершине	, называют его длиной , шириной и высотой .
Что называют углом ,	вершиной	угла , сторонами угла ? .
Точку В называют	вершиной	угла , лучи ВА и ВС — его сторонами .
Назовите все лучи с	вершиной	в точках А , В и С. Сколько лучей получилось ? .
За сколько дней она поднимется на	вершину	столба высотой 8 м ? .
Иногда для краткости угол обозначают одной буквой , обозначающей	вершину	угла .
Из	вершины	угла проведите луч так , чтобы один из образовавшихся углов был : а ) в 4 раза больше другого ; б ) на 20 ° больше другого .
Назовите его грани , рёбра и	вершины	.
Обозначьте его	вершины	буквами .
Назовите все его стороны и	вершины	.
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его	вершины	, от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Дана окружность , постройте равносторонний треугольник ,	вершины	которого лежат на этой окружности .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их	вершины	вершинами многоугольника .
Отрезок , соединяющий две несоседние	вершины	многоугольника , называют диагональю многоугольника .
Там же хранится изготовленная из специального сплава гиря ,	вес	которой принят за основную единицу веса — килограмм .
Если 1 кг сахара рассыпать поровну в четыре пакета , то каждый из них будет иметь	вес	, равный четверти килограмма .
Из пакета с картофелем ,	вес	которого 3 кг , отсыпали 1 кг .
Напомним , что в повседневной жизни слово « масса » заменяют словом «	вес	» .
В том же 1792 году Парижская академия наук предложила в качестве единой меры веса использовать	вес	одного кубического дециметра воды при температуре 4 ° С — килограмм .
В повседневной жизни слово « масса » заменяют словом «	вес	» .
Например , говорят : «	вес	яблока 100 граммов » вместо « масса яблока 100 граммов » .
Поэтому в задачах мы будем чаще писать «	вес	» вместо « масса » .
Определите	вес	каждого металла в отдельности .
Если буханку хлеба весом 1 кг разрезать на три равные по весу части — каждая по трети килограмма 1/3 кг , то две такие части будут иметь	вес	, равный двум третьим килограмма .
Яблоки составляют 7 частей , груши — 4 части , а сливы — 5 частей	веса	сухофруктов .
Яблоки составляют 4 части , груши — 3 части , а сливы — 2 части общего	веса	сухофруктов .
В том же 1792 году Парижская академия наук предложила в качестве единой меры	веса	использовать вес одного кубического дециметра воды при температуре 4 ° С — килограмм .
Основу системы мер	веса	и денег в Древнем Вавилоне составлял 1 талант ; его делили на 60 мин , а мину — на 60 шекелей .
Там же хранится изготовленная из специального сплава гиря , вес которой принят за основную единицу	веса	— килограмм .
Корона весит 60 мин ( греческая мера	веса	и денег ) и состоит из сплава золота , меди , олова и железа .
Золото и медь составляют , золото и олово , золото и железо общего	веса	.
Когда контролёры проверили его весы , то оказалось , что при	весе	800 г они показывали ровно 1 кг .
Как с помощью чашечных	весов	без гирь определить фальшивую монету : а ) за одно взвешивание , если монет 3 ; б ) за два взвешивания , если монет 9 ; в ) за три взвешивания , если монет 27 ? .
Эти старинные названия мер длины , а также и старинные названия мер	весов	встречаются во многих пословицах , поговорках и образных выражениях : ни пяди земли ; мерить на свой аршин ; косая сажень в плечах ; съесть пуд соли ; фунт лиха ; мал золотник , да дорог ; ты от дела на пяденьку , а оно от тебя на саженьку .
В городе Севре ( Франция ) в Международном бюро мер и	весов	в специальном помещении , где поддерживается температура 0 ° С , на специальных подставках лежит стержень .
В XVI – XVII веках на Руси установилась система мер длин и	весов	( см. форзац ) , которой пользовались до 1918 года , когда была введена метрическая система мер .
а ) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержит кусок сплава	весом	350 г ? .
Если буханку хлеба	весом	1 кг разрезать на три равные по весу части — каждая по трети килограмма 1/3 кг , то две такие части будут иметь вес , равный двум третьим килограмма .
Если буханку хлеба весом 1 кг разрезать на три равные по	весу	части — каждая по трети килограмма 1/3 кг , то две такие части будут иметь вес , равный двум третьим килограмма .
Когда контролёры проверили его	весы	, то оказалось , что при весе 800 г они показывали ровно 1 кг .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь	возводят	в степень .
До начала	вращения	шестерёнок соприкасающиеся зубцы пометили мелом .
Например , время движения поезда сравнивают с временем движения стрелки часов , которое , в свою очередь , сравнивают с временем	вращения	Земли вокруг своей оси .
Задайте формулой зависимость d от n . а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d )	выпуклого многоугольника	от числа его сторон ( n ) .
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d )	выпуклого многоугольника	, выходящих из одной его вершины , от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Упростите числовое	выражение	.
Используя четыре цифры 3 , знаки арифметических действий и скобки , составьте числовое	выражение	, равное .
Дано	выражение	.
Составьте	выражение	для вычисления периметра прямоугольника со сторонами .
Используя четыре цифры 8 , знаки арифметических действий и скобки , составьте числовое	выражение	, равное .
Например ,	выражение	не имеет смысла .
Прочитайте	выражение	, используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
Укажите порядок действий и упростите числовое	выражение	.
Решите задачу , составив числовое	выражение	.
Числовое	выражение	.
Для решения той же задачи можно составить числовое	выражение	, вынести общий множитель 3 за скобки .
Докажите , что	выражение	делится на 49 .
Что называют числовым	выражением	? .
Запись , в которой используются только числа , знаки арифметических действий и скобки , называют числовым	выражением	.
Заметим , что последнее по порядку действие в числовом	выражении	определяет название числового выражения .
Если в числовом	выражении	требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление , то эти действия выполняют но порядку слева направо .
2 ) Если в числовом	выражении	есть скобки , то сначала выполняют все действия в скобках , а потом за скобками .
Если в числовом	выражении	есть степень с натуральным показателем , то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий .
Если в числовом	выражении	требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Используя три цифры 5 , знаки арифметических действий и скобки , составьте несколько	выражений	, имеющих различные значения .
При вычислении значений числовых	выражений	, содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
Для правильного упрощения числовых	выражений	мало знать правила выполнения отдельных действий .
Укажите , какое из следующих	выражений	определяет число деталей , изготовляемых : а ) первым рабочим за 4 ч ; б ) вторым рабочим за 4 ч ; в ) двумя рабочими за 1 ч ; г ) двумя рабочими за 4 ч .
Этим часто пользуются для упрощения	выражений	.
Про какие числовые	выражения	говорят , что они не имеют смысла ? .
Запишите в двоичной системе нумерации числовые	выражения	.
Про числовые	выражения	, которые содержат деление на нуль , говорят , что они не имеют смысла .
По каким правилам упрощают числовые	выражения	, записанные без скобок ? .
Что можно узнать , вычислив значение числового	выражения	.
б ) Какое натуральное число а можно взять , чтобы значение данного	выражения	было дробью со знаменателем 13 ?
Например , найдём значение числового	выражения	.
а ) Каким натуральным числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого	выражения	? .
а ) Каким числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого	выражения	? .
б ) Какое число а можно взять , чтобы значение данного	выражения	было равно нулю ? .
Числовые	выражения	могут быть сложными .
Заметим , что последнее по порядку действие в числовом выражении определяет название числового	выражения	.
постепенное выполнение действий и приведение числового	выражения	к наиболее простой форме — числу , нередко требует серьёзных усилий .
Числовые	выражения	.
Например , укажем порядок действий в двух	выражениях	.
Эти старинные названия мер длины , а также и старинные названия мер весов встречаются во многих пословицах , поговорках и образных	выражениях	: ни пяди земли ; мерить на свой аршин ; косая сажень в плечах ; съесть пуд соли ; фунт лиха ; мал золотник , да дорог ; ты от дела на пяденьку , а оно от тебя на саженьку .
В числовых	выражениях	принято опускать скобки , но подразумевать их .
Особого внимания требует порядок выполнения действий в числовых	выражениях	, в которых имеются ( или подразумеваются ) скобки .
Если основание а и	высота	b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Площадь пола комнаты 16м2 ,	высота	комнаты 2 м .
Площадь прямоугольника 91 см2 , а его	высота	7 см. Определите основание прямоугольника .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а	высота	— 2 линейным единицам .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и	высота	— измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Объём комнаты 48 м3 , а	высота	3 м .
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда , длина которого 45 см , ширина 30 см , а	высота	25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Площадь пола комнаты 24 м2 ,	высота	комнаты 3 м .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и	высота	которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Вычислите объём классной комнаты в литрах , если её ширина 6 м , длина 8 м , а	высота	3 м .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и	высота	) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если основание и	высота	прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и	высота	которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Если длина , ширина и	высота	прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Две другие стороны называют	высотами	, они тоже равны и параллельны .
Аэроплан шёл на	высоте	250 м и преодолел всё расстояние за 3 ч 30 мин .
Прямоугольник с основанием а 3 см и	высотой	b 5 см. Его можно разрезать на 5 слоёв по 3 квадрата в каждом слое , т .
За сколько дней она поднимется на вершину столба	высотой	8 м ? .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и	высотой	.
Найдите	высоту	прямоугольника .
его длину увеличить в 4 раза , а ширину и	высоту	уменьшить в 2 раза ? .
Третье ребро разделим на три равные части ; две из них составляют	высоту	параллелепипеда .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на	высоту	.
Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на	высоту	.
Найдите	высоту	комнаты .
б ) Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда , зная длину , ширину и	высоту	? .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на	высоту	.
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а	высоту	— в 4 раза ; г )
Периметр прямоугольника 36 дм , основание на 6 см больше	высоты	.
Периметр прямоугольника равен 54 см , основание на 5 см больше	высоты	.
а ) Периметр прямоугольника равен 48 см , основание на 4 см больше	высоты	.
На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил загадкой : « Если сложить день и номер месяца моего рождения , то получится 20 ; если из дня рождения	вычесть	номер месяца рождения , то получится 14 ; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900 , то получится год моего рождения » .
В дальнейшем будут введены новые числа — отрицательные , с помощью которых можно будет из меньшего числа	вычесть	большее .
Изучаемые нами дроби не позволяют из меньшей дроби	вычесть	большую .
Говорят : из 2	вычесть	9 нельзя , занимаем 1 десяток , из 12 вычтем 9 — получим 3 ( единицы ) , пишем 3 , из 6 вычтем 0 — получим 6 ( десятков ) , пишем 6 .
Найдите уменьшаемое и	вычитаемое	.
в ) если уменьшаемое и	вычитаемое	делятся на 3 , то и разность делится на 3 ? .
В равенстве назовите уменьшаемое ,	вычитаемое	, разность .
Число а называют уменьшаемым , число b —	вычитаемым	.
Разностью двух дробей называют дробь , которая в сумме с	вычитаемым	даёт уменьшаемое .
На доске были записаны верно выполненные примеры на сложение и	вычитание	, потом некоторые цифры стёрли и заменили их буквами .
Сложение и	вычитание	чисел столбиком .
Вот несколько примеров на сложение ,	вычитание	и умножение в двоичной системе .
Обычно сложение и	вычитание	выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда единиц .
Выполните	вычитание	.
Выполните	вычитание	и проверьте сложением .
Объясните на примере , как выполняют сложение и	вычитание	столбиком .
Выполните	вычитание	по образцу .
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить	вычитание	.
Перепишите в тетрадь и выполните	вычитание	.
Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными , то	вычитание	выполняют так же , как и выше .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то	вычитание	целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение ,	вычитание	, умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и	вычитание	( слева направо ) .
Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и	вычитание	или только умножение и деление , то эти действия выполняют но порядку слева направо .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то	вычитание	по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
Если при	вычитании	в каком - либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого , то нужно « занять » одну единицу в следующем ( справа налево ) разряде уменьшаемого .
Какие законы используют при сложении и	вычитании	столбиком ? .
При сложении и	вычитании	однозначных чисел удобно пользоваться таблицей сложения .
Тот , кто умел быстро и безошибочно делить , считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению ,	вычитанию	и таблице умножения .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило	вычитания	дробей с общим знаменателем .
К выбору действия сложения или	вычитания	для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « на 10 больше » не всегда требуют сложения .
Результаты сложения и	вычитания	однозначных чисел надо помнить наизусть .
В других случаях правило	вычитания	не применяется .
Для	вычитания	и деления переместительный закон не выполняется , поэтому промежуточный результат надо запомнить ( записать ) .
С помощью сложения и	вычитания	решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного на несколько единиц , ответить на вопросы « на сколько больше ? » , « на сколько меньше ? » , « сколько всего ? » , « сколько осталось ? » и т .
Как проверить результат	вычитания	двух дробей ? .
Рассмотрим примеры	вычитания	меньшего числа из большего .
Решение текстовых задач с помощью сложения и	вычитания	.
Дроби с разными знаменателями можно	вычитать	по формуле .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и	вычитать	.
а ) Как	вычитают	дроби с общим знаменателем ? .
Как	вычитают	дроби с разными знаменателями ? .
Многозначные числа складывают и	вычитают	но разрядам , используя переместительный , сочетательный и распределительный законы .
Как	вычитают	смешанные дроби ? .
Например ,	вычтем	из дроби дробь .
Пусть меньшее из этих двух чисел он	вычтет	из большего числа , зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр .
в ) Из числа 9999	вычтите	произведение чисел 999 и 9 . г ) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
Для более точного измерения углов используют доли	градуса	: минуты « ' » и секунды « ″ » .
г ) Какую часть	градуса	составляет одна минута ? .
Углы измеряют в	градусах	.
Для измерения углов в	градусах	пользуются транспортиром .
Его половина прямой угол — содержит 90	градусов	.
Считается , что развёрнутый угол содержит 180	градусов	.
Сколько	градусов	содержит развёрнутый угол , прямой угол ? .
Вычислите площадь всех	граней	и объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого равны .
сумму площадей боковых	граней	.
сумму площадей всех его	граней	. б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
У прямоугольного параллелепипеда шесть	граней	, двенадцать рёбер и восемь вершин .
Определите объём и сумму площадей всех	граней	получившегося куба .
Сколько у прямоугольного параллелепипеда	граней	, рёбер и вершин ? .
Определите объём и сумму площадей всех	граней	получившегося прямоугольного параллелепипеда .
Вычислите площадь всех	граней	и объём куба с ребром .
Какое число изображено на : а ) нижней	грани	; б ) боковой грани слева ; в ) боковой грани сзади ? .
Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см. У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань ; только две	грани	; три грани ? .
Какое число изображено на : а ) нижней грани ; б ) боковой	грани	слева ; в ) боковой грани сзади ? .
Какое число изображено на : а ) нижней грани ; б ) боковой грани слева ; в ) боковой	грани	сзади ? .
Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см. У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань ; только две грани ; три	грани	? .
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные	грани	— боковыми гранями .
Назовите его	грани	, рёбра и вершины .
Нижнюю и верхнюю	грани	называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
Каждая	грань	— прямоугольник .
Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см. У скольких маленьких кубиков окрашена только одна	грань	; только две грани ; три грани ? .
Снизу , сверху и с боков он ограничен	гранями	.
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми	гранями	.
На гранях куба написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных	гранях	равна семи .
Какие числа изображены на нижних	гранях	кубиков ? .
На	гранях	куба написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи .
Эти	группы	называют классами .
Чтобы прочитать многозначное число , цифры в его записи разбивают справа налево на	группы	по три цифры в каждой .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и	данный	прямоугольник .
Система счисления	двоичная	.
В электронно - вычислительных машинах используется	двоичная	система счисления , в которой всего две цифры : 0 и 1 .
Запишите в	двоичной	системе нумерации числовые выражения .
Проверьте , что в	двоичной	системе нумерации справедливы равенства .
Вот несколько примеров на сложение , вычитание и умножение в	двоичной	системе .
Таблицы сложения и умножения для однозначных чисел в	двоичной	системе счисления очень просты .
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените	деление	умножением на дробь , обратную делителю .
При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить	деление	на 10 или 100 соответственно .
Выполните	деление	по образцу .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение ,	деление	) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Про числовые выражения , которые содержат	деление	на нуль , говорят , что они не имеют смысла .
Умножение и	деление	смешанных дробей .
Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и	деление	, то эти действия выполняют но порядку слева направо .
помощью распределительного закона можно коротко выполнить	деление	смешанной дроби на натуральное число .
Объясните , как выполнено	деление	.
В старину на Руси творили : « Умноженье — моё мученье , а	деление	— беда » .
Такое	деление	записывают обычно короче — уголком .
Для однозначных и двузначных чисел	деление	, как правило , производится в уме , а для многозначных — уголком .
Выполните	деление	с остатком .
Выполните	деление	.
На доске написано несколько примеров на	деление	с остатком .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и	деление	( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Выполните	деление	правильно .
Ученик выполнил	деление	: 8 ( ост .
Выполните	деление с остатком	.
На доске написано несколько примеров на	деление с остатком	.
После того как найдена « середина » в ряду делителей , остальные делители найдём	делением	.
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с	делением	шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с	делением	шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
В первый класс включим все числа , имеющие остаток 0 при	делении	на 2 .
Так как при	делении	натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Во второй класс включим все числа , имеющие при	делении	на 2 остаток 1 .
Что получается при	делении	нуля на любое натуральное число ?
Так как при	делении	натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
При	делении	на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
Какой наименьший остаток может получиться при	делении	натуральных чисел ? .
Чему равен остаток при	делении	нацело ? .
При	делении	на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно .
Какое наименьшее число при	делении	и на 3 , и на 5 , и на 7 даёт в остатке : а ) 0 ; б ) 1 ; в ) 2 ? .
При	делении	нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Какие остатки получаются при	делении	натуральных чисел : а ) на 2 ; 6 ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 7 ? .
Какой наибольший остаток может получиться при	делении	натуральных чисел ? .
Если же точка B оказалась бы ближе к	делению	5 , то мы сказали бы , что длина отрезка AB приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см .
Так как точка B расположена ближе к	делению	6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
Приведите пример	деления	с остатком , назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от	деления	числителя на знаменатель .
Решение текстовых задач с помощью умножения и	деления	.
Разбейте множество натуральных чисел на классы по остаткам от	деления	на 3 ; 4 ; 7 .
С помощью умножения и	деления	решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного в несколько раз , ответить на вопросы « во сколько раз больше ? » , « во сколько раз меньше ? » и т .
В самом деле , если числитель дроби р делится на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от	деления	р на q .
Какой остаток получится от	деления	числа ? .
К выбору умножения и	деления	для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « в 3 раза больше » не всегда требуют умножения .
Вообще , средним арифметическим нескольких чисел называют частное от	деления	суммы этих чисел на число слагаемых .
Черту в записи дроби можно рассматривать как знак	деления	числителя на знаменатель .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два	деления	, между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Скобки , в которые заключено одно действие умножения или	деления	, принято для краткости опускать .
Принято считать , что в записях вида дроби также означает знак	деления	.
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от	деления	числителя на знаменатель .
Теперь необходимо разделить остаток от	деления	сотен — 2 сотни и десятки — 8 десятков , т .
Это число называют неполным частным от	деления	14 на 3 , а число 2 — остатком .
В записях , в которых черта дроби используется несколько раз , знак ставится у черты дроби , означающей последнее по порядку действие	деления	.
Результат	деления	14 на 3 записывают .
Для вычитания и	деления	переместительный закон не выполняется , поэтому промежуточный результат надо запомнить ( записать ) .
С помощью умножения и	деления	дробей можно решать задачи на нахождение части целого и целого по его части .
Остаётся разделить остаток от	деления	десятков ( 28 ) и единицы ( 8) , т .
Здесь 7 — неполное частное от	деления	38 на 5 , а 3 — остаток .
Приведите пример	деления с остатком	, назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
Основу системы мер веса и денег в Древнем Вавилоне составлял 1 талант ; его	делили	на 60 мин , а мину — на 60 шекелей .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника	делили	диагоналями .
В следующих записях замените буквы цифрами так , чтобы полученные числа	делились	на 3 .
Какую цифру нужно поставить вместо звездочки , чтобы полученное число	делилось	на 9 .
Можно ли с помощью цифр 1 , 2 , 5 , 6 ( без повторения ) составить трёхзначное число , которое	делилось	бы .
В каждом примере	делимое	стёрли и заменили буквой .
Назовите	делимое	, делитель и частное в примере .
Назовите	делимое	и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Приведите пример деления с остатком , назовите	делимое	, делитель , неполное частное , остаток .
Вычислите , записав	делимое	в виде суммы , по образцу .
Найдите	делимое	.
Отметим важное свойство частного :	делимое	и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Частным двух дробей называют дробь , которая при умножении на делитель даёт	делимое	.
При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить	делимое	и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен	делимому	, а знаменатель — делителю .
При этом пишут и называют а —	делимым	, b — делителем , с — частным .
На сколько частей прямая	делит	плоскость ? .
Точка A , лежащая на прямой ,	делит	её на две части .
Убедитесь , что прямая MN	делит	отрезок АВ пополам .
Луч ОС	делит	развёрнутый угол AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше угла ВОС .
Луч ОС	делит	развёрнутый угол AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше угла ВОС .
Разложить данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых	делителей	или их степеней .
Дробь называют несократимой , если её числитель и знаменатель не имеют общих простых	делителей	.
Для этого надо взять каждый из простых	делителей	числа 90 , их всевозможные произведения , содержащие не больше одного множителя 2 , двух множителей 3 и одного множителя 5 .
Числа , не имеющие общих простых	делителей	, называют взаимно простыми числами .
Сначала перебираем все делители числа 18 до тех пор , пока произведение двух соседних	делителей	не даст 18 .
После того как найдена « середина » в ряду	делителей	, остальные делители найдём делением .
Если делитель — простое число , то его называют простым	делителем	.
При этом пишут и называют а — делимым , b —	делителем	, с — частным .
Наибольшим общим	делителем	чисел 12 и 54 является число 6 .
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым	делителем	натурального числа ? .
а ) Что называют	делителем	натурального числа ; простым делителем натурального числа ? .
Другие	делители	найдём , составляя различные произведения из этих простых делителей .
Число 12 имеет	делители	1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 .
В разложении чисел 180 и 336 подчёркнуты все их общие	делители	, поэтому НОД ( 180 , 336 ) 12 .
Наибольший общий	делители	взаимно простых чисел равен 1 .
б ) делится на все	делители	этих чисел .
Найдите все	делители	чисел 45 и 60 .
Используя этот приём , найдите все	делители	числа .
Получатся все	делители	числа 90 .
После того как найдена « середина » в ряду делителей , остальные	делители	найдём делением .
а ) Число а имеет простые	делители	.
Найдите все общие	делители	чисел 45 и 60 .
Укажите все	делители	числа .
Сначала перебираем все	делители	числа 18 до тех пор , пока произведение двух соседних делителей не даст 18 .
Выполняя предыдущее задание , можно заметить , что	делители	числа 18 обладают интересным свойством .
Запишите в порядке возрастания все	делители	числа .
Найдите все	делители	числа а .
Поэтому искомое число содержит все простые	делители	большего числа 24 ( т . е .
Мы видим , что числа 12 и 54 имеют общие	делители	1 , 2 , 3 , 6 .
б ) делится на все общие	делители	этих чисел .
Укажите все общие	делители	и НОД числителя и знаменателя дроби , затем сократите дробь .
Каждое простое число имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие	делители	.
Все	делители	числа 90 можно получить из разложения числа 90 на простые множители .
Например , число 13 имеет простой делитель 13 , число 4 — простой делитель 2 , а число 12 — простые	делители	2 и 3 .
б ) Чему равен наибольший общий	делитель	чисел 100 !
Наибольший общий	делитель	.
Определите	делитель	.
Если	делитель	— простое число , то его называют простым делителем .
Чему равен наибольший общий	делитель	взаимно простых чисел ? .
Наибольший общий	делитель	чисел а и b обозначают : НОД ( а , b ) .
Например , число 13 имеет простой	делитель	13 , число 4 — простой делитель 2 , а число 12 — простые делители 2 и 3 .
Общий	делитель	.
При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и	делитель	на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно .
Например , число 13 имеет простой делитель 13 , число 4 — простой	делитель	2 , а число 12 — простые делители 2 и 3 .
Назовите делимое ,	делитель	и частное в примере .
Часто наибольший общий	делитель	числителя и знаменателя сразу указать трудно .
Объясните , почему наибольший общий	делитель	двух чисел .
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на наибольший общий	делитель	ее числителя и знаменателя .
Частным двух дробей называют дробь , которая при умножении на	делитель	даёт делимое .
Назовите делимое и	делитель	, дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наибольший общий	делитель	этих чисел равен меньшему из них .
Приведите пример деления с остатком , назовите делимое ,	делитель	, неполное частное , остаток .
Отметим важное свойство частного : делимое и	делитель	можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Заметим , что дробь , обратная	делителю	, поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель —	делителю	.
Рассмотрим примеры нахождения наибольшего общего	делителя	.
Каждое простое число имеет только два	делителя	единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
Остаток меньше	делителя	.
Запишите пять натуральных чисел , имеющих	делителями	числа .
Например , число 2300	делится	на 5 , потому что это число делится на 10 , а 10 делится на 5 ( по свойству 2 ) .
в ) сумма	делится	на 13 , где а и с — натуральные числа .
сумма	делится	на 3 , где а , b и с — натуральные числа .
Проверьте ,	делится	ли .
Число 52 не	делится	на 5 , потому что сумма числа 50 , делящегося на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не	делится	нацело на b .
Число 2305 оканчивается цифрой 5 , оно	делится	на 5 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 5 ( по свойству 3 ) .
Проверьте ,	делится	ли число .
сумма	делится	на 11 .
Например , число 2300 делится на 5 , потому что это число	делится	на 10 , а 10 делится на 5 ( по свойству 2 ) .
Если число оканчивается цифрой 0 , то оно	делится	на 10 .
Например , число 4560 оканчивается цифрой 0 , его можно представить в виде произведения , которое	делится	на 10 ( по свойству 1 ) .
Число 4561 не	делится	на 10 , потому что сумма числа 4560 , делящегося на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5 , то оно	делится	на 5 .
а ) сумма	делится	на 9 .
4 ) 5 не делится на 3 , но	делится	на 5 .
б ) если каждое из двух слагаемых делится на 5 , то и сумма	делится	на 5 .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а	делится	нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Если а	делится	на b , то говорят ещё , что а кратно b.
Если один ив множителей	делится	на некоторое число , то и произведение делится на это число .
Если один ив множителей делится на некоторое число , то и произведение	делится	на это число .
Например , 15	делится	на 3 .
Найдите : Число 12 321	делится	на 111 .
Если первое число	делится	на второе , а второе делится на третье , то первое число делится на третье .
Если первое число делится на второе , а второе	делится	на третье , то первое число делится на третье .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то первое число	делится	на третье .
Если каждое из двух чисел	делится	на некоторое число , то их сумма и разность делятся на это число .
Если одно из двух чисел	делится	на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это число .
Известно , что число а	делится	нацело на число b.
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не	делится	, то их сумма и разность не делятся на это число .
Объясните , почему на 12	делится	произведение .
а ) если каждое из двух слагаемых	делится	на 2 , то и сумма делится на 2 .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а	делится	нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Например , 12	делится	на 4 , следовательно , НОД ( 12 , 4 ) 4 .
а ) если каждое из двух слагаемых делится на 2 , то и сумма	делится	на 2 .
Говорят , что а	делится	на b нацело , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Если одно из двух чисел	делится	нацело на другое , то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них .
б ) если каждое из двух слагаемых	делится	на 5 , то и сумма делится на 5 .
в ) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3 , то и разность	делится	на 3 ? .
Если число оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , то оно	делится	на 2 .
Число 137 не	делится	на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
Например , число 130 оканчивается цифрой 0 , оно делится на 10 , а 10	делится	на 2 , следовательно , 130 делится на 2 ( по свойству 2 ) .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не	делится	на 3 .
Считается , что если номер года	делится	на 4 ( например , 2012 ) , то год содержит 366 суток .
Определите ,	делится	ли число 111 111 111 111 111 : а ) на 3 ; б ) на 9 .
Назовите наибольшее и наименьшее шестизначное число , которое	делится	на : а ) 2 ; б ) 3 ; в ) 5 ; г ) 9 ; д ) 10 .
Докажите признак делимости на 4 : если две последние цифры числа образуют число , делящееся на 4 , то и само число	делится	на 4 .
Каждое натуральное число р	делится	на 1 и само на себя .
Простым числом называют такое натуральное число , которое больше единицы и	делится	только на 1 и само на себя .
Каждое составное число	делится	на 1 , само на себя и ещё хотя бы на одно натуральное число .
На какие числа	делится	каждое из приведённых ниже чисел ? .
а ) Напишите четырёхзначное число , которое	делится	на 9 .
Напишите четырёхзначное число , которое	делится	на 3 , но не делится на 9 .
Напишите четырёхзначное число , которое делится на 3 , но не	делится	на 9 .
Когда говорят , что натуральное число а	делится	нацело на натуральное число b ? .
Кроме того , число а	делится	на 1 .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b	делится	на натуральное число с , то верно равенство .
На какие числа	делится	нацело любое натуральное число ? .
Покажем , как можно разложить число 90 на простые множители . 1 ) 90	делится	на 2 .
2 ) 45 не	делится	на 2 , но делится на 3 .
2 ) 45 не делится на 2 , но	делится	на 3 .
3 ) 15	делится	на 3 .
4 ) 5 не	делится	на 3 , но делится на 5 .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках	делится	на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Например , число 130 оканчивается цифрой 0 , оно	делится	на 10 , а 10 делится на 2 , следовательно , 130 делится на 2 ( по свойству 2 ) .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не	делится	на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также	делится	на 3 .
Любое натуральное число а	делится	на 1 и само на себя .
Например , число 130 оканчивается цифрой 0 , оно делится на 10 , а 10 делится на 2 , следовательно , 130	делится	на 2 ( по свойству 2 ) .
Если одно число делится нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно	делится	с остатком , равным нулю .
Например , 12	делится	на 1 и на 12 .
Число 136 оканчивается цифрой 6 , оно	делится	на 2 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 2 ( по свойству 3 ) .
Если одно число	делится	нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно делится с остатком , равным нулю .
Если сумма цифр числа	делится	на 9 , то и само число делится на 9 .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число	делится	на 9 .
Например , сумма цифр 18 числа 7245	делится	на 9 .
Число 7245	делится	на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках	делится	на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также	делится	на 9 ( по свойству 3 ) .
Число 375 не	делится	на 9 , так как сумма его цифр не делится на 9 .
Число 375 не делится на 9 , так как сумма его цифр не	делится	на 9 .
Это можно доказать следующим образом , где сумма в первых скобках	делится	на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — не делится на 9 ( по свойству 4 ) .
Это можно доказать следующим образом , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — не	делится	на 9 ( по свойству 4 ) .
Если сумма цифр числа	делится	на 3 , то и само число делится на 3 .
Если сумма цифр числа делится на 3 , то и само число	делится	на 3 .
Например , у числа 375 сумма цифр	делится	на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само	делится	на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках	делится	на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Сумма цифр числа 679 , равная , не	делится	на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Число 14 не	делится	нацело на 3 , так как нет натурального числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
Например , число 2300 делится на 5 , потому что это число делится на 10 , а 10	делится	на 5 ( по свойству 2 ) .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не	делится	нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
б )	делится	на все общие делители этих чисел .
Докажите , что выражение	делится	на 49 .
Для этого найдём число , которое	делится	на 8 и на 3 , например 24 .
Докажите , что сумма всех чисел любого магического квадрата 3 x 3	делится	на 3 .
В самом деле , если числитель дроби р	делится	на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби	делится	на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Напомним , что если числитель дроби	делится	на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Любую неправильную дробь , числитель которой не	делится	нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Число 123 454 321	делится	на 11 111 .
Например , 120	делится	нацело на 24 , следовательно , НОК ( 120 , 24)= 120 .
б )	делится	на все делители этих чисел .
Будем выписывать числа , кратные 24 ( большему из данных чисел ) , проверяя ,	делится	ли каждое из них на 18 .
Если одно из двух чисел	делится	нацело на другое , то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них .
48 не делится на 18 , 72 —	делится	на 18 , поэтому НОК ( 24 , 18 ) — 72 .
48 не	делится	на 18 , 72 — делится на 18 , поэтому НОК ( 24 , 18 ) — 72 .
24 — не	делится	на 18 .
Любое натуральное число а	делить	на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
Будем	делить	на 36 число сотен — 146 .
Можно ли	делить	на нуль ? .
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что	делить	на нуль нельзя .
Три дома нельзя было	делить	, их взяли старшие три брата .
Можно ли	делить	.
Мы уже знаем , почему нельзя число	делить	на нуль .
Тот , кто умел быстро и безошибочно	делить	, считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению , вычитанию и таблице умножения .
Удивились казаки : как это табунщик будет	делить	лошадей пополам ?
Но в этом случае частным могло бы быть любое число с. Поэтому считают , что нуль на нуль	делить	нельзя .
Разложим числа 24 и 18 на простые множители : НОК ( 24 , 18 ) должно	делиться	и на 24 , и на 18 .
Может ли оно не	делиться	на 3 ? .
На сколько частей	делят	плоскость две прямые , если они : а ) пересекаются ; б ) параллельны ? .
Эти лучи тоже	делят	плоскость на две части , каждую из которых называют развёрнутым углом .
Два различных луча ВА и ВС с общим началом В. Они	делят	плоскость на две части , называемые углами .
Как умножают и	делят	смешанные дроби ? .
Две точки	делят	окружность на две части , называемые дугами .
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их сумма и разность	делятся	на это число .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не	делятся	на это число .
в ) если уменьшаемое и вычитаемое	делятся	на 3 , то и разность делится на 3 ? .
Напишите все числа от 23 до 46 , которые	делятся	на 5 .
а ) Напишите все числа от 15 до 95 , которые	делятся	на 10 . б )
Напишите все числа от 51 до 73 , которые	делятся	на 2 .
Какие из чисел	делятся	на 4 ? .
	Делятся	на 4 ? .
Напишите шесть чисел , которые	делятся	.
Какие из чисел 128 , 325 , 500 , 506 , 725 , 905 , 830 , 962 , 750 , 1000 , 1262 , 2440	делятся	на : а ) 2 ; 6 ) 5 ; в ) 2 и 5 ; г ) 10 ?
Какие из полученных чисел	делятся	на 5 .
	Делятся	на 2 .
	Делятся	на 10 .
Так как 365 и 366 не	делятся	нацело на 12 , то дни распределили между месяцами неравномерно : январь , март , май , июль , август , октябрь , декабрь содержат по 31 дню , апрель , июнь , сентябрь , ноябрь — по 30 дней , а февраль содержит 28 дней в обычном году и 29 — в високосном году .
С помощью цифр 2 , 3 , 5 , 7 ( без повторения ) запишите все четырёхзначные числа , которые	делятся	: а ) на 2 ; б ) на 5 .
Число 52 не делится на 5 , потому что сумма числа 50 ,	делящегося	на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 ,	делящегося	на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
Число 4561 не делится на 10 , потому что сумма числа 4560 ,	делящегося	на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не	делящегося	на 2 ( по свойству 4 ) .
Найдите координаты точек ,	делящих	отрезок АВ на три равные части .
Число 2305 оканчивается цифрой 5 , оно делится на 5 , так как его можно записать в виде суммы чисел ,	делящихся	на 5 ( по свойству 3 ) .
Число 136 оканчивается цифрой 6 , оно делится на 2 , так как его можно записать в виде суммы чисел ,	делящихся	на 2 ( по свойству 3 ) .
Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из чисел ,	делящихся	на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Вася посчитал , что если каждая девочка посадит по 3	дерева	, а каждый мальчик — по 5 деревьев , то все 30 учащихся класса посадят 122 дерева .
Вася посчитал , что если каждая девочка посадит по 3 дерева , а каждый мальчик — по 5 деревьев , то все 30 учащихся класса посадят 122	дерева	.
Какое	дерево	самое высокое ?
Вася посчитал , что если каждая девочка посадит по 3 дерева , а каждый мальчик — по 5	деревьев	, то все 30 учащихся класса посадят 122 дерева .
Сколько диагоналей в выпуклом : а )	десятиугольнике	; б ) двадцатиугольнике ? .
В России	десятичная	система счисления начала распространяться в XVII веке .
В настоящее время принята десятичная система записи чисел (	десятичная	система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Система счисления	десятичная	.
В настоящее время принята	десятичная	система записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Когда говорят « число оканчивается цифрой » , имеют в виду «	десятичная	запись числа заканчивается цифрой » .
Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в	десятичной	системе .
В 1703 году был издан первый печатный учебник математики — « Арифметика » Л. Ф. Магницкого , в котором все вычисления велись в	десятичной	системе записи чисел .
Особую роль в	десятичной	системе играют числа 10 , 100 , 1000 и т .
Натуральные числа можно сравнивать по их	десятичной	записи .
Первая цифра справа в	десятичной	записи числа называется цифрой первого разряда , вторая цифра справа — цифрой второго ( шарада и т .
Важную роль в	десятичной	системе счисления играет число 10 .
применяли , в сущности ,	десятичную	систему счисления .
Поэтому	десятичную	систему счисления называют позиционной .
единицы : 4 .	десятки	: 13 ( 3 пишем , 1 запоминаем ) .
В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы ,	десятки	и сотни этого класса .
тысячи : 4 .	десятки	тысяч : 4 .
Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен — 2 сотни и	десятки	— 8 десятков , т .
в ) 8 сотен и 6	десятков	.
б ) 5	десятков	тысяч , 9 тысяч , 7 сотен и 4 единиц .
Запишите число , состоящее из . а ) 1 тысячи , 2 сотен , 3	десятков	и 5 единиц .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7	десятков	и 8 единиц .
В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов единиц ,	десятков	, сотен , тысяч , десятков тысяч , сотен тысяч и т .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9	десятков	и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8 единиц .
При этом говорят так : к 5 прибавим 9 — получим 14 , пишем 4 ( единицы ) и 1 ( десяток ) запоминаем , к 4 прибавим 3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 (	десятков	) , пишем 8 .
Говорят : из 2 вычесть 9 нельзя , занимаем 1 десяток , из 12 вычтем 9 — получим 3 ( единицы ) , пишем 3 , из 6 вычтем 0 — получим 6 (	десятков	) , пишем 6 .
Это вычисление можно записать столбиком подробно Обычно пишут короче , запоминая , что в разряд	десятков	добавляется один десяток .
г ) 7 сотен тысяч и 3	десятков	.
В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов единиц , десятков , сотен , тысяч ,	десятков	тысяч , сотен тысяч и т .
Для обозначения	десятков	, сотен и т .
Затем перемножали попарно цифры множителей и результат записывали в соответствующую клетку таблицы так : цифру единиц писали вверху клетки , цифру	десятков	— внизу .
д. не нужны новые значки , так как те же цифры используют и для записи	десятков	, сотен и т .
Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен — 2 сотни и десятки — 8	десятков	, т .
Остаётся разделить остаток от деления	десятков	( 28 ) и единицы ( 8) , т .
28	десятков	, на 36 .
Например , в записи числа 777 первая справа цифра 7 означает семь единиц , вторая — семь	десятков	, третья — семь сотен .
« цифру » единиц ставили до « цифры »	десятков	.
Делим на 7 число	десятков	.
Десять единиц называют десятком , десять	десятков	— сотней , десять сотен — тысячей и т .
Например , запись означает , что это число содержит а тысяч , 5 сотен , b	десятков	и 7 единиц .
Десять единиц называют	десятком	, десять десятков — сотней , десять сотен — тысячей и т .
Это вычисление можно записать столбиком подробно Обычно пишут короче , запоминая , что в разряд десятков добавляется один	десяток	.
При этом говорят так : к 5 прибавим 9 — получим 14 , пишем 4 ( единицы ) и 1 (	десяток	) запоминаем , к 4 прибавим 3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 ( десятков ) , пишем 8 .
Говорят : из 2 вычесть 9 нельзя , занимаем 1	десяток	, из 12 вычтем 9 — получим 3 ( единицы ) , пишем 3 , из 6 вычтем 0 — получим 6 ( десятков ) , пишем 6 .
Единицу они обозначали знаком ,	десяток	, сотню .
Например , в четырёхугольнике ABCD отрезки AC и BD —	диагонали	.
В квадрате 3x3 расставьте числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 так , чтобы сумма чисел в каждой строке , в каждом столбце и на каждой	диагонали	была одинакова .
Отрезок , соединяющий две несоседние вершины многоугольника , называют	диагональю	многоугольника .
Назовите центр , радиус ,	диаметр	окружности .
Отрезки OL , ОА , ОВ радиусы окружности , АВ — её	диаметр	, CD хорда .
Хорду , проходящую через центр окружности , называют	диаметром	.
Сумму	длин	всех звеньев ломаной называют длиной ломаной .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы	длин	двух других отрезков .
При измерении ещё меньших	длин	указывают , какую часть микрона они составляют .
В XVI – XVII веках на Руси установилась система мер	длин	и весов ( см. форзац ) , которой пользовались до 1918 года , когда была введена метрическая система мер .
Сумму	длин	сторон четырёхугольника называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом .
Сумму	длин	всех сторон треугольника называют его периметром .
Сумму	длин	сторон многоугольника называют его периметром .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме	длин	отрезков ; б ) разности длин отрезков .
Длина отрезка AD равна сумме	длин	отрезков АС и CD .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности	длин	отрезков .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что	длина	отрезка AВ равна 5 см .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но	длина	не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров .
Отрезок ,	длина	которого принята за единицу измерения , называют единичным отрезком .
В каком случае будет больше отходов , если	длина	обоев в куске в обоих случаях 10 м ?
В равностороннем треугольнике	длина	стороны равна .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см ,	длина	отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Какими могут быть	длина	и ширина этого участка ?
С помощью линейки постройте отрезок ,	длина	которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности длин отрезков .
В этом случае точная	длина	отрезка AB осталась неизвестной .
Какова	длина	туннеля ? .
Какова	длина	маршрута ? .
Докажите , что	длина	ломаной АВС больше длины ломаной АDC .
Выразите в арах площадь прямоугольного участка земли ,	длина	и ширина которого .
В рассмотренном примере	длина	отрезка АВ приближённо равна 5 см с недостатком и 6 см с избытком с точностью до 1 см .
Через сколько минут после старта они встретятся , если	длина	дорожки бассейна 25 м и скорости папы и сына равны 14 м / мин и 11 м / мин соответственно ? .
В результате большой работы была найдена	длина	парижского меридиана в существовавших тогда французских мерах длины — туазах ( 1 туаз — 1 м 95 см ) .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что	длина	отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
Если же точка B оказалась бы ближе к делению 5 , то мы сказали бы , что	длина	отрезка AB приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см .
В этом случае условились считать , что 6 см есть приближённая	длина	отрезка AB с точностью до 1 см с округлением .
Такие понятия , как	длина	, площадь , объём , масса , время , скорость и т .
С какой скоростью идёт пассажир метро , если	длина	эскалатора 150 м ? .
Пассажир , сидящий во втором поезде , заметил , что первый поезд шёл мимо него 12 с. Какова	длина	первого поезда ? .
Если	длина	, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Как называют отрезок ,	длина	которого принята за единицу измерения ? .
Если	длина	и ширина прямоугольника выражены натуральными числами а и b , то его площадь S вычисляется как произведение .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче правее точки , а	длина	отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда (	длина	, ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Например ,	длина	ломаной ABCDE .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 ,	длина	— 4 , а высота — 2 линейным единицам .
б ) Рыболовную леску ,	длина	которой 11 м , разрезали на 4 равные части .
Если на отрезке AB ровно три раза укладывается отрезок длиной дм , то	длина	отрезка AB равна трём четвёртым дециметра : 3/4 ДМ .
Какова	длина	каждой части ? .
Вычислите площадь и периметр прямоугольника ,	длина	и ширина которого равны .
а ) Верёвку ,	длина	которой 20 м , разрезали на 3 равные части .
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда ,	длина	которого 45 см , ширина 30 см , а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Вычислите объём классной комнаты в литрах , если её ширина 6 м ,	длина	8 м , а высота 3 м .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда —	длина	, ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если	длина	каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
а ) Отрезок длиной 1 м разделили на несколько равных частей	длиной	1/10 м .
Железнодорожный состав	длиной	1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин , а через туннель при той же скорости за 3 мин .
а ) Для укладки 100 м труб можно купить трубы	длиной	З м по 38 р .
а ) Отрезок	длиной	1 м разделили на несколько равных частей длиной 1/10 м .
Постройте отрезки	длиной	7 см , 11 см 4 мм , 14 см 6 мм .
Если отрезок	длиной	1 см разделить на две равные части , то каждая из них будет иметь длину , равную половине сантиметра .
а ) За куски ленты	длиной	м и м заплатили 18 р .
в ) От каната	длиной	100 м отрезали 3/4 его длины .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его	длиной	, шириной и высотой .
за штуку или	длиной	4 м по 50 р .
Так была открыта первая трасса Аэрофлота	длиной	420 км .
Проволоку	длиной	3 м нужно разрезать на куски по 12 см. Сколько таких кусков получится ? .
Сколько таких кусков получится из ленты	длиной	: а ) 1 м ; б ) 3 м ; в ) 11 м ; г ) 17 м ? .
Ленту надо разрезать на равные куски	длиной	м .
Рейка	длиной	147 см разрезана на 4 равные части .
Если на отрезке AB ровно три раза укладывается отрезок	длиной	дм , то длина отрезка AB равна трём четвёртым дециметра : 3/4 ДМ .
Изобразите на координатном луче ( возьмите единичный отрезок	длиной	6 см ) точки О .
Постройте отрезок	длиной	6 см. Отметьте этого отрезка .
Отрез ткани	длиной	15 м разрезали на 5 равных частей .
б ) От мотка телефонного провода	длиной	36 м отмотали его четвёртую часть .
Сумму длин всех звеньев ломаной называют	длиной	ломаной .
Возьмём , например , отрезок	длиной	1 см в качестве единичного .
Найдите	длину	отрезка AB .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см. Найдите	длину	отрезка ВС. Сколько решений имеет задача ? .
Если отрезок длиной 1 см разделить на две равные части , то каждая из них будет иметь	длину	, равную половине сантиметра .
На луче AM отложили отрезки AB и АС , АС 89 см. Найдите	длину	отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
а ) его	длину	увеличить в 2 раза .
Объясните на примере , как измерить	длину	отрезка с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Определите	длину	оставшейся части маршрута , если расстояние от начала маршрута до первой остановки составляет .
его	длину	и ширину увеличить в 2 раза .
Измерьте	длину	и ширину тетради с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Начертите отрезок с концами в этих точках и измерьте приближённо его	длину	.
в ) увеличить его	длину	в 2 раза , а ширину — в 3 раза ? .
Определите на глаз	длину	отрезка : а ) в сантиметрах ; б ) в миллиметрах Проверьте результат с помощью линейки .
б ) Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда , зная	длину	, ширину и высоту ? .
Для этого задают луч , выходящий из точки О в направлении , отмеченном стрелкой , и отрезок ,	длину	которого принимают за единицу .
Он возвышается над землёй на 2 м 30 см. Определите	длину	столба .
Вычислите	длину	прямоугольника , если его ширина равна .
Найдём	длину	отрезка , соединяющего точки а и b , и координату середины этого отрезка .
Если принять	длину	отрезка AB за 1 , то .
а ) Как вычислить площадь прямоугольника , зная	длину	и ширину ? .
В 1792 году Парижская академия паук решила измерить	длину	земного меридиана , проходящего через Париж .
Найдите	длину	стороны квадрата .
Его	длину	тоже называют радиусом .
Пусть задан отрезок AВ ,	длину	которого надо измерить .
Другое ребро куба разделим на две равные части ; одна из них составляет	длину	параллелепипеда .
Например , если 1 км разделить на q равных частей , то каждая часть будет иметь	длину	1 / q км , а р таких частей будут иметь длину p / q км .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую	длину	, но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров .
Найдите	длину	отрезков АВ , ВС , АС .
б ) Определите	длину	отрезка , 3/5 которого равны 15 см . а ) Сыну 10 лет .
Найдите	длину	отрезка АВ .
его	длину	увеличить в 4 раза , а ширину и высоту уменьшить в 2 раза ? .
Принято считать , что слово « сторона » означает не только отрезок , но и его	длину	.
Какой результат в прыжках в	длину	показал Боря ?
Например , если 1 км разделить на q равных частей , то каждая часть будет иметь длину 1 / q км , а р таких частей будут иметь	длину	p / q км .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его	длину	в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его	длину	в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Если принять	длину	отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .
Найдите	длину	отрезка А В .
Если принять длину отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет	длину	, а отрезок AD имеет длину .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см. Найдите	длину	отрезка ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
Однако ещё можно получить приближённую	длину	отрезка с точностью до 1 см с округлением .
Одну сторону квадрата разделим на 4 равные части ; три из них составляют	длину	прямоугольника .
АВ – 3 см , ВС — 4 см , СD — 13 см , АD — 12 см. Определите	длину	ломаной ABCD и расстояние между её концами .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите	длину	отрезка BD .
Измерьте	длину	отрезка LN и величину угла L .
Какую	длину	имеет каждая часть с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением ? .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его	длину	увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
На прямой даны точки А , В и С , причём AB 6 см , АС 13 см. Найдите	длину	отрезка ВС , если .
Если принять длину отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет	длину	.
а ) Алёша прыгнул в	длину	на 3 м 12 см. Это на 9 см лучше результата Бори и на 13 см хуже результата Вовы .
В результате большой работы была найдена длина парижского меридиана в существовавших тогда французских мерах	длины	— туазах ( 1 туаз — 1 м 95 см ) .
Парижская академия наук предложила в качестве единой меры	длины	новую единицу измерения метр , равную одной десятимиллионной доле четверти парижского меридиана .
AB 12 см . а ) Найдите	длины	отрезков АС и СВ .
6 ) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд , то какой	длины	получится ряд ? .
Измерение	длины	отрезка с избытком .
Естественная и древнейшая мера	длины	шаг .
Периметры треугольников BCD , BDE и ABE равны соответственно 20 см , 21 см и 22 см , а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см. Определите	длины	диагоналей BD и BE , если известно , что они равны .
Измерение	длины	отрезка с недостатком .
за меру	длины	принимали стадий .
В тетради постройте три отрезка различной	длины	.
Единицы	длины	.
Эти старинные названия мер	длины	, а также и старинные названия мер весов встречаются во многих пословицах , поговорках и образных выражениях : ни пяди земли ; мерить на свой аршин ; косая сажень в плечах ; съесть пуд соли ; фунт лиха ; мал золотник , да дорог ; ты от дела на пяденьку , а оно от тебя на саженьку .
С середины XVI века на Руси появилась мера	длины	аршин ( примерно 71 см ) , заимствованная с Востока .
Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше	длины	отрезка АС .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше	длины	отрезка АС .
В старину на Руси пользовались такими мерами	длины	: пядь — расстояние между концами вытянутых большого и указательного пальцев руки ( примерно 18–23 см ) ; локоть — расстояние от конца среднего пальца руки до локтя ( примерно 38–46 см ) ; сажень — различали « простую » ( примерно 152 см ) , « маховую » ( примерно 176 см ) и « косую » ( примерно 248 см ) сажени .
в ) От каната длиной 100 м отрезали 3/4 его	длины	.
В России и в большинстве стран мира за основную единицу	длины	принят метр ( см. « Исторические сведения » ) .
Какой наименьшей	длины	может быть верёвка , чтобы её можно было разрезать без остатков на куски .
Однако известно , при этом величины 5 см и 6 см отличаются от AB не более чем на 1 см. Их называют приближениями или приближёнными значениями	длины	AB с точностью до 1 см .
Длина отрезка AD больше	длины	отрезка АС , т .
Докажите , что длина ломаной АВС больше	длины	ломаной АDC .
Если все стороны треугольника имеют разные	длины	, то его называют разносторонним .
Метрические единицы	длины	.
Вместо слов « единица измерения	длины	» часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Если взять	длины	сторон с избытком : АB — 4 см , AD — 6 см , то площадь прямоугольника ABCD будет меньше чем 24 ( см2 ) .
Какой	длины	получился ряд ? .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой	длины	получится ряд ? .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину	длины	отрезка АB .
объём куба равен третьей степени	длины	его ребра .
Существует ли замкнутая ломаная , имеющая три звена ,	длины	которых равны ? .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением	длины	отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
В равнобедренном треугольнике даны	длины	двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
В таких случаях говорят , что были использованы различные единицы измерения	длины	.
Для измерения больших расстояний введена единица	длины	километр , равная 1000 метрам .
Очень малые	длины	измеряют микронами и микромикронами : 1 мм — 1000 микрон , 1 микрон — 1000 микромикрон .
Запишите	длины	получаемых при этом частей отреза .
Длину отрезка AВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим , что два равных отрезка имеют равные	длины	.
а ) Во сколько раз увеличиваются единицы	длины	при переходе слева направо на одну клетку ? .
Как называют основную единицу	длины	? .
Какие единицы	длины	используют для измерения небольших отрезков ? .
Построить треугольник ,	длины	сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
Сравните	длины	отрезков АВ и АС , ВС и АС , ВС и АВ .
Отрезали 1/3 её	длины	.
Какие единицы	длины	используют для измерения больших расстояний ? .
Во сколько раз уменьшаются единицы	длины	при переходе справа налево на одну клетку ? .
На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной	длины	.
Эти теоретические сведения дают возможность решать задачи на	доказательство	не только в пятом , но и в старших классах .
Здесь впервые появится много задач на	доказательство	и задач , в которых надо определить , возможна ли описанная ситуация .
Если целые части смешанных	дробей	не равны , то больше та дробь , у которой целая часть больше .
Разностью двух	дробей	называют дробь , которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Определением степени с натуральным показателем можно пользоваться и для	дробей	.
Если целые части смешанных	дробей	равны , то больше та дробь , у которой дробная часть больше .
Вычитание	дробей	.
Чтобы умножить несколько	дробей	, надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных	дробей	и выполнить действия с обыкновенными дробями .
Эту задачу в давние времена умели решать и без	дробей	.
Смешанные дроби можно сравнивать , не записывая их в виде неправильных	дробей	.
Произведение двух	дробей	есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Умножение	дробей	.
Умножение и деление смешанных	дробей	.
В несложных случаях можно не записывать смешанные дроби в виде неправильных	дробей	.
Чему равна разность равных	дробей	? .
Как проверить результат вычитания двух	дробей	? .
Разность двух	дробей	с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Что называют разностью двух	дробей	?
Чтобы найти разность двух	дробей	с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания	дробей	с общим знаменателем .
Если знаменатели двух	дробей	не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих	дробей	.
Сумма	дробей	с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Из двух	дробей	с общим знаменателем больше та дробь , у которой числитель больше , т .
Выполняется ли для	дробей	переместительный закон сложения ; сочетательный закон сложения ? .
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи натуральных чисел и дробей встречаются обозначения обыкновенных и смешанных	дробей	.
Наименьший общий знаменатель этих	дробей	равен 56 .
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями , их нужно привести к общему знаменателю , а затем применить правило сравнения	дробей	с общим знаменателем .
Шестидесятиричная система записи натуральных чисел дала основу для записи	дробей	, так , 2 таланта 13 мин 41 шекель составляют шекель или таланта .
С помощью умножения и деления	дробей	можно решать задачи на нахождение части целого и целого по его части .
Для этого надо сложить её целую и дробную части по правилу сложения	дробей	.
В дальнейшем шестидесятеричная запись дробей была усовершенствована , появились специальные обозначения и названия для	дробей	.
Сравнение	дробей	.
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных	дробей	, так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Приведите дроби к общему знаменателю , равному произведению знаменателей	дробей	.
При сложении дробных частей двух смешанных	дробей	может получиться неправильная дробь .
При сравнении	дробей	полезно следующее утверждение .
Можно ли число 1 представить в виде суммы	дробей	, где а , b , с , d — нечётные натуральные числа ? .
Поэтому , например , дробь выражали как сумму двух	дробей	.
Однако общим знаменателем этих	дробей	может быть любое из чисел , делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Приведение	дробей	к общему знаменателю .
В задаче упоминаются произведения	дробей	.
В старых русских руководствах по арифметике использовали такие названия	дробей	: половина , четь , полчеть , полполчеть , полполполчеть .
Представление	дробей	на координатном луче .
Сложение смешанных	дробей	.
Здесь фактически используется понятие дроби и даже сложение	дробей	.
Кроме обыкновенных	дробей	, в Индии умели записывать и смешанные дроби .
Сложение смешанных	дробей	выполняют с помощью законов сложения .
Одним из примеров практического применения	дробей	может служить нотная запись в музыке .
Примем 24 за общий знаменатель	дробей	.
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи натуральных чисел и	дробей	встречаются обозначения обыкновенных и смешанных дробей .
В дальнейшем шестидесятеричная запись	дробей	была усовершенствована , появились специальные обозначения и названия для дробей .
Равенство	дробей	.
Для любой дроби можно указать ряд равных ей	дробей	.
Чтобы сложить несколько	дробей	, надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Запишите дробь в виде суммы двух	дробей	.
Если знаменатели двух	дробей	не являются взаимно простыми числами , как в первом примере , то сложение по формуле приводит к лишним вычислениям .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения	дробей	с общим знаменателем .
Для	дробей	, как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы умножения .
В формуле и далее числители и знаменатели	дробей	— натуральные числа .
Может ли сумма двух правильных	дробей	быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных	дробей	.
Сложение	дробей	.
Частным двух	дробей	называют дробь , которая при умножении на делитель даёт делимое .
Сколько таких	дробей	? .
Докажите , что из двух	дробей	с равными числителями больше та дробь , у которой знаменатель меньше .
Частное двух	дробей	вычисляется по формуле .
Запишите пять каких - либо обыкновенных	дробей	.
Для	дробей	, как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы сложения .
Из законов сложения следует , что сумму нескольких	дробей	можно записывать без скобок ; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки .
Вычитание смешанных	дробей	.
Деление	дробей	.
Для	дробей	выполняется распределительный закон .
Как умножают и делят смешанные	дроби	? .
Целая часть смешанной	дроби	.
Кроме обыкновенных дробей , в Индии умели записывать и смешанные	дроби	.
Основное свойство	дроби	.
Числитель	дроби	.
В Индии дроби записывали так же , как мы это делаем сейчас , по черту	дроби	не писали .
Положительные	дроби	называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
В несложных случаях можно не записывать смешанные	дроби	в виде неправильных дробей .
На Руси некоторые смешанные	дроби	имели свои названия : полтора , полтрети , полчетверта , полпята и т .
Знаменатель	дроби	.
Дробная часть смешанной	дроби	.
В Индии	дроби	записывали так же , как мы это делаем сейчас , по черту дроби не писали .
Эти вычисления обычно записывают короче , умножая устно целую и дробную части смешанной	дроби	на 2 .
Сокращение	дроби	.
Дроби с числителем , отличным от единицы ( кроме	дроби	2/3 , появились значительно позже .
В Древнем Египте в практических расчётах использовали	дроби	с числителем 1 .
Здесь отдельно разделили целую и дробную части смешанной	дроби	на 3 ( т .
Найдите целую часть	дроби	.
помощью распределительного закона можно коротко выполнить деление смешанной	дроби	на натуральное число .
Отличие заключается в том , что черту	дроби	не пишут и дробь не сокращают .
Здесь фактически используется понятие	дроби	и даже сложение дробей .
а ) Как умножить две	дроби	?
В самом деле , если числитель	дроби	р делится на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Сформулируйте основное свойство	дроби	.
Например , дроби правильные ,	дроби	неправильные .
При этом целая часть смешанной	дроби	будет равна неполному частному , а дробная часть — остатку , делённому на знаменатель .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной	дроби	, надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Например ,	дроби	правильные , дроби неправильные .
Поэтому основное свойство	дроби	можно сформулировать и так .
Найдите несократимую дробь , равную	дроби	.
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной	дроби	.
Сумму натурального числа и правильной	дроби	записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной	дроби	.
Пусть даны три	дроби	.
Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя	дроби	, затем сократите дробь .
Напомним , что если числитель	дроби	делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Понятие смешанной	дроби	.
Задачи на	дроби	.
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель	дроби	и результат умножить на её числитель .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель	дроби	и результат умножить на её числитель .
Каждую смешанную дробь можно записать в виде неправильной	дроби	.
Например , сравним	дроби	.
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной	дроби	, знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
а ) Как сравнивают	дроби	с общим знаменателем ? .
Сравните	дроби	.
Например , сократим	дроби	.
Чтобы из первой дроби получить 1 , надо добавить , а чтобы из второй	дроби	получить 1 , надо добавить меньше : Следовательно , вторая дробь больше .
Чтобы из первой	дроби	получить 1 , надо добавить , а чтобы из второй дроби получить 1 , надо добавить меньше : Следовательно , вторая дробь больше .
Приведите пример смешанной	дроби	, укажите её целую и дробную части .
В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами	дроби	, а их « дополнения » до единицы .
Сравните	дроби	с числом , а затем между собой .
Любые две	дроби	можно привести к общему знаменателю , которым может быть произведение их знаменателей .
Сравните	дроби	с числом 1 , а затем между собой .
Что называют . а ) целой частью смешанной	дроби	. б ) дробной частью смешанной дроби ? .
Сравните	дроби	с одинаковыми числителями .
Сравните	дроби	и результат сравнения запишите с помощью знаков .
Сравните	дроби	и результат сравнения запишите с помощью знака .
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную	дроби	? .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную	дроби	? .
Смешанные	дроби	можно сравнивать , не записывая их в виде неправильных дробей .
Как сравнивают	дроби	с разными знаменателями ? .
Если числитель и знаменатель	дроби	имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Чтобы сравнить две	дроби	с разными знаменателями , их нужно привести к общему знаменателю , а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем .
Глава 4 Обыкновенные	дроби	.
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель	дроби	и результат умножить на её знаменатель .
Для	дроби	2/3 запишите равную ей дробь со знаменателем .
Запишите в виде	дроби	, какую часть отреза составляет : одна такая часть ; две части ; три части ; четыре части ; пять частей .
Прочитайте	дроби	.
Назовите три	дроби	: а ) с числителем 3 ; б ) со знаменателем 10 .
б ) К какому общему знаменателю лучше всего приводить две	дроби	? .
Запишите две	дроби	, у которых : а ) числитель на 2 больше знаменателя ; б ) знаменатель на 4 больше числителя .
а ) Любые ли две	дроби	можно привести к общему знаменателю ? .
Для любой	дроби	можно указать ряд равных ей дробей .
Умножим числитель и знаменатель	дроби	на дополнительный множитель 8 .
Черту в записи	дроби	можно рассматривать как знак деления числителя на знаменатель .
д. Можно ещё сказать , что	дроби	определяют одно и то же число , записанное разными способами ; дроби также определяют одно и то же число .
д. Можно ещё сказать , что дроби определяют одно и то же число , записанное разными способами ;	дроби	также определяют одно и то же число .
Если числитель и знаменатель	дроби	умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Приведём	дроби	к наименьшему общему знаменателю .
Это свойство называют основным свойством	дроби	.
С его помощью можно получать	дроби	, равные данной .
Но для упрощения вычислений нужно стараться привести	дроби	к наименьшему общему знаменателю .
Принято считать , что в записях вида	дроби	также означает знак деления .
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем	дроби	.
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем	дроби	p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
Число р , находящееся над чертой	дроби	, называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
При изучении главы 4 вам предстоит освоить обыкновенные	дроби	.
дробь больше	дроби	.
В главе 4 вам встретятся задачи « на	дроби	» и « на совместную работу » , среди которых есть интересные старинные задачи .
Понятие	дроби	.
В записях , в которых черта дроби используется несколько раз , знак ставится у черты	дроби	, означающей последнее по порядку действие деления .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель	дроби	и результат умножить на её знаменатель .
В записях , в которых черта	дроби	используется несколько раз , знак ставится у черты дроби , означающей последнее по порядку действие деления .
Определите , равны ли	дроби	.
Найдите все	дроби	со знаменателем 10 , которые больше , но меньше .
Приведём	дроби	к знаменателю 24 .
Частное любых двух натуральных чисел равно	дроби	, числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Такой же смысл имеют	дроби	пять шестых , семь одиннадцатых , пять четвертых и т .
Приведите	дроби	к общему знаменателю .
Приведите	дроби	к наименьшему общему знаменателю .
Приведите	дроби	к общему знаменателю , равному произведению знаменателей дробей .
Для этого умножим числитель и знаменатель	дроби	на дополнительный множитель 3 .
Запишите в виде	дроби	частное .
Замените следующие	дроби	равными им дробями со знаменателем 12 .
Из сказанного выше следует , что число 60 можно получить умножением	дроби	на неизвестное число .
а ) Как записать неправильную дробь в виде смешанной	дроби	? .
Что называют . а ) целой частью смешанной дроби . б ) дробной частью смешанной	дроби	? .
Найдите дробь с числителем 7 , равную	дроби	.
а ) Как вычитают	дроби	с общим знаменателем ? .
В дальнейшем будут введены отрицательные	дроби	, и такое действие станет возможным .
Изучаемые нами дроби не позволяют из меньшей	дроби	вычесть большую .
Изучаемые нами	дроби	не позволяют из меньшей дроби вычесть большую .
Принято считать число 0 равным	дроби	вида , где q — любое натуральное число .
Левые части равенств — данные дроби , а правые — равные им несократимые	дроби	.
Например , вычтем из	дроби	дробь .
Поэтому складывать правильные	дроби	и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
Чтобы сложить смешанные	дроби	, надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить .
Левые части равенств — данные	дроби	, а правые — равные им несократимые дроби .
Найдите все	дроби	со знаменателем 13 , которые больше , но меньше .
Для каждой	дроби	существует единственная равная ей несократимая дробь .
а ) Найдите дробь со знаменателем 18 , равную	дроби	.
Сложите	дроби	, предварительно сократив их .
Например , дроби несократимые	дроби	, так как числа 1 и 2 , 3 и 4 , 5 и 7 не имеют общих простых делителей , т .
При вычислении значений числовых выражений , содержащих	дроби	, пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
Запишите натуральные числа 1 , 2 , 5 в виде	дроби	со знаменателем .
Сложите	дроби	.
Как вычитают	дроби	с разными знаменателями ? .
Как складывают смешанные	дроби	?
Из основного свойства дроби следует , что если числитель	дроби	делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной	дроби	и эту неправильную дробь возводят в степень .
Назовите дробь , обратную	дроби	.
Из основного свойства	дроби	следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Чтобы умножить или разделить смешанные	дроби	, можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями .
Какие	дроби	называют взаимно обратными ?
Дробь называют обратной для	дроби	.
Как записывают число 0 в виде	дроби	? .
Как вычитают смешанные	дроби	? .
Можно считать , что произведение натурального числа n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно	дроби	.
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель	дроби	умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
В этом случае сокращение	дроби	выполняют постепенно .
Так как любое натуральное число n можно представить в виде	дроби	, то справедливо равенство .
Придумайте две	дроби	, разность которых равна .
Запишите обыкновенную дробь в виде смешанной	дроби	.
Сократите	дроби	по образцу .
Запишите числитель и знаменатель	дроби	в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Сложите	дроби	, полученную дробь сократите .
Приведём	дроби	к общему знаменателю .
Докажем распределительный закон , считая , что	дроби	в скобках уже приведены к общему знаменателю .
Запишите сумму в виде смешанной	дроби	.
Для упрощения вычислений нужно стараться приводить	дроби	к наименьшему общему знаменателю , а получаемые результаты приводить к несократимому виду .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной	дроби	.
Разделите с остатком числитель	дроби	на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби .
Разделите с остатком числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной	дроби	.
Определите числитель	дроби	в равенстве .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой	дроби	прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Например , сложим по формуле	дроби	.
Например ,	дроби	несократимые дроби , так как числа 1 и 2 , 3 и 4 , 5 и 7 не имеют общих простых делителей , т .
Найдите целое число , равное	дроби	.
Чтобы сложить две	дроби	с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
а ) Как складывают	дроби	с общим знаменателем ? .
Запишите неправильную дробь в виде смешанной	дроби	.
Упростите запись смешанной	дроби	.
Найдите все несократимые	дроби	со знаменателем 60 , большие , но меньшие .
Выделите целую часть	дроби	.
Запишите смешанную дробь в виде неправильной	дроби	.
б ) Как записать смешанную дробь в виде неправильной	дроби	? .
в ) Как сравнивают смешанные	дроби	? .
Запишите числа 3 , 5 , 7 в виде	дроби	со знаменателем .
Как складывают	дроби	с разными знаменателями ? .
Найдите все несократимые	дроби	с числителем 60 , бóльшие но меньшие .
Если	дробная	часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то в целой части уменьшаемого « занимают » единицу .
Если делая и	дробная	части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному , а	дробная	часть — остатку , делённому на знаменатель .
Если целые части смешанных дробей равны , то больше та дробь , у которой	дробная	часть больше .
Например , смешанная дробь , у которой целая часть ,	дробная	часть .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и	дробной	частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь —	дробной	частью смешанной дроби .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель	дробной	части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Что называют . а ) целой частью смешанной дроби . б )	дробной	частью смешанной дроби ? .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель	дробной	части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Если дробная часть уменьшаемого меньше	дробной	части вычитаемого , то в целой части уменьшаемого « занимают » единицу .
Для этого надо сложить её целую и	дробную	части по правилу сложения дробей .
Эти вычисления обычно записывают короче , умножая устно целую и	дробную	части смешанной дроби на 2 .
Здесь отдельно разделили целую и	дробную	части смешанной дроби на 3 ( т .
Приведите пример смешанной дроби , укажите её целую и	дробную	части .
Заметим , что любое натуральное число имеет	дробную	часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Если целые или	дробные	части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными , то вычитание выполняют так же , как и выше .
Если	дробные	части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить вычитание .
Если	дробные	части слагаемых имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить сложение .
Чтобы сложить смешанные дроби , надо сложить отдельно их целые и их	дробные	части и полученные результаты сложить .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и	дробных	частей выполняют отдельно и результаты складывают .
Формула верна и при	дробных	а , b и с. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами а дм , b дм и с дм .
При сложении	дробных	частей двух смешанных дробей может получиться неправильная дробь .
Формула верна и при	дробных	а и b.
Чему равна	дробь	, числитель которой равен знаменателю ? .
Найдите	дробь	с числителем 7 , равную дроби .
Определите , сократима ли	дробь	.
Чтобы разделить	дробь	на натуральное число , можно её знаменатель умножить на это число .
Какую	дробь	называют несократимой ?
Найдите несократимую	дробь	, равную дроби .
Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби , затем сократите	дробь	.
Например ,	дробь	— записывали так .
Отличие заключается в том , что черту дроби не пишут и	дробь	не сокращают .
Поэтому , например ,	дробь	выражали как сумму двух дробей .
а ) Как разделить одну	дробь	на другую ? .
Ту же	дробь	записывали так , что соответствовало сумме или .
б ) Как разделить	дробь	на натуральное число ? .
Сократите	дробь	.
г ) Можно ли найти	дробь	, знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
Можно ли найти	дробь	, числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
Отметим , что число 0 , делённое на любую отличную от нуля	дробь	, даёт 0 .
а ) Найдите	дробь	со знаменателем 18 , равную дроби .
а ) нуль на	дробь	, отличную от нуля .
Для дроби 2/3 запишите равную ей	дробь	со знаменателем .
Частным двух дробей называют	дробь	, которая при умножении на делитель даёт делимое .
Сумма дробей с общим знаменателем есть	дробь	, числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью	дробь	и т .
Сложите дроби , полученную	дробь	сократите .
Запишите	дробь	в виде суммы двух дробей .
Подберите	дробь	, которая в сумме с данной дробью даёт .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную	дробь	получится число , меньшее этого натурального числа ?
Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную	дробь	получиться число , большее 1 ?
Разностью двух дробей называют	дробь	, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое .
б ) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную	дробь	получиться число , меньшее 1 ?
Разность двух дробей с общим знаменателем есть	дробь	с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
а ) Число 2 умножили на некоторую правильную	дробь	.
Например , вычтем из дроби	дробь	.
Смешанная	дробь	.
Произведение двух дробей есть	дробь	, числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную	дробь	по образцу .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на	дробь	, можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Можно считать , что произведение натурального числа n на	дробь	— есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую	дробь	умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью	дробь	и т .
Назовите	дробь	, обратную дроби .
Чтобы из первой дроби получить 1 , надо добавить , а чтобы из второй дроби получить 1 , надо добавить меньше : Следовательно , вторая	дробь	больше .
Докажите , что из двух дробей с равными числителями больше та	дробь	, у которой знаменатель меньше .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную	дробь	с неправильной .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную	дробь	с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Итак , для любых натуральных чисел р и q всегда есть их частное :	дробь	.
Приведите	дробь	к знаменателю 10 , или 100 , или 1000 .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на	дробь	, обратную делителю .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на	дробь	, можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
	Дробь	больше дроби .
Из двух дробей с общим знаменателем больше та	дробь	, у которой числитель больше , т .
Обратите смешанную	дробь	в обыкновенную дробь .
Если первая	дробь	меньше второй , а вторая дробь меньше третьей , то первая дробь меньше третьей .
Обратите смешанную дробь в обыкновенную	дробь	.
Если первая дробь меньше второй , а вторая	дробь	меньше третьей , то первая дробь меньше третьей .
Так как НОК(4 , 8) = 8 , то к знаменателю 8 надо привести только первую	дробь	.
Если первая дробь меньше второй , а вторая дробь меньше третьей , то первая	дробь	меньше третьей .
Так как первая	дробь	меньше второй , а так как вторая дробь меньше третьей .
Так как первая дробь меньше второй , а так как вторая	дробь	меньше третьей .
Из полученных неравенств для натуральных чисел следует , что первая	дробь	меньше третьей .
Заметим , что	дробь	, обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Правильная	дробь	меньше 1 , а неправильная дробь больше или равна 1 .
Правильная дробь меньше 1 , а неправильная	дробь	больше или равна 1 .
Отсюда следует , что любая правильная	дробь	меньше неправильной .
а ) Какую	дробь	называют правильной ? .
б ) Какую	дробь	называют неправильной ? .
Сравните : а ) правильную	дробь	с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить	дробь	на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Заметим , что	дробь	, обратная делителю .
Если q — натуральное число , то	дробь	— ( читается « одна кутая » ) означает одну кутую часть единицы .
б )	дробь	на нуль .
Говорят , что можно сократить дробь на n и получить равную ей	дробь	.
Говорят , что можно сократить	дробь	на n и получить равную ей дробь .
Левая часть равенства ( 2 ) есть	дробь	, числитель и знаменатель которой имеют общий множитель n.
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на	дробь	, обратную делителю .
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей	дробь	.
Для упрощения речи вместо слов « рациональное число p / q » говорят «	дробь	p / q » .
Если p и q натуральные числа , то	дробь	— ( читается « пэ кутых » ) означает пэ кутых части единицы .
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то	дробь	равна частному от деления числителя на знаменатель .
Любую неправильную	дробь	, числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную	дробь	— дробной частью смешанной дроби .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную	дробь	возводят в степень .
Смешанную	дробь	читают так : « три целых и одна вторая » .
Чтобы записать неправильную	дробь	( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Каждую смешанную	дробь	можно записать в виде неправильной дроби .
Чтобы записать смешанную	дробь	в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Если целые части смешанных дробей равны , то больше та	дробь	, у которой дробная часть больше .
Если целые части смешанных дробей не равны , то больше та	дробь	, у которой целая часть больше .
Перед возведением в степень смешанную	дробь	записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень .
Как умножить натуральное число на	дробь	?
Запишите обыкновенную	дробь	в виде смешанной дроби .
При сложении дробных частей двух смешанных дробей может получиться неправильная	дробь	.
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная	дробь	имеет целую часть , равную нулю .
Ha координатном луче можно изобразить любую	дробь	.
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , то	дробь	можно сократить на этот множитель , т .
Точку , изображающую на координатном луче	дробь	, называют точкой с координатой или , коротко , точкой .
Запишите неправильную	дробь	в виде смешанной дроби .
Запишите смешанную	дробь	в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Является ли данная	дробь	целым числом .
Запишите	дробь	в виде целого числа .
б ) Как записать смешанную	дробь	в виде неправильной дроби ? .
а ) Как записать неправильную	дробь	в виде смешанной дроби ? .
Запишите смешанную	дробь	в виде неправильной дроби .
Получится равная ей	дробь	.
Например , смешанная	дробь	, у которой целая часть , дробная часть .
Например , сократим	дробь	.
Для каждой дроби существует единственная равная ей несократимая	дробь	.
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную	дробь	на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя .
Назовите делимое и делитель ,	дробь	, обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Чтобы получить несократимую	дробь	, надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то	дробь	равна частному от деления числителя на знаменатель .
Если часть искомого целого выражена	дробью	, то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Какой	дробью	можно записать часть яблока , полученную каждой девочкой ? .
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной	дробью	; неправильной дробью ?
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью ; неправильной	дробью	?
Подберите дробь , которая в сумме с данной	дробью	даёт .
В том случае , когда одно из двух чисел является натуральным числом или правильной	дробью	, вычисления выполняются аналогично .
Что называют смешанной	дробью	?
Если часть целого выражена	дробью	, то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Он обозначается	дробью	, так как нижняя цифра обозначает длительность доли , а верхняя цифра — количество долей в такте ( две доли ) .
Какой	дробью	можно выразить взятую часть кубиков , если взять : а ) 2 кубика ; б ) 4 кубика ; в ) 8 кубиков ? .
Иногда целое число изображали	дробью	со знаменателем 1 .
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной	дробью	.
Целую часть писали над	дробью	.
Записи 1/2 , 1/3 , 1/4 , 2/3 , 3/4 называют обыкновенными дробями или , короче ,	дробями	.
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными	дробями	— записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Дроби называют взаимно обратными	дробями	( числами ) .
Замените следующие дроби равными им	дробями	со знаменателем 12 .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными	дробями	, то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными	дробями	, то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными	дробями	, не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Отметим , что многие задачи на совместную работу можно решить этим старинным способом , не пользуясь	дробями	.
Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными	дробями	можно по этому же правилу .
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными	дробями	.
неправильными	дробями	.
а ) правильными	дробями	. б )
Могут ли два взаимно обратных числа одновременно являться смешанными	дробями	? .
Записи 1/2 , 1/3 , 1/4 , 2/3 , 3/4 называют обыкновенными	дробями	или , короче , дробями .
Обычно рассматривается одна из	дуг	окружности , определяемая по смыслу задачи .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные	дуге	АВ .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте	дуги	, равные дуге АВ .
Убедитесь , что конец шестой	дуги	, считая от точки A , совпадает с точкой А .
Обычно рассматривают один из этих углов — его определяют по смыслу задачи и отмечают	дугой	или штриховкой .
Например , в записи числа 777 первая справа цифра 7 означает семь	единиц	, вторая — семь десятков , третья — семь сотен .
Десять	единиц	называют десятком , десять десятков — сотней , десять сотен — тысячей и т .
Затем перемножали попарно цифры множителей и результат записывали в соответствующую клетку таблицы так : цифру	единиц	писали вверху клетки , цифру десятков — внизу .
д. Каждые 10	единиц	любого ( шарада составляют одну единицу следующего ( более высокого ) разряда .
Делим на 7 число	единиц	9 .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9	единиц	, число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8 единиц .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8	единиц	.
Например , запись означает , что это число содержит а тысяч , 5 сотен , b десятков и 7	единиц	.
Запишите число , состоящее из . а ) 1 тысячи , 2 сотен , 3 десятков и 5	единиц	.
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше	единиц	предыдущего разряда .
Например , чтобы прочитать число 148951784296 , выделим в нём классы : 148 951 784 296 и прочитаем число	единиц	каждого класса слева направо .
Класс	единиц	.
В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов	единиц	, десятков , сотен , тысяч , десятков тысяч , сотен тысяч и т .
Первый класс справа называют классом	единиц	, второй классом тысяч , третий — классом миллионов , четвёртый — классом миллиардов и т .
« цифру »	единиц	ставили до « цифры » десятков .
288	единиц	, на 36 .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13	единиц	второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять	единиц	этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
С помощью сложения и вычитания решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного на несколько	единиц	, ответить на вопросы « на сколько больше ? » , « на сколько меньше ? » , « сколько всего ? » , « сколько осталось ? » и т .
Обычно сложение и вычитание выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда	единиц	.
б ) 5 десятков тысяч , 9 тысяч , 7 сотен и 4	единиц	.
Вместо слов «	единица	измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная	единица	» , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
д . —	единица	.
Для измерения больших расстояний введена	единица	длины километр , равная 1000 метрам .
Сутки — основная	единица	времени .
Принято считать , что	единица	не является пи простым , пи составным числом .
Основная	единица	массы — грамм .
Это вычисление записывают , отмечая точкой разряд , в котором « занята »	единица	.
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная	единица	площади содержится в этой части плоскости .
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на h единичных кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим	единицам	.
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным	единицам	.
Решая геометрические задачи , вы будете встречать знакомые предметы окружающего вас мира , познакомитесь с различными	единицами	измерения величин , с формулами , знание которых поможет вам не только успешно учиться , но и решать практические задачи .
Величина есть результат измерения , она определяется числом , выраженным в некоторых	единицах	.
Выразите этот объём в принятых в России	единицах	.
При этом предполагается , что стороны прямоугольника измерены в одинаковых линейных	единицах	.
Одна и та же величина в разных	единицах	выражается разными числами .
При этом предполагается , что рёбра прямоугольного параллелепипеда измерены в одинаковых линейных	единицах	.
Следы этой системы сохранились сейчас в	единицах	измерения времени : 1 ч — 60 мин , 1 мин — 60 с .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной	единице	, называют единичным квадратом .
Куб , ребро которого равно лилейной	единице	, называют единичным кубом .
Говорят , что площадь единичного квадрата равна одной квадратной	единице	( 1 м2 , 1 дм2 ) .
Поэтому обычно в таких задачах всю работу принято считать равной	единице	, объём выполненной работы выражают как часть этой единицы .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной	единицей	и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной	единицей	и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют	единицей	следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной	единицей	и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
В науке основной	единицей	измерения времени считается секунда .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной	единицей	и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
В России и в большинстве стран мира за основную	единицу	длины принят метр ( см. « Исторические сведения » ) .
Часто употребляют ещё одну	единицу	массы — центнер .
Для этого задают луч , выходящий из точки О в направлении , отмеченном стрелкой , и отрезок , длину которого принимают за	единицу	.
Объём единичного куба принимают за	единицу	измерения объёмов .
Где используют эту	единицу	? .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту	единицу	к цифре следующего разряда .
Примем всё расстояние между пристанями А и B за	единицу	, тогда за 1 ч плот проплывает по реке 2 этого расстояния , а теплоход за 1 ч проплывает по озеру 4 такого же расстояния .
Каждое простое число имеет только два делителя	единицу	и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
Рассмотрим задачи на движение по реке , при решении которых удобно весь путь принимать за	единицу	, а скорость катера по течению реки , против течения и скорость течения реки выражать как часть пути , пройденного за единицу времени .
Как называют основную	единицу	длины ? .
На нём имеются две отметки , расстояние между которыми принято за основную	единицу	измерения — метр .
Там же хранится изготовленная из специального сплава гиря , вес которой принят за основную	единицу	веса — килограмм .
Примем всё расстояние за	единицу	.
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то в целой части уменьшаемого « занимают »	единицу	.
Парижская академия наук предложила в качестве единой меры длины новую	единицу	измерения метр , равную одной десятимиллионной доле четверти парижского меридиана .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на	единицу	.
Рассмотрим задачи на движение по реке , при решении которых удобно весь путь принимать за единицу , а скорость катера по течению реки , против течения и скорость течения реки выражать как часть пути , пройденного за	единицу	времени .
Так как 1 а — 100 м2 , то эту	единицу	измерения площади часто называют соткой .
Для измерения площадей небольших земельных участков оказалось удобным ввести	единицу	измерения — 1 ар ( обозначают 1 а ) .
Говорят , что тело движется равномерно , если оно за каждую	единицу	времени проходит одно и то же расстояние .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41	единицу	первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Примем всю работу за	единицу	, тогда за 1 ч первая бригада выполняет , а вторая всей работы .
Примем расстояние между сёлами за	единицу	. ( расстояния ) проходит пешеход за 1 мин . ( расстояния ) — проезжает велосипедист за 1 мин . ( расстояния ) — такую часть расстояния они проходят за 1 мин при движении навстречу друг другу .
Примем объём бочки за	единицу	и выразим время « работы » каждого пирата в днях : пират Ерёма выпьет бочку рома за 35 дней , а пират Емеля выпьет эту бочку рома за 14 дней .
Если при вычитании в каком - либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого , то нужно « занять » одну	единицу	в следующем ( справа налево ) разряде уменьшаемого .
Как называют отрезок , длина которого принята за	единицу	измерения ? .
Отрезок , длина которого принята за	единицу	измерения , называют единичным отрезком .
д. Каждые 10 единиц любого ( шарада составляют одну	единицу	следующего ( более высокого ) разряда .
Примем объём кади за	единицу	. ( кади ) — выпивает муж за 1 день .
Для измерения площадей более крупных земельных участков ввели	единицу	измерения — 1 гектар ( обозначают 1 га ) .
Говорят : из 2 вычесть 9 нельзя , занимаем 1 десяток , из 12 вычтем 9 — получим 3 (	единицы	) , пишем 3 , из 6 вычтем 0 — получим 6 ( десятков ) , пишем 6 .
Каждое простое число имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме	единицы	и себя , имеет и другие делители .
Остаётся разделить остаток от деления десятков ( 28 ) и	единицы	( 8) , т .
Дроби с числителем , отличным от	единицы	( кроме дроби 2/3 , появились значительно позже .
Для обозначения	единицы	использовали знак , десяти и т .
Чему равно произведение : а )	единицы	на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Какие	единицы	массы вы знаете ? .
Простым числом называют такое натуральное число , которое больше	единицы	и делится только на 1 и само на себя .
а ) Во сколько раз увеличиваются	единицы	площади , записанные во второй строке таблицы , при переходе слева направо на одну клетку ? .
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел , составных чисел и	единицы	.
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём	единицы	каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
б ) Какие	единицы	измерения времени вы знаете ? .
В каких странах используются эти	единицы	измерения ? .
Кроме того , используют такие	единицы	измерения времени , как год , месяц , неделя — эти названия вам знакомы , а также квартал и декада .
В каждом классе цифры справа налево обозначают	единицы	, десятки и сотни этого класса .
	Единицы	: 4 . десятки : 13 ( 3 пишем , 1 запоминаем ) .
г ) Какие	единицы	измерения площади вы знаете ? .
б ) Во сколько раз уменьшаются	единицы	объёма при переходе справа налево на одну клетку ? .
Непростые натуральные числа , большие	единицы	, называют составными .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2	единицы	третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
б ) Во сколько раз уменьшаются	единицы	площади , записанные во второй строке таблицы , при переходе справа налево на одну клетку ? .
Выразим одни	единицы	объёма через другие .
а ) Во сколько раз увеличиваются	единицы	объёма ? .
Если q — натуральное число , то дробь — ( читается « одна кутая » ) означает одну кутую часть	единицы	.
Во сколько раз уменьшаются	единицы	длины при переходе справа налево на одну клетку ? .
Если p и q натуральные числа , то дробь — ( читается « пэ кутых » ) означает пэ кутых части	единицы	.
Какие	единицы	длины используют для измерения больших расстояний ? .
Таким образом , шестидесятые доли таланта , мины ( любой	единицы	) записывали с помощью натуральных чисел .
В таких случаях говорят , что были использованы различные	единицы	измерения длины .
Какие	единицы	длины используют для измерения небольших отрезков ? .
Это позволяло долго вести расчёты с долями	единицы	как с натуральными числами .
Дробь означает две третьих части	единицы	.
При этом говорят так : к 5 прибавим 9 — получим 14 , пишем 4 (	единицы	) и 1 ( десяток ) запоминаем , к 4 прибавим 3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 ( десятков ) , пишем 8 .
Дробь — означает одну третью часть	единицы	.
Дробь означает половину , или одну вторую часть	единицы	( миллиметра , килограмма , часа и т . п. ) .
В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами дроби , а их « дополнения » до	единицы	.
Для обозначения величины пишут число , а рядом — название	единицы	.
Поэтому обычно в таких задачах всю работу принято считать равной единице , объём выполненной работы выражают как часть этой	единицы	.
Таким же образом можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем , большим	единицы	.
г ) Какие	единицы	измерения объёмов вы знаете ?
а ) Во сколько раз увеличиваются	единицы	длины при переходе слева направо на одну клетку ? .
Метрические	единицы	длины .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого	единичного	отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Для этого надо часть	единичного	отрезка отложить р раз на координатном луче от точки О .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго	единичного	отрезка — число 2 и т .
Возьмём , например , отрезок длиной 1 см в качестве	единичного	.
Объём	единичного	куба принимают за единицу измерения объёмов .
Говорят , что площадь	единичного	квадрата равна одной квадратной единице ( 1 м2 , 1 дм2 ) .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого	единичного отрезка	число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго	единичного отрезка	— число 2 и т .
Для этого надо часть	единичного отрезка	отложить р раз на координатном луче от точки О .
На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков	единичной	длины .
Выберите удобный	единичный	отрезок и отметьте на координатном луче точки .
Изобразите на координатном луче ( возьмите	единичный	отрезок длиной 6 см ) точки О .
	Единичный	.
Изобразите на координатном луче ( возьмите	единичный отрезок	длиной 6 см ) точки О .
Выберите удобный	единичный отрезок	и отметьте на координатном луче точки .
Постройте координатный луч с	единичным	отрезком 1 см ( 2 клетки тетради ) .
а ) Какой куб называют	единичным	? .
Какой отрезок называют	единичным	? .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют	единичным	квадратом .
Этот отрезок называют	единичным	отрезком .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n	единичным	отрезкам .
а ) Какой квадрат называют	единичным	? .
Отрезок , длина которого принята за единицу измерения , называют	единичным	отрезком .
Длина отрезка ОA равна 5	единичным	отрезкам .
Куб , ребро которого равно лилейной единице , называют	единичным	кубом .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n	единичным отрезкам	.
Длина отрезка ОA равна 5	единичным отрезкам	.
Этот отрезок называют	единичным отрезком	.
Постройте координатный луч с	единичным отрезком	1 см ( 2 клетки тетради ) .
Отрезок , длина которого принята за единицу измерения , называют	единичным отрезком	.
Если прямоугольник можно разрезать на k	единичных	квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным единицам .
Этот прямоугольный параллелепипед можно разрезать на 2 слоя , в каждом из которых по	единичных	куба .
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на h	единичных	кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
С помощью	единичных	квадратов измеряют площади прямоугольников .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5	единичных	отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3	единичных	отрезка влево .
Всего прямоугольный параллелепипед содержит 24	единичных	куба , т .
Определите , сколько	единичных	квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
на 15	единичных	квадратов со стороной 1 см. Следовательно , его площадь S равна .
Кузнечик прыгает на 5	единичных	отрезков в любом направлении на плоскости .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3	единичных отрезка	влево .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5	единичных отрезков	вправо и на 3 единичных отрезка влево .
Кузнечик прыгает на 5	единичных отрезков	в любом направлении на плоскости .
Например , ломаная ABCDEА	замкнутая	.
Многоугольник ,	замкнутая	ломаная линия , не являющаяся многоугольником .
Существует ли	замкнутая	ломаная , имеющая три звена , длины которых равны ? .
Если конец ломаной совпадает с её началом , то ломаную называют	замкнутой	.
Карандаш начертит на плоскости	замкнутую	линию — окружность .
Заметим , что многоугольником называют как	замкнутую	ломаную , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Какую цифру нужно поставить вместо	звездочки	, чтобы полученное число делилось на 9 .
Некто купил	зерна	2359 четвертей , за четверть платил по 65 коп .
Над одной или несколькими буквами ставили особый	знак	( титло ) , чтобы подчеркнуть , что полученная запись не буква , не слово , а число .
Черту в записи дроби можно рассматривать как	знак	деления числителя на знаменатель .
— Это не восклицательный	знак	.
Вася увидел в тетради старшего брата странную , как ему показалось , запись . — Что это за восклицательный	знак	? — спросил он .
Принято считать , что в записях вида дроби также означает	знак	деления .
В записях , в которых черта дроби используется несколько раз ,	знак	ставится у черты дроби , означающей последнее по порядку действие деления .
Для обозначения единицы использовали	знак	, десяти и т .
Поставьте	знак	сравнения между числами .
Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью	знака	.
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без	знака	« + » , и называют смешанной дробью .
Эти	знаки	называют цифрами .
Верно ли поставлены	знаки	сравнения .
Используя три цифры 5 ,	знаки	арифметических действий и скобки , составьте несколько выражений , имеющих различные значения .
Запись , в которой используются только числа ,	знаки	арифметических действий и скобки , называют числовым выражением .
Используя четыре цифры 3 ,	знаки	арифметических действий и скобки , составьте числовое выражение , равное .
Как называют эти	знаки	? .
Используя четыре цифры 8 ,	знаки	арифметических действий и скобки , составьте числовое выражение , равное .
Сколько	знаков	используют для записи натуральных чисел в десятичной системе .
Результат запишите с помощью	знаков	.
В настоящее время принята десятичная система записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти	знаков	: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью	знаков	.
Единицу они обозначали	знаком	, десяток , сотню .
Знак называют	знаком	приближённого равенства и читают « приближённо равно » .
Градус обозначают	знаком	« ° » .
Так как произведение	знаменателей	.
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению	знаменателей	этих дробей .
Приведите дроби к общему знаменателю , равному произведению	знаменателей	дробей .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без	знаменателей	и их было удобно складывать и вычитать .
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю , которым может быть произведение их	знаменателей	.
Разность двух дробей с общим	знаменателем	есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
а ) Как складывают дроби с общим	знаменателем	? .
Сумма дробей с общим	знаменателем	есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим	знаменателем	.
б ) Какое натуральное число а можно взять , чтобы значение данного выражения было дробью со	знаменателем	13 ?
Найдите все дроби со	знаменателем	13 , которые больше , но меньше .
Найдите все дроби со	знаменателем	10 , которые больше , но меньше .
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же	знаменателем	, числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
а ) Как сравнивают дроби с общим	знаменателем	? .
Запишите натуральные числа 1 , 2 , 5 в виде дроби со	знаменателем	.
а ) Найдите дробь со	знаменателем	18 , равную дроби .
Найдите все несократимые дроби со	знаменателем	60 , большие , но меньшие .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим	знаменателем	.
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями , их нужно привести к общему знаменателю , а затем применить правило сравнения дробей с общим	знаменателем	.
а ) Как вычитают дроби с общим	знаменателем	? .
Иногда целое число изображали дробью со	знаменателем	1 .
Однако общим	знаменателем	этих дробей может быть любое из чисел , делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Запишите числа 3 , 5 , 7 в виде дроби со	знаменателем	.
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют	знаменателем	дроби .
Дробь с числителем р и	знаменателем	1 есть другая форма записи натурального числа р .
со	знаменателем	17 ?
Из двух дробей с общим	знаменателем	больше та дробь , у которой числитель больше , т .
Назовите три дроби : а ) с числителем 3 ; б ) со	знаменателем	10 .
Для дроби 2/3 запишите равную ей дробь со	знаменателем	.
Замените следующие дроби равными им дробями со	знаменателем	12 .
Если дробные части слагаемых имеют разные	знаменатели	, то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить сложение .
Если	знаменатели	двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
В формуле и далее числители и	знаменатели	дробей — натуральные числа .
Если	знаменатели	двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в первом примере , то сложение по формуле приводит к лишним вычислениям .
Дроби имеют одинаковые	знаменатели	.
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные	знаменатели	, то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить вычитание .
Прочитайте их , назовите числители и	знаменатели	.
Дроби имеют разные	знаменатели	, но их можно привести к общему знаменателю .
Так как НОК ( 36 , 54 ) — 108 , то наименьший общий	знаменатель	равен 108 , поэтому .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби ,	знаменатель	дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а	знаменатель	— произведению знаменателей этих дробей .
Докажите , что из двух дробей с равными числителями больше та дробь , у которой	знаменатель	меньше .
При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному , а дробная часть — остатку , делённому на	знаменатель	.
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на	знаменатель	с остатком .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на	знаменатель	) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на	знаменатель	, можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на	знаменатель	.
Напомним , что если числитель дроби делится на	знаменатель	( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Наименьший общий	знаменатель	этих дробей равен 56 .
Чтобы разделить дробь на натуральное число , можно её	знаменатель	умножить на это число .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а	знаменатель	— делителю .
Разделите с остатком числитель дроби на	знаменатель	и запишите результат в виде смешанной дроби .
Запишите числитель и	знаменатель	дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а	знаменатель	оставить тот же .
Умножим числитель и	знаменатель	дроби на дополнительный множитель 8 .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а	знаменатель	равен знаменателю данных дробей .
Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления числителя на	знаменатель	.
Для этого умножим числитель и	знаменатель	дроби на дополнительный множитель 3 .
Примем 24 за общий	знаменатель	дробей .
Если числитель и	знаменатель	дроби имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Общий	знаменатель	.
Запишите две дроби , у которых : а ) числитель на 2 больше знаменателя ; б )	знаменатель	на 4 больше числителя .
Если числитель и	знаменатель	дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Левая часть равенства ( 2 ) есть дробь , числитель и	знаменатель	которой имеют общий множитель n.
разделить на него и числитель , и	знаменатель	.
Дробь называют несократимой , если её числитель и	знаменатель	не имеют общих простых делителей .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на	знаменатель	, то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на	знаменатель	.
В самом деле , если числитель дроби р делится на	знаменатель	q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное число , а	знаменатель	121 , равную дроби ? .
г ) Можно ли найти дробь ,	знаменатель	которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на	знаменатель	дроби и результат умножить на её числитель .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на	знаменатель	дроби и результат умножить на её числитель .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а	знаменатель	оставляют тот же .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её	знаменатель	.
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на её	знаменатель	.
Говорят , что они имеют общий	знаменатель	25 .
Если дробные части слагаемых имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему	знаменателю	, а потом выполнить сложение .
Любые две дроби можно привести к общему	знаменателю	, которым может быть произведение их знаменателей .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен	знаменателю	данных дробей .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему	знаменателю	, а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
Приведём дроби к	знаменателю	24 .
Для упрощения вычислений нужно стараться приводить дроби к наименьшему общему	знаменателю	, а получаемые результаты приводить к несократимому виду .
а ) Любые ли две дроби можно привести к общему	знаменателю	? .
Так как НОК(4 , 8) = 8 , то к	знаменателю	8 надо привести только первую дробь .
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему	знаменателю	, а потом выполнить вычитание .
Приведём дроби к общему	знаменателю	.
Докажем распределительный закон , считая , что дроби в скобках уже приведены к общему	знаменателю	.
Дроби приведены к общему	знаменателю	.
Чему равна дробь , числитель которой равен	знаменателю	? .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему	знаменателю	, а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
Приведение дробей к общему	знаменателю	.
Дроби имеют разные знаменатели , но их можно привести к общему	знаменателю	.
Но для упрощения вычислений нужно стараться привести дроби к наименьшему общему	знаменателю	.
б ) К какому общему	знаменателю	лучше всего приводить две дроби ? .
Дроби приведите к	знаменателю	24 .
Дроби приведите к	знаменателю	36 .
Приведите дроби к общему	знаменателю	, равному произведению знаменателей дробей .
Приведём дроби к наименьшему общему	знаменателю	.
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями , их нужно привести к общему	знаменателю	, а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем .
Приведите дроби к наименьшему общему	знаменателю	.
Приведите дроби к общему	знаменателю	.
Приведите дробь к	знаменателю	10 , или 100 , или 1000 .
Дробь называется неправильной , если её числитель больше	знаменателя	или равен ему .
Запишите две дроби , у которых : а ) числитель на 2 больше	знаменателя	; б ) знаменатель на 4 больше числителя .
Дробь называется правильной , если её числитель меньше	знаменателя	.
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и	знаменателя	.
Часто наибольший общий делитель числителя и	знаменателя	сразу указать трудно .
Укажите все общие делители и НОД числителя и	знаменателя	дроби , затем сократите дробь .
При этом одна и та же цифра имеет различное	значение	в зависимости от того места ( позиции ) , где она расположена в записи числа .
б ) Какое натуральное число а можно взять , чтобы	значение	данного выражения было дробью со знаменателем 13 ?
а ) Каким числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти	значение	этого выражения ? .
а ) Каким натуральным числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти	значение	этого выражения ? .
Например , найдём	значение	числового выражения .
Что можно узнать , вычислив	значение	числового выражения .
б ) Какое число а можно взять , чтобы	значение	данного выражения было равно нулю ? .
8 В те далёкие времена , когда счёт не был хорошо развит , слово « семь » использовалось также в	значении	« много » , что отражено в поговорках и загадках , например : семеро одного не ждут ; семь одёжек и все без застёжек .
При вычислении	значений	числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
д. Одна и та же цифра имеет различные	значения	в зависимости от места ( позиции ) , где она записана .
Используя три цифры 5 , знаки арифметических действий и скобки , составьте несколько выражений , имеющих различные	значения	.
При измерении площадей чаще всего используют приближённые	значения	величин .
Однако известно , при этом величины 5 см и 6 см отличаются от AB не более чем на 1 см. Их называют приближениями или приближёнными	значениями	длины AB с точностью до 1 см .
б ) На XXII Олимпийских	играх	в Москве ( 1980 г. ) спортсмены СССР получили 195 медалей , из них 126 золотых и бронзовых .
Постройте третью окружность , центр которой лежит на отрезке AB и которая	касается	двух первых окружностей внутренним образом .
Окружность с центром О ,	касательная	АВ и радиус окружности ОС .
Покажите , как должны располагаться две окружности , чтобы они имели а общих	касательных	?
Построенные окружности имеют только одну общую точку В. Говорят , что они	касаются	внутренним образом .
Построенные окружности имеют только одну общую точку С. Говорят , что они	касаются	внешним образом .
Постройте две окружности с центрами A и B радиусами 3 см и 5 см ,	касающиеся	внешним образом .
Постройте две окружности радиусами 3 см и 4 см ,	касающиеся	: а ) внешним образом ; б ) внутренним образом .
а ) Какой	квадрат	называют единичным ? .
Первый магический	квадрат	был составлен в Китае в V – IV веке до н .
Фигуры домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх квадратов так , чтобы любой	квадрат	имел общую сторону хотя бы с одним квадратом .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е )	квадрат	разности чисел .
Разрежьте полученную фигуру на две части так , чтобы из них можно было сложить	квадрат	.
Говорят , что	квадрат	со стороной 1 м имеет площадь один квадратный метр ( 1 м2 ) .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , «	квадрат	числа » , « куб числа » .
Прямоугольник 4 x 9 разрежьте на две части так , чтобы из них можно было сложить	квадрат	.
Примером правильного многоугольника является	квадрат	.
в ) сумму квадратов чисел . г )	квадрат	суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
	Квадрат	со стороной 1 см имеет площадь один квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Цифры около фигуры домино соответствуют номеру фигуры тримино , которая получится , если на место цифры приложить третий	квадрат	.
Постройте в тетради	квадрат	со стороной : а ) 4 см ; б ) 34 мм .
Фигуры пентамино можно получить из фигур тетрамино , приставляя к ним различными способами ещё один	квадрат	.
Фигуры гексамино можно получить из фигур пентамино , приставляя к ним различными способами ещё один	квадрат	.
	Квадрат	со стороной 1 мм имеет площадь один квадратный миллиметр ( 1 мм2 ) .
Учтите , что	квадрат	является прямоугольником .
Если	квадрат	со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
	Квадрат	со стороной 1 км имеет площадь один квадратный километр ( 1 км2 ) .
Перечертите в тетрадь	квадрат	4 x 4 клетки .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а	квадрат	, сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Другой магический	квадрат	был составлен в Индии в I веке н .
Изображён	квадрат	MNKL .
Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино , приставляя к ней различными способами ещё один	квадрат	.
б ) Является ли любой	квадрат	прямоугольником ?
	Квадрат	со стороной 1 дм имеет площадь один квадратный дециметр ( 1 дм2 ) .
Из листа фанеры размером 11 см х 15 см выпилили два	квадрата	со стороной 5 см и три прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см. Определите площадь оставшейся части .
Так как у	квадрата	все стороны равны , площадь квадрата равна второй степени его стороны .
б ) Найдите сторону	квадрата	, площадь которого равна площади данного прямоугольника .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь	квадрата	, периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
Сторону	квадрата	увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр квадрата ? .
Сторону квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр	квадрата	? .
Как изменится периметр	квадрата	, если его сторону : а ) увеличить в 2 раза ; б ) уменьшить в 3 раза ? .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь	квадрата	со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Закрасьте : а ) 1/2	квадрата	; б ) 1/4 квадрата ; в ) 1/8 квадрата .
Закрасьте : а ) 1/2 квадрата ; б ) 1/4	квадрата	; в ) 1/8 квадрата .
Закрасьте : а ) 1/2 квадрата ; б ) 1/4 квадрата ; в ) 1/8	квадрата	.
в ) Чему равна площадь	квадрата	? .
Это площадь	квадрата	со стороной 100 м .
Это площадь	квадрата	со стороной 10 м .
Говорят , что площадь единичного	квадрата	равна одной квадратной единице ( 1 м2 , 1 дм2 ) .
Так как у квадрата все стороны равны , площадь	квадрата	равна второй степени его стороны .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону	квадрата	, имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
Сторона	квадрата	равна 13 см. Найдите его периметр .
Во сколько раз увеличится площадь	квадрата	, если его сторону увеличить : а ) в 2 раза ; б ) в 3 раза ; в ) в 10 раз ? .
Докажите , что сумма всех чисел любого магического	квадрата	3 x 3 делится на 3 .
Запишите число в виде	квадрата	натурального числа .
Найдите длину стороны	квадрата	.
Периметр	квадрата	равен : а ) 16 см ; б ) 14 см ; в ) 13 см ; г ) 17 см .
Вычислите периметр	квадрата	, сторона которого равна .
Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4	квадрата	— всего квадрата .
Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата — всего	квадрата	.
Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3	квадрата	— всего квадрата .
Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3 квадрата — всего	квадрата	.
Жёлтые квадраты расположены в четырёх рядах по 3	квадрата	в каждом , т .
Достроим прямоугольник до	квадрата	со стороной 1 дм .
Одну сторону	квадрата	разделим на 4 равные части ; три из них составляют длину прямоугольника .
Необходимо покрыть кафельной плиткой пол , имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму	квадрата	со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется , если в каждом ящике 50 плиток ?
Вычислите площадь и периметр	квадрата	со стороной .
Считать начинали с правого верхнего угла	квадрата	.
Другую сторону	квадрата	разделим на 3 равные части ; две из них составляют ширину прямоугольника .
Прямоугольник с основанием а 3 см и высотой b 5 см. Его можно разрезать на 5 слоёв по 3	квадрата	в каждом слое , т .
В	квадрате	3x3 расставьте числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 так , чтобы сумма чисел в каждой строке , в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова .
Запись 52 читают « пять в	квадрате	» .
Говорят , что площадь единичного квадрата равна одной	квадратной	единице ( 1 м2 , 1 дм2 ) .
квадрат со стороной 1 дм имеет площадь один	квадратный	дециметр ( 1 дм2 ) .
квадрат со стороной 1 см имеет площадь один	квадратный	сантиметр ( 1 см2 ) .
квадрат со стороной 1 км имеет площадь один	квадратный	километр ( 1 км2 ) .
Говорят , что квадрат со стороной 1 м имеет площадь один	квадратный	метр ( 1 м2 ) .
квадрат со стороной 1 мм имеет площадь один	квадратный	миллиметр ( 1 мм2 ) .
Используя степень числа 10 ,	квадратный	километр можно записать так .
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k	квадратным	единицам .
Определите площадь каждого участка в	квадратных	метрах .
Выразите его площадь в	квадратных	метрах ; в арах ; в гектарах .
Выразите в	квадратных	дециметрах .
После этого складывали полученные результаты вдоль диагоналей	квадратов	.
жёлтых	квадратов	.
Фигуры домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх	квадратов	так , чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом .
В чём заключается магическое свойство этих	квадратов	? .
В каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 красных квадратов , а всего в каждом ряду	квадратов	.
В каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 красных	квадратов	, а всего в каждом ряду квадратов .
Подсчитаем двумя способами число	квадратов	.
Из двух одинаковых	квадратов	можно составить только одну фигуру домино .
на 15 единичных	квадратов	со стороной 1 см. Следовательно , его площадь S равна .
Так как число	квадратов	в обоих случаях одно и то же .
Красных	квадратов	, а всего квадратов .
В четырёх же рядах всего	квадратов	.
Сравните суммы чисел в строчках , столбцах и диагоналях	квадратов	.
Квадрат площадью 1 м2 разрезали на несколько равных	квадратов	площадью .
Сколько таких	квадратов	получилось ? .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность	квадратов	чисел . е ) квадрат разности чисел .
Переместительный закон умножения легко проверить при подсчёте двумя способами числа	квадратов	.
Переложите 2 спички так , чтобы получилось 5 равных	квадратов	.
в ) сумму	квадратов	чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Определите , сколько единичных	квадратов	содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Составьте таблицу	квадратов	чисел от 0 до 15 .
С помощью единичных	квадратов	измеряют площади прямоугольников .
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных	квадратов	, то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным единицам .
Одно и то же число	квадратов	подсчитано двумя способами .
Красных квадратов , а всего	квадратов	.
Вторую степень числа называют также	квадратом	числа .
Что называют : а )	квадратом	числа ; б ) кубом числа ? .
Фигуры домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх квадратов так , чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним	квадратом	.
Прямоугольник , у которого все стороны равны , называют	квадратом	.
а ) Какой прямоугольник называют	квадратом	? .
Является ли любой прямоугольник	квадратом	? .
Какой из четырёхугольников является : а ) прямоугольником ; б )	квадратом	? .
Поэтому часто вторую степень числа называют	квадратом	числа .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным	квадратом	.
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на	квадраты	со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Жёлтые	квадраты	расположены в четырёх рядах по 3 квадрата в каждом , т .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на	квадраты	со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
Но можно расположить все	квадраты	в 4 столбца по 3 квадрата — всего квадрата .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные	квадраты	в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные	квадраты	в ряд .
Все	квадраты	можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата — всего квадрата .
У всех пирамид 128	колец	.
а ) Для детского сада купили 20 пирамид : больших и маленьких — по 7 и по 5	колец	.
За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх	колец	на другой штырёк , если за один ход разрешается переносить только одно кольцо ; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее .
Решите задачу : а ) для четырёх колец ; б ) для пяти	колец	.
Решите задачу : а ) для четырёх	колец	; б ) для пяти колец .
Имеется 3 штырька , на один из которых насажены 3	кольца	.
За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк , если за один ход разрешается переносить только одно кольцо ; при этом нельзя большее	кольцо	класть на меньшее .
Саша из 10 бросков имел 6 попаданий в	кольцо	, а Коля из 8 бросков имел 5 попаданий .
За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк , если за один ход разрешается переносить только одно	кольцо	; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее .
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с	координатами	.
Назовите три точки , расположенные на координатном луче правее точек с указанными	координатами	, и три точки , расположенные левее их .
Обозначьте точки с	координатами	7 , 5 , 3 , 1 соответственно буквами А , В , С и D .
Например , отмечена точка А с	координатой	5 , пишут A(5 ) .
Эту точку называют точкой n или точкой с	координатой	n .
Точку , изображающую на координатном луче дробь , называют точкой с	координатой	или , коротко , точкой .
A говорят : « точка А с	координатой	.
Найдите	координату	точки В по координатам точки А и точки С — середины отрезка АВ .
Например , точка А имеет	координату	.
Найдите	координату	середины отрезка , соединяющего точки .
Говорят ещё , что точка О имеет	координату	О , и пишут О(0 ) .
Найдём длину отрезка , соединяющего точки а и b , и	координату	середины этого отрезка .
По рисунку определите	координату	точки А приближённо с точностью до 1 : а ) с недостатком ; б ) с избытком .
Таким образом , можно вычислить	координату	середины отрезка , соединяющего любые две рациональные точки .
В этом случае точка , имеющая бόльшую	координату	, расположена на координатном луче правее .
Середина этого отрезка имеет	координату	.
В самом деле , чтобы вычислить	координату	точки С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину длины отрезка АB .
Координаты точек А и В , найдите	координаты	точек С и D .
Даны точки А и В. Найдите	координаты	: точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Укажите	координаты	точек А , В , С , D и Е. Найдите расстояние от этих точек до нулевой точки .
Найдите	координаты	точек , делящих отрезок АВ на три равные части .
Если а делится на b , то говорят ещё , что а	кратно	b.
Например , число 48	кратно	числу 24 .
Чему равно наименьшее общее	кратное	чисел 10 и 15 ? .
Найдите наименьшее общее	кратное	этих чисел , не выполняя разложения чисел на простые множители .
Найдите наименьшее общее	кратное	этих чисел .
Объясните , почему наименьшее общее	кратное	двух чисел .
Чему равно наименьшее общее	кратное	взаимно простых чисел ? .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наименьшее общее	кратное	этих чисел равно большему из них .
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей , то их наименьшее общее	кратное	равно произведению этих чисел .
Наименьшее общее	кратное	двух чисел обычно находят одним из двух способов .
Чему равно наименьшее общее	кратное	чисел 100 ! и 50 ! ? .
Наименьшее общее	кратное	.
Общее	кратное	.
Числу 12	кратны	числа 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 и т .
д. Числу 18	кратны	числа 18 , 36 , 54 , 72 , 90 , 108 , 126 и т .
Из чисел выберите числа ,	кратные	.
Мы видим , что имеются числа ,	кратные	одновременно 12 и 18 .
Будем выписывать числа ,	кратные	24 ( большему из данных чисел ) , проверяя , делится ли каждое из них на 18 .
Найдите все числа вида ,	кратные	36 .
Оно простое — обведём его кружком , а все незачёркнутые числа ,	кратные	ему ( они стоят в третьем столбце ) , вычеркнем .
Число 2 простое — обведём его кружком , а все числа ,	кратные	ему ( они стоят во втором , четвёртом и шестом столбцах ) , вычеркнем .
Оно простое обведём его кружком , а все незачёркнутые числа ,	кратные	ему ( они расположены на параллельных прямых ) , вычеркнем .
Число , делящееся на 12 , называют	кратным	числу 12 .
Наименьшим общим	кратным	натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Например , 36 , 72 , 108 , — Эти числа называются общими	кратными	чисел 12 и 18 .
Напишите 5 чисел ,	кратных	числу .
Найдите несколько чисел , кратных 10 , и несколько чисел ,	кратных	15 .
Найдите несколько общих	кратных	чисел 10 и 15 .
Найдите несколько чисел ,	кратных	10 , и несколько чисел , кратных 15 .
а ) Почему после « просеивания » чисел ,	кратных	2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа ? .
После вычеркивания из таблицы чисел ,	кратных	7 ( они также расположены на параллельных прямых ) , в ней останутся только простые числа — они тоже обведены кружком .
На сколько частей могут разбить	круг	три различные хорды ? .
Окружность и	круг	.
На рисунке изображён	круг	с центром О и радиусом ОА .
Назовите какой - нибудь предмет , имеющий форму	круга	.
Изучая главу 2 , вам предстоит повторить всё , что знаете о геометрических фигурах и их измерении , а также узнать много нового и интересного об углах , треугольниках и четырёхугольниках , окружностях и	кругах	, о равных фигурах .
Они решили , что водить будет та из них , которая окажется 25-й при счёте по	кругу	.
з )	куб	суммы чисел .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) ,	куб	с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) ,	куб	с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) ,	куб	с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Является ли любой	куб	прямоугольным параллелепипедом ?
Вырежьте развёртку из бумаги , оставляя припуски для склеивания , и склейте	куб	.
В результате	куб	разделён на равные части , объём каждой из которых равен дм3 .
Говорят , что	куб	с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Окрашенный	куб	распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см. У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань ; только две грани ; три грани ? .
	Куб	разности чисел .
6 ) Если	куб	с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , «	куб	числа » .
Подсчитайте , сколько различных развёрток имеет	куб	.
Перерисуйте рисунок в тетрадь и обведите жирной линией видимые рёбра куба так , чтобы	куб	был виден : а ) сверху и справа ; б ) снизу и слева .
а ) Какой	куб	называют единичным ? .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) ,	куб	с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Одно ребро	куба	разделим на пять равных частей ; две из них составляют ширину параллелепипеда .
Другое ребро	куба	разделим на две равные части ; одна из них составляет длину параллелепипеда .
Во сколько раз увеличится объём	куба	при увеличении его ребра : а ) в 2 раза ; б ) в 3 раза ; в ) в 10 раз ? .
Для этого достроим прямоугольный параллелепипед до	куба	с ребром 1 дм .
Так как у	куба	все рёбра равны , т .
объём	куба	равен третьей степени длины его ребра .
а ) Ребро	куба	равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба , т .
Вычислите площадь всех граней и объём	куба	с ребром .
а ) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности	куба	, т .
Объём единичного	куба	принимают за единицу измерения объёмов .
Перерисуйте рисунок в тетрадь и обведите жирной линией видимые рёбра	куба	так , чтобы куб был виден : а ) сверху и справа ; б ) снизу и слева .
Постройте развёртку	куба	со стороной 2 см .
в ) Чему равен объём	куба	? .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности	куба	.
Постройте развёртку	куба	, ребро которого м .
На гранях	куба	написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи .
Вычислите объём	куба	с ребром .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося	куба	.
Всего прямоугольный параллелепипед содержит 24 единичных	куба	, т .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро	куба	равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
Составьте таблицу	кубов	чисел от 0 до 10 .
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на h единичных	кубов	, то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
и ) разность	кубов	чисел .
сумму	кубов	чисел .
Третью степень числа называют	кубом	числа .
Что называют : а ) квадратом числа ; б )	кубом	числа ? .
а ) Что называют	кубом	? .
б ) Является ли любой прямоугольный параллелепипед	кубом	?
Поэтому часто третью степень числа называют	кубом	числа .
Прямоугольный параллелепипед , у которого все рёбра равны , называют	кубом	.
Куб , ребро которого равно лилейной единице , называют единичным	кубом	.
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят «	линейная	единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна	линейной	единице , называют единичным квадратом .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной	линейной	единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной	линейной	единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной	линейной	единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной	линейной	единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2	линейным	единицам .
При этом предполагается , что стороны прямоугольника измерены в одинаковых	линейных	единицах .
При этом предполагается , что рёбра прямоугольного параллелепипеда измерены в одинаковых	линейных	единицах .
Существует ли замкнутая	ломаная	, имеющая три звена , длины которых равны ? .
Например ,	ломаная	ABCDEА замкнутая .
Многоугольник , замкнутая	ломаная	линия , не являющаяся многоугольником .
Длина	ломаной	.
Если никакие два из этих отрезков , имеющих общие точки , не лежат на одной прямой , то полученную линию называют	ломаной	линией или , коротко , ломаной и обозначают ABCDE .
Если никакие два из этих отрезков , имеющих общие точки , не лежат на одной прямой , то полученную линию называют ломаной линией или , коротко ,	ломаной	и обозначают ABCDE .
Отрезки АВ , ВС , CD ) и DE называют звеньями	ломаной	.
Сумму длин всех звеньев	ломаной	называют длиной ломаной .
Сумму длин всех звеньев ломаной называют длиной	ломаной	.
В многоугольнике звенья	ломаной	называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
Например , длина	ломаной	ABCDE .
Длина	ломаной	ABCDE больше расстояния АЕ между её концами .
Если конец	ломаной	совпадает с её началом , то ломаную называют замкнутой .
Фигуру , образованную такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев	ломаной	, называют многоугольником .
Фигуру , образованную такой замкнутой	ломаной	линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев ломаной , называют многоугольником .
а ) Какую линию называют	ломаной	линией ? .
Докажите , что длина	ломаной	АВС больше длины ломаной АDC .
Что называют звеньями	ломаной	? .
АВ – 3 см , ВС — 4 см , СD — 13 см , АD — 12 см. Определите длину	ломаной	ABCD и расстояние между её концами .
Докажите , что длина ломаной АВС больше длины	ломаной	АDC .
Постройте	ломаную	ABODE .
г ) Какую	ломаную	называют замкнутой ? .
Как обозначают	ломаную	? .
Если конец ломаной совпадает с её началом , то	ломаную	называют замкнутой .
Заметим , что многоугольником называют как замкнутую	ломаную	, так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Как построить координатный	луч	? .
Из вершины угла проведите	луч	так , чтобы один из образовавшихся углов был : а ) в 4 раза больше другого ; б ) на 20 ° больше другого .
Невозможно полностью изобразить бесконечный координатный	луч	, но можно себе его представить ( вообразить ) .
Координатный	луч	.
При этом на первом месте ставится буква , обозначающая начало луча , а на втором — буква , обозначающая какую - либо другую его точку :	луч	АВ .
Постройте координатный	луч	с единичным отрезком 1 см ( 2 клетки тетради ) .
д. , с той лишь разницей , что любая линейка ограничена ( конечна ) , а координатный	луч	неограничен ( бесконечен ) .
Обычно координатный	луч	располагают горизонтально и направляют слева направо .
Внутри развёрнутого угла ABC проведите	луч	BD .
На рисунке изображён координатный	луч	.
Координатный	луч	напоминает линейку , на которой отмечены числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 и т .
Для этого задают	луч	, выходящий из точки О в направлении , отмеченном стрелкой , и отрезок , длину которого принимают за единицу .
Мы построили координатный	луч	.
Дан координатный	луч	.
Кузнечик прыгает вдоль координатного	луча	попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево .
При этом на первом месте ставится буква , обозначающая начало	луча	, а на втором — буква , обозначающая какую - либо другую его точку : луч АВ .
Внутри развёрнутого угла АОВ проведены два	луча	OD и ОС так , что AOC 130 ° , a DOB 120 ° .
Проведите внутри этого угла два	луча	OD и ОЕ .
Это — расстояние , которое проходил человек спокойным шагом за промежуток времени , измеряемый от появления первого	луча	солнца на рассвете до появления над горизонтом полного солнечного диска .
Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 координатного	луча	попасть в точку 4 ?
Поэтому натуральные числа можно сравнивать при помощи координатного	луча	по правилу .
Два различных	луча	ВА и ВС с общим началом В. Они делят плоскость на две части , называемые углами .
Как сравнивают натуральные числа при помощи координатного	луча	? .
Если на прямой отметить точку , то образуется два	луча	, выходящих из одной точки .
Изобразите эти точки на координатном	луче	.
Изобразите на координатном	луче	точки .
Покажите на этом	луче	точки .
Ha координатном	луче	можно изобразить любую дробь .
Представление дробей на координатном	луче	.
Изобразите на координатном	луче	( возьмите единичный отрезок длиной 6 см ) точки О .
Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатном	луче	точки .
Точку , изображающую на координатном	луче	дробь , называют точкой с координатой или , коротко , точкой .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном	луче	правее точки , а длина отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном	луче	между точками с координатами .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном	луче	точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
Назовите три точки , расположенные на координатном	луче	правее точек с указанными координатами , и три точки , расположенные левее их .
Представление натуральных чисел на координатном	луче	.
На	луче	AM отложили отрезки AB и АС , АС 89 см. Найдите длину отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на	луче	, называют положительными рациональными точками .
Для этого надо часть единичного отрезка отложить р раз на координатном	луче	от точки О .
На	луче	от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной длины .
Какая из точек А(5 ) , B(100 ) и С(56 ) расположена на координатном	луче	: а ) правее других ; б ) левее других ? .
точка b на координатном	луче	находится правее точки а .
В этом случае точка , имеющая бόльшую координату , расположена на координатном	луче	правее .
Из двух натуральных чисел больше то , которое на координатном	луче	находится правее .
Сколько отрезков и сколько	лучей	при этом образовалось ? .
Отметьте на листе бумаги точку , проведите несколько	лучей	с началом в этой точке .
Назовите все лучи с вершиной в точках А , В и С. Сколько	лучей	получилось ? .
Сколько	лучей	с началом в этой точке они образуют ? .
Запишите обозначения прямой и полученных	лучей	.
Сколько получится	лучей	, если на прямой отметить : а ) 3 точки ; б ) 5 точек ; в ) 100 точек ? .
Сколько таких	лучей	можно провести ? .
Отметьте на прямой две точки А и В. Сколько получилось	лучей	с началом в этих точках ? .
Если лист бумаги перегнуть по прямой BD , то	лучи	ВA и ВС совпадут .
Точку В называют вершиной угла ,	лучи	ВА и ВС — его сторонами .
Эти	лучи	тоже делят плоскость на две части , каждую из которых называют развёрнутым углом .
Перегнём лист бумаги так , чтобы	лучи	BA и BС совпали , и расправим лист .
Назовите все	лучи	с вершиной в точках А , В и С. Сколько лучей получилось ? .
Что называют	лучом	? .
Каждую из этих частей называют	лучом	с началом в точке A . Луч , так же как и прямую , обозначают двумя заглавными буквами .
Другой	магический квадрат	был составлен в Индии в I веке н .
Первый	магический квадрат	был составлен в Китае в V – IV веке до н .
Докажите , что сумма всех чисел любого	магического квадрата	3 x 3 делится на 3 .
Если в записи	многозначного	числа какие - либо цифры заменены буквами , то над записью числа ставят черту .
Вычисление произведения однозначного и	многозначного	чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Чтобы прочитать	многозначное	число , цифры в его записи разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой .
	Многозначные	.
В Древней Индии умножали	многозначные	числа совсем не так , как мы это делаем теперь .
Натуральные числа , записанные одной цифрой , называют однозначными , а записанные несколькими цифрами —	многозначными	: двумя — двузначными , тремя — трёхзначными и т .
Для однозначных и двузначных чисел деление , как правило , производится в уме , а для	многозначных	— уголком .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух	многозначных	чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
По числу сторон	многоугольник	называют треугольником , четырёхугольником , пятиугольником и т .
Многоугольник ABCDE выпуклый , а	многоугольник	MNKLO нет .
г ) Какой	многоугольник	называют выпуклым ? .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если	многоугольник	составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
Отрезок , соединяющий две несоседние вершины многоугольника , называют диагональю	многоугольника	.
в ) Что называют периметром	многоугольника	? .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами	многоугольника	.
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его вершины , от числа сторон этого	многоугольника	( n ) .
Определите периметр	многоугольника	.
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами	многоугольника	, а их вершины вершинами многоугольника .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами	многоугольника	, углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
Что называют сторонами , углами , вершинами	многоугольника	? .
Определите площадь	многоугольника	.
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри	многоугольника	или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости .
Два	многоугольника	называют равными , если их можно совместить при наложении .
Примером правильного	многоугольника	является квадрат .
Диагональ	многоугольника	.
Отрезок , соединяющий две несоседние вершины	многоугольника	, называют диагональю многоугольника .
Задайте формулой зависимость d от n . а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого	многоугольника	от числа его сторон ( n ) .
Вершина	многоугольника	.
Сумму длин сторон	многоугольника	называют его периметром .
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого	многоугольника	, выходящих из одной его вершины , от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Периметр	многоугольника	.
д ) Какие	многоугольники	называют равными ? .
Считают , что если	многоугольники	равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
Равные	многоугольники	имеют равные площади .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких	многоугольников	, то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей составляющих его	многоугольников	.
а ) Что называют	многоугольником	? .
Фигуру , образованную такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев ломаной , называют	многоугольником	.
Многоугольник , замкнутая ломаная линия , не являющаяся	многоугольником	.
Из	множества	чистых цветков лотоса были принесены в жертву : Шиве третья доля этого множества .
Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву : Шиве третья доля этого	множества	.
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то	множество	всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
Из каких чисел состоит	множество	всех натуральных чисел ? .
Разбейте	множество	натуральных чисел на классы по остаткам от деления на 3 ; 4 ; 7 .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то	множество	всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Таким образом ,	множество	всех натуральных чисел состоит из простых чисел , составных чисел и единицы .
Затем перемножали попарно цифры	множителей	и результат записывали в соответствующую клетку таблицы так : цифру единиц писали вверху клетки , цифру десятков — внизу .
Если один ив	множителей	делится на некоторое число , то и произведение делится на это число .
Запишите число в виде произведения двух равных	множителей	.
Запишите каждое из чисел 15 ; 25 ; 13 ; 24 ; 36 ; 14 ; 17 в виде произведения двух	множителей	всеми возможными способами .
Запишите число в виде произведения двух	множителей	.
От перестановки	множителей	произведение не меняется .
Из законов умножения следует , что в произведении нескольких	множителей	можно менять местами множители и заключать их в скобки любым способом .
Степенью числа а с натуральным показателем называют произведение n	множителей	, каждый из которых равен а .
Представьте данное произведение в виде произведения возможно большего числа	множителей	, отличных от 1 .
Запишите следующее число в виде произведения двух	множителей	различными способами .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи	множителей	) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
Для этого надо взять каждый из простых делителей числа 90 , их всевозможные произведения , содержащие не больше одного множителя 2 , двух	множителей	3 и одного множителя 5 .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих	множителей	была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких	множителей	так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
Запишите число в виде произведения двух	множителей	всеми возможными способами .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких	множителей	так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих	множителей	была равна 35
Число 3 показывает , сколько раз нужно взять	множителем	основание степени — число 2 .
Разложим числа 180 и 336 на простые	множители	.
Из законов умножения следует , что в произведении нескольких множителей можно менять местами	множители	и заключать их в скобки любым способом .
Разложение на простые	множители	.
Все делители числа 90 можно получить из разложения числа 90 на простые	множители	.
Покажем , как можно разложить число 90 на простые	множители	. 1 ) 90 делится на 2 .
Даны разложения чисел а и b на простые	множители	, найдите НОД ( а , b ) и НОК ( а , 1 ) .
Даны разложения чисел а и b на простые	множители	.
Разложите на простые	множители	число .
б ) Что значит разложить число на простые	множители	?
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел , не выполняя разложения чисел на простые	множители	.
Правые части полученных равенств называют разложением на простые	множители	чисел 28 , 22 , 81 и 100 .
числа 2 , 2 , 2 , 3 ) и ещё	множители	из разложения меньшего числа 18 , которых нет в разложении большего числа ( т . е .
Разложим числа 24 и 18 на простые	множители	: НОК ( 24 , 18 ) должно делиться и на 24 , и на 18 .
Разложим числа 56 и 45 на простые	множители	.
С помощью разложения чисел на простые	множители	докажите , что являются взаимно простыми числа .
Разложить данное составное число на простые	множители	— значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней .
Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный	множитель	3 .
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот	множитель	, т .
Левая часть равенства ( 2 ) есть дробь , числитель и знаменатель которой имеют общий	множитель	n.
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий	множитель	, то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Дополнительный	множитель	.
Для решения той же задачи можно составить числовое выражение , вынести общий	множитель	3 за скобки .
Дополнительный	множитель	обычно пишут слева над числителем .
Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный	множитель	8 .
Вынесите общий	множитель	за скобки .
И ещё надо добавить	множитель	1 .
Вынесение общего	множителя	за скобки позволяет упрощать вычисления .
Переход от суммы к произведению и от разности к произведению называют вынесением общего	множителя	за скобки .
Для этого надо взять каждый из простых делителей числа 90 , их всевозможные произведения , содержащие не больше одного	множителя	2 , двух множителей 3 и одного множителя 5 .
Вынесение общего	множителя	за скобки .
Для этого надо взять каждый из простых делителей числа 90 , их всевозможные произведения , содержащие не больше одного множителя 2 , двух множителей 3 и одного	множителя	5 .
Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок , сколько каждый из них имеет ; наконец , третий даёт каждому из двух столько яблок , сколько есть у каждого в этот	момент	.
Как далеко друг от друга в этот	момент	находились лодка и шляпа , если собственная скорость лодки 8 км / ч .
Кто из них в	момент	встречи будет ближе к селу ? .
В какой - то	момент	сын уронил за борт папину шляпу .
Рассмотрим примеры нахождения	наибольшего общего делителя	.
Часто	наибольший общий делитель	числителя и знаменателя сразу указать трудно .
б ) Чему равен	наибольший общий делитель	чисел 100 !
Объясните , почему	наибольший общий делитель	двух чисел .
Чему равен	наибольший общий делитель	взаимно простых чисел ? .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то	наибольший общий делитель	этих чисел равен меньшему из них .
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на	наибольший общий делитель	ее числителя и знаменателя .
В результате большой работы была	найдена	длина парижского меридиана в существовавших тогда французских мерах длины — туазах ( 1 туаз — 1 м 95 см ) .
После того как	найдена	« середина » в ряду делителей , остальные делители найдём делением .
Решения таких задач можно оформить с помощью вопросов и ответов на них , а можно использовать более короткую запись — после действия пояснять , что	найдено	этим действием .
Но общей формулы простых чисел пока не	найдено	.
Даны разложения чисел а и b на простые множители ,	найдите	НОД ( а , b ) и НОК ( а , 1 ) .
Используя этот приём ,	найдите	все делители числа .
Прибавьте к уменьшаемому и вычитаемому по 1 ; по 2 ; по 3 и в каждом случае	найдите	разность .
Координаты точек А и В ,	найдите	координаты точек С и D .
Другие делители	найдём	, составляя различные произведения из этих простых делителей .
Сначала	найдём	одну треть первоначальной суммы , а потом и три третьих .
Например ,	найдём	значение числового выражения .
Для этого	найдём	число , которое делится на 8 и на 3 , например 24 .
Сначала	найдём	одну пятую от 1000 р . , а потом две пятых : 1 ) 200 ( р . ) ; 2 ) 400 ( р . ) .
После того как найдена « середина » в ряду делителей , остальные делители	найдём	делением .
	Найдём	число карандашей в первой коробке : 18 ( кар . ) .
Каким действием можно	найти	задуманное число ?
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы	найти	это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Объясните , как	найти	неизвестное число х .
Пусть теперь надо	найти	число , которого равны 60 .
Итак , чтобы	найти	путь , пройденный телом при равномерном движении , нужно его скорость умножить на время движения ( в дальнейшем слово « равномерное » для краткости опускается , но подразумевается ) .
Чтобы	найти	скорость , нужно путь разделить на время движения , а чтобы найти время , нужно путь разделить на скорость .
Как	найти	3/5 числа 30 ? .
Как	найти	число , 3/5 которого равны 30 ? .
г ) Можно ли	найти	дробь , знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
Чтобы	найти	числа , можно умножить на это число .
Тогда это неизвестное число можно	найти	, разделив 60 на .
Чтобы	найти	2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
С помощью умножения и деления решают задачи , в которых требуется	найти	число , большее или меньшее данного в несколько раз , ответить на вопросы « во сколько раз больше ? » , « во сколько раз меньше ? » и т .
Чтобы	найти	1/4 от 600 р . , надо эту сумму разделить на 4 : 150 ( р . ) .
С помощью сложения и вычитания решают задачи , в которых требуется	найти	число , большее или меньшее данного на несколько единиц , ответить на вопросы « на сколько больше ? » , « на сколько меньше ? » , « сколько всего ? » , « сколько осталось ? » и т .
Например , пусть требуется	найти	площадь S прямоугольника ABCD .
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит	найти	сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно	найти	разность натуральных чисел а и b .
Чтобы	найти	разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
С помощью умножения решают задачи , в которых требуется	найти	число , большее данного в несколько раз .
Чтобы	найти	эту сумму , надо 50 р .
Купили 3 коробки конфет по 400 г и 4 пачки печенья по 250 г. Вес чего можно	найти	следующим способом .
а ) Каким числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно	найти	значение этого выражения ? .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые числа в натуральном ряду , и	найти	общую формулу для нахождения простых чисел .
Учащиеся выполняли задание , в котором требуется	найти	пропущенные числа .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или	найти	неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы	найти	эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Чтобы разделить число а на число b , надо	найти	частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Чтобы найти скорость , нужно путь разделить на время движения , а чтобы	найти	время , нужно путь разделить на скорость .
Можно ли	найти	дробь , числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
Рассмотрим решения задач , в которых требуется	найти	часть числа или число но его части .
а ) Каким натуральным числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно	найти	значение этого выражения ? .
Чтобы	найти	число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Пусть надо	найти	разность 9 - 6 .
Луч обычно располагают горизонтально и	направляют	вправо .
Обычно координатный луч располагают горизонтально и	направляют	слева направо .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого	натурального	числа ?
В самом деле , будем перемножать последовательно числа	натурального	ряда на 3 .
Дробь с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи	натурального	числа р .
Числа можно сравнивать при помощи	натурального	ряда .
Отметим , что для любого	натурального	числа а верны равенства .
Число 14 не делится нацело на 3 , так как нет	натурального	числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
Сумму	натурального	числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
А для любого	натурального	числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до n .
Запишите число в виде квадрата	натурального	числа .
Существует ли целое число , меньшее любого	натурального	числа ? .
Первую цифру слева в записи	натурального	числа называют цифрой высшего разряда .
Убедитесь с помощью	натурального	ряда .
Докажите , что произведение чётного числа и любого	натурального	числа есть число чётное .
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым делителем	натурального	числа ? .
а ) Что называют делителем	натурального	числа ; простым делителем натурального числа ? .
Запишите смешанную дробь в виде суммы	натурального	числа и правильной дроби .
Верно ли , что при умножении	натурального	числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
Поэтому все натуральные числа записать невозможно , и при записи	натурального	ряда выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три точки ) .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы	натурального	числа и правильной дроби .
Можно считать , что произведение	натурального	числа n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Первую цифру слева в записи	натурального числа	называют цифрой высшего разряда .
Запишите число в виде квадрата	натурального числа	.
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым делителем	натурального числа	? .
Сумму	натурального числа	и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
А для любого	натурального числа	n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до n .
Верно ли , что при умножении	натурального числа	на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
Докажите , что произведение чётного числа и любого	натурального числа	есть число чётное .
Дробь с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи	натурального числа	р .
а ) Что называют делителем	натурального числа	; простым делителем натурального числа ? .
Отметим , что для любого	натурального числа	а верны равенства .
Запишите смешанную дробь в виде суммы	натурального числа	и правильной дроби .
Можно считать , что произведение	натурального числа	n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Существует ли целое число , меньшее любого	натурального числа	? .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы	натурального числа	и правильной дроби .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого	натурального числа	?
Число 14 не делится нацело на 3 , так как нет	натурального числа	, при умножении которого на 3 получится 14 .
Заметим , что любое	натуральное	число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b делится на	натуральное	число с , то верно равенство .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое	натуральное	число ? .
Можно ли найти дробь , числитель которой	натуральное	число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же	натуральное	число — частное от этого не изменится .
Каждое	натуральное	число а больше нуля ; это записывают так : а>0 .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно	натуральное	число , большее предшествующего на единицу .
Напишите три числа , которые можно записать в виде . a ) 2k ; б ) 5k ; в ) 20k ; г ) 7k , где k —	натуральное	число .
Покажите , что нечётные числа 7 , 9 , 5 , 13 можно записать в виде , где k — некоторое	натуральное	число .
б ) Какое	натуральное	число а можно взять , чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13 ?
б ) Как разделить дробь на	натуральное	число ? .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой	натуральное	число , а числитель 144 , равную дроби ? .
а ) Выберите такое	натуральное	число n , чтобы задача имела решение .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое	натуральное	число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Если q —	натуральное	число , то дробь — ( читается « одна кутая » ) означает одну кутую часть единицы .
Очевидно , что получаемые таким образом классы чисел не имеют общих чисел каждое	натуральное	число входит только в один класс .
б ) Какое самое большое	натуральное	число а можно взять , чтобы разность в задании а была натуральным числом ? .
Что получается при делении нуля на любое	натуральное	число ?
Принято считать число 0 равным дроби вида , где q — любое	натуральное	число .
Как умножить	натуральное	число на дробь ?
Покажите , что чётные числа 18 , 20 , 48 , 96 можно записать в виде 2k , где k — некоторое	натуральное	число .
Каждое	натуральное	число р делится на 1 и само на себя .
в ) натуральное число на	натуральное	число . г ) нуль на нуль ? .
в ) Является ли	натуральное	число рациональным числом ?
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это	натуральное	число , а знаменатель оставить тот же .
Говорят , что а делится на b нацело , если существует	натуральное	число с , при умножении которого на b получается а .
Когда говорят , что натуральное число а делится нацело на	натуральное	число b ? .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует	натуральное	число с , при умножении которого на b получается а .
Любое	натуральное	число а делить на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
Любое	натуральное	число а делится на 1 и само на себя .
Так как любое	натуральное	число n можно представить в виде дроби , то справедливо равенство .
Чтобы разделить дробь на	натуральное	число , можно её знаменатель умножить на это число .
Таким образом , чтобы умножить	натуральное	число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Как уже отмечалось в главе 1 ,	натуральное	число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Простым числом называют такое	натуральное	число , которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
Каждое	натуральное	число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых .
Например , где р — любое	натуральное	число .
Покажите , что любое из чисел 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 можно записать в виде 5 k , где k — некоторое	натуральное	число .
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее	натуральное	число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же	натуральное	число , то получится равная ей дробь .
Умножить	натуральное	число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
помощью распределительного закона можно коротко выполнить деление смешанной дроби на	натуральное	число .
При делении нуля на любое	натуральное	число получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Произвольное	натуральное	число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
Умножить натуральное число 3 на	натуральное	число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на	натуральное	число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
в )	натуральное	число на натуральное число . г ) нуль на нуль ? .
Каждое составное число делится на 1 , само на себя и ещё хотя бы на одно	натуральное	число .
При этом	натуральное	число называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
На какие числа делится нацело любое	натуральное	число ? .
Когда говорят , что	натуральное	число а делится нацело на натуральное число b ? .
Очевидно , что получаемые таким образом классы чисел не имеют общих чисел каждое	натуральное число	входит только в один класс .
Например , где р — любое	натуральное число	.
Как уже отмечалось в главе 1 ,	натуральное число	а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Говорят , что а делится на b нацело , если существует	натуральное число	с , при умножении которого на b получается а .
Напишите три числа , которые можно записать в виде . a ) 2k ; б ) 5k ; в ) 20k ; г ) 7k , где k —	натуральное число	.
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно	натуральное число	, большее предшествующего на единицу .
в ) Является ли	натуральное число	рациональным числом ?
Если q —	натуральное число	, то дробь — ( читается « одна кутая » ) означает одну кутую часть единицы .
Покажите , что нечётные числа 7 , 9 , 5 , 13 можно записать в виде , где k — некоторое	натуральное число	.
Что получается при делении нуля на любое	натуральное число	?
а ) Выберите такое	натуральное число	n , чтобы задача имела решение .
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее	натуральное число	, делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Таким образом , чтобы умножить	натуральное число	на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое	натуральное число	? .
помощью распределительного закона можно коротко выполнить деление смешанной дроби на	натуральное число	.
Покажите , что чётные числа 18 , 20 , 48 , 96 можно записать в виде 2k , где k — некоторое	натуральное число	.
Принято считать число 0 равным дроби вида , где q — любое	натуральное число	.
Умножить натуральное число 3 на	натуральное число	4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
в ) натуральное число на	натуральное число	. г ) нуль на нуль ? .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на	натуральное число	b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Чтобы разделить дробь на	натуральное число	, можно её знаменатель умножить на это число .
Простым числом называют такое	натуральное число	, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
Любое	натуральное число	а делить на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
Любое	натуральное число	а делится на 1 и само на себя .
Когда говорят , что натуральное число а делится нацело на	натуральное число	b ? .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это	натуральное число	, а знаменатель оставить тот же .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует	натуральное число	с , при умножении которого на b получается а .
Так как любое	натуральное число	n можно представить в виде дроби , то справедливо равенство .
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же	натуральное число	— частное от этого не изменится .
б ) Какое самое большое	натуральное число	а можно взять , чтобы разность в задании а была натуральным числом ? .
Заметим , что любое	натуральное число	имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же	натуральное число	, то получится равная ей дробь .
Каждое составное число делится на 1 , само на себя и ещё хотя бы на одно	натуральное число	.
Произвольное	натуральное число	n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
б ) Как разделить дробь на	натуральное число	? .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b делится на	натуральное число	с , то верно равенство .
Когда говорят , что	натуральное число	а делится нацело на натуральное число b ? .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое	натуральное число	; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Каждое	натуральное число	а больше нуля ; это записывают так : а>0 .
Можно ли найти дробь , числитель которой	натуральное число	, а знаменатель 121 , равную дроби ? .
в )	натуральное число	на натуральное число . г ) нуль на нуль ? .
Покажите , что любое из чисел 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 можно записать в виде 5 k , где k — некоторое	натуральное число	.
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой	натуральное число	, а числитель 144 , равную дроби ? .
При этом	натуральное число	называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
При делении нуля на любое	натуральное число	получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Каждое	натуральное число	р делится на 1 и само на себя .
б ) Какое	натуральное число	а можно взять , чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13 ?
Умножить	натуральное число	3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
На какие числа делится нацело любое	натуральное число	? .
Каждое	натуральное число	можно записать в виде суммы разрядных слагаемых .
Как умножить	натуральное число	на дробь ?
На первом место в	натуральном	ряду стоит число 1 , за ним следует число 2 , затем число 3 и т .
Запишите первое и последнее в	натуральном	ряду число : а ) двузначное ; б ) трёхзначное ; в ) четырехзначное .
4 а ) Назовите число , которое следует в	натуральном	ряду за числом : 13 , 276 , 3590 , 999 999
Назовите число , которое предшествует в	натуральном	ряду числу : 2 , 74 , 100 , 3050 , 438 109 , 1 000 000 .
6 Сколько чисел в	натуральном	ряду между числами .
Поэтому очень важно узнать тайны простых чисел — сколько их , как они распределены в	натуральном	ряду и т .
2 Есть ли в	натуральном	ряду .
3 У каждого ли числа в	натуральном	ряду есть .
Отметим в	натуральном	ряду число 9 и отсчитаем от него влево шесть чисел .
В	натуральном	ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Отметим в	натуральном	ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 6 чисел .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в	натуральном	ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим число 9 .
5 Сколько чисел в	натуральном	ряду .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые числа в	натуральном	ряду , и найти общую формулу для нахождения простых чисел .
Но можно отметить в	натуральном	ряду сначала число 3 и отсчитать от него вправо 5 чисел .
Постройте развёртку спичечного коробка на альбомном листе в	натуральную	величину .
Если а , b , с —	натуральные	числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Например , если в формулу подставлять вместо n	натуральные	числа 1 , 2 , 3 , 4 , 40 , то будут получаться простые числа .
Как сравнивают	натуральные	числа при помощи координатного луча ? .
в ) Можно ли подобрать такие	натуральные	числа а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
Поэтому	натуральные	числа можно сравнивать при помощи координатного луча по правилу .
а ) Подберите такие	натуральные	числа а и b , чтобы выполнялось равенство .
Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей , где а , b , с , d — нечётные	натуральные	числа ? .
В дальнейшем слова «	натуральные	» и « нацело » будем опускать для краткости .
Таким образом , числа : один , два , три , десять , сто , тысяча , миллион , миллиард —	натуральные	числа .
Запишите	натуральные	числа 1 , 2 , 5 в виде дроби со знаменателем .
С его помощью	натуральные	числа и нуль изображаются точками .
Числа	натуральные	.
б ) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле , если брать последовательные	натуральные	числа , начиная с n = 1 ? .
Пусть а и b —	натуральные	числа и а больше или равно .
Поэтому	натуральные	числа называют ещё целыми положительными числами .
Число , которое можно записать в виде где р и q —	натуральные	числа , называют рациональным числом .
Здесь а , b , х и у —	натуральные	числа .
Если p и q	натуральные	числа , то дробь — ( читается « пэ кутых » ) означает пэ кутых части единицы .
а и b —	натуральные	числа .
В формуле и далее числители и знаменатели дробей —	натуральные	числа .
Непростые	натуральные	числа , большие единицы , называют составными .
Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие	натуральные	числа .
Поэтому складывать правильные дроби и	натуральные	числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
в ) сумма делится на 13 , где а и с —	натуральные	числа .
Поэтому все	натуральные	числа записать невозможно , и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три точки ) .
сумма делится на 3 , где а , b и с —	натуральные	числа .
Докажите , что если а , k и с —	натуральные	числа , то . Вычислите .
Почему нельзя подобрать такие	натуральные	числа а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
а , b , с и d —	натуральные	числа .
Поэтому	натуральные числа	называют ещё целыми положительными числами .
Таким образом , числа : один , два , три , десять , сто , тысяча , миллион , миллиард —	натуральные числа	.
Здесь а , b , х и у —	натуральные числа	.
Пусть а и b —	натуральные числа	и а больше или равно .
Поэтому складывать правильные дроби и	натуральные числа	со смешанными дробями можно по этому же правилу .
Запишите	натуральные числа	1 , 2 , 5 в виде дроби со знаменателем .
б ) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле , если брать последовательные	натуральные числа	, начиная с n = 1 ? .
Почему нельзя подобрать такие	натуральные числа	а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
Если p и q	натуральные числа	, то дробь — ( читается « пэ кутых » ) означает пэ кутых части единицы .
а и b —	натуральные числа	.
Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие	натуральные числа	.
В формуле и далее числители и знаменатели дробей —	натуральные числа	.
Поэтому	натуральные числа	можно сравнивать при помощи координатного луча по правилу .
Если а , b , с —	натуральные числа	и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
а , b , с и d —	натуральные числа	.
Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей , где а , b , с , d — нечётные	натуральные числа	? .
Как сравнивают	натуральные числа	при помощи координатного луча ? .
Число , которое можно записать в виде где р и q —	натуральные числа	, называют рациональным числом .
в ) сумма делится на 13 , где а и с —	натуральные числа	.
сумма делится на 3 , где а , b и с —	натуральные числа	.
Поэтому все	натуральные числа	записать невозможно , и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три точки ) .
Докажите , что если а , k и с —	натуральные числа	, то . Вычислите .
С его помощью	натуральные числа	и нуль изображаются точками .
Непростые	натуральные числа	, большие единицы , называют составными .
в ) Можно ли подобрать такие	натуральные числа	а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
Например , если в формулу подставлять вместо n	натуральные числа	1 , 2 , 3 , 4 , 40 , то будут получаться простые числа .
а ) Подберите такие	натуральные числа	а и b , чтобы выполнялось равенство .
Покажем , как , используя	натуральный	ряд чисел , можно найти разность натуральных чисел а и b .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют	натуральный	ряд , или ряд натуральных чисел .
Каким	натуральным	числом можно заменить букву а в условии задачи , чтобы ответ выражался натуральным числом ?
а ) Каким	натуральным	числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
Определением степени с	натуральным	показателем можно пользоваться и для дробей .
б ) Какое самое большое натуральное число а можно взять , чтобы разность в задании а была	натуральным	числом ? .
Если в числовом выражении есть степень с	натуральным	показателем , то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий .
	Натуральным	числом ?
Что называют степенью числа а с	натуральным	показателем n ? .
Степенью числа а с	натуральным	показателем называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Нуль не считают	натуральным	числом .
Таким же образом можно вычислить любую степень числа с	натуральным	показателем , большим единицы .
( Возраст каждого из сыновей выражается	натуральным	числом . ) .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым	натуральным	числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Степень с	натуральным	показателем .
Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи , чтобы ответ выражался	натуральным	числом ?
д ) В каких странах число нуль считают	натуральным	числом ? .
Считают ли число нуль	натуральным	числом ? .
В том случае , когда одно из двух чисел является	натуральным	числом или правильной дробью , вычисления выполняются аналогично .
Считают ли число нуль	натуральным числом	? .
Нуль не считают	натуральным числом	.
а ) Каким	натуральным числом	надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи , чтобы ответ выражался	натуральным числом	?
	Натуральным числом	?
Каким	натуральным числом	можно заменить букву а в условии задачи , чтобы ответ выражался натуральным числом ?
д ) В каких странах число нуль считают	натуральным числом	? .
В том случае , когда одно из двух чисел является	натуральным числом	или правильной дробью , вычисления выполняются аналогично .
( Возраст каждого из сыновей выражается	натуральным числом	. ) .
б ) Какое самое большое натуральное число а можно взять , чтобы разность в задании а была	натуральным числом	? .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым	натуральным числом	следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Если длина , ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены	натуральными	числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены	натуральными	числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Л. Эйлер рассматривал и такую задачу : « Определить , сколько простых чисел содержится между двумя данными	натуральными	числами , не пересчитывая их непосредственно » .
в )	натуральными	числами ? .
Это позволяло долго вести расчёты с долями единицы как с	натуральными	числами .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены	натуральными	числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Числа , которые используют при подсчёте предметов , называют	натуральными	числами .
Если длина и ширина прямоугольника выражены	натуральными	числами а и b , то его площадь S вычисляется как произведение .
Л. Эйлер рассматривал и такую задачу : « Определить , сколько простых чисел содержится между двумя данными	натуральными числами	, не пересчитывая их непосредственно » .
а ) Почему после « просеивания » чисел , кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице	натуральных	чисел от 1 до 100 остались только простые числа ? .
Из двух	натуральных	чисел больше то , у которого разрядов больше .
Какие остатки получаются при делении	натуральных	чисел : а ) на 2 ; 6 ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 7 ? .
б ) На каком числе следует остановить « просеивание » , если в таблице будет 150 ; 10 000 первых	натуральных	чисел ? .
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех	натуральных	чисел можно разбить на 3 класса .
Поэтому на координатной оси можно изобразить только несколько первых	натуральных	чисел .
Делимость	натуральных	чисел интересовала математиков уже в глубокой древности .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду	натуральных	чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Для любых	натуральных	чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон сложения .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы	натуральных	чисел , произведение которых является простым числом .
Из каких чисел состоит множество всех	натуральных	чисел ? .
Среди первых пяти	натуральных	чисел имеются два неравных числа m и n такие , что .
Итак , для любых	натуральных	чисел р и q всегда есть их частное : дробь .
1 а ) Назовите 15 первых	натуральных	чисел .
Какой наименьший остаток может получиться при делении	натуральных	чисел ? .
Из двух	натуральных	чисел с одинаковым числом разрядов больше то , у которого больше первая ( слева направо ) из неодинаковых цифр .
Из двух	натуральных	чисел больше то , которое в ряду натуральных чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
Ряд	натуральных	чисел .
Для любых	натуральных	чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон умножения .
Для любых	натуральных	чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон умножения .
В старину для записи	натуральных	чисел использовались и особые рисунки , и чёрточки , и буквы , и т .
Сколько	натуральных	чисел : а ) однозначных ; б ) двузначных ; в ) трёхзначных ? .
Разбейте множество	натуральных	чисел на классы по остаткам от деления на 3 ; 4 ; 7 .
Некто утверждает , что знает 4	натуральных	числа , произведение и сумма которых нечётные числа .
Если к ряду	натуральных	чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
В этой же книге указан способ ( алгоритм ) нахождения НОД двух	натуральных	чисел .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения	натуральных	чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Для любых	натуральных	чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон сложения .
Из двух	натуральных	чисел больше то , которое на координатном луче находится правее .
Какой наибольший остаток может получиться при делении	натуральных	чисел ? .
Запишите пять	натуральных	чисел , не имеющих других простых делителей , кроме .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд	натуральных	чисел .
Сколько раз используется каждая из цифр от 1 до 9 в записи первых 99	натуральных	чисел ? .
Сколько	натуральных	чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами .
Рассмотрим ряд	натуральных	чисел , отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Таким образом , шестидесятые доли таланта , мины ( любой единицы ) записывали с помощью	натуральных	чисел .
Сколько знаков используют для записи	натуральных	чисел в десятичной системе .
3 ) Два	натуральных	числа равны , если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны .
Докажите , что если каждое из	натуральных	чисел а и b делится на натуральное число с , то верно равенство .
Частное любых двух	натуральных	чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Представление	натуральных	чисел на координатном луче .
Для дробей , как и для	натуральных	чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы умножения .
Изучая главу 3 , вы узнаете свойства и признаки делимости	натуральных	чисел .
Для любых	натуральных	чисел а , b и с верно равенство , выражающее распределительный закон .
Отметим , что два различных простых числа ( например , 17 и 23 ) , а также два соседних	натуральных	числа ( например , 24 и 25 ) являются взаимно простыми .
Так как переместительный закон умножения верен для	натуральных	чисел .
Произведение четырёх последовательных	натуральных	чисел равно 3024 .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду	натуральных	чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Так как сочетательный закон умножения верен для	натуральных	чисел .
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи	натуральных	чисел и дробей встречаются обозначения обыкновенных и смешанных дробей .
На доске записали несколько примеров на умножение	натуральных	чисел , потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки .
Десятичная система записи	натуральных	чисел .
Наименьшим общим кратным	натуральных	чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Таким образом , множество всех	натуральных	чисел состоит из простых чисел , составных чисел и единицы .
Из полученных неравенств для	натуральных	чисел следует , что первая дробь меньше третьей .
Шестидесятиричная система записи	натуральных	чисел дала основу для записи дробей , так , 2 таланта 13 мин 41 шекель составляют шекель или таланта .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно найти разность	натуральных	чисел а и b .
Так как при делении	натуральных	чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
Так как при делении	натуральных	чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё , что вы знаете о	натуральных	числах , познакомиться со свойствами сложения и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
Для любых ли	натуральных	л число Р простое ? .
Из двух натуральных чисел больше то , которое в ряду	натуральных	чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
Сравнение	натуральных	чисел .
Докажите , что два соседних	натуральных	числа являются взаимно простыми .
При вычислении значений числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для	натуральных	чисел .
Запишите пять	натуральных	чисел , имеющих делителями числа .
Запись 5 ! читается « 5 факториал » и означает произведение	натуральных	чисел от 1 до 5 .
Используя сочетательный закон сложения для	натуральных	чисел , проверьте равенство .
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение	натуральных	чисел от 1 до n .
Так как сочетательный закон сложения верен для	натуральных	чисел .
Так как переместительный закон сложения верен для	натуральных	чисел .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех	натуральных	чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Глава 3 Делимость	натуральных	чисел .
Для дробей , как и для	натуральных	чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы сложения .
Шестидесятиричная система записи	натуральных чисел	дала основу для записи дробей , так , 2 таланта 13 мин 41 шекель составляют шекель или таланта .
б ) На каком числе следует остановить « просеивание » , если в таблице будет 150 ; 10 000 первых	натуральных чисел	? .
В этой же книге указан способ ( алгоритм ) нахождения НОД двух	натуральных чисел	.
Из двух натуральных чисел больше то , которое в ряду	натуральных чисел	стоит правее ( дальше от начала ) .
Сколько раз используется каждая из цифр от 1 до 9 в записи первых 99	натуральных чисел	? .
Глава 3 Делимость	натуральных чисел	.
На доске записали несколько примеров на умножение	натуральных чисел	, потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки .
Разбейте множество	натуральных чисел	на классы по остаткам от деления на 3 ; 4 ; 7 .
Сравнение	натуральных чисел	.
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи	натуральных чисел	и дробей встречаются обозначения обыкновенных и смешанных дробей .
Сколько	натуральных чисел	можно отметить на координатном луче между точками с координатами .
Ряд	натуральных чисел	.
Наименьшим общим кратным	натуральных чисел	а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Запишите пять	натуральных чисел	, не имеющих других простых делителей , кроме .
Частное любых двух	натуральных чисел	равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Делимость	натуральных чисел	интересовала математиков уже в глубокой древности .
Произведение четырёх последовательных	натуральных чисел	равно 3024 .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы	натуральных чисел	, произведение которых является простым числом .
Запишите пять	натуральных чисел	, имеющих делителями числа .
Если к ряду	натуральных чисел	приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
Таким образом , шестидесятые доли таланта , мины ( любой единицы ) записывали с помощью	натуральных чисел	.
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение	натуральных чисел	от 1 до n .
1 а ) Назовите 15 первых	натуральных чисел	.
Представление	натуральных чисел	на координатном луче .
Из двух	натуральных чисел	больше то , которое в ряду натуральных чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
Из двух	натуральных чисел	больше то , которое на координатном луче находится правее .
Итак , для любых	натуральных чисел	р и q всегда есть их частное : дробь .
Запись 5 ! читается « 5 факториал » и означает произведение	натуральных чисел	от 1 до 5 .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно найти разность	натуральных чисел	а и b .
Среди первых пяти	натуральных чисел	имеются два неравных числа m и n такие , что .
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех	натуральных чисел	можно разбить на 3 класса .
При вычислении значений числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для	натуральных чисел	.
Изучая главу 3 , вы узнаете свойства и признаки делимости	натуральных чисел	.
а ) Почему после « просеивания » чисел , кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице	натуральных чисел	от 1 до 100 остались только простые числа ? .
Из двух	натуральных чисел	больше то , у которого разрядов больше .
Для любых	натуральных чисел	а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон сложения .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду	натуральных чисел	8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Сколько	натуральных чисел	: а ) однозначных ; б ) двузначных ; в ) трёхзначных ? .
Таким образом , множество всех	натуральных чисел	состоит из простых чисел , составных чисел и единицы .
Для любых	натуральных чисел	а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон умножения .
Для любых	натуральных чисел	а и b верно равенство , выражающее переместительный закон сложения .
Какой наименьший остаток может получиться при делении	натуральных чисел	? .
Из каких чисел состоит множество всех	натуральных чисел	? .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд	натуральных чисел	.
Для любых	натуральных чисел	а и b верно равенство , выражающее переместительный закон умножения .
Так как при делении	натуральных чисел	на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Для дробей , как и для	натуральных чисел	, выполняются переместительный и сочетательный законы сложения .
Из двух	натуральных чисел	с одинаковым числом разрядов больше то , у которого больше первая ( слева направо ) из неодинаковых цифр .
Десятичная система записи	натуральных чисел	.
Докажите , что если каждое из	натуральных чисел	а и b делится на натуральное число с , то верно равенство .
Так как переместительный закон сложения верен для	натуральных чисел	.
Какие остатки получаются при делении	натуральных чисел	: а ) на 2 ; 6 ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 7 ? .
Так как сочетательный закон сложения верен для	натуральных чисел	.
Рассмотрим ряд	натуральных чисел	, отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду	натуральных чисел	находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Из полученных неравенств для	натуральных чисел	следует , что первая дробь меньше третьей .
Так как переместительный закон умножения верен для	натуральных чисел	.
Так как при делении	натуральных чисел	на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
Так как сочетательный закон умножения верен для	натуральных чисел	.
Какой наибольший остаток может получиться при делении	натуральных чисел	? .
В старину для записи	натуральных чисел	использовались и особые рисунки , и чёрточки , и буквы , и т .
Сколько знаков используют для записи	натуральных чисел	в десятичной системе .
Поэтому на координатной оси можно изобразить только несколько первых	натуральных чисел	.
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех	натуральных чисел	можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Для любых	натуральных чисел	а , b и с верно равенство , выражающее распределительный закон .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения	натуральных чисел	и сократите полученную дробь по образцу .
Используя сочетательный закон сложения для	натуральных чисел	, проверьте равенство .
Для дробей , как и для	натуральных чисел	, выполняются переместительный и сочетательный законы умножения .
3 ) Два	натуральных числа	равны , если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны .
Некто утверждает , что знает 4	натуральных числа	, произведение и сумма которых нечётные числа .
Отметим , что два различных простых числа ( например , 17 и 23 ) , а также два соседних	натуральных числа	( например , 24 и 25 ) являются взаимно простыми .
Докажите , что два соседних	натуральных числа	являются взаимно простыми .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё , что вы знаете о	натуральных числах	, познакомиться со свойствами сложения и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится	нацело	на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится	нацело	на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Число 14 не делится	нацело	на 3 , так как нет натурального числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится	нацело	на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится	нацело	на b .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится	нацело	на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Если одно из двух чисел делится	нацело	на другое , то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них .
Если одно из двух чисел делится	нацело	на другое , то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них .
В дальнейшем слова « натуральные » и «	нацело	» будем опускать для краткости .
Известно , что число а делится	нацело	на число b.
Например , 120 делится	нацело	на 24 , следовательно , НОК ( 120 , 24)= 120 .
Если одно число делится	нацело	на другое , то иногда удобно считать , что оно делится с остатком , равным нулю .
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся	нацело	на каждое из чисел а и b.
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель (	нацело	) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Обычно слово «	нацело	» в этой фразе опускается .
Деление	нацело	.
На какие числа делится	нацело	любое натуральное число ? .
Так как 365 и 366 не делятся	нацело	на 12 , то дни распределили между месяцами неравномерно : январь , март , май , июль , август , октябрь , декабрь содержат по 31 дню , апрель , июнь , сентябрь , ноябрь — по 30 дней , а февраль содержит 28 дней в обычном году и 29 — в високосном году .
Чему равен остаток при делении	нацело	? .
Говорят , что а делится на b	нацело	, если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или разделить	нацело	на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Когда говорят , что натуральное число а делится	нацело	на натуральное число b ? .
Ученица	нашла	НОК ( 33 , 198 ) и получила 99 .
а ) Брат с сестрой	нашли	в лесу 25 белых грибов .
Брат помнит , что он	нашёл	на 7 грибов больше , чем его сестра .
Сколько белых грибов	нашёл	каждый ? .
Ученик	нашёл	НОД ( 33 , 198 ) и получил 66 .
Теперь	необходимо	разделить остаток от деления сотен — 2 сотни и десятки — 8 десятков , т .
Поэтому в решении задачи	необходимо	рассуждение , показывающее , какое действие надо применить .
Сколько километров в день ему	необходимо	проезжать , чтобы вернуться обратно за 9 дней ? .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми	неотрицательными	числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Поэтому равенства верны для любых целых	неотрицательных	чисел .
Так как для	неотрицательных	чисел справедлив переместительный закон умножения , то верны равенства .
Любое из чисел а , b и с в равенстве и в равенстве может быть нулём , поэтому распределительный закон верен и для целых	неотрицательных	чисел .
Вычитать большее число из меньшего нельзя , оставаясь среди	неотрицательных	чисел .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд	неотрицательных	целых чисел .
С помощью	неотрицательных	целых чисел можно вычислить разность а и b только в том случае , когда а больше или равно b.
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме	неотрицательных	чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Поэтому переместительный и сочетательный законы сложения верны для любых	неотрицательных	чисел .
Правильная дробь меньше 1 , а	неправильная дробь	больше или равна 1 .
При сложении дробных частей двух смешанных дробей может получиться	неправильная дробь	.
Чтобы записать смешанную дробь в виде	неправильной дроби	, знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
б ) Как записать смешанную дробь в виде	неправильной дроби	? .
Запишите смешанную дробь в виде	неправильной дроби	.
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде	неправильной дроби	и эту неправильную дробь возводят в степень .
Каждую смешанную дробь можно записать в виде	неправильной дроби	.
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью ;	неправильной дробью	?
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту	неправильную дробь	возводят в степень .
Любую	неправильную дробь	, числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
а ) Как записать	неправильную дробь	в виде смешанной дроби ? .
Запишите	неправильную дробь	в виде смешанной дроби .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б )	неправильную дробь	с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Чтобы записать	неправильную дробь	( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
	Неправильными дробями	.
В несложных случаях можно не записывать смешанные дроби в виде	неправильных дробей	.
Смешанные дроби можно сравнивать , не записывая их в виде	неправильных дробей	.
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде	неправильных дробей	и выполнить действия с обыкновенными дробями .
Из полученных	неравенств	для натуральных чисел следует , что первая дробь меньше третьей .
Прочитайте	неравенство	.
Запишите	неравенство	.
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел	нечётная	.
Если сумма чётная , то двухрублёвая монета в левой руке , если	нечётная	, то в правой .
Петя их не видел , но утверждает , что по количеству записанных чисел легко определит , чётная или	нечётная	у них сумма .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых	нечётная	.
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма	нечётного	числа нечётных слагаемых нечётная .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма	нечётного	и чётного чисел нечётная .
В рассмотренной задаче требуется чётное число ( 20 ) представить в виде суммы	нечётного	числа ( 7 ) нечётных слагаемых ( 1 и 5 ) .
в ) чётного и	нечётного	чисел ? .
Более двухсот лет назад член Петербургской академии паук X. Гольдбах ( 1690–1764 ) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха : « Доказать , что каждое	нечётное	число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых чисел » .
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других	нечётное	число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Если же добавить седьмую монету ( достоинством 1 р . или 5 р . ) , то получится	нечётное	число рублей .
Первоначальное число палочек 13 —	нечётное	, и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Оказывается , этот результат зависит от числа « нечётных » узлов фигуры , в которых сходится	нечётное	число линий .
Некто пообещал дать 99 конфет тому , кто сумеет их разделить между четырьмя людьми так , чтобы каждому досталось	нечётное	число конфет .
На нём всего два нечётных узла , поэтому , напав рисование в одном из них и пройдя по всем линиям по одному разу , закончим рисование в другом	нечётном	узле .
Например , числа 152 и 790 — чётные , а числа 111 и 293 —	нечётные	.
Если отметить чётные и	нечётные	узлы соответственно буквами « ч » и « н » , то получится рисунок .
Некто утверждает , что знает 4 натуральных числа , произведение и сумма которых	нечётные	числа .
Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей , где а , b , с , d —	нечётные	натуральные числа ? .
Покажите , что	нечётные	числа 7 , 9 , 5 , 13 можно записать в виде , где k — некоторое натуральное число .
Если отметить чётные и	нечётные	узлы соответственно буквами « ч » и « n » , то получится рисунок , на котором нечётных узлов больше двух .
Отметим , что если узел	нечётный	, то в нём обязательно должно или начинаться , или заканчиваться рисование линии .
Не выполняя сложения , определите , каким числом ( чётным или	нечётным	) является сумма .
Какое число называют	нечётным	?
Число , не делящееся на 2 , называют	нечётным	.
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их	нечётными	узлами ) .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа	нечётных	слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
пять	нечётных	чисел , сумма которых равна 100 .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа	нечётных	слагаемых нечётная .
Вася записал на листе бумаги несколько	нечётных	чисел .
Начав рисование линии в одном из них , невозможно его закончить во всех остальных	нечётных	узлах одновременно , так как искомая линия имеет одно начало и один конец .
Если отметить чётные и нечётные узлы соответственно буквами « ч » и « n » , то получится рисунок , на котором	нечётных	узлов больше двух .
В рассмотренной задаче требуется чётное число ( 20 ) представить в виде суммы нечётного числа ( 7 )	нечётных	слагаемых ( 1 и 5 ) .
Сколько «	нечётных	» узлов должно быть , чтобы фигуру можно было нарисовать ? .
Оказывается , этот результат зависит от числа «	нечётных	» узлов фигуры , в которых сходится нечётное число линий .
Докажите , что сумма двух	нечётных	чисел является чётным числом .
б ) двух	нечётных	чисел .
Так как на рисунке имеется два	нечётных	узла и у линии , которую мы рисуем , одно начало и один конец , то распечатанный конверт можно нарисовать , соблюдая условия задачи .
На нём всего два	нечётных	узла , поэтому , напав рисование в одном из них и пройдя по всем линиям по одному разу , закончим рисование в другом нечётном узле .
а ) три	нечётных	числа , сумма которых равна 12 . б )
Назовите 7	нечётных	чисел .
Какое число изображено на : а )	нижней грани	; б ) боковой грани слева ; в ) боковой грани сзади ? .
Какие числа изображены на	нижних гранях	кубиков ? .
Одновременно с	ним	из А в В вышел пешеход со скоростью 5 км / ч .
На первом место в натуральном ряду стоит число 1 , за	ним	следует число 2 , затем число 3 и т .
Одновременно с	ним	из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км / ч .
Фигуры пентамино можно получить из фигур тетрамино , приставляя к	ним	различными способами ещё один квадрат .
Фигуры гексамино можно получить из фигур пентамино , приставляя к	ним	различными способами ещё один квадрат .
После этого пусть средний брат , а за	ним	старший поступят так же » .
Через день вслед за	ним	был послан другой юноша , проходивший в день по 45 вёрст .
Через 3 ч вслед за	ним	выехал велосипедист со скоростью 10 км / ч .
Считают ли число	нуль	натуральным числом ? .
При делении нуля на любое натуральное число получается	нуль	: потому что делить на нуль нельзя .
Является ли	нуль	положительным числом ? .
д ) В каких странах число	нуль	считают натуральным числом ? .
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что делить на	нуль	нельзя .
Начальную точку О называют нулевой точкой или точкой 0 (	нуль	) .
С его помощью натуральные числа и	нуль	изображаются точками .
Про числовые выражения , которые содержат деление на	нуль	, говорят , что они не имеют смысла .
Долгое время развитие позиционной системы счисления тормозилось отсутствием в ней числа и цифры	нуль	.
в ) натуральное число на натуральное число . г )	нуль	на нуль ? .
Мы уже знаем , почему нельзя число делить на	нуль	.
Отсутствие предметов для счёта условились обозначать числом	нуль	( 0 ) .
Но в этом случае частным могло бы быть любое число с. Поэтому считают , что	нуль	на нуль делить нельзя .
Глава 1Натуральные числа и	нуль	.
Но в этом случае частным могло бы быть любое число с. Поэтому считают , что нуль на	нуль	делить нельзя .
в ) натуральное число на натуральное число . г ) нуль на	нуль	? .
Делить на	нуль	нельзя .
Число	нуль	также целое , но не положительное .
Можно ли делить на	нуль	? .
приписать к нему справа	нуль	.
Любое натуральное число а делить на	нуль	нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
Натуральные числа и число	нуль	называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Будем считать , что точка О представляет число	нуль	, правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
а )	нуль	на дробь , отличную от нуля .
б ) дробь на	нуль	.
б ) Какое число а можно взять , чтобы значение данного выражения было равно	нулю	? .
Напомним , что разность равных чисел равна	нулю	.
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную	нулю	.
Если одно число делится нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно делится с остатком , равным	нулю	.
Если уменьшаемое равно вычитаемому , то разность равна	нулю	.
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную	нулю	, и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
При делении	нуля	на любое натуральное число получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Каждое натуральное число а больше	нуля	; это записывают так : а>0 .
Примером непозиционной системы счисления без	нуля	может служить римская система .
Только после введения	нуля	система стала совершенной .
Отметим , что число 0 , делённое на любую отличную от	нуля	дробь , даёт 0 .
Число , большее	нуля	, называют положительным .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б )	нуля	на любое натуральное число ? .
Что получается при делении	нуля	на любое натуральное число ?
а ) нуль на дробь , отличную от	нуля	.
Она всегда отлична от	нуля	.
Я предлагаю товарищу записать ( так , чтобы я не видел ) любое трёхзначное число , состоящее из различных цифр ( без	нуля	) .
Фигуру ,	образованную	такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев ломаной , называют многоугольником .
а ) Определите углы ,	образованные	касательной и радиусом окружности , проведённым в точку касания .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков ,	образуют	натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
Докажите признак делимости на 4 : если две последние цифры числа	образуют	число , делящееся на 4 , то и само число делится на 4 .
а ) Какой угол	образуют	часовая и минутная стрелки .
Сколько лучей с началом в этой точке они	образуют	? .
Все точки пространства , удалённые от данной точки ( центра ) на одно и то же расстояние ,	образуют	сферу .
Заметим , что дробь ,	обратная	делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Заметим , что дробь ,	обратная	делителю .
Дробь	обратная	данной .
Вычислите произведение 7 и числа ,	обратного	числу .
а ) Вычислите произведение и числа ,	обратного	числу 3 .
а ) Вычислите произведение и числа ,	обратного числу	3 .
Вычислите произведение 7 и числа ,	обратного числу	.
Дробь называют	обратной	для дроби .
Равенство можно записать и в	обратном	порядке .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь ,	обратную	делителю .
Назовите дробь ,	обратную	дроби .
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь ,	обратную	делителю .
Назовите делимое и делитель , дробь ,	обратную	делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Могут ли взаимно	обратные	числа быть одновременно .
Для чисел укажите	обратные	им числа .
Например , взаимно	обратные	числа .
Дроби взаимно	обратные	.
Числа взаимно	обратные	.
Укажите числа ,	обратные	данным .
Например , взаимно	обратные числа	.
Могут ли взаимно	обратные числа	быть одновременно .
Какое время затратит моторная лодка на	обратный	путь ? .
б ) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин , а на	обратный	путь — 2 ч .
Являются ли числа взаимно	обратными	?
Дроби называют взаимно	обратными	дробями ( числами ) .
Какие дроби называют взаимно	обратными	?
Произведение взаимно	обратных	чисел равно 1 .
Чему равно произведение взаимно	обратных	чисел ?
Могут ли два взаимно	обратных	числа одновременно являться смешанными дробями ? .
Чему равно произведение взаимно	обратных чисел	?
Произведение взаимно	обратных чисел	равно 1 .
Могут ли два взаимно	обратных числа	одновременно являться смешанными дробями ? .
Год время	обращения	Земли вокруг Солнца с точностью до 5 - 6 минут .
Обратите смешанную дробь в	обыкновенную дробь	.
Запишите	обыкновенную дробь	в виде смешанной дроби .
При изучении главы 4 вам предстоит освоить	обыкновенные дроби	.
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с	обыкновенными дробями	.
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед	обыкновенными дробями	— записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
После того как были открыты правила действий с	обыкновенными дробями	, не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Записи 1/2 , 1/3 , 1/4 , 2/3 , 3/4 называют	обыкновенными дробями	или , короче , дробями .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены	обыкновенными дробями	, то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены	обыкновенными дробями	, то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Кроме	обыкновенных дробей	, в Индии умели записывать и смешанные дроби .
Запишите пять каких - либо	обыкновенных дробей	.
Вычисление произведения	однозначного	и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Например , 1 , 7 , 9 —	однозначные	числа ; 10 , 77 , 99 — двузначные числа ; 100 , 357 — трехзначные числа ; 537 633 , 987 345 — шестизначные числа .
Числа	однозначные	.
Натуральные числа , записанные одной цифрой , называют	однозначными	, а записанные несколькими цифрами — многозначными : двумя — двузначными , тремя — трёхзначными и т .
Сколько натуральных чисел : а )	однозначных	; б ) двузначных ; в ) трёхзначных ? .
Для	однозначных	и двузначных чисел деление , как правило , производится в уме , а для многозначных — уголком .
Таблицу умножения	однозначных	чисел надо помнить наизусть .
Для вычисления произведения	однозначных	чисел удобно пользоваться таблицей умножения .
При сложении и вычитании	однозначных	чисел удобно пользоваться таблицей сложения .
Результаты сложения и вычитания	однозначных	чисел надо помнить наизусть .
Таблицы сложения и умножения для	однозначных	чисел в двоичной системе счисления очень просты .
Летом у меня целые сутки было открыто	окно	.
В этом случае условились считать , что 6 см есть приближённая длина отрезка AB с точностью до 1 см с	округлением	.
Ответ выразите приближённо с точностью до 1 км : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с	округлением	.
Если же точка B оказалась бы ближе к делению 5 , то мы сказали бы , что длина отрезка AB приближённо равна 5 см с	округлением	с точностью до 1 см .
Какую длину имеет каждая часть с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с	округлением	? .
Данные величины запишите с точностью до 1 кг : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с	округлением	.
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с	округлением	с точностью до 1 см .
6 дм 7 см « 7 дм с избытком и с	округлением	.
Данные величины запишите с точностью до 1 дм с недостатком ; с избытком ; с	округлением	по образцу .
Объясните на примере , как измерить длину отрезка с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с	округлением	.
Однако ещё можно получить приближённую длину отрезка с точностью до 1 см с	округлением	.
С помощью линейки измерьте отрезки с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с	округлением	.
Измерьте длину и ширину тетради с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с	округлением	.
Измерение с	округлением	.
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения	окружностей	обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
Точки пересечения	окружностей	обозначьте буквами М и N. Постройте отрезки AM , AN , ВМ , BN .
Постройте третью окружность , центр которой лежит на отрезке AB и которая касается двух первых	окружностей	внутренним образом .
а ) Назовите какой - нибудь предмет , имеющий форму	окружности	.
На	окружности	с центром О и радиусом 2 см отметьте точку A.
Назовите центр , радиус , диаметр	окружности	.
Постройте две	окружности	с центрами A и B радиусами 3 см и 5 см , касающиеся внешним образом .
На отрезке AB отметьте точку С . а ) Постройте две	окружности	: с центром А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ .
Обычно рассматривается одна из дуг	окружности	, определяемая по смыслу задачи .
Центр	окружности	.
Часть плоскости , состоящую из всех точек	окружности	и всех точек , лежащих внутри окружности , называют кругом .
Постройте две	окружности	: с центром A и радиусом AB и с центром С и радиусом СВ .
Постройте две	окружности	радиусами 3 см и 4 см , касающиеся : а ) внешним образом ; б ) внутренним образом .
Построенные	окружности	имеют только одну общую точку С. Говорят , что они касаются внешним образом .
Построенные	окружности	имеют только одну общую точку В. Говорят , что они касаются внутренним образом .
Часть плоскости , состоящую из всех точек окружности и всех точек , лежащих внутри	окружности	, называют кругом .
Все точки	окружности	удалены от её центра на одинаковое расстояние , равное радиусу .
Отрезки OL , ОА , ОВ радиусы	окружности	, АВ — её диаметр , CD хорда .
а ) Определите углы , образованные касательной и радиусом	окружности	, проведённым в точку касания .
б ) Какую часть	окружности	пройдёт конец минутной стрелки : за 30 мин ; за 15 мин ; за 20 мин ; за 45 мин ; за 40 мин ? .
Касательной к	окружности	называют прямую , имеющую с окружностью только одну общую точку .
Покажите , как должны располагаться две	окружности	, чтобы они имели а общих касательных ?
а ) Какая часть	окружности	заключена между часовой и минутной стрелками , считая от минутной стрелки к часовой по их ходу , в 6 ч 00 мин ; в 3 ч 00 мин ? .
Окружность с центром О , касательная АВ и радиус	окружности	ОС .
Внутри или вне	окружности	расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Хорду , проходящую через центр	окружности	, называют диаметром .
Отрезок , соединяющий центр	окружности	с любой её точкой , называют радиусом .
Отрезок , соединяющий две любые точки	окружности	, называют хордой .
Радиус	окружности	.
Точку О называют центром	окружности	.
Постройте две	окружности	с центрами A и B и радиусом АВ .
Дана окружность , постройте равносторонний треугольник , вершины которого лежат на этой	окружности	.
Постройте	окружность	с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
Карандаш начертит на плоскости замкнутую линию —	окружность	.
Начертите	окружность	, радиус которой равен отрезку АВ .
Две точки делят	окружность	на две части , называемые дугами .
Начертите	окружность	, радиус которой равен .
Можно также сказать , что	окружность	состоит из точек , удалённых от её центра на расстояние , равное радиусу .
Постройте	окружность	и разделите её с помощью циркуля на : а ) 6 равных частей ; б ) 3 равные части .
Постройте третью	окружность	, центр которой лежит на отрезке AB и которая касается двух первых окружностей внутренним образом .
Дана	окружность	, постройте равносторонний треугольник , вершины которого лежат на этой окружности .
Какая из фигур , является	окружностью	?
Касательной к окружности называют прямую , имеющую с	окружностью	только одну общую точку .
Изучая главу 2 , вам предстоит повторить всё , что знаете о геометрических фигурах и их измерении , а также узнать много нового и интересного об углах , треугольниках и четырёхугольниках ,	окружностях	и кругах , о равных фигурах .
Вывести результат	операции	на табло можно нажатием любой из клавиш вместо клавиши .
Они позволяют практически мгновенно выполнять арифметические	операции	( действия ) .
Аналогично выполняются и другие арифметические	операции	.
Можно ли после нескольких таких	операций	получить 100 палочек ? .
Можно ли после нескольких таких	операций	получить 100 частей ? .
На верхней панели калькулятора имеются клавиши : для ввода чисел , для указания арифметических	операций	, для вывода на табло результата вычислений ; для сброса ( очистки ) табло .
Здесь впервые появится много задач на доказательство и задач , в которых надо определить , возможна ли	описанная	ситуация .
Гораздо проще подсчитать их число	описанным	выше способом .
Получите	описанным	способом числа 232 323 , 343 434 и 898 989 .
д. Получите	описанным	способом произведения от 333 333 до 999 999 .
а ) Периметр прямоугольника равен 48 см ,	основание	на 4 см больше высоты .
Число 3 показывает , сколько раз нужно взять множителем	основание	степени — число 2 .
Если	основание	а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Периметр прямоугольника равен 54 см ,	основание	на 5 см больше высоты .
Площадь прямоугольника 91 см2 , а его высота 7 см. Определите	основание	прямоугольника .
Периметр прямоугольника 36 дм ,	основание	на 6 см больше высоты .
Если	основание	и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Запишите в виде степени с	основанием	10 число .
При этом число 2 называют	основанием	степени , а число 3 — показателем степени .
Прямоугольник с	основанием	а 3 см и высотой b 5 см. Его можно разрезать на 5 слоёв по 3 квадрата в каждом слое , т .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с	основанием	4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
Показан порядок построения равнобедренного треугольника с	основанием	3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при	основании	построенного треугольника .
Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади	основания	на высоту .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь	основания	и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Площадь S	основания	прямоугольного параллелепипеда равна .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь	основания	и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Найдите площадь его	основания	и площадь боковой поверхности , т .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его	основания	на высоту .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его	основания	на высоту .
Нижнюю и верхнюю грани называют	основаниями	прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
В некоторых странах использовались системы счисления с другими	основаниями	5 , 12 , 20 , 60 .
Нижнюю и верхнюю стороны прямоугольника называют ещё	основаниями	прямоугольника .
Первый рабочий выполнил — задания , второй — остатка , третий —	остатка	, а четвёртый выполнил задание до конца .
Он потратил этой суммы и	остатка	.
Первому он отрезал часть пирога , второму остатка , третьему того , что осталось , четвёртому нового	остатка	.
Старшему — половину всего и 1 р . , среднему — половину остатка и ещё 1 р , младшему — половину	остатка	и последние 3 р .
б ) Некто израсходовал половину своих денег и	остатка	.
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных	остатка	, то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
Первый рабочий выполнил — задания , второй —	остатка	, третий — остатка , а четвёртый выполнил задание до конца .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных	остатка	, то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
б ) Мама дала детям конфеты : дочери половину всех конфет и ещё одну , сыну половину	остатка	и последние 5 конфет .
Первая покупательница купила у неё половину яиц и ещё пол - яйца , вторая — половину	остатка	и ещё пол - яйца , а третья — последние 10 яиц .
Старшему — половину всего и 1 р . , среднему — половину	остатка	и ещё 1 р , младшему — половину остатка и последние 3 р .
В первый день туристы прошли всего расстояния , а во второй день —	остатка	.
Первому он отрезал часть пирога , второму	остатка	, третьему того , что осталось , четвёртому нового остатка .
Разбейте множество натуральных чисел на классы по	остаткам	от деления на 3 ; 4 ; 7 .
Какое наименьшее число при делении и на 3 , и на 5 , и на 7 даёт в	остатке	: а ) 0 ; б ) 1 ; в ) 2 ? .
Какие	остатки	получаются при делении натуральных чисел : а ) на 2 ; 6 ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 7 ? .
Какой наименьшей длины может быть верёвка , чтобы её можно было разрезать без	остатков	на куски .
Приведите пример деления с	остатком	, назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
Это число называют неполным частным от деления 14 на 3 , а число 2 —	остатком	.
Выполните деление с	остатком	.
Разделите с	остатком	числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с	остатком	.
На доске написано несколько примеров на деление с	остатком	.
Деление с	остатком	.
Если одно число делится нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно делится с	остатком	, равным нулю .
В первый класс включим все числа , имеющие	остаток	0 при делении на 2 .
Делим на 7 число сотен — 2 (	остаток	0 ) .
Остаётся разделить	остаток	от деления десятков ( 28 ) и единицы ( 8) , т .
0 (	остаток	28 ) .
Во второй класс включим все числа , имеющие при делении на 2	остаток	1 .
Здесь 7 — неполное частное от деления 38 на 5 , а 3 —	остаток	.
Приведите пример деления с остатком , назовите делимое , делитель , неполное частное ,	остаток	.
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и	остаток	, если а не делится нацело на b .
Какой наименьший	остаток	может получиться при делении натуральных чисел ? .
Какой	остаток	получится от деления числа ? .
Теперь необходимо разделить	остаток	от деления сотен — 2 сотни и десятки — 8 десятков , т .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса —	остаток	2 .
4 (	остаток	2 ) .
Какой наибольший	остаток	может получиться при делении натуральных чисел ? .
Чему равен	остаток	при делении нацело ? .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса —	остаток	1 , числа третьего класса — остаток 2 .
При делении на 3 числа первого класса имеют	остаток	0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
1 (	остаток	2 ) .
Величина	острого	угла меньше 90 ° .
Величина	острого угла	меньше 90 ° .
Если все углы треугольника острые , то его называют	остроугольным треугольником	.
Могут ли смежные углы быть : а ) оба прямые ; б ) оба	острые	; в ) оба тупые ? .
Если все углы треугольника	острые	, то его называют остроугольным треугольником .
Назовите	острые	, прямые и тупые углы .
Постройте	острый	угол AOB .
Угол	острый	.
Показаны	острый	угол А НС и тупой угол МОК .
Постройте	острый угол	AOB .
Показаны	острый угол	А НС и тупой угол МОК .
Угол , меньший прямого , называют	острым	.
	Острым	?
Сколько	острых	углов получилось ? .
Сколько	острых углов	получилось ? .
и	откладывает	за месяц 900 р .
На луче AM	отложили	отрезки AB и АС , АС 89 см. Найдите длину отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
На луче от начальной точки О	отложим	один за другим несколько отрезков единичной длины .
Для этого надо часть единичного отрезка	отложить	р раз на координатном луче от точки О .
Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины	отрезка	АС .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину длины	отрезка	АB .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина	отрезка	AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
Это можно объяснить так : если отрезок разделить пополам , а каждую половину ещё пополам , то половина	отрезка	будет состоять из двух четвертей этого отрезка .
На прямой даны точки А , В и С , причём AB 6 см , АС 13 см. Найдите длину	отрезка	ВС , если .
Найдите длину	отрезка	АВ .
Найдите координату точки В по координатам точки А и точки С — середины	отрезка	АВ .
Длина	отрезка	ОA равна 5 единичным отрезкам .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины	отрезка	AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но длина не всякого	отрезка	в точности равна целому числу сантиметров .
Какую часть	отрезка	АН составляет отрезок AD ? .
Найдём длину	отрезка	, соединяющего точки а и b , и координату середины этого отрезка .
Найдём длину отрезка , соединяющего точки а и b , и координату середины этого	отрезка	.
Это можно объяснить так : если отрезок разделить пополам , а каждую половину ещё пополам , то половина отрезка будет состоять из двух четвертей этого	отрезка	.
Два	отрезка	АВ и CD называют равными отрезками , если они совмещаются при наложении .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных	отрезка	влево .
Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина	отрезка	СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Определите на глаз длину	отрезка	: а ) в сантиметрах ; б ) в миллиметрах Проверьте результат с помощью линейки .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого	отрезка	меньше суммы длин двух других отрезков .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче правее точки , а длина	отрезка	, соединяющего точки 1 и равна .
Если же точка B оказалась бы ближе к делению 5 , то мы сказали бы , что длина	отрезка	AB приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см .
Середина этого	отрезка	имеет координату .
В этом случае условились считать , что 6 см есть приближённая длина	отрезка	AB с точностью до 1 см с округлением .
В тетради постройте три	отрезка	различной длины .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см. Найдите длину	отрезка	ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
Найдите координату середины	отрезка	, соединяющего точки .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см. Найдите длину	отрезка	ВС. Сколько решений имеет задача ? .
Если принять длину	отрезка	АН за 1 , то отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .
Если на отрезке AB ровно три раза укладывается отрезок длиной дм , то длина	отрезка	AB равна трём четвёртым дециметра : 3/4 ДМ .
Длина	отрезка	AD больше длины отрезка АС , т .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины	отрезка	СВ , точки Е — середины отрезка CD .
В этом случае точная длина	отрезка	AB осталась неизвестной .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины	отрезка	CD .
Найдите длину	отрезка	А В .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины	отрезка	АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Измерение длины	отрезка	с недостатком .
Длина отрезка AD больше длины	отрезка	АС , т .
Длина	отрезка	AD равна сумме длин отрезков АС и CD .
б ) Определите длину	отрезка	, 3/5 которого равны 15 см . а ) Сыну 10 лет .
Для этого надо часть единичного	отрезка	отложить р раз на координатном луче от точки О .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина	отрезка	AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Длину	отрезка	AВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим , что два равных отрезка имеют равные длины .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину	отрезка	BD .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного	отрезка	— число 2 и т .
Если принять длину	отрезка	AB за 1 , то .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина	отрезка	СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Измерьте длину	отрезка	LN и величину угла L .
Однако ещё можно получить приближённую длину	отрезка	с точностью до 1 см с округлением .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины	отрезка	АB , надо к числу а прибавить половину длины отрезка АB .
Длину отрезка AВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим , что два равных	отрезка	имеют равные длины .
Постройте отрезок длиной 6 см. Отметьте этого	отрезка	.
Найдите длину	отрезка	AB .
В рассмотренном примере длина	отрезка	АВ приближённо равна 5 см с недостатком и 6 см с избытком с точностью до 1 см .
расстояние между точками а и b равно b — а . 3 ) точка является серединой	отрезка	, соединяющего точки а и b .
На луче AM отложили отрезки AB и АС , АС 89 см. Найдите длину	отрезка	ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом	отрезка	A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
Таким образом , можно вычислить координату середины	отрезка	, соединяющего любые две рациональные точки .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины	отрезка	АС .
Объясните на примере , как измерить длину	отрезка	с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Измерение длины	отрезка	с избытком .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного	отрезка	число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что длина	отрезка	AВ равна 5 см .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным	отрезкам	.
Длина отрезка ОA равна 5 единичным	отрезкам	.
Возьмём на плоскости четыре точки А , В , С и D , такие , что никакие три из них не лежат на одной прямой , и соединим их	отрезками	АВ , ВС , СD и DA .
Возьмём на плоскости несколько точек , например A , В , С , D , Е , и соединим точки А и В , В и С , С и D , D и Е	отрезками	.
Возьмём на плоскости три точки А , В и О , не лежащие на одной прямой , и соединим их	отрезками	.
Два отрезка АВ и CD называют равными	отрезками	, если они совмещаются при наложении .
Постройте отрезок АН 15 см. Отметьте на этом	отрезке	точки .
На	отрезке	AB отметили точку С так , что CB м , а AC на 1 м больше СВ .
а ) На	отрезке	AB отметьте точки С и D. Сколько отрезков получилось ? .
Постройте третью окружность , центр которой лежит на	отрезке	AB и которая касается двух первых окружностей внутренним образом .
На	отрезке	AB отметьте точку С . а ) Постройте две окружности : с центром А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ .
Если на	отрезке	AB ровно три раза укладывается отрезок длиной дм , то длина отрезка AB равна трём четвёртым дециметра : 3/4 ДМ .
На	отрезке	AB отметили точку С так , что СB = 7 м , и CB на 2 м меньше AC .
Например , в четырёхугольнике ABCD	отрезки	AC и BD — диагонали .
Постройте	отрезки	длиной 7 см , 11 см 4 мм , 14 см 6 мм .
Точки А , В , С и D называют вершинами прямоугольника , а	отрезки	AВ , ВС , CD и АD — его сторонами .
С его помощью измеряют произвольные	отрезки	.
Назовите все	отрезки	с концами в точках М , N и К. Сколько отрезков получилось ?
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС	отрезки	МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
Равны ли	отрезки	АВ , AM , AN , ВМ и BN ?
С помощью линейки измерьте	отрезки	с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
С помощью циркуля и линейки постройте	отрезки	, им равные .
В частности , равны	отрезки	АВ и ВА .
Если	отрезки	АВ , ВС , CD и DA не имеют других общих точек , кроме точек А , В , С и D , то полученную фигуру называют четырёхугольником ABCD .
На луче AM отложили	отрезки	AB и АС , АС 89 см. Найдите длину отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
Углы А , В и С называют углами треугольника ,	отрезки	AВ , АС и ВС — его сторонами .
Точки пересечения окружностей обозначьте буквами М и N. Постройте	отрезки	AM , AN , ВМ , BN .
В каком из этих случаев потребуется меньше асфальта , если	отрезки	AВ и CD равны ?
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других	отрезков	.
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин	отрезков	; б ) разности длин отрезков .
Сравните длины	отрезков	АВ и АС , ВС и АС , ВС и АВ .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных	отрезков	, можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
Длина отрезка AD равна сумме длин	отрезков	АС и CD .
Если никакие два из этих	отрезков	, имеющих общие точки , не лежат на одной прямой , то полученную линию называют ломаной линией или , коротко , ломаной и обозначают ABCDE .
Кузнечик прыгает на 5 единичных	отрезков	в любом направлении на плоскости .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности длин	отрезков	.
Измерение	отрезков	.
На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько	отрезков	единичной длины .
Музыкальное произведение состоит из одинаковых по длительности	отрезков	тактов .
Заметим , что четырёхугольником ABCD называют как линию , составленную из	отрезков	АВ , ВС , CD и DA , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Назовите все отрезки с концами в точках М , N и К. Сколько	отрезков	получилось ?
Какие единицы длины используют для измерения небольших	отрезков	? .
AB 12 см . а ) Найдите длины	отрезков	АС и СВ .
Заметим , что треугольником АВС называют как линию , составленную из	отрезков	АВ , ВС и АС , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Для измерения малых	отрезков	пользуются долями метра : дециметром , сантиметром и миллиметром .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных	отрезков	вправо и на 3 единичных отрезка влево .
а ) На отрезке AB отметьте точки С и D. Сколько	отрезков	получилось ? .
Сколько	отрезков	и сколько лучей при этом образовалось ? .
Образовалось 6	отрезков	с концами в этих точках .
Найдите длину	отрезков	АВ , ВС , АС .
Часть прямой , ограниченную точками А и В , называют	отрезком	АВ .
е ) Что называют	отрезком	? .
Этот отрезок называют единичным	отрезком	.
Отрезок , длина которого принята за единицу измерения , называют единичным	отрезком	.
Постройте координатный луч с единичным	отрезком	1 см ( 2 клетки тетради ) .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к	отрезку	AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Начертите окружность , радиус которой равен	отрезку	АВ .
Возьмём , например ,	отрезок	длиной 1 см в качестве единичного .
Если на отрезке AB ровно три раза укладывается	отрезок	длиной дм , то длина отрезка AB равна трём четвёртым дециметра : 3/4 ДМ .
Принято считать , что слово « сторона » означает не только	отрезок	, но и его длину .
Это можно объяснить так : если	отрезок	разделить пополам , а каждую половину ещё пополам , то половина отрезка будет состоять из двух четвертей этого отрезка .
Понятно , что всякий	отрезок	имеет определённую длину , но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров .
Начертите	отрезок	с концами в этих точках и измерьте приближённо его длину .
Постройте	отрезок	длиной 6 см. Отметьте этого отрезка .
Пусть задан	отрезок	AВ , длину которого надо измерить .
Постройте	отрезок	.
Этот	отрезок	называют единичным отрезком .
Если	отрезок	длиной 1 см разделить на две равные части , то каждая из них будет иметь длину , равную половине сантиметра .
Для этого задают луч , выходящий из точки О в направлении , отмеченном стрелкой , и	отрезок	, длину которого принимают за единицу .
Постройте	отрезок	равный .
Постройте	отрезок	AB .
Найдите координаты точек , делящих	отрезок	АВ на три равные части .
Убедитесь , что прямая MN делит	отрезок	АВ пополам .
Изобразите на координатном луче ( возьмите единичный	отрезок	длиной 6 см ) точки О .
Выберите удобный единичный	отрезок	и отметьте на координатном луче точки .
Какую часть отрезка АН составляет	отрезок	AD ? .
Изображён	отрезок	AB , разделённый на четыре равные части .
Изображён	отрезок	AB , разделённый на 9 равных частей .
Дан	отрезок	АВ .
Постройте	отрезок	АН 15 см. Отметьте на этом отрезке точки .
Постройте	отрезок	АВ = 12 см. Отметьте на АВ точку С так , чтобы .
Если принять длину отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет длину , а	отрезок	AD имеет длину .
Какой	отрезок	называют единичным ? .
Если принять длину отрезка АН за 1 , то	отрезок	АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .
Как называют	отрезок	, длина которого принята за единицу измерения ? .
С помощью циркуля и линейки постройте	отрезок	: а ) в 2 раза больший первого ; б ) в 3 раза больший первого .
В тетради постройте	отрезок	.
С помощью линейки постройте	отрезок	, длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности длин отрезков .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и	отрицательные	числа .
В дальнейшем будут введены	отрицательные	дроби , и такое действие станет возможным .
В дальнейшем будут введены новые числа —	отрицательные	, с помощью которых можно будет из меньшего числа вычесть большее .
Всего прямоугольный	параллелепипед	содержит 24 единичных куба , т .
Этот прямоугольный	параллелепипед	можно разрезать на 2 слоя , в каждом из которых по единичных куба .
Вырежьте развёртку из бумаги , оставляя припуски для склеивания , и склейте прямоугольный	параллелепипед	.
Прямоугольный	параллелепипед	, у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
Прямоугольный	параллелепипед	состоит из таких частей .
Прямоугольный	параллелепипед	, у которого все рёбра равны , называют кубом .
Прямоугольный	параллелепипед	.
Для этого достроим прямоугольный	параллелепипед	до куба с ребром 1 дм .
Склейте прямоугольный	параллелепипед	.
Формула верна и при дробных а , b и с. Прямоугольный	параллелепипед	с рёбрами а дм , b дм и с дм .
Изображён прямоугольный	параллелепипед	.
Если прямоугольный	параллелепипед	можно разрезать на h единичных кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
б ) Является ли любой прямоугольный	параллелепипед	кубом ?
Объём V прямоугольного	параллелепипеда	равен произведению площади основания на высоту .
Третье ребро разделим на три равные части ; две из них составляют высоту	параллелепипеда	.
Другое ребро куба разделим на две равные части ; одна из них составляет длину	параллелепипеда	.
Одно ребро куба разделим на пять равных частей ; две из них составляют ширину	параллелепипеда	.
Если длина , ширина и высота прямоугольного	параллелепипеда	выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Вершина прямоугольного	параллелепипеда	.
Объём прямоугольного	параллелепипеда	.
Если три измерения а , b и с прямоугольное	параллелепипеда	( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного	параллелепипеда	равен произведению трёх его измерений .
При этом предполагается , что рёбра прямоугольного	параллелепипеда	измерены в одинаковых линейных единицах .
Выполните в тетради рисунок прямоугольного	параллелепипеда	.
Найдите площадь полной поверхности прямоугольного	параллелепипеда	.
Вычислите объём прямоугольного	параллелепипеда	, если его рёбра равны : а ) 18 см , 16 см , 5 см ; б ) 12 см , 45 см , 2 см ; в ) 16 см , 23 см , 25 см ; г ) 11 см , 11 см , 11 см .
Вычислите объём прямоугольного	параллелепипеда	, площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Рёбра прямоугольного	параллелепипеда	равны .
Рёбра прямоугольного	параллелепипеда	равны 3 см , 4 см и 5 см .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося прямоугольного	параллелепипеда	.
Вычислите объём прямоугольного	параллелепипеда	, площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Аквариум имеет форму прямоугольного	параллелепипеда	, длина которого 45 см , ширина 30 см , а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Сколько у прямоугольного	параллелепипеда	граней , рёбер и вершин ? .
Как изменится объём прямоугольного	параллелепипеда	, если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Если её разрезать по вертикальным рёбрам , а затем развернуть , то получится развёртка прямоугольного	параллелепипеда	.
Коробка , имеющая форму прямоугольного	параллелепипеда	.
Три ребра прямоугольного	параллелепипеда	, которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
б ) Как вычислить объём прямоугольного	параллелепипеда	, зная длину , ширину и высоту ? .
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного	параллелепипеда	, остальные грани — боковыми гранями .
Грани пересекаются по отрезкам — рёбрам прямоугольного	параллелепипеда	.
Точки , в которых пересекаются рёбра , называют вершинами прямоугольного	параллелепипеда	.
Вычислите объём прямоугольного	параллелепипеда	, рёбра которого равны .
У прямоугольного	параллелепипеда	шесть граней , двенадцать рёбер и восемь вершин .
Если три измерения прямоугольного	параллелепипеда	— длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Постройте развёртку прямоугольного	параллелепипеда	, рёбра которого дм , дм , дм .
Вычислите площадь всех граней и объём прямоугольного	параллелепипеда	, рёбра которого равны .
б ) Чему равен объём прямоугольного	параллелепипеда	? .
Площадь S основания прямоугольного	параллелепипеда	равна .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного	параллелепипеда	равен произведению трёх его измерений .
Куб , сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных	параллелепипедов	? .
Является ли любой куб прямоугольным	параллелепипедом	?
Проведите прямую AB и вне её точку С. Через точку С проведите прямую ,	параллельную	прямой АВ .
Они равны и	параллельны	.
Две другие стороны называют высотами , они тоже равны и	параллельны	.
Края дорожки	параллельны	.
Если прямые AB и CD ( или а и b )	параллельны	, то это обозначают так .
На сколько частей делят плоскость две прямые , если они : а ) пересекаются ; б )	параллельны	? .
Показано , как с помощью угольника и линейки провести	параллельные	прямые .
Прямые	параллельные	.
Найдите	параллельные	прямые .
Нарисуйте от руки	параллельные	прямые .
Два поезда движутся навстречу друг другу по	параллельным	путям — один со скоростью 100 км / ч , другой со скоростью 80 км / ч .
Такие прямые называют	параллельными	.
г ) Какие прямые называют	параллельными	? .
После вычеркивания из таблицы чисел , кратных 7 ( они также расположены на	параллельных	прямых ) , в ней останутся только простые числа — они тоже обведены кружком .
Оно простое обведём его кружком , а все незачёркнутые числа , кратные ему ( они расположены на	параллельных	прямых ) , вычеркнем .
Придумайте ещё два своих	паркета	из равных прямоугольников .
Два способа покрытия пола	паркетом	из равных прямоугольников .
В самом деле , будем	перемножать	последовательно числа натурального ряда на 3 .
Чтобы	перемножить	, например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
Две различные прямые на плоскости могут и не	пересекаться	, сколько бы их ни продолжали .
Отсюда следует , что две различные прямые могут	пересекаться	только в одной точке .
На сколько частей делят плоскость две прямые , если они : а )	пересекаются	; б ) параллельны ? .
Грани	пересекаются	по отрезкам — рёбрам прямоугольного параллелепипеда .
Две прямые	пересекаются	в одной точке .
В прямоугольнике KLMN диагонали КМ и LN	пересекаются	в точке О. Докажите , что площади треугольников KLO и NMO равны .
Точки , в которых	пересекаются	рёбра , называют вершинами прямоугольного параллелепипеда .
Прямые А В и CD	пересекаются	в точке О. Углы АОС и BOD называют вертикальными .
Прямые ,	пересекающиеся	под прямым углом , называют перпендикулярными .
При	пересечении	двух прямых образовалось четыре угла .
Точки	пересечения	окружностей обозначьте буквами М и N. Постройте отрезки AM , AN , ВМ , BN .
Обозначьте все точки	пересечения	прямых , продолжив их , если нужно .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек	пересечения	окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
От	перестановки	слагаемых сумма не меняется .
То есть сумма не меняется от	перестановки	слагаемых .
От	перестановки	множителей произведение не меняется .
Найдите	периметр	прямоугольника , если одна из его сторон равна 37 см , а другая : а ) на 6 см больше ; б ) на 8 см меньше .
Определите	периметр	четырёхугольника ABCD .
Как изменится	периметр	квадрата , если его сторону : а ) увеличить в 2 раза ; б ) уменьшить в 3 раза ? .
Сторону квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился	периметр	квадрата ? .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же	периметр	, что и данный прямоугольник .
Сторона квадрата равна 13 см. Найдите его	периметр	.
Найдите	периметр	прямоугольника со сторонами : а ) 12 см и 9 см ; б ) 93 см и 2 см ; в ) 11 см и 47 мм ; г ) 17 см и 3 дм .
В каком случае	периметр	участка будет наименьшим ?
Найдите	периметр	прямоугольника , если одна из его сторон равна 26 см , а другая : а ) в 3 раза больше ; б ) в 2 раза меньше .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата ,	периметр	которого равен периметру данного прямоугольника .
Вычислите	периметр	квадрата , сторона которого равна .
Периметры треугольников BCD , BDE и ABE равны соответственно 20 см , 21 см и 22 см , а	периметр	пятиугольника ABCDE равен 31 см. Определите длины диагоналей BD и BE , если известно , что они равны .
Определите	периметр	многоугольника .
Вычислите площадь и	периметр	квадрата со стороной .
а ) Определите	периметр	шестиугольника .
Что такое	периметр	треугольника ? .
Периметр треугольника ABD равен 12 см ,	периметр	треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
Найдите	периметр	треугольника .
Вычислите	периметр	этого треугольника .
а ) Сторона равностороннего треугольника равна 7 см. Вычислите	периметр	этого треугольника .
В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть	периметр	треугольника ? .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а	периметр	четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
б ) Чему равна сторона ромба , если его	периметр	равен 20 см ? .
а ) Чему равен	периметр	ромба , если одна его сторона равна 20 см ? .
Вычислите площадь и	периметр	прямоугольника , длина и ширина которого равны .
Составьте выражение для вычисления	периметра	прямоугольника со сторонами .
Сумму длин всех сторон треугольника называют его	периметром	.
в ) Что называют	периметром	многоугольника ? .
Сумму длин сторон четырёхугольника называют его	периметром	и обозначают буквой Р. Таким образом .
Сумму длин сторон многоугольника называют его	периметром	.
Остаётся обвести закрашенные и незакрашенные области по	периметру	.
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен	периметру	данного прямоугольника .
а ) Верно ли , что если два треугольника равны , то их	периметры	равны ? .
б ) Верно ли , что если	периметры	двух четырёхугольников равны , то эти четырёхугольники равны ? .
а ) Верно ли , что если четырёхугольники равны , то равны и их	периметры	? .
Верно ли , что если	периметры	двух треугольников равны , то и сами треугольники равны ? .
Измерьте их стороны и вычислите	периметры	.
	Перпендикулярные	.
Прямые , пересекающиеся под прямым углом , называют	перпендикулярными	.
Какие прямые называют	перпендикулярными	? .
Принято считать , что единица не является пи простым ,	пи	составным числом .
Принято считать , что единица не является	пи	простым , пи составным числом .
а ) Для детского сада купили 20	пирамид	: больших и маленьких — по 7 и по 5 колец .
Сколько больших	пирамид	? .
У всех	пирамид	128 колец .
За сколько ходов можно перенести	пирамиду	из этих трёх колец на другой штырёк , если за один ход разрешается переносить только одно кольцо ; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее .
Заметим , что треугольником АВС называют как линию , составленную из отрезков АВ , ВС и АС , так и эту линию вместе с частью	плоскости	, расположенной внутри этой линии .
Кузнечик прыгает на 5 единичных отрезков в любом направлении на	плоскости	.
Карандаш начертит на	плоскости	замкнутую линию — окружность .
Две различные прямые на	плоскости	могут и не пересекаться , сколько бы их ни продолжали .
Поверхность стола или поверхность воды в пруду ( в безветренную погоду ) может служить примером части	плоскости	.
Представление о	плоскости	даёт поверхность стола .
Возьмём на	плоскости	четыре точки А , В , С и D , такие , что никакие три из них не лежат на одной прямой , и соединим их отрезками АВ , ВС , СD и DA .
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части	плоскости	.
Часть	плоскости	, состоящую из всех точек окружности и всех точек , лежащих внутри окружности , называют кругом .
Как могут располагаться две прямые на	плоскости	? .
Заметим , что четырёхугольником ABCD называют как линию , составленную из отрезков АВ , ВС , CD и DA , так и эту линию вместе с частью	плоскости	, расположенной внутри этой линии .
Заметим , что многоугольником называют как замкнутую ломаную , так и эту линию вместе с частью	плоскости	, расположенной внутри этой линии .
Возьмём на	плоскости	несколько точек , например A , В , С , D , Е , и соединим точки А и В , В и С , С и D , D и Е отрезками .
Для определения площади пасти	плоскости	, находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости .
Возьмём на	плоскости	три точки А , В и О , не лежащие на одной прямой , и соединим их отрезками .
На сколько частей разделилась	плоскость	?
Всю	плоскость	невозможно изобразить потому , что она бесконечна , но её можно представить себе .
Два различных луча ВА и ВС с общим началом В. Они делят	плоскость	на две части , называемые углами .
На сколько частей делят	плоскость	две прямые , если они : а ) пересекаются ; б ) параллельны ? .
Эти лучи тоже делят	плоскость	на две части , каждую из которых называют развёрнутым углом .
На сколько частей прямая делит	плоскость	? .
Клетчатая бумага даёт представление о том , как можно равными квадратами выложить	плоскость	.
На сколько частей можно разделить	плоскость	тремя прямыми ? .
Определите объём и сумму	площадей	всех граней получившегося куба .
Определите объём и сумму	площадей	всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда .
При измерении	площадей	чаще всего используют приближённые значения величин .
Для измерения	площадей	более крупных земельных участков ввели единицу измерения — 1 гектар ( обозначают 1 га ) .
сумму	площадей	боковых граней .
Для измерения	площадей	небольших земельных участков оказалось удобным ввести единицу измерения — 1 ар ( обозначают 1 а ) .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме	площадей	составляющих его многоугольников .
сумму	площадей	всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
б ) Верно ли , что если	площади	прямоугольников равны , то прямоугольники равны ? .
а ) Верно ли , что если прямоугольники равны , то их	площади	равны ? .
Равные многоугольники имеют равные	площади	.
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная единица	площади	содержится в этой части плоскости .
Равные прямоугольники имеют равные	площади	.
б ) Найдите сторону квадрата , площадь которого равна	площади	данного прямоугольника .
Для определения	площади	пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости .
Считают , что если многоугольники равны , то их	площади	равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
Так как 1 а — 100 м2 , то эту единицу измерения	площади	часто называют соткой .
Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению	площади	основания на высоту .
Верно ли , что	площади	треугольников ABD и CDВ равны ?
г ) Какие единицы измерения	площади	вы знаете ? .
В прямоугольнике KLMN диагонали КМ и LN пересекаются в точке О. Докажите , что	площади	треугольников KLO и NMO равны .
Единицы	площади	.
С помощью единичных квадратов измеряют	площади	прямоугольников .
а ) Две бригады убрали картофель с	площади	12 га за 4 дня .
а ) Во сколько раз увеличиваются единицы	площади	, записанные во второй строке таблицы , при переходе слева направо на одну клетку ? .
Если изобразить класс на плане с уменьшением сторон в 10 раз , то во сколько раз площадь класса на этом плане будет меньше настоящей	площади	класса ? .
б ) Во сколько раз уменьшаются единицы	площади	, записанные во второй строке таблицы , при переходе справа налево на одну клетку ? .
Определите	площадь	многоугольника .
Найдите	площадь	полной поверхности прямоугольного параллелепипеда .
Из листа фанеры размером 11 см х 15 см выпилили два квадрата со стороной 5 см и три прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см. Определите	площадь	оставшейся части .
Это	площадь	квадрата со стороной 100 м .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите	площадь	прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Определите	площадь	каждого участка в квадратных метрах .
Такие понятия , как длина ,	площадь	, объём , масса , время , скорость и т .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите	площадь	квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Стороны прямоугольника равны 4 см и см. Его	площадь	равна .
б ) Найдите сторону квадрата ,	площадь	которого равна площади данного прямоугольника .
Например , пусть требуется найти	площадь	S прямоугольника ABCD .
Вычислите	площадь	всех граней и объём куба с ребром .
Вычислите	площадь	всех граней и объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого равны .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его	площадь	равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
в ) Чему равна	площадь	квадрата ? .
Каковы должны быть размеры участка , чтобы он занимал наибольшую	площадь	, если ограда должна иметь калитку шириной 1 м ? .
Измерив его стороны АB и AD , получим АB — 3 см и AD — 5 см с недостатком , значит ,	площадь	S прямоугольника ABCD больше чем 15 ( см2 ) .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите	площадь	квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
Размеры первой комнаты 4 м х 5 м , второй — 3 м х 5 м , кухни 4 м х 3 м , а	площадь	подсобных помещений равна 10 м2 .
б ) Чему равна	площадь	прямоугольника ? .
Определите общую	площадь	квартиры .
Если взять длины сторон с избытком : АB — 4 см , AD — 6 см , то	площадь	прямоугольника ABCD будет меньше чем 24 ( см2 ) .
Чему равна	площадь	треугольника ABD ? .
Найдите площадь его основания и	площадь	боковой поверхности , т .
Говорят , что	площадь	единичного квадрата равна одной квадратной единице ( 1 м2 , 1 дм2 ) .
Как изменится	площадь	прямоугольника , если .
Во сколько раз увеличится	площадь	квадрата , если его сторону увеличить : а ) в 2 раза ; б ) в 3 раза ; в ) в 10 раз ? .
Это	площадь	квадрата со стороной 10 м .
Найдите	площадь	пола .
а ) Как вычислить	площадь	прямоугольника , зная длину и ширину ? .
квадрат со стороной 1 км имеет	площадь	один квадратный километр ( 1 км2 ) .
Вычислите	площадь	и периметр прямоугольника , длина и ширина которого равны .
квадрат со стороной 1 мм имеет	площадь	один квадратный миллиметр ( 1 мм2 ) .
Вычислите	площадь	и периметр квадрата со стороной .
квадрат со стороной 1 см имеет	площадь	один квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
квадрат со стороной 1 дм имеет	площадь	один квадратный дециметр ( 1 дм2 ) .
Говорят , что квадрат со стороной 1 м имеет	площадь	один квадратный метр ( 1 м2 ) .
Покажем , что его	площадь	равна .
Если изобразить класс на плане с уменьшением сторон в 10 раз , то во сколько раз	площадь	класса на этом плане будет меньше настоящей площади класса ? .
Квадрат разделён на равные части ,	площадь	каждой из которых равна дм2 .
Прямоугольник состоит из таких частей , поэтому его	площадь	равна .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то	площадь	прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Выразите в арах	площадь	прямоугольного участка земли , длина и ширина которого .
Вычислите	площадь	прямоугольника , стороны которого равны .
Объём комнаты 45 м3 , а	площадь	пола 15 м2 .
Выразите его	площадь	в квадратных метрах ; в арах ; в гектарах .
в ) Под картофель в хозяйстве занята в 5 раз бόльшая	площадь	, чем под морковь , а всего под картофель и морковь занято 27 га .
Какая	площадь	занята под картофель ? .
а ) Ребро куба равно 5 см. Найдите	площадь	поверхности куба , т .
Так как у квадрата все стороны равны ,	площадь	квадрата равна второй степени его стороны .
Если длина и ширина прямоугольника выражены натуральными числами а и b , то его	площадь	S вычисляется как произведение .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите	площадь	поверхности куба .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда ,	площадь	основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда ,	площадь	основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то	площадь	прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов , то говорят , что он имеет	площадь	S , равную k квадратным единицам .
на 15 единичных квадратов со стороной 1 см. Следовательно , его	площадь	S равна .
Найдите	площадь	его основания и площадь боковой поверхности , т .
Какова	площадь	всего поля ? .
Поле	площадью	5 га разделили на 8 равных участков прямоугольной формы .
Квадрат площадью 1 м2 разрезали на несколько равных квадратов	площадью	.
Некто хочет приобрести прямоугольный участок земли	площадью	4 сотки .
Квадрат	площадью	1 м2 разрезали на несколько равных квадратов площадью .
Сколько банок краски потребуется для покраски железной крыши дома , если содержимого одной банки хватает на покраску 10 м2	поверхности	? .
а ) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь	поверхности	куба , т .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь	поверхности	куба .
Найдите площадь полной	поверхности	прямоугольного параллелепипеда .
Найдите площадь его основания и площадь боковой	поверхности	, т .
Представление о плоскости даёт	поверхность	стола .
Поверхность стола или	поверхность	воды в пруду ( в безветренную погоду ) может служить примером части плоскости .
При этом число 2 называют основанием степени , а число 3 —	показателем	степени .
Если в числовом выражении есть степень с натуральным	показателем	, то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий .
Что называют степенью числа а с натуральным	показателем	n ? .
Степень с натуральным	показателем	.
Определением степени с натуральным	показателем	можно пользоваться и для дробей .
Степенью числа а с натуральным	показателем	называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Таким же образом можно вычислить любую степень числа с натуральным	показателем	, большим единицы .
степень числа с	показателем	1 .
Вычислите степени числа 10 с	показателями	от 1 до 7 .
Вычислите степени числа 2 с	показателями	от 1 до 10 .
Два способа	покрытия	пола паркетом из равных прямоугольников .
б ) Для	покрытия	пола кафельной плиткой можно купить 8 упаковок по 36 плиток размером 15 х 15 см или 7 упаковок по 24 плитки размером 20 х 20 см. В каком случае будет больше отходов ? .
За сколько часов второй тракторист может вспахать	поле	? .
Два тракториста вспахали	поле	за 6 ч совместной работы .
Число нуль также целое , но не	положительное	.
Является ли нуль	положительным	числом ? .
Число , большее нуля , называют	положительным	.
Какое число называют	положительным	? .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют	положительными	рациональными точками .
Положительные дроби называют ещё	положительными	рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Поэтому натуральные числа называют ещё целыми	положительными	числами .
Если а и b — два	положительных	рациональных числа и b > а , то .
Какую часть	поля	ему осталось вспахать ? .
а ) Два тракториста за 1 день совместной работы вспахали	поля	.
Какова площадь всего	поля	? .
Первый тракторист вспахал поля , второй	поля	.
Какую часть	поля	вспахал второй тракторист ? .
Тракторист должен вспахать	поля	.
Первый тракторист вспахал	поля	.
Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с	поля	.
Первый тракторист вспахал	поля	, второй поля .
До обеда он вспахал	поля	.
При вычислении значений числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами	порядка	действий , что и для натуральных чисел .
Получим числа , расположенные в	порядке	возрастания .
Запишите в	порядке	возрастания все делители числа .
Натуральные числа записанные в	порядке	возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
Нажмите клавиши в следующем	порядке	.
Равенство можно записать и в обратном	порядке	.
Фигуру следует раскрасить « в шахматном	порядке	» , отсоединить закрашенные области друг от друга так , чтобы каждая из них имела не больше одной общей точки с какой - либо другой закрашенной областью .
Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом	порядке	и получит новое число .
Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление , то эти действия выполняют но	порядку	слева направо .
В записях , в которых черта дроби используется несколько раз , знак ставится у черты дроби , означающей последнее по	порядку	действие деления .
Заметим , что последнее по	порядку	действие в числовом выражении определяет название числового выражения .
Определите	порядок	выполнения действий при вычислении суммы .
Укажите	порядок	действий и упростите числовое выражение .
Укажите	порядок	действий .
Определите	порядок	действий .
Показан	порядок	построения равнобедренного треугольника с основанием 3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки .
Изменять принятый	порядок	действий можно только в тех случаях , когда это позволяют законы сложения и умножения .
Например , укажем	порядок	действий в двух выражениях .
Нужно ещё знать	порядок	выполнения этих действий .
Особого внимания требует	порядок	выполнения действий в числовых выражениях , в которых имеются ( или подразумеваются ) скобки .
п. Приведите контрпример , показывающий , что Вася не	прав	. б ) Как исправить утверждение Васи , чтобы оно стало верным ? .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче	правее	точки , а длина отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
Из двух натуральных чисел больше то , которое в ряду натуральных чисел стоит	правее	( дальше от начала ) .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится	правее	числа а , т .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3	правее	1 .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится	правее	числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Какая из точек А(5 ) , B(100 ) и С(56 ) расположена на координатном луче : а )	правее	других ; б ) левее других ? .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится	правее	числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Назовите три точки , расположенные на координатном луче	правее	точек с указанными координатами , и три точки , расположенные левее их .
Из двух натуральных чисел больше то , которое на координатном луче находится	правее	.
точка b на координатном луче находится	правее	точки а .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8	правее	5 , а 3 правее 1 .
В этом случае точка , имеющая бόльшую координату , расположена на координатном луче	правее	.
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая	правильная	дробь имеет целую часть , равную нулю .
Отсюда следует , что любая	правильная	дробь меньше неправильной .
Дробь	правильная	.
Отсюда следует , что любая	правильная дробь	меньше неправильной .
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая	правильная дробь	имеет целую часть , равную нулю .
Как его было бы	правильнее	назвать — « шариком » или « сфериком » ? .
Примером	правильного	многоугольника является квадрат .
Для	правильного	упрощения числовых выражений мало знать правила выполнения отдельных действий .
Примером	правильного многоугольника	является квадрат .
В том случае , когда одно из двух чисел является натуральным числом или	правильной	дробью , вычисления выполняются аналогично .
Дробь называется	правильной	, если её числитель меньше знаменателя .
Сумму натурального числа и	правильной	дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
а ) Какую дробь называют	правильной	? .
Может ли сумма двух правильных дробей быть	правильной	дробью ; неправильной дробью ?
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и	правильной	дроби .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и	правильной	дроби .
Сумму натурального числа и	правильной дроби	записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и	правильной дроби	.
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и	правильной дроби	.
Может ли сумма двух правильных дробей быть	правильной дробью	; неправильной дробью ?
В том случае , когда одно из двух чисел является натуральным числом или	правильной дробью	, вычисления выполняются аналогично .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в )	правильную	дробь с неправильной .
б ) Может ли при умножении числа 3 на некоторую	правильную	дробь получиться число , меньшее 1 ?
При этом натуральное число называют целой частью , а	правильную	дробь — дробной частью смешанной дроби .
а ) Число 2 умножили на некоторую	правильную	дробь .
Сравните : а )	правильную	дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Может ли при умножении числа 4 на некоторую	правильную	дробь получиться число , большее 1 ?
Верно ли , что при умножении натурального числа на	правильную	дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
б ) Может ли при умножении числа 3 на некоторую	правильную дробь	получиться число , меньшее 1 ?
а ) Число 2 умножили на некоторую	правильную дробь	.
Сравните : а )	правильную дробь	с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Может ли при умножении числа 4 на некоторую	правильную дробь	получиться число , большее 1 ?
При этом натуральное число называют целой частью , а	правильную дробь	— дробной частью смешанной дроби .
Верно ли , что при умножении натурального числа на	правильную дробь	получится число , меньшее этого натурального числа ?
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в )	правильную дробь	с неправильной .
Поэтому складывать	правильные	дроби и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
Например , дроби	правильные	, дроби неправильные .
Поэтому складывать	правильные дроби	и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
С помощью циркуля и линейки можно построить	правильный	шестиугольник , у которого стороны равны и углы равны .
Постройте в тетради	правильный	шестиугольник и измерьте его углы .
Выберите	правильный	ответ .
С помощью циркуля и линейки можно построить	правильный шестиугольник	, у которого стороны равны и углы равны .
Постройте в тетради	правильный шестиугольник	и измерьте его углы .
Многоугольник называю	правильным	, если все его углы и все стороны равны .
а )	правильными	дробями . б )
а )	правильными дробями	. б )
Может ли сумма двух	правильных	дробей быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Пчёлы строят свои соты в виде	правильных	шестиугольников .
Может ли сумма двух	правильных дробей	быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Пчёлы строят свои соты в виде	правильных шестиугольников	.
Считать начинали с	правого	верхнего угла квадрата .
Для этого я попрошу умножить число рублей в	правой	руке на 2 , в левой — на 3 и результаты сложить , а мне сообщить лишь , является сумма чётной или нет .
Если сумма чётная , то двухрублёвая монета в левой руке , если нечётная , то в	правой	.
Левые части равенств — данные дроби , а	правые	— равные им несократимые дроби .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 ,	правый	конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Будем считать , что точка О представляет число нуль ,	правый	конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
При этом говорят так : к 5	прибавим	9 — получим 14 , пишем 4 ( единицы ) и 1 ( десяток ) запоминаем , к 4 прибавим 3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 ( десятков ) , пишем 8 .
При этом говорят так : к 5 прибавим 9 — получим 14 , пишем 4 ( единицы ) и 1 ( десяток ) запоминаем , к 4	прибавим	3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 ( десятков ) , пишем 8 .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби	прибавить	вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме	прибавить	третью дробь и т .
Чтобы к сумме двух чисел	прибавить	третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу	прибавить	сумму второго и третьего .
За один ход разрешается	прибавить	1 к любым двум из этих чисел .
Таким образом , мы получили равенство , показывающее , что если к сумме	прибавить	4 или к 3 прибавить сумму , то результат будет один и тот же .
Таким образом , мы получили равенство , показывающее , что если к сумме прибавить 4 или к 3	прибавить	сумму , то результат будет один и тот же .
Чтобы к сумме двух чисел	прибавить	третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу	прибавить	сумму второго и третьего чисел .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АB , надо к числу а	прибавить	половину длины отрезка АB .
Чтобы получить число 14 , надо	прибавить	к 12 число 2 , которое меньше 3 .
На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил загадкой : « Если сложить день и номер месяца моего рождения , то получится 20 ; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения , то получится 14 ; если к произведению дня и номера месяца моего рождения	прибавить	1900 , то получится год моего рождения » .
д. Словом , каждый день я буду	прибавлять	тебе по одному рублю , так что за один только четырнадцатый ( последний ) день я заплачу 14 р .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть ,	прибавляют	числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда ,	прибавляя	эту единицу к цифре следующего разряда .
Если хочешь в произведении иметь 121 212 , возьми 12 , умножь на 2 и на 10 , будет 240 ,	прибавь	первое число , будет 252 .
В этом случае условились считать , что 6 см есть	приближённая	длина отрезка AB с точностью до 1 см с округлением .
Знак называют знаком	приближённого	равенства и читают « приближённо равно » .
Однако ещё можно получить	приближённую	длину отрезка с точностью до 1 см с округлением .
При измерении площадей чаще всего используют	приближённые	значения величин .
Однако известно , при этом величины 5 см и 6 см отличаются от AB не более чем на 1 см. Их называют приближениями или	приближёнными	значениями длины AB с точностью до 1 см .
Докажем распределительный закон , считая , что дроби в скобках уже	приведены	к общему знаменателю .
Дроби	приведены	к общему знаменателю .
Дроби	приведите	к знаменателю 36 .
Если да , то	приведите	два примера .
Дроби	приведите	к знаменателю 24 .
На какие числа делится каждое из	приведённых	ниже чисел ? .
п.	привели	людей к необходимости уметь считать предметы .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо	привести	к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
Дроби имеют разные знаменатели , но их можно	привести	к общему знаменателю .
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями , их нужно	привести	к общему знаменателю , а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем .
При изучении главы 1 вам предстоит	привести	в систему всё , что вы знаете о натуральных числах , познакомиться со свойствами сложения и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
Любые две дроби можно	привести	к общему знаменателю , которым может быть произведение их знаменателей .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо	привести	их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
а ) Любые ли две дроби можно	привести	к общему знаменателю ? .
Так как НОК(4 , 8) = 8 , то к знаменателю 8 надо	привести	только первую дробь .
Но для упрощения вычислений нужно стараться	привести	дроби к наименьшему общему знаменателю .
Если дробные части слагаемых имеют разные знаменатели , то сначала нужно	привести	их к общему знаменателю , а потом выполнить сложение .
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели , то сначала нужно	привести	их к общему знаменателю , а потом выполнить вычитание .
Подтверждая своё мнение , он	приводит	примеры .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 )	приводит	к лишним вычислениям .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в первом примере , то сложение по формуле	приводит	к лишним вычислениям .
Для упрощения вычислений нужно стараться приводить дроби к наименьшему общему знаменателю , а получаемые результаты	приводить	к несократимому виду .
Для упрощения вычислений нужно стараться	приводить	дроби к наименьшему общему знаменателю , а получаемые результаты приводить к несократимому виду .
б ) К какому общему знаменателю лучше всего	приводить	две дроби ? .
— Сколько	приводишь	ты из своего многочисленного стада ?
— Я	привожу	две трети от трети скота .
Запишите	произведение	в виде степени .
( Для решения задачи достаточно составить	произведение	и не вычислять его . ) .
Чему равно	произведение	: а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Вычтите	произведение	чисел 12 345 и 9 из числа 1 000 000 .
в ) Из числа 9999 вычтите	произведение	чисел 999 и 9 . г ) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
Если один ив множителей делится на некоторое число , то и	произведение	делится на это число .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел ,	произведение	которых является простым числом .
Вычислим	произведение	.
От перестановки множителей	произведение	не меняется .
Если длина , ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как	произведение	.
Запишите	произведение	в виде суммы .
Из сочетательного закона умножения следует , что	произведение	трёх ( и более ) чисел можно записать и без скобок .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , «	произведение	» , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
а ) Уменьшите 309 на 12 . б ) Уменьшите	произведение	чисел 409 и 5 на 920 .
Используя распределительный закон , запишите	произведение	в виде суммы .
а ) Вычислите	произведение	и числа , обратного числу 3 .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на	произведение	второго и третьего чисел .
Степенью числа а с натуральным показателем называют	произведение	n множителей , каждый из которых равен а .
Вычислите	произведение	.
Вычислите	произведение	7 и числа , обратного числу .
Чему равно	произведение	взаимно обратных чисел ?
Музыкальное	произведение	состоит из одинаковых по длительности отрезков тактов .
Определите пропавшую цифру без справочника и не вычисляя	произведение	.
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает	произведение	натуральных чисел от 1 до n .
Запись 5 ! читается « 5 факториал » и означает	произведение	натуральных чисел от 1 до 5 .
Так как	произведение	знаменателей .
Ответ : 6724 . 3 ) Вычислите	произведение	.
Вычислите	произведение	двух чисел индийским способом и сделайте проверку обычным способом .
Представьте данное	произведение	в виде произведения возможно большего числа множителей , отличных от 1 .
Если длина и ширина прямоугольника выражены натуральными числами а и b , то его площадь S вычисляется как	произведение	.
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное	произведение	умножить на третью дробь и т .
Вычислите	произведение	чисел .
Некто утверждает , что знает 4 натуральных числа ,	произведение	и сумма которых нечётные числа .
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю , которым может быть	произведение	их знаменателей .
Можно считать , что	произведение	натурального числа n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Запишите	произведение	в виде разности .
Сначала перебираем все делители числа 18 до тех пор , пока	произведение	двух соседних делителей не даст 18 .
Докажите , что	произведение	чётного числа и любого натурального числа есть число чётное .
Объясните , почему на 12 делится	произведение	.
Итак , справедливо равенство , где 4 — наибольшее число ,	произведение	которого на 3 меньше 14 .
Вычислите полученное	произведение	.
Чтобы	произведение	двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Получится число 12 , называемое	произведением	чисел 3 и 4 .
Замените сумму	произведением	.
в	произведении	получилось 111 111 , или 222 222 , или 333 333 , и так до 999 999 , то умножай 777 на 143 и будет 111111 .
Если хочешь в	произведении	иметь 121 212 , возьми 12 , умножь на 2 и на 10 , будет 240 , прибавь первое число , будет 252 .
Из законов умножения следует , что в	произведении	нескольких множителей можно менять местами множители и заключать их в скобки любым способом .
Переход от	произведений	соответственно к сумме и разности называют раскрытием скобок .
Определите , какое из следующих	произведений	определяет количество квартир а ) в подъезде ; 6 ) на одном этаже в двух подъездах ; в ) в двух подъездах .
а ) Каким может быть число а , чтобы вы могли устно вычислить разность двух	произведений	?
Объём V прямоугольного параллелепипеда равен	произведению	площади основания на высоту .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен	произведению	трёх его измерений .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна	произведению	его основания на высоту .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель —	произведению	знаменателей этих дробей .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен	произведению	числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен	произведению	трёх его измерений .
Приведите дроби к общему знаменателю , равному	произведению	знаменателей дробей .
Переход от суммы к	произведению	и от разности к произведению называют вынесением общего множителя за скобки .
На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил загадкой : « Если сложить день и номер месяца моего рождения , то получится 20 ; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения , то получится 14 ; если к	произведению	дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900 , то получится год моего рождения » .
Переход от суммы к произведению и от разности к	произведению	называют вынесением общего множителя за скобки .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна	произведению	его основания на высоту .
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей , то их наименьшее общее кратное равно	произведению	этих чисел .
Представьте данное произведение в виде	произведения	возможно большего числа множителей , отличных от 1 .
д. Получите описанным способом	произведения	от 333 333 до 999 999 .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде	произведения	натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Запишите сумму в виде	произведения	.
В задаче упоминаются	произведения	дробей .
Запишите числа 24 , 42 , 36 , 72 , 75 в виде	произведения	и покажите , что .
Запишите число в виде	произведения	одинаковых чисел .
Разложить данное составное число на простые множители — значит представить его в виде	произведения	различных его простых делителей или их степеней .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные	произведения	сложить .
Каждое составное число можно представить в виде	произведения	его простых делителей .
Запишите каждое из чисел 15 ; 25 ; 13 ; 24 ; 36 ; 14 ; 17 в виде	произведения	двух множителей всеми возможными способами .
а ) Представьте число 8 в виде	произведения	нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
Запишите число в виде	произведения	двух равных множителей .
Запишите число в виде	произведения	двух множителей .
Мы уже знаем , что сумму нескольких одинаковых слагаемых принято записывать короче — в виде	произведения	.
Запишите в виде	произведения	.
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде	произведения	нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
Используя распределительный закон , запишите сумму в виде	произведения	.
Запишите следующее число в виде	произведения	двух множителей различными способами .
Для вычисления этого	произведения	надо умножить 5 на 48 , а полученный результат умножить на 2 .
Например , число 4560 оканчивается цифрой 0 , его можно представить в виде	произведения	, которое делится на 10 ( по свойству 1 ) .
Запишите число в виде	произведения	двух множителей всеми возможными способами .
В самом деле , если числитель дроби р делится на знаменатель q , то его можно записать в виде	произведения	, где n частное от деления р на q .
Число 4 можно записать в виде суммы , разности ,	произведения	, частного , степени или другими способами .
Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде	произведения	некоторого числа и степени числа 10 .
Другие делители найдём , составляя различные	произведения	из этих простых делителей .
Для вычисления	произведения	однозначных чисел удобно пользоваться таблицей умножения .
Вычисление	произведения	однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Используя распределительный закон , запишите разность в виде	произведения	.
Для этого надо взять каждый из простых делителей числа 90 , их всевозможные	произведения	, содержащие не больше одного множителя 2 , двух множителей 3 и одного множителя 5 .
Например . Говорят , что в	произведениях	раскрыли скобки и получили соответственно сумму и разность .
Простых чисел бесконечно много , есть первое число 2 , но нет последнего	простого числа	.
Вася считает , что любое	простое число	можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является простым числом .
3 , 2 —	простое число	, 5 , 3 — простое число и т .
3 , 2 — простое число , 5 , 3 —	простое число	и т .
Большой вклад в её решение внёс великий русский математик академик П. Л. Чебышев ( 1821–1894 ) , доказавший , в частности , что между числами n и 2п ( n > 1 ) имеется по крайней мере одно	простое число	.
Можно ли	простое число	записать в виде суммы .
Назовите наименьшее	простое число	.
Если делитель —	простое число	, то его называют простым делителем .
Каждое	простое число	имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
1 не	простое число	и не составное — вычеркнем его .
С помощью таблицы простых чисел : а ) определите , какие из чисел 47 ; 69 ; 127 ; 301 ; 447 ; 517 ; 673 ; 879 являются простыми ; б ) назовите все	простые числа	, большие 30 , но меньшие 50 ; в ) назовите все составные числа , большие 30 .
Например , если в формулу подставлять вместо n натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 40 , то будут получаться	простые числа	.
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены	простые числа	в натуральном ряду , и найти общую формулу для нахождения простых чисел .
в ) Используя « решето » Эратосфена , получите все	простые числа	в промежутке от 1 до 200 .
Так как взаимно	простые числа	не имеют общих простых делителей , то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел .
После вычеркивания из таблицы чисел , кратных 7 ( они также расположены на параллельных прямых ) , в ней останутся только	простые числа	— они тоже обведены кружком .
Например , 24 и 25 — взаимно	простые числа	.
а ) Почему после « просеивания » чисел , кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только	простые числа	? .
На форзаце учебника помещена таблица простых чисел , в которой записаны все	простые числа	от 2 до 997 .
Имеются ли среди чисел 2 ! , 3 ! , 4 ! , 5 ! , 6 ! , 7 ! , взаимно	простые числа	? .
Особое внимание они уделяли	простым числам	.
Верно ли , что сумма любых двух простых чисел является	простым числом	? .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является	простым числом	.
а ) Может ли сумма двух простых чисел быть	простым числом	? .
Являются ли	простыми числа	998 ; 999 ; 1000 ? .
Являются ли взаимно	простыми числа	.
С помощью разложения чисел на простые множители докажите , что являются взаимно	простыми числа	.
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно	простыми числами	, как в первом примере , то сложение по формуле приводит к лишним вычислениям .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно	простыми числами	, как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
е . являются взаимно	простыми числами	.
Числа , не имеющие общих простых делителей , называют взаимно	простыми числами	.
Но общей формулы	простых чисел	пока не найдено .
Наибольший общий делители взаимно	простых чисел	равен 1 .
а ) Петя придумал новую формулу для нахождения	простых чисел	.
а ) Может ли сумма двух	простых чисел	быть простым числом ? .
Л. Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу , называемую проблемой Эйлера : « Доказать , что каждое чётное число , начиная с 4 , можно представить в виде суммы двух	простых чисел	» .
Более двухсот лет назад член Петербургской академии паук X. Гольдбах ( 1690–1764 ) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха : « Доказать , что каждое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх	простых чисел	» .
б ) Сколько различных	простых чисел	можно получить по формуле , если брать последовательные натуральные числа , начиная с n = 1 ? .
Л. Эйлер рассматривал и такую задачу : « Определить , сколько	простых чисел	содержится между двумя данными натуральными числами , не пересчитывая их непосредственно » .
Верно ли , что сумма любых двух	простых чисел	является простым числом ? .
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из	простых чисел	, составных чисел и единицы .
доказано , что	простых чисел	бесконечно много .
На форзаце учебника помещена таблица	простых чисел	, в которой записаны все простые числа от 2 до 997 .
а ) для взаимно	простых чисел	.
Приведите примеры взаимно	простых чисел	.
Чему равен наибольший общий делитель взаимно	простых чисел	? .
Поэтому очень важно узнать тайны	простых чисел	— сколько их , как они распределены в натуральном ряду и т .
Чему равно наименьшее общее кратное взаимно	простых чисел	? .
С помощью таблицы	простых чисел	: а ) определите , какие из чисел 47 ; 69 ; 127 ; 301 ; 447 ; 517 ; 673 ; 879 являются простыми ; б ) назовите все простые числа , большие 30 , но меньшие 50 ; в ) назовите все составные числа , большие 30 .
другой древнегреческий математик Эратосфен предложил довольно лёгкий способ отыскания	простых чисел	.
Не пользуясь таблицей	простых чисел	, докажите , что число : а ) 29 ; 6 ) 41 ; в ) 53 ; г ) 59 является простым .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые числа в натуральном ряду , и найти общую формулу для нахождения	простых чисел	.
Он позволяет сократить объём работы при составлении таблицы	простых чисел	.
Докажите , что , кроме числа 2 , не существует других чётных	простых чисел	.
Вот первые десять	простых чисел	.
Отметим , что два различных	простых числа	( например , 17 и 23 ) , а также два соседних натуральных числа ( например , 24 и 25 ) являются взаимно простыми .
Докажите , что два	простых числа	являются взаимно простыми .
Убедитесь , что	прямая	MN делит отрезок АВ пополам .
На сколько частей	прямая	делит плоскость ? .
Через каждые две точки проведена	прямая	.
Отметим на прямой l две различные точки С и D. Тогда эту прямую l называют также «	прямая	CD » .
Прямую обозначают одной строчной ( малой ) латинской буквой , например l , и читают : «	прямая	эль » .
Угол , меньший	прямого	, называют острым .
В треугольнике не может быть больше одного	прямого	или тупого угла .
Угол , больший	прямого	, но меньший развёрнутого , называют тупым .
На	прямой	отметили 5 точек .
Сколько получится лучей , если на	прямой	отметить : а ) 3 точки ; б ) 5 точек ; в ) 100 точек ? .
Часть	прямой	, ограниченную точками А и В , называют отрезком АВ .
На рисунке всегда изображается только часть	прямой	, которую проводят с помощью линейки .
На	прямой	отметили четыре точки .
Коротко — частью	прямой	.
Например , треугольники АВС и MNK равны , так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по	прямой	l .
Если согнуть лист бумаги , то линия сгиба будет частью	прямой	линии .
Сколько градусов содержит развёрнутый угол ,	прямой	угол ? .
На	прямой	даны точки А , В и С , причём AB 6 см , АС 13 см. Найдите длину отрезка ВС , если .
Точка А расположена на	прямой	между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Запишите обозначения	прямой	и полученных лучей .
Точка С расположена на	прямой	между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Прямая MN перпендикулярна	прямой	AС . .
Проведите прямую AB и вне её точку С. Через точку С проведите прямую , параллельную	прямой	АВ .
Возьмём на плоскости три точки А , В и О , не лежащие на одной	прямой	, и соединим их отрезками .
Отметьте на	прямой	две точки А и В. Сколько получилось лучей с началом в этих точках ? .
Угол	прямой	.
Его половина	прямой	угол — содержит 90 градусов .
Отметим на	прямой	l две различные точки С и D. Тогда эту прямую l называют также « прямая CD » .
Если на	прямой	отметить точку , то образуется два луча , выходящих из одной точки .
Если лист бумаги перегнуть по	прямой	BD , то лучи ВA и ВС совпадут .
Представление о	прямой	даёт туго натянутая нить .
Четырёхугольники ABCD и KLMN равны , так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по	прямой	m .
Точка A , лежащая на	прямой	, делит её на две части .
Числа удобно представлять точками	прямой	.
Если один из углов треугольника	прямой	, то его называют прямоугольным треугольником .
На	прямой	даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача ? .
Многоугольник называют выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от каждой	прямой	, содержащей его сторону .
Возьмём на плоскости четыре точки А , В , С и D , такие , что никакие три из них не лежат на одной	прямой	, и соединим их отрезками АВ , ВС , СD и DA .
На	прямой	даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см. Найдите длину отрезка ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
Если согнуть лист бумаги , то линия сгиба будет частью	прямой линии	.
Сколько градусов содержит развёрнутый угол ,	прямой угол	? .
Его половина	прямой угол	— содержит 90 градусов .
Из прямоугольника 10 x 7 вырезали	прямоугольник	1 х 6 .
Каждая грань —	прямоугольник	.
Определите , сколько единичных квадратов содержит	прямоугольник	на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Если	прямоугольник	можно разрезать на k единичных квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным единицам .
Изображён	прямоугольник	со сторонами а дм и b дм .
Достроим	прямоугольник	до квадрата со стороной 1 дм .
Изображён	прямоугольник	ABCD .
Постройте в тетради	прямоугольник	со сторонами : а ) 5 см и 3 см ; б ) 71 мм и 27 мм .
Является ли любой	прямоугольник	квадратом ? .
а ) Какой	прямоугольник	называют квадратом ? .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный	прямоугольник	.
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали	прямоугольник	со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
б ) Чему равна площадь	прямоугольника	? .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь	прямоугольника	со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Сад имеет форму	прямоугольника	со сторонами 500 м и 400 м .
Стороны	прямоугольника	равны 4 см и см. Его площадь равна .
Площадь	прямоугольника	91 см2 , а его высота 7 см. Определите основание прямоугольника .
Площадь прямоугольника 91 см2 , а его высота 7 см. Определите основание	прямоугольника	.
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного	прямоугольника	.
б ) Найдите сторону квадрата , площадь которого равна площади данного	прямоугольника	.
Если взять длины сторон с избытком : АB — 4 см , AD — 6 см , то площадь	прямоугольника	ABCD будет меньше чем 24 ( см2 ) .
Как изменится площадь	прямоугольника	, если .
Вычислите площадь и периметр	прямоугольника	, длина и ширина которого равны .
Площадь	прямоугольника	.
Пол в классе имеет форму	прямоугольника	со сторонами 5 м и 6 м .
Вычислите площадь	прямоугольника	, стороны которого равны .
Площадь	прямоугольника	равна 4 дм2 .
Вычислите длину	прямоугольника	, если его ширина равна .
Необходимо покрыть кафельной плиткой пол , имеющий форму	прямоугольника	со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется , если в каждом ящике 50 плиток ?
Из	прямоугольника	10 x 7 вырезали прямоугольник 1 х 6 .
Из листа фанеры размером 11 см х 15 см выпилили два квадрата со стороной 5 см и три	прямоугольника	со сторонами 4 см и 7 см. Определите площадь оставшейся части .
Линия проведена так , чтобы она пересекала каждую сторону каждого маленького	прямоугольника	только один раз .
Измерив его стороны АB и AD , получим АB — 3 см и AD — 5 см с недостатком , значит , площадь S	прямоугольника	ABCD больше чем 15 ( см2 ) .
При этом предполагается , что стороны	прямоугольника	измерены в одинаковых линейных единицах .
Если длина и ширина	прямоугольника	выражены натуральными числами а и b , то его площадь S вычисляется как произведение .
а ) Как вычислить площадь	прямоугольника	, зная длину и ширину ? .
Например , пусть требуется найти площадь S	прямоугольника	ABCD .
Одну сторону квадрата разделим на 4 равные части ; три из них составляют длину	прямоугольника	.
Найдите высоту	прямоугольника	.
Составьте выражение для вычисления периметра	прямоугольника	со сторонами .
Стороны	прямоугольника	равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
Другую сторону квадрата разделим на 3 равные части ; две из них составляют ширину	прямоугольника	.
Найдите большую сторону	прямоугольника	.
Точки А , В , С и D называют вершинами	прямоугольника	, а отрезки AВ , ВС , CD и АD — его сторонами .
Найдите периметр	прямоугольника	, если одна из его сторон равна 37 см , а другая : а ) на 6 см больше ; б ) на 8 см меньше .
Найдите стороны	прямоугольника	.
Найдите периметр	прямоугольника	, если одна из его сторон равна 26 см , а другая : а ) в 3 раза больше ; б ) в 2 раза меньше .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь	прямоугольника	равна произведению его основания на высоту .
Периметр	прямоугольника	равен 56 см , одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую сторону .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками	прямоугольника	цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь	прямоугольника	равна произведению его основания на высоту .
Если основание а и высота b	прямоугольника	измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Периметр	прямоугольника	равен 54 см , основание на 5 см больше высоты .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки	прямоугольника	делили диагоналями .
а ) Периметр	прямоугольника	равен 48 см , основание на 4 см больше высоты .
Нижнюю и верхнюю стороны прямоугольника называют ещё основаниями	прямоугольника	.
Периметр	прямоугольника	36 дм , основание на 6 см больше высоты .
Нижнюю и верхнюю стороны	прямоугольника	называют ещё основаниями прямоугольника .
Если основание и высота	прямоугольника	измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Найдите периметр	прямоугольника	со сторонами : а ) 12 см и 9 см ; б ) 93 см и 2 см ; в ) 11 см и 47 мм ; г ) 17 см и 3 дм .
Плоскость можно выложить также равными	прямоугольниками	.
В	прямоугольнике	KLMN диагонали КМ и LN пересекаются в точке О. Докажите , что площади треугольников KLO и NMO равны .
б ) Верно ли , что если площади прямоугольников равны , то	прямоугольники	равны ? .
Равные	прямоугольники	имеют равные площади .
а ) Верно ли , что если	прямоугольники	равны , то их площади равны ? .
Придумайте ещё два своих паркета из равных	прямоугольников	.
Два способа покрытия пола паркетом из равных	прямоугольников	.
С помощью единичных квадратов измеряют площади	прямоугольников	.
Сколько	прямоугольников	изображено ? .
Изображено 18	прямоугольников	.
б ) Верно ли , что если площади	прямоугольников	равны , то прямоугольники равны ? .
Какой из четырёхугольников является : а )	прямоугольником	; б ) квадратом ? .
б ) Является ли любой квадрат	прямоугольником	?
Какой четырёхугольник называют	прямоугольником	? .
Четырёхугольник , у которого все углы прямые , называют	прямоугольником	.
Учтите , что квадрат является	прямоугольником	.
Объём	прямоугольного	параллелепипеда .
Вычислите объём	прямоугольного	параллелепипеда , рёбра которого равны .
Найдите площадь полной поверхности	прямоугольного	параллелепипеда .
Вычислите площадь всех граней и объём	прямоугольного	параллелепипеда , рёбра которого равны .
Аквариум имеет форму	прямоугольного	параллелепипеда , длина которого 45 см , ширина 30 см , а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Площадь S основания	прямоугольного	параллелепипеда равна .
Объём V	прямоугольного	параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .
При этом предполагается , что рёбра	прямоугольного	параллелепипеда измерены в одинаковых линейных единицах .
Постройте развёртку	прямоугольного	параллелепипеда , рёбра которого дм , дм , дм .
б ) Чему равен объём	прямоугольного	параллелепипеда ? .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося	прямоугольного	параллелепипеда .
Вычислите объём	прямоугольного	параллелепипеда , если его рёбра равны : а ) 18 см , 16 см , 5 см ; б ) 12 см , 45 см , 2 см ; в ) 16 см , 23 см , 25 см ; г ) 11 см , 11 см , 11 см .
Вычислите объём	прямоугольного	параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Вычислите объём	прямоугольного	параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Рёбра	прямоугольного	параллелепипеда равны 3 см , 4 см и 5 см .
Если длина , ширина и высота	прямоугольного	параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Как изменится объём	прямоугольного	параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Вершина	прямоугольного	параллелепипеда .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём	прямоугольного	параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Выполните в тетради рисунок	прямоугольного	параллелепипеда .
Если три измерения	прямоугольного	параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Грани пересекаются по отрезкам — рёбрам	прямоугольного	параллелепипеда .
Точки , в которых пересекаются рёбра , называют вершинами	прямоугольного	параллелепипеда .
Выразите в арах площадь	прямоугольного	участка земли , длина и ширина которого .
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями	прямоугольного	параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
Сколько у	прямоугольного	параллелепипеда граней , рёбер и вершин ? .
б ) Как вычислить объём	прямоугольного	параллелепипеда , зная длину , ширину и высоту ? .
Три ребра	прямоугольного	параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
Рёбра	прямоугольного	параллелепипеда равны .
Коробка , имеющая форму	прямоугольного	параллелепипеда .
У	прямоугольного	параллелепипеда шесть граней , двенадцать рёбер и восемь вершин .
Если её разрезать по вертикальным рёбрам , а затем развернуть , то получится развёртка	прямоугольного	параллелепипеда .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём	прямоугольного	параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Вычислите площадь всех граней и объём	прямоугольного параллелепипеда	, рёбра которого равны .
б ) Чему равен объём	прямоугольного параллелепипеда	? .
Если три измерения	прямоугольного параллелепипеда	— длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если её разрезать по вертикальным рёбрам , а затем развернуть , то получится развёртка	прямоугольного параллелепипеда	.
Коробка , имеющая форму	прямоугольного параллелепипеда	.
Площадь S основания	прямоугольного параллелепипеда	равна .
Три ребра	прямоугольного параллелепипеда	, которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
Объём V	прямоугольного параллелепипеда	равен произведению площади основания на высоту .
б ) Как вычислить объём	прямоугольного параллелепипеда	, зная длину , ширину и высоту ? .
Точки , в которых пересекаются рёбра , называют вершинами	прямоугольного параллелепипеда	.
Рёбра	прямоугольного параллелепипеда	равны .
Постройте развёртку	прямоугольного параллелепипеда	, рёбра которого дм , дм , дм .
Вершина	прямоугольного параллелепипеда	.
Аквариум имеет форму	прямоугольного параллелепипеда	, длина которого 45 см , ширина 30 см , а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Грани пересекаются по отрезкам — рёбрам	прямоугольного параллелепипеда	.
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём	прямоугольного параллелепипеда	равен произведению трёх его измерений .
Найдите площадь полной поверхности	прямоугольного параллелепипеда	.
Как изменится объём	прямоугольного параллелепипеда	, если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Выполните в тетради рисунок	прямоугольного параллелепипеда	.
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями	прямоугольного параллелепипеда	, остальные грани — боковыми гранями .
Если длина , ширина и высота	прямоугольного параллелепипеда	выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Вычислите объём	прямоугольного параллелепипеда	, площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Рёбра	прямоугольного параллелепипеда	равны 3 см , 4 см и 5 см .
Объём	прямоугольного параллелепипеда	.
Вычислите объём	прямоугольного параллелепипеда	, если его рёбра равны : а ) 18 см , 16 см , 5 см ; б ) 12 см , 45 см , 2 см ; в ) 16 см , 23 см , 25 см ; г ) 11 см , 11 см , 11 см .
У	прямоугольного параллелепипеда	шесть граней , двенадцать рёбер и восемь вершин .
Сколько у	прямоугольного параллелепипеда	граней , рёбер и вершин ? .
Вычислите объём	прямоугольного параллелепипеда	, рёбра которого равны .
При этом предполагается , что рёбра	прямоугольного параллелепипеда	измерены в одинаковых линейных единицах .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося	прямоугольного параллелепипеда	.
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём	прямоугольного параллелепипеда	равен произведению трёх его измерений .
Вычислите объём	прямоугольного параллелепипеда	, площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Если три измерения а , b и с	прямоугольное	параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если три измерения а , b и с	прямоугольное параллелепипеда	( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Некто имел 99 м сетки для ограждения участка	прямоугольной	формы .
Поле площадью 5 га разделили на 8 равных участков	прямоугольной	формы .
Классная комната , коробка конфет или кирпич дают представление о	прямоугольном	параллелепипеде .
Для этого достроим	прямоугольный	параллелепипед до куба с ребром 1 дм .
Некто хочет приобрести	прямоугольный	участок земли площадью 4 сотки .
Треугольник	прямоугольный	.
Вырежьте развёртку из бумаги , оставляя припуски для склеивания , и склейте	прямоугольный	параллелепипед .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б )	прямоугольный	; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Изображён	прямоугольный	параллелепипед .
Всего	прямоугольный	параллелепипед содержит 24 единичных куба , т .
Склейте	прямоугольный	параллелепипед .
Этот	прямоугольный	параллелепипед можно разрезать на 2 слоя , в каждом из которых по единичных куба .
б ) Является ли любой	прямоугольный	параллелепипед кубом ?
АВС — остроугольный , MNK	прямоугольный	, PQR — тупоугольный .
Если	прямоугольный	параллелепипед можно разрезать на h единичных кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
б ) Является ли любой	прямоугольный параллелепипед	кубом ?
Склейте	прямоугольный параллелепипед	.
Вырежьте развёртку из бумаги , оставляя припуски для склеивания , и склейте	прямоугольный параллелепипед	.
Если	прямоугольный параллелепипед	можно разрезать на h единичных кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
Этот	прямоугольный параллелепипед	можно разрезать на 2 слоя , в каждом из которых по единичных куба .
Изображён	прямоугольный параллелепипед	.
Всего	прямоугольный параллелепипед	содержит 24 единичных куба , т .
Для этого достроим	прямоугольный параллелепипед	до куба с ребром 1 дм .
Если один из углов треугольника прямой , то его называют	прямоугольным	треугольником .
Является ли любой куб	прямоугольным	параллелепипедом ?
Является ли любой куб	прямоугольным параллелепипедом	?
Если один из углов треугольника прямой , то его называют	прямоугольным треугольником	.
Куб , сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько	прямоугольных	параллелепипедов ? .
Куб , сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько	прямоугольных параллелепипедов	? .
Касательной к окружности называют	прямую	, имеющую с окружностью только одну общую точку .
Каждую из этих частей называют лучом с началом в точке A . Луч , так же как и	прямую	, обозначают двумя заглавными буквами .
Проведите	прямую	AB и вне её точку С. Через точку С проведите прямую , параллельную прямой АВ .
Можно ли в школьной тетради изобразить всю	прямую	? .
Проведите прямую AB и вне её точку С. Через точку С проведите	прямую	, параллельную прямой АВ .
Через любые две точки можно провести только одну	прямую	.
Отметим на прямой l две различные точки С и D. Тогда эту	прямую	l называют также « прямая CD » .
Нарисуйте	прямую	, обозначьте её .
Проведите от руки	прямую	, проходящую через эти точки .
Как могут располагаться две	прямые	на плоскости ? .
Отсюда следует , что две различные	прямые	могут пересекаться только в одной точке .
Найдите параллельные	прямые	.
Две	прямые	пересекаются в одной точке .
На сколько частей делят плоскость две	прямые	, если они : а ) пересекаются ; б ) параллельны ? .
Две различные	прямые	на плоскости могут и не пересекаться , сколько бы их ни продолжали .
Четырёхугольник , у которого все углы	прямые	, называют прямоугольником .
Назовите острые ,	прямые	и тупые углы .
Какие	прямые	называют перпендикулярными ? .
Показано , как с помощью угольника и линейки провести параллельные	прямые	.
Могут ли смежные углы быть : а ) оба	прямые	; б ) оба острые ; в ) оба тупые ? .
Если	прямые	AB и CD ( или а и b ) параллельны , то это обозначают так .
г ) Какие	прямые	называют параллельными ? .
Такие	прямые	называют параллельными .
Нарисуйте от руки параллельные	прямые	.
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов на два равных угла , каждый из которых называют	прямым	углом .
Прямые , пересекающиеся под	прямым	углом , называют перпендикулярными .
	Прямым	?
Прямые , пересекающиеся под	прямым углом	, называют перпендикулярными .
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов на два равных угла , каждый из которых называют	прямым углом	.
На сколько частей можно разделить плоскость тремя	прямыми	? .
Как разрезать торт тремя	прямыми	так , чтобы получилось семь частей и на каждой из них была розочка ? .
При пересечении двух	прямых	образовалось четыре угла .
Сколько	прямых	проведено ? .
Сколько	прямых	можно провести через одну точку ? .
Обозначьте все точки пересечения	прямых	, продолжив их , если нужно .
После вычеркивания из таблицы чисел , кратных 7 ( они также расположены на параллельных	прямых	) , в ней останутся только простые числа — они тоже обведены кружком .
Оно простое обведём его кружком , а все незачёркнутые числа , кратные ему ( они расположены на параллельных	прямых	) , вычеркнем .
б ) Сколько	прямых	можно провести через две разные точки ? .
Изображены 4	прямых	угла .
Изображены 4	прямых угла	.
В первый день они проехали 2/3 всего	пути	.
Какую часть	пути	прошёл за это время второй турист ? .
Автотуристы за три дня проехали 360 км ; в первый день они проехали 2/5 , а во второй день — 3/8 всего	пути	.
Через некоторое время они прошли всего	пути	, причем первый прошёл всего пути .
Рассмотрим задачи на движение по реке , при решении которых удобно весь путь принимать за единицу , а скорость катера по течению реки , против течения и скорость течения реки выражать как часть	пути	, пройденного за единицу времени .
Под совместной работой можно понимать и одновременную работу двух труб при наполнении бассейна , и прохождение некоторого	пути	при движении навстречу друг другу и т .
Они проходят каждый час 1/4 всего	пути	.
а ) Путник проходит в час 1/5	пути	.
Через некоторое время они прошли всего пути , причем первый прошёл всего	пути	.
Чтобы найти скорость , нужно	путь	разделить на время движения , а чтобы найти время , нужно путь разделить на скорость .
Рассмотрим задачи на движение по реке , при решении которых удобно весь	путь	принимать за единицу , а скорость катера по течению реки , против течения и скорость течения реки выражать как часть пути , пройденного за единицу времени .
Сколько времени потратит на	путь	от одного причала до другого и обратно катер , если его собственная скорость 15 км / ч , а скорость течения реки 3 км / ч ? .
За сколько часов он пройдёт весь	путь	? .
Путешественник идёт из одного города в другой 10 дней , а другой путешественник тот же	путь	проходит за 15 дней .
Эту задачу можно решить , вычислив предварительно	путь	, пройденный каждым пешеходом .
Мальчик заметил , что на	путь	по течению реки было затрачено меньше времени , чем на тот же путь против течения .
Если тело движется равномерно t ч со скоростью v км / ч , то оно проходит	путь	s км , и при этом верно равенство .
Мальчик заметил , что на путь по течению реки было затрачено меньше времени , чем на тот же	путь	против течения .
Какое время затратит моторная лодка на обратный	путь	? .
б ) На	путь	из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин , а на обратный путь — 2 ч .
Сколько времени потратит моторная лодка на	путь	между причалами туда и обратно , если собственная скорость моторной лодки 10 км / ч , а скорость течения 2 км / ч ? .
Сколько времени он затратил на этот	путь	? .
Итак , чтобы найти	путь	, пройденный телом при равномерном движении , нужно его скорость умножить на время движения ( в дальнейшем слово « равномерное » для краткости опускается , но подразумевается ) .
Сколько времени потратит катер на тот же	путь	по озеру ? .
б ) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин , а на обратный	путь	— 2 ч .
Какой	путь	прошёл катер по озеру за 2 ч со скоростью 12 км / ч ? .
Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и ещё через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на	путь	из В в А ? .
Сколько времени затратит теплоход на	путь	по течению реки между двумя причалами , если расстояние между ними 120 км ? .
Разделим	путь	, который проехал велосипедист , на его скорость : 3 ( ч ) — время движения велосипедиста .
в ) путь катера по течению реки за 3 ч . г )	путь	катера против течения реки за 5 ч . а )
Какой	путь	он прошёл ? .
в )	путь	катера по течению реки за 3 ч . г ) путь катера против течения реки за 5 ч . а )
Умножим скорость поезда на время движения : 260 ( км ) —	путь	поезда .
Чтобы найти скорость , нужно путь разделить на время движения , а чтобы найти время , нужно	путь	разделить на скорость .
Разделим	путь	, пройденный пешеходом , на время движения : 4 ( км / ч ) — скорость пешехода .
По дороге он менял колёса с таким расчётом , чтобы каждое колесо проехало один и тот же	путь	.
Какой	путь	пройдёт катер за 3 ч ? .
Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным	путям	— один со скоростью 100 км / ч , другой со скоростью 80 км / ч .
Постройте	пятиугольник	ABCDE .
Периметры треугольников BCD , BDE и ABE равны соответственно 20 см , 21 см и 22 см , а периметр	пятиугольника	ABCDE равен 31 см. Определите длины диагоналей BD и BE , если известно , что они равны .
Сколько диагоналей в выпуклом : а ) четырёхугольнике ; б )	пятиугольнике	; в ) шестиугольнике ; г ) семиугольнике ? .
По числу сторон многоугольник называют треугольником , четырёхугольником ,	пятиугольником	и т .
Правые части полученных	равенств	называют разложением на простые множители чисел 28 , 22 , 81 и 100 .
Из спичек сложили шесть неверных	равенств	.
Надо в каждом из	равенств	переложить одну спичку так , чтобы получились другие верные равенства .
Левые части	равенств	— данные дроби , а правые — равные им несократимые дроби .
Надо в каждом из равенств переложить одну спичку так , чтобы получились другие верные	равенства	.
Так как для неотрицательных чисел справедлив переместительный закон умножения , то верны	равенства	.
Знак называют знаком приближённого	равенства	и читают « приближённо равно » .
Отметим , что для любого числа а верны	равенства	.
Проверьте справедливость	равенства	.
Отметим , что для любого натурального числа а верны	равенства	.
Из спичек сложены верные	равенства	.
Кроме того , надо помнить , что для любого числа а верны	равенства	.
Для любого числа а верны	равенства	.
Проверьте	равенства	калькулятором .
Переложите в каждом равенстве по одной спичке так , чтобы	равенства	стали верными .
Поэтому	равенства	верны для любых целых неотрицательных чисел .
Левая часть	равенства	( 2 ) есть дробь , числитель и знаменатель которой имеют общий множитель n.
Докажем эти	равенства	, применяя на каждом этапе рассуждений переместительный или сочетательный закон сложения .
Например , верны	равенства	.
Проверьте , что в двоичной системе нумерации справедливы	равенства	.
Переложите в каждом	равенстве	по одной спичке так , чтобы равенства стали верными .
В	равенстве	назовите уменьшаемое , вычитаемое , разность .
Определите числитель дроби в	равенстве	.
Любое из чисел а , b и с в	равенстве	и в равенстве может быть нулём , поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел .
Любое из чисел а , b и с в равенстве и в	равенстве	может быть нулём , поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел .
Например , верно	равенство	.
Верно ли	равенство	?
Так как любое натуральное число n можно представить в виде дроби , то справедливо	равенство	.
Для любых натуральных чисел а и b верно	равенство	, выражающее переместительный закон сложения .
Запишите	равенство	, выражающее сочетательный закон умножения , сформулируйте этот закон .
Кроме того , если b больше или равно , то верно	равенство	.
Замените букву х числом так , чтобы	равенство	стало верным .
Любое натуральное число а делить на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы	равенство	.
Запишите	равенство	, выражающее . а ) переместительный закон умножения .
Итак , справедливо	равенство	, где 4 — наибольшее число , произведение которого на 3 меньше 14 .
Если , то выполняется	равенство	.
Найдите число х , для которого верно	равенство	.
Запишите	равенство	, выражающее переместительный закон сложения .
Для любых натуральных чисел а и b верно	равенство	, выражающее переместительный закон умножения .
Восстановите	равенство	, вставив пропущенное число ( 59 , 60 ) .
Объясните , почему верно	равенство	.
Для любого числа а верно	равенство	.
Найдите число х , для которого	равенство	верно .
Вообще ,	равенство	а = b означает , что а и b одно и то же число .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b делится на натуральное число с , то верно	равенство	.
Если тело движется равномерно t ч со скоростью v км / ч , то оно проходит путь s км , и при этом верно	равенство	.
Для любых натуральных чисел а , b и с верно	равенство	, выражающее сочетательный закон умножения .
а ) Подберите такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось	равенство	.
Почему нельзя подобрать такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось	равенство	? .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно	равенство	, выражающее сочетательный закон сложения .
в ) Можно ли подобрать такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось	равенство	? .
Запишите	равенство	, выражающее распределительный закон , сформулируйте этот закон .
Используя сочетательный закон сложения для натуральных чисел , проверьте	равенство	.
Запишите	равенство	, выражающее сочетательный закон сложения .
Таким образом , мы получили	равенство	, показывающее , что если к сумме прибавить 4 или к 3 прибавить сумму , то результат будет один и тот же .
Запишите	равенство	, выражающее переместительный закон умножения , сформулируйте этот закон .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно	равенство	, выражающее распределительный закон .
Вычислите неизвестное число х , удовлетворяющее	равенству	.
Например , что соответствует	равенству	.
Показан порядок построения	равнобедренного	треугольника с основанием 3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки .
Периметр	равнобедренного	треугольника AВС равен 30 см , а одна из сторон на 3 см больше другой .
Показан порядок построения	равнобедренного треугольника	с основанием 3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки .
Периметр	равнобедренного треугольника	AВС равен 30 см , а одна из сторон на 3 см больше другой .
В	равнобедренном	треугольнике даны длины двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
В	равнобедренном треугольнике	даны длины двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
Постройте с помощью циркуля и линейки	равнобедренный	треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж )	равнобедренный	и тупоугольный .
Треугольник	равнобедренный	.
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е )	равнобедренный	и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г )	равнобедренный	; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Постройте с помощью циркуля и линейки	равнобедренный треугольник	с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
Если две стороны треугольника равны , то его называют	равнобедренным	, а если три стороны треугольника равны , то его называют равносторонним .
В	равностороннем	треугольнике длина стороны равна .
В	равностороннем треугольнике	длина стороны равна .
Треугольник	равносторонний	.
Постройте	равносторонний	треугольник со стороной AB .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д )	равносторонний	; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Дана окружность , постройте	равносторонний	треугольник , вершины которого лежат на этой окружности .
Дана окружность , постройте	равносторонний треугольник	, вершины которого лежат на этой окружности .
Постройте	равносторонний треугольник	со стороной AB .
Если две стороны треугольника равны , то его называют равнобедренным , а если три стороны треугольника равны , то его называют	равносторонним	.
Начертите окружность ,	радиус	которой равен отрезку АВ .
Начертите окружность ,	радиус	которой равен .
Окружность с центром О , касательная АВ и	радиус	окружности ОС .
Например ,	радиус	Солнца равен 700 000 км , а среднее расстояние от Земли до Солнца равно 150 000 000 км .
Назовите центр ,	радиус	, диаметр окружности .
Внутри или вне сферы расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её	радиуса	? .
Внутри или вне окружности расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её	радиуса	; б ) меньшее её радиуса ? .
Внутри или вне сферы расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её	радиуса	; б ) меньшее её радиуса ? .
Внутри или вне окружности расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её	радиуса	? .
Постройте две окружности с центрами A и B	радиусами	3 см и 5 см , касающиеся внешним образом .
Постройте две окружности	радиусами	3 см и 4 см , касающиеся : а ) внешним образом ; б ) внутренним образом .
На окружности с центром О и	радиусом	2 см отметьте точку A.
Постройте две окружности : с центром A и радиусом AB и с центром С и	радиусом	СВ .
Постройте две окружности : с центром A и	радиусом	AB и с центром С и радиусом СВ .
Постройте окружность с центром A и	радиусом	2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
На рисунке изображён круг с центром О и	радиусом	ОА .
На отрезке AB отметьте точку С . а ) Постройте две окружности : с центром А и радиусом АС и с центром В и	радиусом	СВ .
а ) Определите углы , образованные касательной и	радиусом	окружности , проведённым в точку касания .
Отрезок , соединяющий центр сферы с любой её точкой , называют	радиусом	сферы .
Его длину тоже называют	радиусом	.
На отрезке AB отметьте точку С . а ) Постройте две окружности : с центром А и	радиусом	АС и с центром В и радиусом СВ .
Отрезок , соединяющий центр окружности с любой её точкой , называют	радиусом	.
Постройте две окружности с центрами A и B и	радиусом	АВ .
Все точки шара удалены от его центра на расстояние , меньшее или равное	радиусу	шара .
Можно также сказать , что окружность состоит из точек , удалённых от её центра на расстояние , равное	радиусу	.
Все точки окружности удалены от её центра на одинаковое расстояние , равное	радиусу	.
Круг состоит из точек , удалённых от данной точки на расстояние , меньшее или равное его	радиусу	.
Отрезки OL , ОА , ОВ	радиусы	окружности , АВ — её диаметр , CD хорда .
Считается , что	развёрнутый угол	содержит 180 градусов .
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из	развёрнутых углов	на два равных угла , каждый из которых называют прямым углом .
Тогда это неизвестное число можно найти ,	разделив	60 на .
Последний кусок Саша	разделил	поровну с пятым другом .
На сколько частей	разделилась	плоскость ?
Меньшие	разделили	эти деньги между собою , и тогда у всех братьев стало поровну .
а ) Отрезок длиной 1 м	разделили	на несколько равных частей длиной 1/10 м .
Поле площадью 5 га	разделили	на 8 равных участков прямоугольной формы .
Пять братьев	разделили	после отца наследство поровну .
Здесь отдельно	разделили	целую и дробную части смешанной дроби на 3 ( т .
Для этого	разделим	.
Третье ребро	разделим	на три равные части ; две из них составляют высоту параллелепипеда .
Другое ребро куба	разделим	на две равные части ; одна из них составляет длину параллелепипеда .
Одну сторону квадрата	разделим	на 4 равные части ; три из них составляют длину прямоугольника .
Одно ребро куба	разделим	на пять равных частей ; две из них составляют ширину параллелепипеда .
Другую сторону квадрата	разделим	на 3 равные части ; две из них составляют ширину прямоугольника .
Тогда линия сгиба MN	разделит	каждый из развёрнутых углов на два равных угла , каждый из которых называют прямым углом .
С помощью транспортира	разделите	угол АВС на : а ) 2 равные части ; б ) 3 равные части .
С помощью транспортира	разделите	угол АВС на два угла так , чтобы один угол был : а ) в 2 раза больше другого ; б ) в 3 раза меньше другого ; в ) на 20 ° больше другого ; г ) на 30 ° меньше другого .
Постройте окружность и	разделите	её с помощью циркуля на : а ) 6 равных частей ; б ) 3 равные части .
Числа 20 , 30 , 40 , 50	разделите	: а ) на 4 ; б ) на 1/4 .
Числа	разделите	: а ) на 3 ; б ) на 1/3 .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы	разделить	дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Чтобы	разделить	дробь на натуральное число , можно её знаменатель умножить на это число .
Чтобы	разделить	число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое	разделить	на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Например , если 1 км	разделить	на q равных частей , то каждая часть будет иметь длину 1 / q км , а р таких частей будут иметь длину p / q км .
Для участия в эстафете нужно	разделить	36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников , состоящие только из мальчиков или только из девочек .
Чтобы найти скорость , нужно путь разделить на время движения , а чтобы найти время , нужно путь	разделить	на скорость .
Чтобы умножить или	разделить	смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями .
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600	разделить	на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Чтобы найти скорость , нужно путь	разделить	на время движения , а чтобы найти время , нужно путь разделить на скорость .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть	разделить	на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
На сколько частей можно	разделить	плоскость тремя прямыми ? .
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или	разделить	нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Некто пообещал дать 99 конфет тому , кто сумеет их	разделить	между четырьмя людьми так , чтобы каждому досталось нечётное число конфет .
а ) Как	разделить	одну дробь на другую ? .
	Разделить	на него и числитель , и знаменатель .
Чтобы найти 1/4 от 600 р . , надо эту сумму	разделить	на 4 : 150 ( р . ) .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000	разделить	на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель	разделить	на знаменатель с остатком .
б ) Как	разделить	дробь на натуральное число ? .
Если отрезок длиной 1 см	разделить	на две равные части , то каждая из них будет иметь длину , равную половине сантиметра .
Остаётся	разделить	остаток от деления десятков ( 28 ) и единицы ( 8) , т .
Это можно объяснить так : если отрезок	разделить	пополам , а каждую половину ещё пополам , то половина отрезка будет состоять из двух четвертей этого отрезка .
Теперь необходимо	разделить	остаток от деления сотен — 2 сотни и десятки — 8 десятков , т .
Видя это , младший брат предложил такой обмен яблоками : « Я оставлю себе половину имеющихся у меня яблок , а остальные	разделю	между вами поровну .
В результате куб	разделён	на равные части , объём каждой из которых равен дм3 .
Квадрат	разделён	на равные части , площадь каждой из которых равна дм2 .
Отрезок АН	разделён	на 6 равных частей .
Изображён отрезок AB ,	разделённый	на 9 равных частей .
Изображён отрезок AB ,	разделённый	на четыре равные части .
Отрезок АН ,	разделённый	на 7 равных частей .
Правые части полученных равенств называют	разложением	на простые множители чисел 28 , 22 , 81 и 100 .
числа 2 , 2 , 2 , 3 ) и ещё множители из разложения меньшего числа 18 , которых нет в	разложении	большего числа ( т . е .
В	разложении	чисел 180 и 336 подчёркнуты все их общие делители , поэтому НОД ( 180 , 336 ) 12 .
Даны	разложения	чисел а и b на простые множители , найдите НОД ( а , b ) и НОК ( а , 1 ) .
С помощью	разложения	чисел на простые множители докажите , что являются взаимно простыми числа .
числа 2 , 2 , 2 , 3 ) и ещё множители из	разложения	меньшего числа 18 , которых нет в разложении большего числа ( т . е .
Даны	разложения	чисел а и b на простые множители .
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел , не выполняя	разложения	чисел на простые множители .
Все делители числа 90 можно получить из	разложения	числа 90 на простые множители .
Три крестьянки привезли на рынок масло : одна 4 кадки по пуда в каждой , вторая 2 кадки по пуда , а всё масло третьей крестьянки было	разложено	поровну в 5 кадок и весило 3 пуда .
В какое наибольшее число подарков можно	разложить	все эти мандарины и яблоки так , чтобы во всех подарках было поровну мандаринов и поровну яблок ? .
Покажем , как можно	разложить	число 90 на простые множители . 1 ) 90 делится на 2 .
б ) Что значит	разложить	число на простые множители ?
Равенство верно , так как сумма	разности	и вычитаемого равна уменьшаемому .
Если катер движется по течению реки , то его скорость равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки ; если же катер движется против течения реки , то его скорость равна	разности	его собственной скорости и скорости течения реки .
При решении задач на нахождение двух чисел по их сумме и	разности	помогают схематические рисунки .
Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и	разности	.
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен	разности	числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Переход от произведений соответственно к сумме и	разности	называют раскрытием скобок .
Придумайте задачу на нахождение двух чисел по их сумме и	разности	.
Запишите произведение в виде	разности	.
куб	разности	чисел .
Число 4 можно записать в виде суммы ,	разности	, произведения , частного , степени или другими способами .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат	разности	чисел .
Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа , зачеркнёт одну цифру в полученной	разности	и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр .
Переход от суммы к произведению и от	разности	к произведению называют вынесением общего множителя за скобки .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б )	разности	длин отрезков .
Если все стороны треугольника имеют разные длины , то его называют	разносторонним	.
Например . Говорят , что в произведениях раскрыли скобки и получили соответственно сумму и	разность	.
Делится ли	разность	.
б )	разность	чисел .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно найти	разность	натуральных чисел а и b .
и )	разность	кубов чисел .
Поэтому число 3 есть	разность	чисел 9 и 6 .
Чему равна	разность	равных дробей ? .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д )	разность	квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Придумайте две дроби ,	разность	которых равна .
г ) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа ,	разность	которых равна 639 .
Пусть надо найти	разность	9 - 6 .
в ) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3 , то и	разность	делится на 3 ? .
Напомним , что	разность	равных чисел равна нулю .
Как обозначают	разность	чисел а и b ? .
а ) Сумма двух чисел равна 96 , а	разность	равна 18 .
Докажите , что от прибавления к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа	разность	не изменяется .
а ) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа ,	разность	которых равна 234 .
Чему равна	разность	? .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , «	разность	» , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
Используя распределительный закон , запишите	разность	в виде произведения .
Найдите	разность	чисел 46 и 22 .
С помощью неотрицательных целых чисел можно вычислить	разность	а и b только в том случае , когда а больше или равно b.
В равенстве назовите уменьшаемое , вычитаемое ,	разность	.
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их сумма и	разность	делятся на это число .
Чтобы найти	разность	двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
Обратим внимание : скорость катера по течению реки — это сумма его собственной скорости и скорости течения реки , а скорость катера против течения реки это	разность	его собственной скорости и скорости течения реки , поэтому скорость по течению реки больше скорости против течения на удвоенную скорость течения .
Прибавьте к уменьшаемому и вычитаемому по 1 ; по 2 ; по 3 и в каждом случае найдите	разность	.
Если уменьшаемое равно вычитаемому , то	разность	равна нулю .
в ) Какое число а нужно взять , чтобы	разность	в задании а была нулём ? .
а ) Каким может быть число а , чтобы вы могли устно вычислить	разность	двух произведений ?
Сумма двух чисел равна 87 , а	разность	равна 19 .
Вычислите	разность	.
Сумма двух чисел равна 500 , а	разность	равна 6 .
Чему равна	разность	равных чисел ? .
г ) Вычитаемое составляет — уменьшаемого , а их	разность	равна 45 .
К двузначному числу приписали цифру 6 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа ,	разность	которых равна 162 .
в ) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа ,	разность	которых равна 2214 .
б ) Какое самое большое натуральное число а можно взять , чтобы	разность	в задании а была натуральным числом ? .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и	разность	не делятся на это число .
Что называют	разностью	двух дробей ?
Какое число называют	разностью	чисел а и b ? .
Это вычисление можно записать столбиком подробно Обычно пишут короче , запоминая , что в	разряд	десятков добавляется один десяток .
Это вычисление записывают , отмечая точкой	разряд	, в котором « занята » единица .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего	разряда	, 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого	разряда	заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Обычно сложение и вычитание выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с	разряда	единиц .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево )	разряда	, прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго	разряда	и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего	разряда	.
Первую цифру слева в записи натурального числа называют цифрой высшего	разряда	.
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего	разряда	( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Например , 2821 больше 2819 потому , что у них одинаковое число разрядов , цифры четвёртых и третьих разрядов одинаковые , а цифры второго	разряда	у них разные : у первого числа больше , чем у второго .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего	разряда	.
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого	разряда	, причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
д. Каждые 10 единиц любого ( шарада составляют одну единицу следующего ( более высокого )	разряда	.
Первая цифра справа в десятичной записи числа называется цифрой первого	разряда	, вторая цифра справа — цифрой второго ( шарада и т .
Многозначные числа складывают и вычитают но	разрядам	, используя переместительный , сочетательный и распределительный законы .
Так получали цифры ответа по	разрядам	, В нашем примере .
Если при вычитании в каком - либо	разряде	цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого , то нужно « занять » одну единицу в следующем ( справа налево ) разряде уменьшаемого .
Если сложение в каком - либо	разряде	даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Какие цифры могут стоять в высшем	разряде	числа ? .
Если при вычитании в каком - либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого , то нужно « занять » одну единицу в следующем ( справа налево )	разряде	уменьшаемого .
Какие цифры могут стоять в любом	разряде	числа , кроме высшего ? .
Из двух натуральных чисел с одинаковым числом	разрядов	больше то , у которого больше первая ( слева направо ) из неодинаковых цифр .
3 ) Два натуральных числа равны , если у них одинаковое число	разрядов	и цифры одинаковых разрядов равны .
Например , 1001 больше 999 потому , что число 1001 содержит	разрядов	больше , чем число 999 .
3 ) Два натуральных числа равны , если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых	разрядов	равны .
Например , 2821 больше 2819 потому , что у них одинаковое число	разрядов	, цифры четвёртых и третьих разрядов одинаковые , а цифры второго разряда у них разные : у первого числа больше , чем у второго .
Например , 2821 больше 2819 потому , что у них одинаковое число разрядов , цифры четвёртых и третьих	разрядов	одинаковые , а цифры второго разряда у них разные : у первого числа больше , чем у второго .
Обычно сложение и вычитание выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых	разрядов	стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда единиц .
Из двух натуральных чисел больше то , у которого	разрядов	больше .
В записи каждого из чисел назовите цифры	разрядов	единиц , десятков , сотен , тысяч , десятков тысяч , сотен тысяч и т .
Например . Говорят , что в произведениях	раскрыли скобки	и получили соответственно сумму и разность .
Отсюда следует , что между любыми двумя рациональными точками находится ещё хотя бы одна	рациональная	точка .
б ) Как ещё называют	рациональное	число ? .
Для упрощения речи вместо слов «	рациональное	число p / q » говорят « дробь p / q » .
б ) Как ещё называют	рациональное число	? .
Для упрощения речи вместо слов «	рациональное число	p / q » говорят « дробь p / q » .
Таким образом , можно вычислить координату середины отрезка , соединяющего любые две	рациональные	точки .
Числа	рациональные	.
Какое число называют	рациональным	числом ? .
в ) Является ли натуральное число	рациональным	числом ?
Число , которое можно записать в виде где р и q — натуральные числа , называют	рациональным	числом .
Какое число называют	рациональным числом	? .
Число , которое можно записать в виде где р и q — натуральные числа , называют	рациональным числом	.
в ) Является ли натуральное число	рациональным числом	?
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными	рациональными	точками .
Положительные дроби называют ещё положительными	рациональными	числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Отсюда следует , что между любыми двумя	рациональными	точками находится ещё хотя бы одна рациональная точка .
Положительные дроби называют ещё положительными	рациональными числами	, а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Если а и b — два положительных	рациональных	числа и b > а , то .
Если а и b — два положительных	рациональных числа	и b > а , то .
Три	ребра	прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
объём куба равен третьей степени длины его	ребра	.
Во сколько раз увеличится объём куба при увеличении его	ребра	: а ) в 2 раза ; б ) в 3 раза ; в ) в 10 раз ? .
Куб ,	ребро	которого равно лилейной единице , называют единичным кубом .
Постройте развёртку куба ,	ребро	которого м .
Третье	ребро	разделим на три равные части ; две из них составляют высоту параллелепипеда .
Одно	ребро	куба разделим на пять равных частей ; две из них составляют ширину параллелепипеда .
Другое	ребро	куба разделим на две равные части ; одна из них составляет длину параллелепипеда .
а ) Выберите такое число а , чтобы задача имела	решение	.
Прочитайте задачу классу , и пусть кто - то её решит , а вы оцените это	решение	.
Это	решение	можно записать столбиком подробно Обычно пишут короче .
Решите задачу с выбранным числом n . б ) Какое самое большое и какое самое маленькое число n можно взять , чтобы задача имела	решение	? .
Это	решение	можно записать столбиком подробно .
Большой вклад в её	решение	внёс великий русский математик академик П. Л. Чебышев ( 1821–1894 ) , доказавший , в частности , что между числами n и 2п ( n > 1 ) имеется по крайней мере одно простое число .
Решите задачу с выбранным числом а . б ) Какое самое большое число а можно взять , чтобы задача имела	решение	, если на третьей полке была хотя бы одна книга ? .
Прочитайте составленную вами задачу классу , и пусть кто - то её решит , а вы оцените это	решение	.
а ) Выберите такое натуральное число n , чтобы задача имела	решение	.
Найдите правила , по которым ребята заполнили клетки , и придумайте ещё одно	решение	.
Рассмотрим такое	решение	.
При решении таких задач полезно рисовать схематические рисунки , облегчающие	решение	.
Убедитесь , что числовые данные для задачи подобраны хорошо и она имеет	решение	.
Это	решение	можно записать короче .
Поэтому в	решении	задачи необходимо рассуждение , показывающее , какое действие надо применить .
При	решении	задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности помогают схематические рисунки .
Использование четности при	решении	задач .
Рассмотрим задачи на движение по реке , при	решении	которых удобно весь путь принимать за единицу , а скорость катера по течению реки , против течения и скорость течения реки выражать как часть пути , пройденного за единицу времени .
При	решении	таких задач полезно рисовать схематические рисунки , облегчающие решение .
При	решении	текстовых задач часто приходится применять все арифметические действия .
Рассмотрим задачи , при	решении	которых полезно использовать скорость удаления и скорость сближения .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько	решений	имеет задача ? .
Сколько	решений	имеет каждая из задач а ) и б ) ? .
Докажите , что предыдущая задача имеет бесконечно много	решений	.
Найдите другие	решения	для 0 и 1 .
Для	решения	этой задачи можно рассмотреть фигуры гексамино .
Теперь рассмотрим задачи , для	решения	которых некоторую величину надо принять за одну или несколько равных частей .
Используйте его для проверки своего	решения	.
Рассмотрим	решения	задач , в которых требуется найти часть числа или число но его части .
п. Метод	решения	остаётся тем же .
К выбору действия сложения или вычитания для	решения	задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « на 10 больше » не всегда требуют сложения .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см. Найдите длину отрезка ВС. ( Задача имеет два	решения	. ) .
Для	решения	той же задачи можно составить числовое выражение , вынести общий множитель 3 за скобки .
К выбору умножения и деления для	решения	задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « в 3 раза больше » не всегда требуют умножения .
( Для	решения	задачи достаточно составить произведение и не вычислять его . ) .
6 ) В вазы поставили по пять	роз	, и две розы остались лишними .
Чтобы поставить по шесть	роз	, четырёх роз не хватит .
Чтобы поставить по шесть роз , четырёх	роз	не хватит .
6 ) В вазы поставили по пять роз , и две	розы	остались лишними .
Постройте	ромб	KLMN , если KL – 4 см , ZK – 60 ° .
б ) Чему равна сторона	ромба	, если его периметр равен 20 см ? .
а ) Чему равен периметр	ромба	, если одна его сторона равна 20 см ? .
Четырёхугольник , все стороны которого равны , называют	ромбом	.
Изображены	ромбы	ABCD и MNKL .
Покажем , как , используя натуральный	ряд	чисел , можно найти разность натуральных чисел а и b .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в	ряд	.
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный	ряд	, или ряд натуральных чисел .
Какой длины получился	ряд	? .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в	ряд	, то какой длины получится ряд ? .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или	ряд	натуральных чисел .
а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в	ряд	.
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в	ряд	.
Если же их расставить по 24 стула в	ряд	, то двенадцать стульев останется .
Ребят построили в колонну по 4 человека в	ряд	.
Если их расставить по 25 штук в	ряд	, то четырёх стульев не хватит .
Класс построили в колонну по 4 человека в	ряд	.
Получилось 8 полных и один неполный	ряд	из трёх человек .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится	ряд	? .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится	ряд	неотрицательных целых чисел .
Для любой дроби можно указать	ряд	равных ей дробей .
6 ) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд , то какой длины получится	ряд	? .
6 ) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в	ряд	, то какой длины получится ряд ? .
Рассмотрим	ряд	натуральных чисел , отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Убедитесь с помощью натурального	ряда	.
Поэтому все натуральные числа записать невозможно , и при записи натурального	ряда	выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три точки ) .
Числа можно сравнивать при помощи натурального	ряда	.
В самом деле , будем перемножать последовательно числа натурального	ряда	на 3 .
Все квадраты можно расположить в 3	ряда	по 4 квадрата — всего квадрата .
В четырёх же	рядах	всего квадратов .
Жёлтые квадраты расположены в четырёх	рядах	по 3 квадрата в каждом , т .
Поэтому очень важно узнать тайны простых чисел — сколько их , как они распределены в натуральном	ряду	и т .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые числа в натуральном	ряду	, и найти общую формулу для нахождения простых чисел .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в	ряду	натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Отметим в натуральном	ряду	число 9 и отсчитаем от него влево шесть чисел .
Расположите их так , чтобы в каждом горизонтальном	ряду	было : а ) по 4 спички ; б ) по 6 спичек ; в ) по 9 спичек ; г ) по 11 спичек .
Рассмотрим ряд натуральных чисел , отметим в этом	ряду	число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Из двух натуральных чисел больше то , которое в	ряду	натуральных чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном	ряду	число 3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим число 9 .
2 Есть ли в натуральном	ряду	.
Если к	ряду	натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
Но можно отметить в натуральном	ряду	сначала число 3 и отсчитать от него вправо 5 чисел .
В каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 красных квадратов , а всего в каждом	ряду	квадратов .
В натуральном	ряду	есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Сколько человек стоит в последнем ( неполном )	ряду	? .
Назовите число , которое предшествует в натуральном	ряду	числу : 2 , 74 , 100 , 3050 , 438 109 , 1 000 000 .
Запишите первое и последнее в натуральном	ряду	число : а ) двузначное ; б ) трёхзначное ; в ) четырехзначное .
4 а ) Назовите число , которое следует в натуральном	ряду	за числом : 13 , 276 , 3590 , 999 999
6 Сколько чисел в натуральном	ряду	между числами .
3 У каждого ли числа в натуральном	ряду	есть .
После того как найдена « середина » в	ряду	делителей , остальные делители найдём делением .
В каждом	ряду	расположено 3 жёлтых и 5 красных квадратов , а всего в каждом ряду квадратов .
На первом место в натуральном	ряду	стоит число 1 , за ним следует число 2 , затем число 3 и т .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в	ряду	натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
5 Сколько чисел в натуральном	ряду	.
Отметим в натуральном	ряду	число 3 , отсчитаем от него вправо 6 чисел .
У прямоугольного параллелепипеда шесть граней , двенадцать	рёбер	и восемь вершин .
Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней ,	рёбер	и вершин ? .
Лифт поднимается с первого этажа на третий за 6 с. За сколько	секунд	он поднимется с первого этажа на пятый ? .
Сколько	секунд	содержат ; а ) 2ч ; 6 ) 3 ч ; в ) сутки ; г ) неделя ? .
В науке основной единицей измерения времени считается	секунда	.
Даже очень большие промежутки времени выражаются в	секундах	с помощью степени числа 10 .
Выразите в минутах : Выразите в	секундах	.
Выразите в метрах в	секунду	.
Например , скорость света 300 000 000 ( триста миллионов ) метров в	секунду	удобнее записать так .
Для более точного измерения углов используют доли градуса : минуты « ' » и	секунды	« ″ » .
В некоторых видах спортивных соревнований достижения измеряются в десятых и даже в сотых долях	секунды	.
Приходится иметь дело и с долями	секунды	.
Сколько диагоналей в выпуклом : а ) четырёхугольнике ; б ) пятиугольнике ; в ) шестиугольнике ; г )	семиугольнике	? .
Десятичная	система	записи натуральных чисел .
В России десятичная	система	счисления начала распространяться в XVII веке .
Например , древняя вавилонская	система	счисления была шестидесятеричная .
Шестидесятиричная	система	записи натуральных чисел дала основу для записи дробей , так , 2 таланта 13 мин 41 шекель составляют шекель или таланта .
В настоящее время принята десятичная	система	записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Десятичная позиционная	система	счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа .
Десятичная	система	, которой широко пользуются в настоящее время во всём мире , более совершенна .
В XVI – XVII веках на Руси установилась	система	мер длин и весов ( см. форзац ) , которой пользовались до 1918 года , когда была введена метрическая система мер .
Только после введения нуля	система	стала совершенной .
Позиционная	система	счисления .
Примером непозиционной системы счисления без нуля может служить римская	система	.
В XVI – XVII веках на Руси установилась система мер длин и весов ( см. форзац ) , которой пользовались до 1918 года , когда была введена метрическая	система	мер .
В электронно - вычислительных машинах используется двоичная	система	счисления , в которой всего две цифры : 0 и 1 .
В настоящее время принята десятичная система записи чисел ( десятичная	система	счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Метрическая	система	мер была введена впервые во Франции в 1795 году .
Для примера запишем в двух	системах	числа от 0 до 9 .
В 1703 году был издан первый печатный учебник математики — « Арифметика » Л. Ф. Магницкого , в котором все вычисления велись в десятичной	системе	записи чисел .
Запишите в двоичной	системе	нумерации числовые выражения .
Важную роль в десятичной	системе	счисления играет число 10 .
Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной	системе	.
Проверьте , что в двоичной	системе	нумерации справедливы равенства .
Народы пришли к этой	системе	постепенно .
Таблицы сложения и умножения для однозначных чисел в двоичной	системе	счисления очень просты .
Запишите в римской	системе	нумерации числа : 6 , 8 , 12 .
Особую роль в десятичной	системе	играют числа 10 , 100 , 1000 и т .
а ) Прочитайте числа , записанные в римской	системе	нумерации : I , II , IV .
Вот несколько примеров на сложение , вычитание и умножение в двоичной	системе	.
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной	системой	записи натуральных чисел и дробей встречаются обозначения обыкновенных и смешанных дробей .
Используя римскую	систему	счисления , запишем год выхода « Арифметики » Л. Ф. Магницкого — MDCCIII .
Римскую	систему	нумерации используют и сейчас для обозначения веков , глав в книгах и т .
Благодаря этому свойству современную	систему	счисления называют позиционной .
Поэтому десятичную	систему	счисления называют позиционной .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в	систему	всё , что вы знаете о натуральных числах , познакомиться со свойствами сложения и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
применяли , в сущности , десятичную	систему	счисления .
У разных пародов в разное время употреблялись различные	системы	счисления ( нумерации ) .
В некоторых странах использовались	системы	счисления с другими основаниями 5 , 12 , 20 , 60 .
Следы этой	системы	сохранились сейчас в единицах измерения времени : 1 ч — 60 мин , 1 мин — 60 с .
Примером непозиционной	системы	счисления без нуля может служить римская система .
Основу	системы	мер веса и денег в Древнем Вавилоне составлял 1 талант ; его делили на 60 мин , а мину — на 60 шекелей .
У первобытных народов не существовало развитой	системы	счисления .
Долгое время развитие позиционной	системы	счисления тормозилось отсутствием в ней числа и цифры нуль .
После этого	складывали	полученные результаты вдоль диагоналей квадратов .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно	складывать	и вычитать .
Дроби можно	складывать	по формуле .
Поэтому	складывать	правильные дроби и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
Многозначные числа	складывают	и вычитают но разрядам , используя переместительный , сочетательный и распределительный законы .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты	складывают	.
Как	складывают	смешанные дроби ?
Как	складывают	дроби с разными знаменателями ? .
а ) Как	складывают	дроби с общим знаменателем ? .
По каким правилам	складывают	числа с числом 0 ? .
2 ) Если в числовом выражении есть скобки , то сначала выполняют все действия в скобках , а потом за	скобками	.
Используя четыре цифры 8 , знаки арифметических действий и	скобки	, составьте числовое выражение , равное .
В сумме нескольких слагаемых можно менять слагаемые местами и заключать их в	скобки	любым образом .
Используя четыре цифры 3 , знаки арифметических действий и	скобки	, составьте числовое выражение , равное .
Особого внимания требует порядок выполнения действий в числовых выражениях , в которых имеются ( или подразумеваются )	скобки	.
Запись , в которой используются только числа , знаки арифметических действий и	скобки	, называют числовым выражением .
Из законов сложения следует , что сумму нескольких дробей можно записывать без скобок ; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в	скобки	.
Примените распределительный закон , раскрыв	скобки	.
Из законов умножения следует , что в произведении нескольких множителей можно менять местами множители и заключать их в	скобки	любым способом .
Вынесение общего множителя за	скобки	позволяет упрощать вычисления .
Вынесение общего множителя за	скобки	.
Можно ли в сумме чисел менять местами слагаемые , заключать слагаемые в	скобки	? .
Вынесите общий множитель за	скобки	.
Используя три цифры 5 , знаки арифметических действий и	скобки	, составьте несколько выражений , имеющих различные значения .
Переход от суммы к произведению и от разности к произведению называют вынесением общего множителя за	скобки	.
В числовых выражениях принято опускать	скобки	, но подразумевать их .
Для решения той же задачи можно составить числовое выражение , вынести общий множитель 3 за	скобки	.
Сочетательный закон сложения позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без	скобок	.
Раскрытие	скобок	.
Заметим , что если примеры 7 и 8 записать так : то результат первого действия нужно вводить в « память » калькулятора или использовать клавиши для введения	скобок	, если это возможно на данном калькуляторе .
Из законов сложения следует , что сумму нескольких дробей можно записывать без	скобок	; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки .
По каким правилам упрощают числовые выражения , записанные без	скобок	? .
Переход от произведений соответственно к сумме и разности называют раскрытием	скобок	.
Из сочетательного закона умножения следует , что произведение трёх ( и более ) чисел можно записать и без	скобок	.
На табло , по мере нажатия клавиш , вы увидите первое	слагаемое	12 345 , затем второе слагаемое 67 890 и , наконец , результат 80 235 .
При сложении чисел бывает удобно	слагаемое	представить в виде суммы .
На табло , по мере нажатия клавиш , вы увидите первое слагаемое 12 345 , затем второе	слагаемое	67 890 и , наконец , результат 80 235 .
Из законов сложения следует , что сумму нескольких дробей можно записывать без скобок ; любые	слагаемые	в ней можно менять местами и заключать в скобки .
Можно ли в сумме чисел менять местами слагаемые , заключать	слагаемые	в скобки ? .
Запишите в виде суммы разрядных	слагаемых	числа .
Прочитайте следующие числа , запишите их в виде суммы разрядных	слагаемых	.
в ) Первое слагаемое равно 45 , а второе составляет суммы двух	слагаемых	.
Сочетательный закон сложения позволяет записывать сумму нескольких	слагаемых	без скобок .
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх	слагаемых	, каждое из которых 4 .
В правильности вычислений можно убедиться , выполнив	сложение	.
Здесь фактически используется понятие дроби и даже	сложение	дробей .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем	сложение	и вычитание ( слева направо ) .
В правильности вычислений можно убедиться » выполнив	сложение	.
Обычно	сложение	и вычитание выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда единиц .
Если в числовом выражении требуется выполнить только	сложение	и вычитание или только умножение и деление , то эти действия выполняют но порядку слева направо .
Если	сложение	в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий (	сложение	, вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Ученик выполнил	сложение	.
Выполните	сложение	по образцу .
Вот несколько примеров на	сложение	, вычитание и умножение в двоичной системе .
Объясните на примере , как выполняют	сложение	и вычитание столбиком .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в первом примере , то	сложение	по формуле приводит к лишним вычислениям .
Выполните	сложение	« цепочкой » по образцу .
На доске были записаны верно выполненные примеры на	сложение	и вычитание , потом некоторые цифры стёрли и заменили их буквами .
Если дробные части слагаемых имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить	сложение	.
Перепишите в тетрадь и выполните	сложение	.
Выполните вычитание и проверьте	сложением	.
При	сложении	чисел бывает удобно слагаемое представить в виде суммы .
При	сложении	и вычитании однозначных чисел удобно пользоваться таблицей сложения .
Разностью чисел а и b называют такое число , которое при	сложении	с числом b даёт число а .
Какие законы используют при	сложении	и вычитании столбиком ? .
При	сложении	дробных частей двух смешанных дробей может получиться неправильная дробь .
Тот , кто умел быстро и безошибочно делить , считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только	сложению	, вычитанию и таблице умножения .
Результаты	сложения	и вычитания однозначных чисел надо помнить наизусть .
С помощью	сложения	можно убедиться , что получился верный ответ .
Не выполняя	сложения	, определите , каким числом ( чётным или нечётным ) является сумма .
К выбору действия сложения или вычитания для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « на 10 больше » не всегда требуют	сложения	.
Сочетательный закон	сложения	. умножения .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов	сложения	и умножения .
К выбору действия	сложения	или вычитания для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « на 10 больше » не всегда требуют сложения .
При сложении и вычитании однозначных чисел удобно пользоваться таблицей	сложения	.
Таблицы	сложения	и умножения для однозначных чисел в двоичной системе счисления очень просты .
С помощью	сложения	и вычитания решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного на несколько единиц , ответить на вопросы « на сколько больше ? » , « на сколько меньше ? » , « сколько всего ? » , « сколько осталось ? » и т .
Решение текстовых задач с помощью	сложения	и вычитания .
Вы научитесь их сравнивать , выполнять с ними четыре арифметических действия , применять законы	сложения	и умножения для упрощения вычислений .
Для дробей , как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы	сложения	.
Используя сочетательный закон	сложения	для натуральных чисел , проверьте равенство .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё , что вы знаете о натуральных числах , познакомиться со свойствами	сложения	и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
Запишите равенство , выражающее сочетательный закон	сложения	.
Изменять принятый порядок действий можно только в тех случаях , когда это позволяют законы	сложения	и умножения .
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон	сложения	.
Переместительный закон	сложения	.
Запишите равенство , выражающее переместительный закон	сложения	.
Запишите и сформулируйте переместительный закон	сложения	; сочетательный закон сложения .
Запишите и сформулируйте переместительный закон сложения ; сочетательный закон	сложения	.
б ) С помощью рисунка покажите , что . Вычислите , используя законы	сложения	.
Рассмотренные законы	сложения	широко применяются для упрощения вычислений .
Докажем эти равенства , применяя на каждом этапе рассуждений переместительный или сочетательный закон	сложения	.
Поэтому переместительный и сочетательный законы	сложения	верны для любых неотрицательных чисел .
Выполняется ли для дробей переместительный закон сложения ; сочетательный закон	сложения	? .
Примените законы	сложения	для упрощения вычислений .
Законы	сложения	.
Так как сочетательный закон	сложения	верен для натуральных чисел .
Из законов	сложения	следует , что сумму нескольких дробей можно записывать без скобок ; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки .
Выполняется ли для дробей переместительный закон	сложения	; сочетательный закон сложения ? .
Так как переместительный закон	сложения	верен для натуральных чисел .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило	сложения	дробей с общим знаменателем .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон	сложения	.
Для этого надо сложить её целую и дробную части по правилу	сложения	дробей .
Запишите сочетательный закон	сложения	для чисел .
Сложение смешанных дробей выполняют с помощью законов	сложения	.
Запишите переместительный закон	сложения	для чисел .
Сочетательный закон	сложения	позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок .
Куб ,	сложенный	из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных параллелепипедов ? .
Спички	сложены	.
Из спичек	сложены	верные равенства .
Известно , что первый из них , работая один ,	сложил	бы печь за 24 ч .
За сколько часов второй печник , работая один ,	сложил	бы ту же печь ? .
Из спичек	сложили	рака , который ползёт вверх .
е . умножили на 1/3 ) и полученные результаты	сложили	.
а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и	сложили	их в ряд .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и	сложили	полученные квадраты в ряд .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и	сложили	их в ряд .
Два печника	сложили	печь за 16 ч .
Из спичек	сложили	шесть неверных равенств .
Например ,	сложим	по формуле дроби .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения	сложить	.
Чтобы	сложить	несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Чтобы	сложить	две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
Чтобы сложить смешанные дроби , надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты	сложить	.
Прямоугольник 4 x 9 разрежьте на две части так , чтобы из них можно было	сложить	квадрат .
6 ) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и	сложить	их в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и	сложить	полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Для этого надо	сложить	её целую и дробную части по правилу сложения дробей .
Чтобы сложить смешанные дроби , надо	сложить	отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить .
Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2 , в левой — на 3 и результаты	сложить	, а мне сообщить лишь , является сумма чётной или нет .
Чтобы	сложить	смешанные дроби , надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить .
Чтобы	сложить	числа 5 и 3 , можно рассуждать так .
Разрежьте полученную фигуру на две части так , чтобы из них можно было	сложить	квадрат .
На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил загадкой : « Если	сложить	день и номер месяца моего рождения , то получится 20 ; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения , то получится 14 ; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900 , то получится год моего рождения » .
3 ) 45 ( км / ч ) —	собственная	скорость .
б ) Сколько времени потребуется для того , чтобы проплыть на моторной лодке 90 км против течения , если её	собственная	скорость 20 км / ч , а скорость течения реки 2 км / ч ? .
Какова скорость течения реки и	собственная	скорость моторной лодки ? .
Сколько времени потратит моторная лодка на путь между причалами туда и обратно , если	собственная	скорость моторной лодки 10 км / ч , а скорость течения 2 км / ч ? .
Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер , если его	собственная	скорость 15 км / ч , а скорость течения реки 3 км / ч ? .
Как далеко друг от друга в этот момент находились лодка и шляпа , если	собственная	скорость лодки 8 км / ч .
Если катер движется по течению реки , то его скорость равна сумме его	собственной	скорости и скорости течения реки ; если же катер движется против течения реки , то его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения реки .
Если катер движется по течению реки , то его скорость равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки ; если же катер движется против течения реки , то его скорость равна разности его	собственной	скорости и скорости течения реки .
Скорость катера в стоячей воде ( в озере ) называют ещё	собственной	скоростью катера .
Обратим внимание : скорость катера по течению реки — это сумма его собственной скорости и скорости течения реки , а скорость катера против течения реки это разность его	собственной	скорости и скорости течения реки , поэтому скорость по течению реки больше скорости против течения на удвоенную скорость течения .
Обратим внимание : скорость катера по течению реки — это сумма его	собственной	скорости и скорости течения реки , а скорость катера против течения реки это разность его собственной скорости и скорости течения реки , поэтому скорость по течению реки больше скорости против течения на удвоенную скорость течения .
Катер , имеющий	собственную	скорость 15 км / ч , проплыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения .
Под	совместной	работой можно понимать и одновременную работу двух труб при наполнении бассейна , и прохождение некоторого пути при движении навстречу друг другу и т .
За сколько часов машинистки перепечатали бы рукопись при	совместной	работе ? .
Какую часть задания выполнят две бригады за 1 день	совместной	работы ? .
Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч	совместной	работы ? .
За сколько часов эти бригады выполнят задание при	совместной	работе ? .
При	совместной	работе за 1 ч две бригады выполняют всей работы , поэтому всю работу они выполнят .
а ) Два тракториста за 1 день	совместной	работы вспахали поля .
Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 ч	совместной	работы ? .
За сколько часов они обточат 144 такие же заготовки при	совместной	работе ? .
Два тракториста вспахали поле за 6 ч	совместной	работы .
За сколько часов это задание выполнят две бригады при	совместной	работе ? .
За какое время можно отштамповать 960 деталей при	совместной	работе двух станков ? .
За сколько часов наполнится бассейн при	совместной	работе этих труб ? .
( бочки ) — выпивают они при	совместной	« работе » за 1 день .
За сколько лет они построят дом при	совместной	работе ? .
Рассмотрим задачи , в которых речь идёт о	совместном	выполнении некоторой работы .
В главе 4 вам встретятся задачи « на дроби » и « на	совместную	работу » , среди которых есть интересные старинные задачи .
Отметим , что многие задачи на	совместную	работу можно решить этим старинным способом , не пользуясь дробями .
Задачи на	совместную	работу .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В	совпадает	с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не	совпадает	с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Если конец ломаной	совпадает	с её началом , то ломаную называют замкнутой .
Убедитесь , что конец шестой дуги , считая от точки A ,	совпадает	с точкой А .
Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки будут	совпадать	? .
Если лист бумаги перегнуть по прямой BD , то лучи ВA и ВС	совпадут	.
Перегнём лист бумаги так , чтобы лучи BA и BС	совпали	, и расправим лист .
Сложите дроби , предварительно	сократив	их .
Например ,	сократим	дроби .
Например ,	сократим	дробь .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и	сократите	полученную дробь по образцу .
Сложите дроби , полученную дробь	сократите	.
Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби , затем	сократите	дробь .
Чтобы получить несократимую дробь , надо	сократить	данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя .
Говорят , что можно	сократить	дробь на n и получить равную ей дробь .
Он позволяет	сократить	объём работы при составлении таблицы простых чисел .
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , то дробь можно	сократить	на этот множитель , т .
Это наблюдение позволяет	сократить	перебор чисел при поиске всех делителей числа 18 .
Отличие заключается в том , что черту дроби не пишут и дробь не	сокращают	.
В старину на Руси пользовались такими мерами длины : пядь — расстояние между концами вытянутых большого и указательного пальцев руки ( примерно 18–23 см ) ; локоть — расстояние от конца	среднего	пальца руки до локтя ( примерно 38–46 см ) ; сажень — различали « простую » ( примерно 152 см ) , « маховую » ( примерно 176 см ) и « косую » ( примерно 248 см ) сажени .
Например , для чисел 1 , 3 , 7	среднее	арифметическое равно для чисел 1 , 2 , 3 , 4 среднее арифметическое равно .
Например , среднее арифметическое чисел 3 и 5 равно , а	среднее	арифметическое чисел и равно .
Например ,	среднее	арифметическое чисел 3 и 5 равно , а среднее арифметическое чисел и равно .
Найдите	среднее	арифметическое чисел .
Например , для чисел 1 , 3 , 7 среднее арифметическое равно для чисел 1 , 2 , 3 , 4	среднее	арифметическое равно .
Например , радиус Солнца равен 700 000 км , а	среднее	расстояние от Земли до Солнца равно 150 000 000 км .
Например , для чисел 1 , 3 , 7 среднее арифметическое равно для чисел 1 , 2 , 3 , 4	среднее арифметическое	равно .
Например , для чисел 1 , 3 , 7	среднее арифметическое	равно для чисел 1 , 2 , 3 , 4 среднее арифметическое равно .
Например ,	среднее арифметическое	чисел 3 и 5 равно , а среднее арифметическое чисел и равно .
Найдите	среднее арифметическое	чисел .
Например , среднее арифметическое чисел 3 и 5 равно , а	среднее арифметическое	чисел и равно .
Старшему — половину всего и 1 р . ,	среднему	— половину остатка и ещё 1 р , младшему — половину остатка и последние 3 р .
— Если подсчитать	средний	возраст 32 учеников нашего класса , то получится 10 года .
После этого пусть	средний	брат , а за ним старший поступят так же » .
Вообще ,	средним	арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых .
Число называется	средним	арифметическим чисел а и b .
Вообще ,	средним арифметическим	нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых .
Число называется	средним арифметическим	чисел а и b .
Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде	степеней	числа 10 или в виде произведения некоторого числа и степени числа 10 .
Разложить данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их	степеней	.
Так как у квадрата все стороны равны , площадь квадрата равна второй	степени	его стороны .
д. Их можно записать в виде	степени	.
Даже очень большие промежутки времени выражаются в секундах с помощью	степени	числа 10 .
Следующие	степени	числа 10 называют так : 1012 — триллион , 1013 — десять триллионов , 1014 — сто триллионов .
объём куба равен третьей	степени	длины его ребра .
Определением	степени	с натуральным показателем можно пользоваться и для дробей .
Число 4 можно записать в виде суммы , разности , произведения , частного ,	степени	или другими способами .
Запишите каждое число в виде	степени	.
Запишите в виде	степени	с основанием 10 число .
Число 3 показывает , сколько раз нужно взять множителем основание	степени	— число 2 .
Показатель	степени	.
При этом число 2 называют основанием степени , а число 3 — показателем	степени	.
При этом число 2 называют основанием	степени	, а число 3 — показателем степени .
Вычислите	степени	числа 10 с показателями от 1 до 7 .
Читают « пять в	степени	четыре » .
Основание	степени	.
Вычислите	степени	числа 2 с показателями от 1 до 10 .
Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде произведения некоторого числа и	степени	числа 10 .
Используя специальные названия второй и третьей степени , прочитайте	степени	.
Используя специальные названия второй и третьей	степени	, прочитайте степени .
Запишите произведение в виде	степени	.
Запись 23 ( « два в	степени	три » ) означает 2 - 2 - 2 .
У многих калькуляторов предусмотрено упрощение вычислений при возведении в	степень	.
Если в числовом выражении есть	степень	с натуральным показателем , то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий .
Перед возведением в	степень	смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в	степень	.
Чему равна первая	степень	любого числа ? .
Поэтому часто третью	степень	числа называют кубом числа .
Таким же образом можно вычислить любую	степень	числа с натуральным показателем , большим единицы .
Вторую	степень	числа называют также квадратом числа .
	Степень	числа с показателем 1 .
Третью	степень	числа называют кубом числа .
Используя	степень	числа 10 , квадратный километр можно записать так .
Поэтому часто вторую	степень	числа называют квадратом числа .
Принято считать , что первая	степень	любого числа равна самому числу .
Вычислите	степень	с помощью калькулятора .
Что называют	степенью	числа а с натуральным показателем n ? .
Произведение одинаковых чисел также записывают короче . и называют	степенью	.
Задайте формулой зависимость d от n . а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника от числа его	сторон	( n ) .
Периметр равнобедренного треугольника AВС равен 30 см , а одна из	сторон	на 3 см больше другой .
Сумму длин	сторон	многоугольника называют его периметром .
Найдите периметр прямоугольника , если одна из его	сторон	равна 37 см , а другая : а ) на 6 см больше ; б ) на 8 см меньше .
Если изобразить класс на плане с уменьшением	сторон	в 10 раз , то во сколько раз площадь класса на этом плане будет меньше настоящей площади класса ? .
Если взять длины	сторон	с избытком : АB — 4 см , AD — 6 см , то площадь прямоугольника ABCD будет меньше чем 24 ( см2 ) .
Построить треугольник , длины	сторон	которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
В равнобедренном треугольнике даны длины двух	сторон	: 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
Найдите периметр прямоугольника , если одна из его	сторон	равна 26 см , а другая : а ) в 3 раза больше ; б ) в 2 раза меньше .
Сумму длин всех	сторон	треугольника называют его периметром .
Наименьшее число	сторон	в многоугольнике равно трём .
По числу	сторон	многоугольник называют треугольником , четырёхугольником , пятиугольником и т .
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его вершины , от числа	сторон	этого многоугольника ( n ) .
Периметр прямоугольника равен 56 см , одна из его	сторон	равна 17 см. Найдите его другую сторону .
Сумму длин	сторон	четырёхугольника называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом .
б ) Чему равна	сторона	ромба , если его периметр равен 20 см ? .
а ) Одна	сторона	треугольника равна 10 см , она на 2 см меньше второй стороны и на 3 см меньше третьей .
Вычислите периметр квадрата ,	сторона	которого равна .
Одна	сторона	треугольника равна 12 см , она на 3 см меньше второй стороны и на 2 см больше третьей .
Принято считать , что слово «	сторона	» означает не только отрезок , но и его длину .
а ) Чему равен периметр ромба , если одна его	сторона	равна 20 см ? .
Одна	сторона	треугольника равна 25 см , она на 4 см больше второй стороны и на 5 см меньше третьей .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат ,	сторона	которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Одна	сторона	треугольника равна 12 см , она на 4 см больше второй стороны и на 3 см больше третьей .
А треугольник со	сторонами	1 см , 2 см и 5 см построить нельзя .
Что называют углом , вершиной угла ,	сторонами	угла ? .
Углы А , В и С называют углами треугольника , отрезки AВ , АС и ВС — его	сторонами	.
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со	сторонами	4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Постройте в тетради прямоугольник со	сторонами	: а ) 5 см и 3 см ; б ) 71 мм и 27 мм .
Например , треугольник со	сторонами	3 см , 4 см и 5 см построить можно .
Точки А , В , С и D называют вершинами прямоугольника , а отрезки AВ , ВС , CD и АD — его	сторонами	.
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними	сторонами	, — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
Необходимо покрыть кафельной плиткой пол , имеющий форму прямоугольника со	сторонами	4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется , если в каждом ящике 50 плиток ?
Пол в классе имеет форму прямоугольника со	сторонами	5 м и 6 м .
Что называют	сторонами	, углами , вершинами многоугольника ? .
Изображён прямоугольник со	сторонами	а дм и b дм .
Треугольник со	сторонами	1 см , 2 см и 3 см тоже построить нельзя .
В многоугольнике звенья ломаной называют	сторонами	многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
Сад имеет форму прямоугольника со	сторонами	500 м и 400 м .
Точку В называют вершиной угла , лучи ВА и ВС — его	сторонами	.
Отрезки АВ , ВС , CD и DA называют	сторонами	, углы А , В , С и D — углами , а точки А , В , С и D — вершинами четырёхугольника ABCD .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со	сторонами	3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник со	сторонами	3 см , 4 см и 5 см. Измерьте его углы .
Составьте выражение для вычисления периметра прямоугольника со	сторонами	.
Из листа фанеры размером 11 см х 15 см выпилили два квадрата со стороной 5 см и три прямоугольника со	сторонами	4 см и 7 см. Определите площадь оставшейся части .
Найдите периметр прямоугольника со	сторонами	: а ) 12 см и 9 см ; б ) 93 см и 2 см ; в ) 11 см и 47 мм ; г ) 17 см и 3 дм .
На	стороне	AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
На стороне AВ отметили точку М , на	стороне	ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на	стороне	АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
Показан порядок построения равнобедренного треугольника с основанием 3 см и боковой	стороной	4 см с помощью циркуля и линейки .
Постройте в тетради квадрат со	стороной	: а ) 4 см ; б ) 34 мм .
Из листа фанеры размером 11 см х 15 см выпилили два квадрата со	стороной	5 см и три прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см. Определите площадь оставшейся части .
Если квадрат со	стороной	1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Вычислите площадь и периметр квадрата со	стороной	.
на 15 единичных квадратов со	стороной	1 см. Следовательно , его площадь S равна .
Необходимо покрыть кафельной плиткой пол , имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со	стороной	15 см. Сколько ящиков плитки потребуется , если в каждом ящике 50 плиток ?
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со	стороной	1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со	стороной	6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
квадрат со	стороной	1 мм имеет площадь один квадратный миллиметр ( 1 мм2 ) .
квадрат со	стороной	1 см имеет площадь один квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Это площадь квадрата со	стороной	100 м .
квадрат со	стороной	1 дм имеет площадь один квадратный дециметр ( 1 дм2 ) .
Это площадь квадрата со	стороной	10 м .
Говорят , что квадрат со	стороной	1 м имеет площадь один квадратный метр ( 1 м2 ) .
квадрат со	стороной	1 км имеет площадь один квадратный километр ( 1 км2 ) .
Постройте развёртку куба со	стороной	2 см .
Достроим прямоугольник до квадрата со	стороной	1 дм .
Постройте равносторонний треугольник со	стороной	AB .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой	стороной	3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
Квадрат со	стороной	1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со	стороной	1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
Другую	сторону	квадрата разделим на 3 равные части ; две из них составляют ширину прямоугольника .
а ) точки B и С лежат по одну	сторону	от точки A . б ) точки B и С лежат по разные стороны от точки A .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите	сторону	квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
Во сколько раз увеличится площадь квадрата , если его	сторону	увеличить : а ) в 2 раза ; б ) в 3 раза ; в ) в 10 раз ? .
б ) Найдите	сторону	квадрата , площадь которого равна площади данного прямоугольника .
Периметр прямоугольника равен 56 см , одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую	сторону	.
Линия проведена так , чтобы она пересекала каждую	сторону	каждого маленького прямоугольника только один раз .
Многоугольник называют выпуклым , если он весь расположен по одну	сторону	от каждой прямой , содержащей его сторону .
Как изменится периметр квадрата , если его	сторону	: а ) увеличить в 2 раза ; б ) уменьшить в 3 раза ? .
Фигуры домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх квадратов так , чтобы любой квадрат имел общую	сторону	хотя бы с одним квадратом .
Многоугольник называют выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от каждой прямой , содержащей его	сторону	.
Одну	сторону	квадрата разделим на 4 равные части ; три из них составляют длину прямоугольника .
Найдите большую	сторону	прямоугольника .
Периметр равностороннего треугольника равен 27 см. Вычислите	сторону	этого треугольника .
Если все	стороны	треугольника имеют разные длины , то его называют разносторонним .
Прямоугольник , у которого все	стороны	равны , называют квадратом .
Какими могут быть	стороны	треугольника AВС ? .
Вычислите площадь прямоугольника ,	стороны	которого равны .
Если две	стороны	треугольника равны , то его называют равнобедренным , а если три стороны треугольника равны , то его называют равносторонним .
С помощью циркуля и линейки можно построить правильный шестиугольник , у которого	стороны	равны и углы равны .
Назовите все его	стороны	и вершины .
Нижнюю и верхнюю	стороны	прямоугольника называют ещё основаниями прямоугольника .
а ) Одна сторона треугольника равна 10 см , она на 2 см меньше второй	стороны	и на 3 см меньше третьей .
а ) точки B и С лежат по одну сторону от точки A . б ) точки B и С лежат по разные	стороны	от точки A .
Многоугольник называю правильным , если все его углы и все	стороны	равны .
Одна сторона треугольника равна 12 см , она на 4 см больше второй	стороны	и на 3 см больше третьей .
Если две стороны треугольника равны , то его называют равнобедренным , а если три	стороны	треугольника равны , то его называют равносторонним .
При этом предполагается , что	стороны	прямоугольника измерены в одинаковых линейных единицах .
Две другие	стороны	называют высотами , они тоже равны и параллельны .
Измерив его	стороны	АB и AD , получим АB — 3 см и AD — 5 см с недостатком , значит , площадь S прямоугольника ABCD больше чем 15 ( см2 ) .
В равностороннем треугольнике длина	стороны	равна .
Найдите	стороны	прямоугольника .
Так как у квадрата все стороны равны , площадь квадрата равна второй степени его	стороны	.
Одна сторона треугольника равна 25 см , она на 4 см больше второй	стороны	и на 5 см меньше третьей .
Одна сторона треугольника равна 12 см , она на 3 см меньше второй	стороны	и на 2 см больше третьей .
Так как у квадрата все	стороны	равны , площадь квадрата равна второй степени его стороны .
Четырёхугольник , все	стороны	которого равны , называют ромбом .
Измерьте их	стороны	и вычислите периметры .
Найдите длину	стороны	квадрата .
Прямоугольник имеет	стороны	2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
Пчёлы	строят	свои соты в виде правильных шестиугольников .
Если	сумма	цифр числа делится на 3 , то и само число делится на 3 .
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их	сумма	и разность делятся на это число .
в )	сумма	делится на 13 , где а и с — натуральные числа .
а ) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа ,	сумма	которых равна 912 .
Если	сумма	цифр числа делится на 9 , то и само число делится на 9 .
а ) три нечётных числа ,	сумма	которых равна 12 . б )
Петя их не видел , но утверждает , что по количеству записанных чисел легко определит , чётная или нечётная у них	сумма	.
Если	сумма	чётная , то двухрублёвая монета в левой руке , если нечётная , то в правой .
Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2 , в левой — на 3 и результаты сложить , а мне сообщить лишь , является	сумма	чётной или нет .
Некто утверждает , что знает 4 натуральных числа , произведение и	сумма	которых нечётные числа .
Делится ли	сумма	.
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б )	сумма	нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
Докажите , что	сумма	двух чётных чисел является чётным числом .
	Сумма	делится на 11 .
Например , у числа 375	сумма	цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
б ) если каждое из двух слагаемых делится на 5 , то и	сумма	делится на 5 .
пять нечётных чисел ,	сумма	которых равна 100 .
То есть	сумма	не меняется от перестановки слагаемых .
а ) если каждое из двух слагаемых делится на 2 , то и	сумма	делится на 2 .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы	сумма	этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
В Московском метрополитене разрешается бесплатно провозить предметы , сумма трёх измерений которых не превышает 150 см. Какие размеры может иметь коробка ,	сумма	измерений которой 150 см ?
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как	сумма	нечётного и чётного чисел нечётная .
В Московском метрополитене разрешается бесплатно провозить предметы ,	сумма	трёх измерений которых не превышает 150 см. Какие размеры может иметь коробка , сумма измерений которой 150 см ?
Чему равна	сумма	величин углов 1 и 3 ?
Какова эта	сумма	? .
Чему равна	сумма	величин углов 3 и 2 ?
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где	сумма	в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
а )	сумма	делится на 9 .
Какова	сумма	трёх чисел ? .
От перестановки слагаемых	сумма	не меняется .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы	сумма	этих множителей была равна 35
Число 137 не делится на 2 , потому что	сумма	числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
Докажите , что	сумма	всех чисел любого магического квадрата 3 x 3 делится на 3 .
первоначальная	сумма	в 6 раз больше , чем 50 р .
Докажите , что	сумма	двух нечётных чисел является чётным числом .
Сначала определите , какой должна быть эта	сумма	.
Может ли	сумма	двух правильных дробей быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Обратим внимание : скорость катера по течению реки — это	сумма	его собственной скорости и скорости течения реки , а скорость катера против течения реки это разность его собственной скорости и скорости течения реки , поэтому скорость по течению реки больше скорости против течения на удвоенную скорость течения .
	Сумма	делится на 3 , где а , b и с — натуральные числа .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках —	сумма	цифр числа 679 — не делится на 3 .
На гранях куба написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что	сумма	чисел на двух противоположных гранях равна семи .
Число 375 не делится на 9 , так как	сумма	его цифр не делится на 9 .
б ) К двузначному числу приписали цифру 1 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа ,	сумма	которых равна 926 .
В квадрате 3x3 расставьте числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 так , чтобы	сумма	чисел в каждой строке , в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова .
а ) Может ли	сумма	двух простых чисел быть простым числом ? .
Число 52 не делится на 5 , потому что	сумма	числа 50 , делящегося на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
а ) Первое слагаемое составляет второго , а их	сумма	равна 45 .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где	сумма	в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
в ) К трёхзначному числу приписали цифру 2 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа ,	сумма	которых равна 5929 .
Например ,	сумма	, частное .
Чему равна	сумма	величин смежных углов ? .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках —	сумма	цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
в ) Предположим , что у вас и у меня имеется одинаковая	сумма	денег .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где	сумма	в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Прочитайте выражение , используя слова «	сумма	» , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
Докажите , что : а )	сумма	чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
Легко видеть , что	сумма	чисел 3 и 6 равна 9 .
Число 4561 не делится на 10 , потому что	сумма	числа 4560 , делящегося на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
г ) К трёхзначному числу приписали цифру 7 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа ,	сумма	которых равна 8360 .
Верно ли , что	сумма	любых двух простых чисел является простым числом ? .
Это можно доказать следующим образом , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках —	сумма	цифр числа 375 — не делится на 9 ( по свойству 4 ) .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их	сумма	и разность не делятся на это число .
Не выполняя сложения , определите , каким числом ( чётным или нечётным ) является	сумма	.
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках —	сумма	цифр числа 375 — также делится на 3 .
Можно считать , что произведение натурального числа n на дробь — есть	сумма	n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Равенство верно , так как	сумма	разности и вычитаемого равна уменьшаемому .
Это можно доказать следующим образом , где	сумма	в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — не делится на 9 ( по свойству 4 ) .
Например ,	сумма	цифр 18 числа 7245 делится на 9 .
Разностью двух дробей называют дробь , которая в	сумме	с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Ту же дробь записывали так , что соответствовало	сумме	или .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен	сумме	числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Чтобы к	сумме	двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Чтобы к	сумме	двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
Подберите дробь , которая в	сумме	с данной дробью даёт .
В	сумме	нескольких слагаемых можно менять слагаемые местами и заключать их в скобки любым образом .
Можно ли в	сумме	чисел менять местами слагаемые , заключать слагаемые в скобки ? .
Задачи на нахождение двух чисел по их	сумме	и разности .
При решении задач на нахождение двух чисел по их	сумме	и разности помогают схематические рисунки .
Таким образом , мы получили равенство , показывающее , что если к	сумме	прибавить 4 или к 3 прибавить сумму , то результат будет один и тот же .
Придумайте задачу на нахождение двух чисел по их	сумме	и разности .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной	сумме	прибавить третью дробь и т .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна	сумме	площадей составляющих его многоугольников .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а )	сумме	длин отрезков ; б ) разности длин отрезков .
Длина отрезка AD равна	сумме	длин отрезков АС и CD .
Переход от произведений соответственно к	сумме	и разности называют раскрытием скобок .
Если катер движется по течению реки , то его скорость равна	сумме	его собственной скорости и скорости течения реки ; если же катер движется против течения реки , то его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения реки .
Получится то же число 8 , называемое	суммой	чисел 3 и 5 .
Получится число 8 , называемое	суммой	чисел 5 и 3 .
Таким образом , мы получили равенство , показывающее , что если к сумме прибавить 4 или к 3 прибавить	сумму	, то результат будет один и тот же .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить	сумму	второго и третьего .
Запишите	сумму	в виде смешанной дроби .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную	сумму	100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Например . Говорят , что в произведениях раскрыли скобки и получили соответственно	сумму	и разность .
Определите объём и	сумму	площадей всех граней получившегося куба .
Определите объём и	сумму	площадей всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда .
а ) Четверо купцов имеют некоторую	сумму	денег .
Для санатория купили 12 кресел и 50 стульев на общую	сумму	98 800 р .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить	сумму	второго и третьего чисел .
и 12 комплектов головоломок — на общую	сумму	222 р .
Из законов сложения следует , что	сумму	нескольких дробей можно записывать без скобок ; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки .
Трое выиграли некоторую	сумму	денег .
	Сумму	площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
Примеры . 1 ) Вычислите	сумму	.
Найдите	сумму	этих чисел .
Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа , зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне	сумму	незачёркнутых цифр .
Мы уже знаем , что	сумму	нескольких одинаковых слагаемых принято записывать короче — в виде произведения .
в )	сумму	квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
	Сумму	кубов чисел .
Вычислите	сумму	.
Чтобы найти эту	сумму	, надо 50 р .
Найдите первоначальную	сумму	денег .
Сочетательный закон сложения позволяет записывать	сумму	нескольких слагаемых без скобок .
Чтобы найти 1/4 от 600 р . , надо эту	сумму	разделить на 4 : 150 ( р . ) .
Замените	сумму	произведением .
Знака « + » для записи суммы в то время ещё не существовало , и	сумму	записывали так .
Найдите	сумму	.
а )	сумму	чисел .
Поэтому , например , дробь выражали как	сумму	двух дробей .
Вычтите	сумму	чисел 328 и 532 из числа 1000 . е )
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти	сумму	трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
Запишите	сумму	в виде произведения .
Используя распределительный закон , запишите	сумму	в виде произведения .
Чтобы число умножить на	сумму	двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
	Сумму	площадей боковых граней .
Переход от	суммы	к произведению и от разности к произведению называют вынесением общего множителя за скобки .
На долю первого пришлась у этой	суммы	, на долю второго , а на долю третьего — 17 флоринов .
Используя распределительный закон , запишите произведение в виде	суммы	.
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше	суммы	длин двух других отрезков .
Запишите дробь в виде	суммы	двух дробей .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде	суммы	натурального числа и правильной дроби .
Потратили 50 р . , это составило 1/6 первоначальной	суммы	денег .
Запишите смешанную дробь в виде	суммы	натурального числа и правильной дроби .
Можно ли число 1 представить в виде	суммы	дробей , где а , b , с , d — нечётные натуральные числа ? .
Вообще , средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления	суммы	этих чисел на число слагаемых .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде	суммы	натуральных чисел , произведение которых является простым числом .
Число 4 можно записать в виде	суммы	, разности , произведения , частного , степени или другими способами .
Знака « + » для записи	суммы	в то время ещё не существовало , и сумму записывали так .
Л. Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу , называемую проблемой Эйлера : « Доказать , что каждое чётное число , начиная с 4 , можно представить в виде	суммы	двух простых чисел » .
, 2/5 этой	суммы	истратили .
Было 600 р . , 1/4 этой	суммы	истратили .
Прочитайте следующие числа , запишите их в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Сравните	суммы	чисел в строчках , столбцах и диагоналях квадратов .
Определите порядок выполнения действий при вычислении	суммы	.
Можно ли за несколько ходов уравнять	суммы	в коробочках ? .
з ) куб	суммы	чисел .
При сложении чисел бывает удобно слагаемое представить в виде	суммы	.
на этой	суммы	.
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат	суммы	чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Запишите в виде	суммы	разрядных слагаемых числа .
в 6 раз меньше первоначальной	суммы	, т .
Вычислите , записав делимое в виде	суммы	, по образцу .
Каждое натуральное число можно записать в виде	суммы	разрядных слагаемых .
Число 2305 оканчивается цифрой 5 , оно делится на 5 , так как его можно записать в виде	суммы	чисел , делящихся на 5 ( по свойству 3 ) .
Теперь она увеличилась на 2/5 этой	суммы	.
Теперь она понизилась на 3/10 этой	суммы	.
на 2/5 этой	суммы	.
на 1/10 этой	суммы	.
Некто оставил в наследство жене , дочери и трём сыновьям 48 000 рублей и завещал жене всей	суммы	, а каждому из сыновей вдвое больше , чем дочери .
Можно ли простое число записать в виде	суммы	.
Запишите произведение в виде	суммы	.
Он потратил этой	суммы	и остатка .
составляют 3/4 имеющейся	суммы	денег .
б ) Первое слагаемое составляет —	суммы	и на 45 больше второго слагаемого .
Потратили 600 р . , это составило 2/3 первоначальной	суммы	денег .
Число 136 оканчивается цифрой 6 , оно делится на 2 , так как его можно записать в виде	суммы	чисел , делящихся на 2 ( по свойству 3 ) .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде	суммы	, где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Сначала найдём одну треть первоначальной	суммы	, а потом и три третьих .
в ) Первое слагаемое равно 45 , а второе составляет	суммы	двух слагаемых .
В рассмотренной задаче требуется чётное число ( 20 ) представить в виде	суммы	нечётного числа ( 7 ) нечётных слагаемых ( 1 и 5 ) .
Более двухсот лет назад член Петербургской академии паук X. Гольдбах ( 1690–1764 ) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха : « Доказать , что каждое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде	суммы	трёх простых чисел » .
а ) Представление о	сфере	даёт теннисный мяч .
Все точки пространства , удалённые от данной точки ( центра ) на одно и то же расстояние , образуют	сферу	.
Отрезок , соединяющий центр	сферы	с любой её точкой , называют радиусом сферы .
Отрезок , соединяющий центр сферы с любой её точкой , называют радиусом	сферы	.
Часть пространства , состоящую из всех точек	сферы	и всех точек , находящихся внутри сферы , называют шаром .
Внутри или вне	сферы	расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Назовите какой - нибудь предмет , имеющий форму	сферы	.
Часть пространства , состоящую из всех точек сферы и всех точек , находящихся внутри	сферы	, называют шаром .
Обратим внимание на то , что в одних точках	сходится	чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Оказывается , этот результат зависит от числа « нечётных » узлов фигуры , в которых	сходится	нечётное число линий .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые	сходятся	в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
Тот , кто умел быстро и безошибочно делить , считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению , вычитанию и	таблице умножения	.
Для вычисления произведения однозначных чисел удобно пользоваться	таблицей умножения	.
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только	таблицы умножения	, но и законов сложения и умножения .
Например , если тело за каждый час проходит v км , говорят , что скорость	тела	v километров в час , и пишут : v км / ч .
Например , если	тело	за каждый час проходит v км , говорят , что скорость тела v километров в час , и пишут : v км / ч .
Говорят , что	тело	движется равномерно , если оно за каждую единицу времени проходит одно и то же расстояние .
Если	тело	движется равномерно t ч со скоростью v км / ч , то оно проходит путь s км , и при этом верно равенство .
Итак , чтобы найти путь , пройденный	телом	при равномерном движении , нужно его скорость умножить на время движения ( в дальнейшем слово « равномерное » для краткости опускается , но подразумевается ) .
Какая из	точек	А(5 ) , B(100 ) и С(56 ) расположена на координатном луче : а ) правее других ; б ) левее других ? .
Сколько получится лучей , если на прямой отметить : а ) 3 точки ; б ) 5	точек	; в ) 100 точек ? .
Сколько получится лучей , если на прямой отметить : а ) 3 точки ; б ) 5 точек ; в ) 100	точек	? .
Часть плоскости , состоящую из всех	точек	окружности и всех точек , лежащих внутри окружности , называют кругом .
Координаты точек А и В , найдите координаты	точек	С и D .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях	точек	М , N и К ? .
Координаты	точек	А и В , найдите координаты точек С и D .
Можно также сказать , что окружность состоит из	точек	, удалённых от её центра на расстояние , равное радиусу .
Назовите три точки , расположенные на координатном луче правее	точек	с указанными координатами , и три точки , расположенные левее их .
Возьмём на плоскости несколько	точек	, например A , В , С , D , Е , и соединим точки А и В , В и С , С и D , D и Е отрезками .
Найдите координаты	точек	, делящих отрезок АВ на три равные части .
Часть плоскости , состоящую из всех точек окружности и всех	точек	, лежащих внутри окружности , называют кругом .
Укажите координаты	точек	А , В , С , D и Е. Найдите расстояние от этих точек до нулевой точки .
Укажите координаты точек А , В , С , D и Е. Найдите расстояние от этих	точек	до нулевой точки .
Фигуру , образованную такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих	точек	, кроме концов соседних звеньев ломаной , называют многоугольником .
Круг состоит из	точек	, удалённых от данной точки на расстояние , меньшее или равное его радиусу .
На прямой отметили 5	точек	.
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из	точек	пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
Часть пространства , состоящую из всех точек сферы и всех	точек	, находящихся внутри сферы , называют шаром .
Если отрезки АВ , ВС , CD и DA не имеют других общих точек , кроме	точек	А , В , С и D , то полученную фигуру называют четырёхугольником ABCD .
Часть пространства , состоящую из всех	точек	сферы и всех точек , находящихся внутри сферы , называют шаром .
Расстояние между точками А и В равно 5 см. Постройте точку , удалённую от точки А на расстояние 4 см , а от точки В — на расстояние 3 см. Сколько таких	точек	можно построить ? .
Если отрезки АВ , ВС , CD и DA не имеют других общих	точек	, кроме точек А , В , С и D , то полученную фигуру называют четырёхугольником ABCD .
С —	точка	касания .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что	точка	0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что	точка	В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится	точка	В , — например , 5 и 6 .
Так как	точка	B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
Если же	точка	B оказалась бы ближе к делению 5 , то мы сказали бы , что длина отрезка AB приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см .
расстояние между точками а и b равно b — а . 3 )	точка	является серединой отрезка , соединяющего точки а и b .
Очевидно , что , поэтому	точка	1 находится на координатном луче правее точки , а длина отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
В этом случае	точка	, имеющая бόльшую координату , расположена на координатном луче правее .
Например , отмечена	точка	А с координатой 5 , пишут A(5 ) .
	Точка	b на координатном луче находится правее точки а .
Например ,	точка	А имеет координату .
Следующие точки называют соответственно : точка 1 ,	точка	2 и т .
Следующие точки называют соответственно :	точка	1 , точка 2 и т .
A говорят : «	точка	А с координатой .
Говорят ещё , что	точка	О имеет координату О , и пишут О(0 ) .
Остаётся ещё третий случай , когда	точка	B оказалась точно посередине между делениями линейки 5 и 6 .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что	точка	В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
Будем считать , что	точка	О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Отсюда следует , что между любыми двумя рациональными точками находится ещё хотя бы одна рациональная	точка	.
Числа удобно представлять	точками	прямой .
Длину отрезка AВ называют ещё расстоянием между	точками	А и В. Отметим , что два равных отрезка имеют равные длины .
С его помощью натуральные числа и нуль изображаются	точками	.
расстояние между	точками	а и b равно b — а . 3 ) точка является серединой отрезка , соединяющего точки а и b .
Точка С расположена на прямой между	точками	A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Расстояние между	точками	А и В равно 5 см. Постройте точку , удалённую от точки А на расстояние 4 см , а от точки В — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить ? .
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между	точками	с координатами .
Точка А расположена на прямой между	точками	В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Отсюда следует , что между любыми двумя рациональными	точками	находится ещё хотя бы одна рациональная точка .
Что называют расстоянием между двумя	точками	? .
Расстояние между	точками	.
Часть прямой , ограниченную	точками	А и В , называют отрезком АВ .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными	точками	.
Назовите все лучи с вершиной в	точках	А , В и С. Сколько лучей получилось ? .
Назовите все отрезки с концами в	точках	М , N и К. Сколько отрезков получилось ?
Отметьте на прямой две точки А и В. Сколько получилось лучей с началом в этих	точках	? .
Начертите отрезок с концами в этих	точках	и измерьте приближённо его длину .
Образовалось 6 отрезков с концами в этих	точках	.
Обратим внимание на то , что в одних	точках	сходится чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Отрезок с концами в	точках	А и B обозначают AВ или ВА .
Отметьте на листе бумаги точку , проведите несколько лучей с началом в этой	точке	.
Сколько лучей с началом в этой	точке	они образуют ? .
Две прямые пересекаются в одной	точке	.
Луч с началом в	точке	A можно обозначить и АВ , и АС .
Укажем в каждой	точке	, в которой можно изменить направление движения , число способов , которыми можно прийти в эту точку .
Каждую из этих частей называют лучом с началом в	точке	A . Луч , так же как и прямую , обозначают двумя заглавными буквами .
Нарисуйте фигуру , не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды так , чтобы линия не пересекала себя ни в одной	точке	.
Прямые А В и CD пересекаются в	точке	О. Углы АОС и BOD называют вертикальными .
В прямоугольнике KLMN диагонали КМ и LN пересекаются в	точке	О. Докажите , что площади треугольников KLO и NMO равны .
Отсюда следует , что две различные прямые могут пересекаться только в одной	точке	.
Установим острие циркуля неподвижно в	точке	О , а ножку с карандашом будем свободно вращать , не меняя раствора циркуля .
Изобразите на координатном луче ( возьмите единичный отрезок длиной 6 см )	точки	О .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а	точки	, изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Сколько получится лучей , если на прямой отметить : а ) 3	точки	; б ) 5 точек ; в ) 100 точек ? .
Для этого задают луч , выходящий из	точки	О в направлении , отмеченном стрелкой , и отрезок , длину которого принимают за единицу .
Круг состоит из точек , удалённых от данной	точки	на расстояние , меньшее или равное его радиусу .
Отметьте в тетради две	точки	.
На луче от начальной	точки	О отложим один за другим несколько отрезков единичной длины .
Изобразите на координатном луче	точки	.
Если на прямой отметить точку , то образуется два луча , выходящих из одной	точки	.
а ) точки B и С лежат по одну сторону от	точки	A . б ) точки B и С лежат по разные стороны от точки A .
На прямой даны три	точки	A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача ? .
Отметьте на прямой две	точки	А и В. Сколько получилось лучей с началом в этих точках ? .
Обозначьте все	точки	пересечения прямых , продолжив их , если нужно .
Возьмём на плоскости четыре	точки	А , В , С и D , такие , что никакие три из них не лежат на одной прямой , и соединим их отрезками АВ , ВС , СD и DA .
Из	точки	А , показанной на схеме города , надо попасть в точку В , двигаясь только вправо и вверх .
Возьмём на плоскости три	точки	А , В и О , не лежащие на одной прямой , и соединим их отрезками .
Даны четыре	точки	так , что никакие три из них не лежат на одной прямой .
На прямой отметили четыре	точки	.
Через каждые две	точки	проведена прямая .
Даны три	точки	, не лежащие на одной прямой .
Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатном луче	точки	.
Для этого надо часть единичного отрезка отложить р раз на координатном луче от	точки	О .
Найдите координату середины отрезка , соединяющего	точки	.
Даны	точки	А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Проведите от руки прямую , проходящую через эти	точки	.
Отметьте две	точки	.
Покажите на этом луче	точки	.
На прямой даны	точки	А , В и С , причём AB 6 см , АС 13 см. Найдите длину отрезка ВС , если .
б ) Сколько прямых можно провести через две разные	точки	? .
а )	точки	B и С лежат по одну сторону от точки A . б ) точки B и С лежат по разные стороны от точки A .
а ) точки B и С лежат по одну сторону от точки A . б )	точки	B и С лежат по разные стороны от точки A .
а ) точки B и С лежат по одну сторону от точки A . б ) точки B и С лежат по разные стороны от	точки	A .
На прямой даны три	точки	A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см. Найдите длину отрезка ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
Отметим на прямой l две различные	точки	С и D. Тогда эту прямую l называют также « прямая CD » .
Все	точки	пространства , удалённые от данной точки ( центра ) на одно и то же расстояние , образуют сферу .
Через любые две	точки	можно провести только одну прямую .
Назовите три	точки	, расположенные на координатном луче правее точек с указанными координатами , и три точки , расположенные левее их .
Укажите координаты точек А , В , С , D и Е. Найдите расстояние от этих точек до нулевой	точки	.
Отметьте	точки	1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 .
Обозначьте	точки	с координатами 7 , 5 , 3 , 1 соответственно буквами А , В , С и D .
точка b на координатном луче находится правее	точки	а .
Найдите координату точки В по координатам	точки	А и точки С — середины отрезка АВ .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от	точки	В отметьте дуги , равные дуге АВ .
Найдите координату	точки	В по координатам точки А и точки С — середины отрезка АВ .
расстояние между точками а и b равно b — а . 3 ) точка является серединой отрезка , соединяющего	точки	а и b .
В самом деле , чтобы вычислить координату	точки	С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину длины отрезка АB .
Даны точки А и В. Найдите координаты :	точки	С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Постройте отрезок АН 15 см. Отметьте на этом отрезке	точки	.
Назовите три точки , расположенные на координатном луче правее точек с указанными координатами , и три	точки	, расположенные левее их .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ ,	точки	D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Назовите отмеченные на нём	точки	.
Убедитесь , что конец шестой дуги , считая от	точки	A , совпадает с точкой А .
Все	точки	шара удалены от его центра на расстояние , меньшее или равное радиусу шара .
Поэтому все натуральные числа записать невозможно , и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три	точки	) .
По рисунку определите координату	точки	А приближённо с точностью до 1 : а ) с недостатком ; б ) с избытком .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче правее	точки	, а длина отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
Сможет ли он за несколько прыжков из	точки	0 попасть : а ) в точку 6 ; б ) в точку 7 ? .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче правее точки , а длина отрезка , соединяющего	точки	1 и равна .
Сможет ли он за несколько прыжков из	точки	0 координатного луча попасть в точку 4 ?
Фигуру следует раскрасить « в шахматном порядке » , отсоединить закрашенные области друг от друга так , чтобы каждая из них имела не больше одной общей	точки	с какой - либо другой закрашенной областью .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ ,	точки	Е — середины отрезка CD .
Все	точки	окружности удалены от её центра на одинаковое расстояние , равное радиусу .
Таким образом , можно вычислить координату середины отрезка , соединяющего любые две рациональные	точки	.
Отрезок , соединяющий две любые	точки	окружности , называют хордой .
Две	точки	делят окружность на две части , называемые дугами .
Изобразите эти	точки	на координатном луче .
Все точки пространства , удалённые от данной	точки	( центра ) на одно и то же расстояние , образуют сферу .
Найдём длину отрезка , соединяющего	точки	а и b , и координату середины этого отрезка .
Внутри или вне окружности расположены	точки	, удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Отрезки АВ , ВС , CD и DA называют сторонами , углы А , В , С и D — углами , а	точки	А , В , С и D — вершинами четырёхугольника ABCD .
а ) На отрезке AB отметьте	точки	С и D. Сколько отрезков получилось ? .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой	точки	равно n единичным отрезкам .
Расстояние между точками А и В равно 5 см. Постройте точку , удалённую от	точки	А на расстояние 4 см , а от точки В — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить ? .
Некоторые его	точки	обозначены буквами .
Внутри или вне сферы расположены	точки	, удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Найдите координату точки В по координатам точки А и	точки	С — середины отрезка АВ .
Расстояние между точками А и В равно 5 см. Постройте точку , удалённую от точки А на расстояние 4 см , а от	точки	В — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить ? .
Следующие	точки	называют соответственно : точка 1 , точка 2 и т .
Возьмём на плоскости несколько точек , например A , В , С , D , Е , и соединим	точки	А и В , В и С , С и D , D и Е отрезками .
Если никакие два из этих отрезков , имеющих общие	точки	, не лежат на одной прямой , то полученную линию называют ломаной линией или , коротко , ломаной и обозначают ABCDE .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче	точкой	, расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
Точку , изображающую на координатном луче дробь , называют точкой с координатой или , коротко ,	точкой	.
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с	точкой	A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Отрезок , соединяющий центр окружности с любой её	точкой	, называют радиусом .
Эту точку называют	точкой	касания .
Точку , изображающую на координатном луче дробь , называют	точкой	с координатой или , коротко , точкой .
Эту точку называют	точкой	n или точкой с координатой n .
Эту точку называют точкой n или	точкой	с координатой n .
Начальную точку О называют нулевой точкой или	точкой	0 ( нуль ) .
Отрезок , соединяющий центр сферы с любой её	точкой	, называют радиусом сферы .
Начальную точку О называют нулевой	точкой	или точкой 0 ( нуль ) .
Обозначение нота с	точкой	используется для увеличения длительности наполовину .
Убедитесь , что конец шестой дуги , считая от точки A , совпадает с	точкой	А .
Это вычисление записывают , отмечая	точкой	разряд , в котором « занята » единица .
Эту	точку	называют точкой касания .
Касательной к окружности называют прямую , имеющую с окружностью только одну общую	точку	.
Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть : а ) в	точку	6 ; б ) в точку 7 ? .
Если на прямой отметить	точку	, то образуется два луча , выходящих из одной точки .
Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть : а ) в точку 6 ; б ) в	точку	7 ? .
Из точки А , показанной на схеме города , надо попасть в	точку	В , двигаясь только вправо и вверх .
Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 координатного луча попасть в	точку	4 ?
Отметьте на листе бумаги	точку	, проведите несколько лучей с началом в этой точке .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС —	точку	N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
На стороне AВ отметили	точку	М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
На отрезке AB отметьте	точку	С . а ) Постройте две окружности : с центром А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС —	точку	К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
Построенные окружности имеют только одну общую	точку	С. Говорят , что они касаются внешним образом .
Постройте отрезок АВ = 12 см. Отметьте на АВ	точку	С так , чтобы .
На отрезке AB отметили	точку	С так , что CB м , а AC на 1 м больше СВ .
Расстояние между точками А и В равно 5 см. Постройте	точку	, удалённую от точки А на расстояние 4 см , а от точки В — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить ? .
Отметьте на ней	точку	, обозначьте её .
Построенные окружности имеют только одну общую	точку	В. Говорят , что они касаются внутренним образом .
Проведите прямую AB и вне её	точку	С. Через точку С проведите прямую , параллельную прямой АВ .
В	точку	В можно прийти 6 способами .
Проведите прямую AB и вне её точку С. Через	точку	С проведите прямую , параллельную прямой АВ .
Эту	точку	называют точкой n или точкой с координатой n .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую	точку	0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
Укажем в каждой точке , в которой можно изменить направление движения , число способов , которыми можно прийти в эту	точку	.
Начальную	точку	О называют нулевой точкой или точкой 0 ( нуль ) .
Сколько прямых можно провести через одну	точку	? .
На окружности с центром О и радиусом 2 см отметьте	точку	A.
При этом на первом месте ставится буква , обозначающая начало луча , а на втором — буква , обозначающая какую - либо другую его	точку	: луч АВ .
а ) Определите углы , образованные касательной и радиусом окружности , проведённым в	точку	касания .
На отрезке AB отметили	точку	С так , что СB = 7 м , и CB на 2 м меньше AC .
Однажды умный бедняк попросил у скупого богача приюта на две недели , причём сказал : « За это я тебе в первый день заплачу 1 р . , во второй день — 2 р . , в	третий	день — 3 р .
Сколько километров им осталось пройти в	третий	день ? .
Первый мог бы один переписать сочинение за 24 дня , второй за 36 дней ,	третий	за 20 дней , и четвёртый за 18 дней .
Остаётся ещё	третий	случай , когда точка B оказалась точно посередине между делениями линейки 5 и 6 .
Первый плотник может построить дом за год , второй — за два года ,	третий	— за три года , четвёртый — за четыре года .
Лифт поднимается с первого этажа на	третий	за 6 с. За сколько секунд он поднимется с первого этажа на пятый ? .
В первый час влетел 1 комар , во второй — 2 , в	третий	— 3 и т .
За	третий	день они собрали на 218 ящиков меньше , чем за первые два дня вместе .
Первый сделал в день всей работы , второй ,	третий	.
Ты же будешь мне подавать милостыню : в первый день копейку , во второй — 2 к. , в	третий	день — 4 к. и т .
Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок , сколько каждый из них имеет ; наконец ,	третий	даёт каждому из двух столько яблок , сколько есть у каждого в этот момент .
Поскольку овощей расходовала столовая в	третий	и четвёртый месяцы ? .
в ) Столовая израсходовала за 4 месяца 3672 кг овощей : в первый месяц этих овощей , во второй месяц — в 2 раза меньше , чем в первый , а остальные овощи — поровну в	третий	и четвёртый месяцы .
« Хорошо , я вам продам лошадей , — сказал табунщик , — первому продам я полтабуна и ещё половину лошади , второму — половину оставшихся лошадей и ещё пол - лошади ,	третий	также получит половину оставшихся лошадей и ещё пол - лошади .
Сколько километров проехали автотуристы в	третий	день ? .
Один писарь в часа может написать листа , другой в часа — листа ,	третий	в 1 часа — листа .
Цифры около фигуры домино соответствуют номеру фигуры тримино , которая получится , если на место цифры приложить	третий	квадрат .
Первый рабочий выполнил — задания , второй — остатка ,	третий	— остатка , а четвёртый выполнил задание до конца .
Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого ,	третий	— втрое больше второго , четвёртый — вчетверо больше третьего , все вместе дали 132 .
Сколько километров они прошли в	третий	день ? .
Первый класс справа называют классом единиц , второй классом тысяч ,	третий	— классом миллионов , четвёртый — классом миллиардов и т .
Первое 4 второе на 5 больше , чем первое , а	третье	на 3 больше второго .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить	третье	число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
Чтобы произведение двух чисел умножить на	третье	число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то первое число делится на	третье	.
Если первое число делится на второе , а второе делится на	третье	, то первое число делится на третье .
Первое из этих чисел есть 3 , второе больше первого на 3 ,	третье	больше второго тоже на 3 и т .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить	третье	число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и	третьего	чисел .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа	третьего	класса — остаток 2 .
Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого , третий — втрое больше второго , четвёртый — вчетверо больше	третьего	, все вместе дали 132 .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и	третьего	.
На долю первого пришлась у этой суммы , на долю второго , а на долю	третьего	— 17 флоринов .
Сумма возрастов первого и четвёртого сына равна 9 годам , первого и шестого — 8 годам , второго и пятого — 8 годам , второго и	третьего	— 9 годам , третьего и шестого — 6 годам , четвёртого и седьмого — 4 годам , а седьмого и пятого — также 4 годам .
Сумма возрастов первого и четвёртого сына равна 9 годам , первого и шестого — 8 годам , второго и пятого — 8 годам , второго и третьего — 9 годам ,	третьего	и шестого — 6 годам , четвёртого и седьмого — 4 годам , а седьмого и пятого — также 4 годам .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и	третьего	чисел .
Бездельник согласился и после	третьего	перехода остался без гроша .
Известно , что , сложившись без первого , они соберут 90 р . ; сложившись без второго , — 85р . ; сложившись без	третьего	, — 80 р . ; сложившись без четвёртого , — 75 р .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы	третьего	разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Одна сторона треугольника равна 25 см , она на 4 см больше второй стороны и на 5 см меньше	третьей	.
Из полученных неравенств для натуральных чисел следует , что первая дробь меньше	третьей	.
Решите задачу с выбранным числом а . б ) Какое самое большое число а можно взять , чтобы задача имела решение , если на	третьей	полке была хотя бы одна книга ? .
а ) Одна сторона треугольника равна 10 см , она на 2 см меньше второй стороны и на 3 см меньше	третьей	.
Три крестьянки привезли на рынок масло : одна 4 кадки по пуда в каждой , вторая 2 кадки по пуда , а всё масло	третьей	крестьянки было разложено поровну в 5 кадок и весило 3 пуда .
« Расстояние от той деревни , от которой ты идёшь , равно	третьей	части всего расстояния между деревнями , а если ещё пройдёшь 2 версты , тогда будешь ровно посередине между деревнями » .
объём куба равен	третьей	степени длины его ребра .
, в	третьей	3 р .
На первой полке стояло 12 книг , на второй — на 3 книги больше , а на	третьей	полке — на а книг меньше , чем на двух первых полках вместе .
Одна сторона треугольника равна 12 см , она на 4 см больше второй стороны и на 3 см больше	третьей	.
Сколько цифр напечатали для нумерации страниц , начиная с	третьей	страницы ? .
Используя специальные названия второй и	третьей	степени , прочитайте степени .
Так как первая дробь меньше второй , а так как вторая дробь меньше	третьей	.
б ) Для нумерации страниц , начиная с	третьей	, использовано 169 цифр .
Первая принесла 10 поленьев , вторая — 8 поленьев , а у	третьей	дров не было — она угостила своих соседок , дав им 9 яблок .
Сколько книг на	третьей	полке ? .
Если первая дробь меньше второй , а вторая дробь меньше третьей , то первая дробь меньше	третьей	.
Если первая дробь меньше второй , а вторая дробь меньше	третьей	, то первая дробь меньше третьей .
Одна сторона треугольника равна 12 см , она на 3 см меньше второй стороны и на 2 см больше	третьей	.
На первом экзамене в институт получили двойки 1/7 всех абитуриентов , на втором экзамене — 1/8 остальных абитуриентов , на	третьем	экзамене — 1/9 оставшихся абитуриентов .
Оно простое — обведём его кружком , а все незачёркнутые числа , кратные ему ( они стоят в	третьем	столбце ) , вычеркнем .
и , наконец , уплатил	третьему	купцу половину оставшихся денег да ещё 1 р .
Первому он отрезал часть пирога , второму остатка ,	третьему	того , что осталось , четвёртому нового остатка .
Если буханку хлеба весом 1 кг разрезать на три равные по весу части — каждая по трети килограмма 1/3 кг , то две такие части будут иметь вес , равный двум	третьим	килограмма .
Например , 2821 больше 2819 потому , что у них одинаковое число разрядов , цифры четвёртых и	третьих	разрядов одинаковые , а цифры второго разряда у них разные : у первого числа больше , чем у второго .
Поэтому часто говорят не « две	третьих	» , а « два , делённое на три » .
Будем считать , что искомое число состоит из трёх	третьих	долей .
Дробь означает две	третьих	части единицы .
Сначала найдём одну треть первоначальной суммы , а потом и три	третьих	.
Когда с первой полки сняли 16 , со второй переставили на	третью	15 , а на четвёртую поставили 12 новых книг , то на всех полках книг оказалось поровну .
Постройте	третью	окружность , центр которой лежит на отрезке AB и которая касается двух первых окружностей внутренним образом .
Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин ; через первую и	третью	трубы он наполняется за 1 ч 24 мин , а через вторую и третью — за 2 ч 20 мин .
Дробь — означает одну	третью	часть единицы .
Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин ; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин , а через вторую и	третью	— за 2 ч 20 мин .
Поэтому часто	третью	степень числа называют кубом числа .
Машинистка перепечатала	третью	часть рукописи , потом ещё 10 страниц .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить	третью	дробь и т .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на	третью	дробь и т .
а ) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней ; вторая и третья бригады — за 18 дней ; первая и	третья	бригады — за 12 дней .
Первая бригада собрала за смену 52 прибора , вторая — на 9 приборов меньше , чем первая , а	третья	— на 12 приборов больше , чем вторая .
в ) По условию задачи а ) определите , за сколько дней	третья	бригада сможет выполнить задание , работая отдельно .
Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву : Шиве	третья	доля этого множества .
а ) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней ; вторая и	третья	бригады — за 18 дней ; первая и третья бригады — за 12 дней .
Например , в записи числа 777 первая справа цифра 7 означает семь единиц , вторая — семь десятков ,	третья	— семь сотен .
Когда	третья	часть воробьёв улетела , их осталось 6 .
Первая покупательница купила у неё половину яиц и ещё пол - яйца , вторая — половину остатка и ещё пол - яйца , а	третья	— последние 10 яиц .
Одна из труб может наполнить водоём за один час , другая , более тонкая , — за два часа ,	третья	, ещё более тонкая , — за три часа .
Первые две крестьянки продали всё своё масло , а	третья	— только одну кадку .
Треугольник с вершинами А , В и С обозначают так : АВС , читают : «	треугольник	AВС » .
Например ,	треугольник	со сторонами 3 см , 4 см и 5 см построить можно .
А	треугольник	со сторонами 1 см , 2 см и 5 см построить нельзя .
Постройте	треугольник	: а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Постройте с помощью циркуля и линейки	треугольник	со сторонами 3 см , 4 см и 5 см. Измерьте его углы .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный	треугольник	с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
Дан	треугольник	AВС .
Построить	треугольник	, длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
Постройте равносторонний	треугольник	со стороной AB .
Дана окружность , постройте равносторонний	треугольник	, вершины которого лежат на этой окружности .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают	треугольник	AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
Периметр равностороннего	треугольника	равен 27 см. Вычислите сторону этого треугольника .
а ) Сторона равностороннего треугольника равна 7 см. Вычислите периметр этого	треугольника	.
Периметр равностороннего треугольника равен 27 см. Вычислите сторону этого	треугольника	.
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр	треугольника	BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
Показан порядок построения равнобедренного	треугольника	с основанием 3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки .
Определите вид	треугольника	.
Периметр	треугольника	ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
Стороны	треугольника	.
Что такое периметр	треугольника	? .
Найдите периметр	треугольника	.
Периметр	треугольника	.
Два	треугольника	называют равными , если их можно совместить при наложении .
Вершина	треугольника	.
Сумму длин всех сторон	треугольника	называют его периметром .
Если один из углов	треугольника	тупой , то его называют тупоугольным треугольником .
Если один из углов	треугольника	прямой , то его называют прямоугольным треугольником .
Вычислите периметр этого	треугольника	.
Если все углы	треугольника	острые , то его называют остроугольным треугольником .
Измерьте углы построенного	треугольника	.
Одна сторона	треугольника	равна 12 см , она на 4 см больше второй стороны и на 3 см больше третьей .
Чему равна площадь	треугольника	ABD ? .
Углы А , В и С называют углами	треугольника	, отрезки AВ , АС и ВС — его сторонами .
Одна сторона	треугольника	равна 12 см , она на 3 см меньше второй стороны и на 2 см больше третьей .
а ) Верно ли , что если два	треугольника	равны , то их периметры равны ? .
Точки А , В и С называют вершинами	треугольника	.
Если две стороны	треугольника	равны , то его называют равнобедренным , а если три стороны треугольника равны , то его называют равносторонним .
Если две стороны треугольника равны , то его называют равнобедренным , а если три стороны	треугольника	равны , то его называют равносторонним .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного	треугольника	.
Какими могут быть стороны	треугольника	AВС ? .
Если все стороны	треугольника	имеют разные длины , то его называют разносторонним .
Одна сторона	треугольника	равна 25 см , она на 4 см больше второй стороны и на 5 см меньше третьей .
Периметр равнобедренного	треугольника	AВС равен 30 см , а одна из сторон на 3 см больше другой .
а ) Одна сторона	треугольника	равна 10 см , она на 2 см меньше второй стороны и на 3 см меньше третьей .
а ) Сторона равностороннего	треугольника	равна 7 см. Вычислите периметр этого треугольника .
В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр	треугольника	? .
Изучая главу 2 , вам предстоит повторить всё , что знаете о геометрических фигурах и их измерении , а также узнать много нового и интересного об углах ,	треугольниках	и четырёхугольниках , окружностях и кругах , о равных фигурах .
В равностороннем	треугольнике	длина стороны равна .
В равнобедренном	треугольнике	даны длины двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
В	треугольнике	не может быть больше одного прямого или тупого угла .
Например ,	треугольники	АВС и MNK равны , так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по прямой l .
Верно ли , что если периметры двух треугольников равны , то и сами	треугольники	равны ? .
Какие виды	треугольников	вы знаете ? .
В прямоугольнике KLMN диагонали КМ и LN пересекаются в точке О. Докажите , что площади	треугольников	KLO и NMO равны .
Верно ли , что площади	треугольников	ABD и CDВ равны ?
Периметры	треугольников	BCD , BDE и ABE равны соответственно 20 см , 21 см и 22 см , а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см. Определите длины диагоналей BD и BE , если известно , что они равны .
Верно ли , что если периметры двух	треугольников	равны , то и сами треугольники равны ? .
Если один из углов треугольника прямой , то его называют прямоугольным	треугольником	.
Заметим , что	треугольником	АВС называют как линию , составленную из отрезков АВ , ВС и АС , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Если все углы треугольника острые , то его называют остроугольным	треугольником	.
Полученную фигуру называют	треугольником	.
Если один из углов треугольника тупой , то его называют тупоугольным	треугольником	.
По числу сторон многоугольник называют	треугольником	, четырёхугольником , пятиугольником и т .
Величина	тупого	угла больше 90 ° , но меньше 180 ° .
В треугольнике не может быть больше одного прямого или	тупого	угла .
В треугольнике не может быть больше одного прямого или	тупого угла	.
Величина	тупого угла	больше 90 ° , но меньше 180 ° .
Угол	тупой	.
Показаны острый угол А НС и	тупой	угол МОК .
Если один из углов треугольника	тупой	, то его называют тупоугольным треугольником .
Показаны острый угол А НС и	тупой угол	МОК .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и	тупоугольный	.
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в )	тупоугольный	; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Треугольник	тупоугольный	.
АВС — остроугольный , MNK прямоугольный , PQR —	тупоугольный	.
Если один из углов треугольника тупой , то его называют	тупоугольным	треугольником .
Если один из углов треугольника тупой , то его называют	тупоугольным треугольником	.
Назовите острые , прямые и	тупые	углы .
Могут ли смежные углы быть : а ) оба прямые ; б ) оба острые ; в ) оба	тупые	? .
Назовите острые , прямые и	тупые углы	.
Угол , больший прямого , но меньший развёрнутого , называют	тупым	.
	Тупым	?
Иногда для краткости угол обозначают одной буквой , обозначающей вершину	угла	.
Определите на глаз величину	угла	.
Стороны	угла	.
С помощью транспортира разделите угол АВС на два	угла	так , чтобы один угол был : а ) в 2 раза больше другого ; б ) в 3 раза меньше другого ; в ) на 20 ° больше другого ; г ) на 30 ° меньше другого .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше	угла	ВОС .
Проведите внутри этого	угла	два луча OD и ОЕ .
Из вершины	угла	проведите луч так , чтобы один из образовавшихся углов был : а ) в 4 раза больше другого ; б ) на 20 ° больше другого .
Измерьте длину отрезка LN и величину	угла	L .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных	угла	AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше угла ВОС .
Величина острого	угла	меньше 90 ° .
Что называют углом , вершиной угла , сторонами	угла	? .
Точку В называют вершиной	угла	, лучи ВА и ВС — его сторонами .
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов на два равных	угла	, каждый из которых называют прямым углом .
Внутри развёрнутого	угла	АОВ проведены два луча OD и ОС так , что AOC 130 ° , a DOB 120 ° .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных	угла	ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше угла ВОС .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше	угла	ВОС .
Внутри развёрнутого	угла	ABC проведите луч BD .
Из верхнего	угла	комнаты вниз по стене поползли две мухи .
Два	угла	называют равными , если они совмещаются при наложении .
Изображены два	угла	: ABD и DBC .
При пересечении двух прямых образовалось четыре	угла	.
Вершина	угла	.
Изображены 4 прямых	угла	.
В треугольнике не может быть больше одного прямого или тупого	угла	.
Считать начинали с правого верхнего	угла	квадрата .
Величина тупого	угла	больше 90 ° , но меньше 180 ° .
Что называют углом , вершиной	угла	, сторонами угла ? .
Он разбивает развёрнутый угол на два	угла	ABD и ВDC , которые называют смежными углами .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , —	углами	многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
Отрезки АВ , ВС , CD и DA называют сторонами , углы А , В , С и D —	углами	, а точки А , В , С и D — вершинами четырёхугольника ABCD .
Углы А , В и С называют	углами	треугольника , отрезки AВ , АС и ВС — его сторонами .
Два различных луча ВА и ВС с общим началом В. Они делят плоскость на две части , называемые	углами	.
Он разбивает развёрнутый угол на два угла ABD и ВDC , которые называют смежными	углами	.
Что называют сторонами ,	углами	, вершинами многоугольника ? .
Изучая главу 2 , вам предстоит повторить всё , что знаете о геометрических фигурах и их измерении , а также узнать много нового и интересного об	углах	, треугольниках и четырёхугольниках , окружностях и кругах , о равных фигурах .
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых	углов	на два равных угла , каждый из которых называют прямым углом .
Обычно рассматривают один из этих	углов	— его определяют по смыслу задачи и отмечают дугой или штриховкой .
Из вершины угла проведите луч так , чтобы один из образовавшихся	углов	был : а ) в 4 раза больше другого ; б ) на 20 ° больше другого .
Измерение	углов	.
Чему равна сумма величин	углов	1 и 3 ?
Сколько острых	углов	получилось ? .
Чему равна сумма величин смежных	углов	? .
Для измерения	углов	в градусах пользуются транспортиром .
Назовите другую пару вертикальных	углов	.
Если один из	углов	треугольника тупой , то его называют тупоугольным треугольником .
Если один из	углов	треугольника прямой , то его называют прямоугольным треугольником .
Чему равна сумма величин	углов	3 и 2 ?
Определите величины этих	углов	, если один из них : а ) в 5 раз больше другого ; б ) на 40″ больше другого .
Для более точного измерения	углов	используют доли градуса : минуты « ' » и секунды « ″ » .
Транспортир используют также для построения	углов	с заданной градусной мерой .
Прямые , пересекающиеся под прямым	углом	, называют перпендикулярными .
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов на два равных угла , каждый из которых называют прямым	углом	.
Эти лучи тоже делят плоскость на две части , каждую из которых называют развёрнутым	углом	.
Что называют	углом	, вершиной угла , сторонами угла ? .
Говорят : « Угол ABD равен	углу	DВС » .
Четырёхугольник , у которого все	углы	прямые , называют прямоугольником .
Если все	углы	треугольника острые , то его называют остроугольным треугольником .
Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник со сторонами 3 см , 4 см и 5 см. Измерьте его	углы	.
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните	углы	при основании построенного треугольника .
а ) Какие	углы	называют равными ? .
Постройте в тетради правильный шестиугольник и измерьте его	углы	.
С помощью циркуля и линейки можно построить правильный шестиугольник , у которого стороны равны и	углы	равны .
Равные	углы	отмечают одинаковыми дугами .
Многоугольник называю правильным , если все его	углы	и все стороны равны .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника ,	углы	, составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
С помощью транспортира постройте	углы	, равные .
С помощью транспортира измерьте	углы	и сделайте в тетради соответствующие записи .
Назовите острые , прямые и тупые	углы	.
Измерьте	углы	построенного треугольника .
Отрезки АВ , ВС , CD и DA называют сторонами ,	углы	А , В , С и D — углами , а точки А , В , С и D — вершинами четырёхугольника ABCD .
Изображены	углы	.
Измеряют	углы	с помощью транспортира .
а ) Определите	углы	, образованные касательной и радиусом окружности , проведённым в точку касания .
Могут ли смежные	углы	быть : а ) оба прямые ; б ) оба острые ; в ) оба тупые ? .
Верно ли утверждение : вертикальные	углы	равны ? .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что	угол	ABC в 3 раза больше угла ВОС .
Он разбивает развёрнутый	угол	на два угла ABD и ВDC , которые называют смежными углами .
На рисунке показано , как с помощью транспортира можно построить	угол	ABС , равный 60 ° .
Постройте острый	угол	AOB .
С помощью транспортира разделите	угол	АВС на два угла так , чтобы один угол был : а ) в 2 раза больше другого ; б ) в 3 раза меньше другого ; в ) на 20 ° больше другого ; г ) на 30 ° меньше другого .
в ) На какой	угол	повернётся минутная стрелка .
На какой	угол	повернётся часовая стрелка .
а ) Какой	угол	образуют часовая и минутная стрелки .
Определите	угол	между направлениями .
Сколько градусов содержит развёрнутый	угол	, прямой угол ? .
Считается , что развёрнутый	угол	содержит 180 градусов .
Сколько градусов содержит развёрнутый угол , прямой	угол	? .
Луч ОС делит развёрнутый	угол	AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше угла ВОС .
Иногда для краткости	угол	обозначают одной буквой , обозначающей вершину угла .
б ) Какой	угол	называют развёрнутым ?
Его половина прямой	угол	— содержит 90 градусов .
Показаны острый угол А НС и тупой	угол	МОК .
Луч ОС делит развёрнутый	угол	AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше угла ВОС .
Показаны острый	угол	А НС и тупой угол МОК .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что	угол	ABC на 30 ° больше угла ВОС .
С помощью транспортира разделите	угол	АВС на : а ) 2 равные части ; б ) 3 равные части .
Постройте	угол	АВС , равный 90 ° .
С помощью транспортира постройте	угол	величиной 100 ° .
Тот же	угол	AВС обозначают так : B .
С помощью транспортира разделите угол АВС на два угла так , чтобы один	угол	был : а ) в 2 раза больше другого ; б ) в 3 раза меньше другого ; в ) на 20 ° больше другого ; г ) на 30 ° меньше другого .
Постройте	угол	ЛВС , равный 120 ° .
Изображён развёрнутый	угол	ABС .
Сколько стоит	угольник	? .
в ) За три линейки и	угольник	заплатили 11 р .
20 к. , а за линейку и три	угольника	заплатили 22 р .
Показано , как с помощью	угольника	и линейки провести параллельные прямые .
Проверьте с помощью линейки и	угольника	точность построения .
Проверьте с помощью линейки и	угольника	справедливость ваших утверждений .
В равенстве назовите	уменьшаемое	, вычитаемое , разность .
Найдите	уменьшаемое	и вычитаемое .
Если	уменьшаемое	равно вычитаемому , то разность равна нулю .
в ) если	уменьшаемое	и вычитаемое делятся на 3 , то и разность делится на 3 ? .
Разностью двух дробей называют дробь , которая в сумме с вычитаемым даёт	уменьшаемое	.
Будем пока рассматривать случай , когда	уменьшаемое	больше вычитаемого .
Число а называют	уменьшаемым	, число b — вычитаемым .
В Древней Индии	умножали	многозначные числа совсем не так , как мы это делаем теперь .
Отметим , что : 1 ) для данного фокуса подойдут и другие монеты : рублёвая и двухрублёвая , пятирублёвая и десятирублёвая , но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты ; 2 )	умножать	можно на 2 и 5 , на 4 и 5 , на 6 и 9 , но нельзя на 3 и 5 .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части	умножают	на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Как	умножают	и делят смешанные дроби ? .
Эти вычисления обычно записывают короче ,	умножая	устно целую и дробную части смешанной дроби на 2 .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют	умножение	и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Если хочешь , чтобы	умножение	было с некоторым удивлением , т .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание ,	умножение	, деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
На доске записали несколько примеров на	умножение	натуральных чисел , потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки .
Объясните , как выполнено	умножение	.
Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только	умножение	и деление , то эти действия выполняют но порядку слева направо .
Вот несколько примеров на сложение , вычитание и	умножение	в двоичной системе .
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление	умножением	на дробь , обратную делителю .
Из сказанного выше следует , что число 60 можно получить	умножением	дроби на неизвестное число .
Найдите частное и проверьте ответ	умножением	.
Вычислите частное и проверьте ответ	умножением	.
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при	умножении	которого на b получается а .
Какие законы используют при	умножении	столбиком ? .
Частным двух дробей называют дробь , которая при	умножении	на делитель даёт делимое .
Может ли при	умножении	числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число , большее 1 ?
Верно ли , что при	умножении	натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
Число 14 не делится нацело на 3 , так как нет натурального числа , при	умножении	которого на 3 получится 14 .
Говорят , что а делится на b нацело , если существует натуральное число с , при	умножении	которого на b получается а .
б ) Может ли при	умножении	числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число , меньшее 1 ?
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы	умножения	, но и законов сложения и умножения .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и	умножения	.
Запишите равенство , выражающее . а ) переместительный закон	умножения	.
сочетательный закон	умножения	.
а ) переместительный закон	умножения	.
Вычислите , используя законы	умножения	.
Таблицы сложения и	умножения	для однозначных чисел в двоичной системе счисления очень просты .
Решение текстовых задач с помощью	умножения	и деления .
Скобки , в которые заключено одно действие	умножения	или деления , принято для краткости опускать .
К выбору	умножения	и деления для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « в 3 раза больше » не всегда требуют умножения .
К выбору умножения и деления для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « в 3 раза больше » не всегда требуют	умножения	.
Изменять принятый порядок действий можно только в тех случаях , когда это позволяют законы сложения и	умножения	.
Запишите равенство , выражающее сочетательный закон	умножения	, сформулируйте этот закон .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё , что вы знаете о натуральных числах , познакомиться со свойствами сложения и	умножения	, научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
С помощью	умножения	и деления решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного в несколько раз , ответить на вопросы « во сколько раз больше ? » , « во сколько раз меньше ? » и т .
Из законов	умножения	следует , что в произведении нескольких множителей можно менять местами множители и заключать их в скобки любым способом .
С помощью	умножения	решают задачи , в которых требуется найти число , большее данного в несколько раз .
Вы научитесь их сравнивать , выполнять с ними четыре арифметических действия , применять законы сложения и	умножения	для упрощения вычислений .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон	умножения	.
Из сочетательного закона	умножения	следует , что произведение трёх ( и более ) чисел можно записать и без скобок .
С помощью	умножения	и деления дробей можно решать задачи на нахождение части целого и целого по его части .
Тот , кто умел быстро и безошибочно делить , считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению , вычитанию и таблице	умножения	.
Запишите равенство , выражающее переместительный закон	умножения	, сформулируйте этот закон .
Для упрощения вычислений применим переместительный и сочетательный законы	умножения	.
Рассмотренные законы	умножения	применяются для упрощения вычислений .
Переместительный закон	умножения	.
Так как для неотрицательных чисел справедлив переместительный закон	умножения	, то верны равенства .
Таблицу	умножения	однозначных чисел надо помнить наизусть .
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон	умножения	.
Сочетательный закон сложения .	умножения	.
Переместительный закон	умножения	легко проверить при подсчёте двумя способами числа квадратов .
Для вычисления произведения однозначных чисел удобно пользоваться таблицей	умножения	.
Законы	умножения	.
Так как переместительный закон	умножения	верен для натуральных чисел .
Для дробей , как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы	умножения	.
Так как сочетательный закон	умножения	верен для натуральных чисел .
а ) Число 2	умножили	на некоторую правильную дробь .
е .	умножили	на 1/3 ) и полученные результаты сложили .
Обычно пишут короче и говорят : 7 умножим на 8 — получим 56 , 6 пишем , 5 запоминаем ; 2	умножим	на 8 — получим 16 , да ещё 5 запомнили , будет 21 , 1 пишем , 2 запоминаем ; 3 умножим на 8 — получим 24 , да ещё 2 запомнили , будет 26 , пишем 26 .
Обычно пишут короче и говорят : 7	умножим	на 8 — получим 56 , 6 пишем , 5 запоминаем ; 2 умножим на 8 — получим 16 , да ещё 5 запомнили , будет 21 , 1 пишем , 2 запоминаем ; 3 умножим на 8 — получим 24 , да ещё 2 запомнили , будет 26 , пишем 26 .
Обычно пишут короче и говорят : 7 умножим на 8 — получим 56 , 6 пишем , 5 запоминаем ; 2 умножим на 8 — получим 16 , да ещё 5 запомнили , будет 21 , 1 пишем , 2 запоминаем ; 3	умножим	на 8 — получим 24 , да ещё 2 запомнили , будет 26 , пишем 26 .
Для этого	умножим	числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3 .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число	умножить	на произведение второго и третьего чисел .
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель дроби и результат	умножить	на её знаменатель .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат	умножить	на её знаменатель .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение	умножить	на третью дробь и т .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое	умножить	на дробь , обратную делителю .
Таким образом , чтобы	умножить	натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Чтобы произведение двух чисел	умножить	на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат	умножить	на её числитель .
Для вычисления этого произведения надо	умножить	5 на 48 , а полученный результат умножить на 2 .
Для вычисления этого произведения надо умножить 5 на 48 , а полученный результат	умножить	на 2 .
Итак , чтобы найти путь , пройденный телом при равномерном движении , нужно его скорость	умножить	на время движения ( в дальнейшем слово « равномерное » для краткости опускается , но подразумевается ) .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель дроби и результат	умножить	на её числитель .
Чтобы разделить дробь на натуральное число , можно её знаменатель	умножить	на это число .
а ) Как	умножить	две дроби ?
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число	умножить	на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
Для этого я попрошу	умножить	число рублей в правой руке на 2 , в левой — на 3 и результаты сложить , а мне сообщить лишь , является сумма чётной или нет .
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно	умножить	или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Чтобы число	умножить	на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
	Умножить	на 6 .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби	умножить	на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Чтобы найти числа , можно	умножить	на это число .
При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает	умножить	делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно .
Чтобы	умножить	или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями .
Чтобы	умножить	несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
Если числитель и знаменатель дроби	умножить	на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Что значит	умножить	число 5 на число 6 ? .
Так как , то можно сначала	умножить	46 на 48 и полученный результат умножить на 10 , т .
Так как , то можно сначала умножить 46 на 48 и полученный результат	умножить	на 10 , т .
Как	умножить	натуральное число на дробь ?
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь	умножить	на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
А когда 143 умножишь на 2 и результат	умножишь	на 777 , то получишь 222 222 , и т .
Если хочешь в произведении иметь 121 212 , возьми 12 ,	умножь	на 2 и на 10 , будет 240 , прибавь первое число , будет 252 .
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн	факториал	» и означает произведение натуральных чисел от 1 до n .
Запись 5 ! читается « 5	факториал	» и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5 .
Убедитесь , что можно составить только 5	фигур	тетрамино .
Фигуры пентамино можно получить из	фигур	тетрамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
Сколько	фигур	пентамино можно составить ? .
Фигуры гексамино можно получить из	фигур	пентамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
Какая из	фигур	, является окружностью ?
Сколько	фигур	гексамино можно составить ? .
Какую из	фигур	, нельзя нарисовать , не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды ? .
Четырёхугольник ABCD , изображена	фигура	, не являющаяся четырёхугольником , в дальнейшем такие фигуры рассматриваться не будут .
Сколько « нечётных » узлов должно быть , чтобы	фигуру	можно было нарисовать ? .
Разрежьте полученную	фигуру	на две части так , чтобы из них можно было сложить квадрат .
Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну	фигуру	домино .
Нарисуйте	фигуру	, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды так , чтобы линия не пересекала себя ни в одной точке .
Нарисуйте по правилам	фигуру	.
Пусть требуется нарисовать	фигуру	таким образом , чтобы линия не пересекала себя .
Полученную	фигуру	называют треугольником .
Если отрезки АВ , ВС , CD и DA не имеют других общих точек , кроме точек А , В , С и D , то полученную	фигуру	называют четырёхугольником ABCD .
Нарисуйте по тем же правилам	фигуру	.
Придумайте свои	фигуры	, которые можно нарисовать , не отрывая карандаша от бумаги , не проводя по линии дважды и без самопересечений .
Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды , попробуйте нарисовать	фигуры	.
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой	фигуры	, надо выяснить , сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости .
Цифры около	фигуры	домино соответствуют номеру фигуры тримино , которая получится , если на место цифры приложить третий квадрат .
Получатся только две различные	фигуры	тримино .
Цифры около фигуры домино соответствуют номеру	фигуры	тримино , которая получится , если на место цифры приложить третий квадрат .
Оказывается , этот результат зависит от числа « нечётных » узлов	фигуры	, в которых сходится нечётное число линий .
Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды , нарисуйте	фигуры	.
Фигуры тримино можно получить из единственной	фигуры	домино , приставляя к ней различными способами ещё один квадрат .
Придумайте свои	фигуры	, которые можно нарисовать , не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды .
Четырёхугольник ABCD , изображена фигура , не являющаяся четырёхугольником , в дальнейшем такие	фигуры	рассматриваться не будут .
Для решения этой задачи можно рассмотреть	фигуры	гексамино .
Вам не удалось нарисовать две последние	фигуры	.
Научитесь выполнять этот	фокус	.
Объясните с помощью признака делимости на 9 этот	фокус	.
Отметим , что : 1 ) для данного	фокуса	подойдут и другие монеты : рублёвая и двухрублёвая , пятирублёвая и десятирублёвая , но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты ; 2 ) умножать можно на 2 и 5 , на 4 и 5 , на 6 и 9 , но нельзя на 3 и 5 .
Разгадайте секрет	фокуса	.
Отрезки OL , ОА , ОВ радиусы окружности , АВ — её диаметр , CD	хорда	.
Отрезок , соединяющий две любые точки окружности , называют	хордой	.
На сколько частей могут разбить круг три различные	хорды	? .
Если целые части смешанных дробей не равны , то больше та дробь , у которой	целая	часть больше .
Например , смешанная дробь , у которой	целая	часть , дробная часть .
При этом	целая	часть смешанной дроби будет равна неполному частному , а дробная часть — остатку , делённому на знаменатель .
С помощью умножения и деления дробей можно решать задачи на нахождение части	целого	и целого по его части .
Если часть	целого	выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Запишите дробь в виде	целого	числа .
Нахождение части целого и	целого	по его части .
Нахождение части	целого	и целого по его части .
С помощью умножения и деления дробей можно решать задачи на нахождение части целого и	целого	по его части .
Запишите дробь в виде	целого числа	.
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это	целое	, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно	целое	разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Число нуль также	целое	, но не положительное .
Существует ли	целое	число , меньшее любого натурального числа ? .
Иногда	целое	число изображали дробью со знаменателем 1 .
Найдите	целое	число , равное дроби .
Найдите	целое число	, равное дроби .
Иногда	целое число	изображали дробью со знаменателем 1 .
Существует ли	целое число	, меньшее любого натурального числа ? .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно	целой	и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
Что называют . а )	целой	частью смешанной дроби . б ) дробной частью смешанной дроби ? .
При этом натуральное число называют	целой	частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то в	целой	части уменьшаемого « занимают » единицу .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но длина не всякого отрезка в точности равна	целому	числу сантиметров .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но длина не всякого отрезка в точности равна	целому числу	сантиметров .
Эти вычисления обычно записывают короче , умножая устно	целую	и дробную части смешанной дроби на 2 .
Для этого надо сложить её	целую	и дробную части по правилу сложения дробей .
Найдите	целую	часть дроби .
Здесь отдельно разделили	целую	и дробную части смешанной дроби на 3 ( т .
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет	целую	часть , равную нулю .
Выделите	целую	часть дроби .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на	целую	часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Приведите пример смешанной дроби , укажите её	целую	и дробную части .
Если	целые	части смешанных дробей не равны , то больше та дробь , у которой целая часть больше .
Если	целые	или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными , то вычитание выполняют так же , как и выше .
Указанная выше прибавка в 6 часов в течение 4 лет составляет	целые	сутки , которые добавляют к каждому четвёртому году .
Летом у меня	целые	сутки было открыто окно .
Если	целые	части смешанных дробей равны , то больше та дробь , у которой дробная часть больше .
Чтобы сложить смешанные дроби , надо сложить отдельно их	целые	и их дробные части и полученные результаты сложить .
Является ли данная дробь	целым	числом .
Является ли данная дробь	целым числом	.
Натуральные числа и число нуль называют ещё	целыми	неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Поэтому натуральные числа называют ещё	целыми	положительными числами .
Любое из чисел а , b и с в равенстве и в равенстве может быть нулём , поэтому распределительный закон верен и для	целых	неотрицательных чисел .
Смешанную дробь читают так : « три	целых	и одна вторая » .
Поэтому равенства верны для любых	целых	неотрицательных чисел .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных	целых	чисел .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание	целых	и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
С помощью неотрицательных	целых	чисел можно вычислить разность а и b только в том случае , когда а больше или равно b.
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных	целых чисел	.
С помощью неотрицательных	целых чисел	можно вычислить разность а и b только в том случае , когда а больше или равно b.
Хорду , проходящую через	центр	окружности , называют диаметром .
Отрезок , соединяющий	центр	сферы с любой её точкой , называют радиусом сферы .
Постройте третью окружность ,	центр	которой лежит на отрезке AB и которая касается двух первых окружностей внутренним образом .
Назовите	центр	, радиус , диаметр окружности .
Отрезок , соединяющий	центр	окружности с любой её точкой , называют радиусом .
Внутри или вне окружности расположены точки , удалённые от её	центра	на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Внутри или вне сферы расположены точки , удалённые от её	центра	на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Можно также сказать , что окружность состоит из точек , удалённых от её	центра	на расстояние , равное радиусу .
Все точки пространства , удалённые от данной точки (	центра	) на одно и то же расстояние , образуют сферу .
Все точки окружности удалены от её	центра	на одинаковое расстояние , равное радиусу .
Все точки шара удалены от его	центра	на расстояние , меньшее или равное радиусу шара .
Постройте две окружности с	центрами	A и B радиусами 3 см и 5 см , касающиеся внешним образом .
Постройте две окружности с	центрами	A и B и радиусом АВ .
На отрезке AB отметьте точку С . а ) Постройте две окружности : с центром А и радиусом АС и с	центром	В и радиусом СВ .
Постройте две окружности : с центром A и радиусом AB и с	центром	С и радиусом СВ .
На рисунке изображён круг с	центром	О и радиусом ОА .
Окружность с	центром	О , касательная АВ и радиус окружности ОС .
Постройте окружность с	центром	A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
Постройте две окружности : с	центром	A и радиусом AB и с центром С и радиусом СВ .
На отрезке AB отметьте точку С . а ) Постройте две окружности : с	центром	А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ .
Точку О называют	центром	окружности .
На окружности с	центром	О и радиусом 2 см отметьте точку A.
Использование	четности	при решении задач .
Периметр	четырехугольника	.
Какой	четырёхугольник	называют прямоугольником ? .
Определите периметр	четырёхугольника	ABCD .
Отрезки АВ , ВС , CD и DA называют сторонами , углы А , В , С и D — углами , а точки А , В , С и D — вершинами	четырёхугольника	ABCD .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр	четырёхугольника	ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
Сумму длин сторон	четырёхугольника	называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом .
Постройте два равных	четырёхугольника	.
Два	четырёхугольника	называют равными , если их можно совместить при наложении .
Вершина	четырёхугольника	.
Изучая главу 2 , вам предстоит повторить всё , что знаете о геометрических фигурах и их измерении , а также узнать много нового и интересного об углах , треугольниках и	четырёхугольниках	, окружностях и кругах , о равных фигурах .
Сколько диагоналей в выпуклом : а )	четырёхугольнике	; б ) пятиугольнике ; в ) шестиугольнике ; г ) семиугольнике ? .
Найдите равные	четырёхугольники	.
б ) Верно ли , что если периметры двух четырёхугольников равны , то эти	четырёхугольники	равны ? .
а ) Верно ли , что если	четырёхугольники	равны , то равны и их периметры ? .
б ) Верно ли , что если периметры двух	четырёхугольников	равны , то эти четырёхугольники равны ? .
Какой из	четырёхугольников	является : а ) прямоугольником ; б ) квадратом ? .
Четырёхугольник ABCD , изображена фигура , не являющаяся	четырёхугольником	, в дальнейшем такие фигуры рассматриваться не будут .
Заметим , что	четырёхугольником	ABCD называют как линию , составленную из отрезков АВ , ВС , CD и DA , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
По числу сторон многоугольник называют треугольником ,	четырёхугольником	, пятиугольником и т .
Если отрезки АВ , ВС , CD и DA не имеют других общих точек , кроме точек А , В , С и D , то полученную фигуру называют	четырёхугольником	ABCD .
Докажите , что если каждое из натуральных	чисел	а и b делится на натуральное число с , то верно равенство .
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных	чисел	? .
Чтобы к сумме двух	чисел	прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Напомним , что разность равных	чисел	равна нулю .
а ) Среднее арифметическое двух	чисел	равно 5 .
Какие остатки получаются при делении натуральных	чисел	: а ) на 2 ; 6 ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 7 ? .
Очевидно , что получаемые таким образом классы чисел не имеют общих	чисел	каждое натуральное число входит только в один класс .
Очевидно , что получаемые таким образом классы	чисел	не имеют общих чисел каждое натуральное число входит только в один класс .
Первое из этих	чисел	есть 3 , второе больше первого на 3 , третье больше второго тоже на 3 и т .
Вот первые десять простых	чисел	.
Это наблюдение позволяет сократить перебор	чисел	при поиске всех делителей числа 18 .
д. Среди этих	чисел	нет числа 14 .
Получится число 12 , называемое произведением	чисел	3 и 4 .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых	чисел	.
В том случае , когда одно из двух	чисел	является натуральным числом или правильной дробью , вычисления выполняются аналогично .
В настоящее время принята десятичная система записи	чисел	( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Таким образом , множество всех натуральных	чисел	состоит из простых чисел , составных чисел и единицы .
Для любых натуральных	чисел	а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон сложения .
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из простых	чисел	, составных чисел и единицы .
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел , составных	чисел	и единицы .
Простых	чисел	бесконечно много , есть первое число 2 , но нет последнего простого числа .
В старину для записи натуральных	чисел	использовались и особые рисунки , и чёрточки , и буквы , и т .
Для	чисел	укажите обратные им числа .
На форзаце учебника помещена таблица простых	чисел	, в которой записаны все простые числа от 2 до 997 .
Чтобы к сумме двух	чисел	прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
пять нечётных	чисел	, сумма которых равна 100 .
Вычитать большее число из меньшего нельзя , оставаясь среди неотрицательных	чисел	.
Для дробей , как и для натуральных	чисел	, выполняются переместительный и сочетательный законы сложения .
Вычислите произведение двух	чисел	индийским способом и сделайте проверку обычным способом .
Поэтому равенства верны для любых целых неотрицательных	чисел	.
5 Сколько	чисел	в натуральном ряду .
Выпишите первые десять	чисел	каждого класса .
Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из чисел , делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих	чисел	является число 24 .
Представление натуральных	чисел	на координатном луче .
Произведение взаимно обратных	чисел	равно 1 .
Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из	чисел	, делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных	чисел	, произведение которых является простым числом .
Разбейте множество натуральных	чисел	на классы по остаткам от деления на 3 ; 4 ; 7 .
Напишите шесть	чисел	, которые делятся .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных	чисел	, есть ещё и отрицательные числа .
Запишите каждое из	чисел	15 ; 25 ; 13 ; 24 ; 36 ; 14 ; 17 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами .
Какие из	чисел	128 , 325 , 500 , 506 , 725 , 905 , 830 , 962 , 750 , 1000 , 1262 , 2440 делятся на : а ) 2 ; 6 ) 5 ; в ) 2 и 5 ; г ) 10 ?
Назовите 7 нечётных	чисел	.
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего	чисел	.
Назовите 6 чётных	чисел	.
Докажите , что сумма двух чётных	чисел	является чётным числом .
Докажите , что сумма двух нечётных	чисел	является чётным числом .
Из полученных неравенств для натуральных	чисел	следует , что первая дробь меньше третьей .
Если к ряду натуральных	чисел	приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
Для каких	чисел	выполняется распределительный закон ?
( Считайте записи 00 , 04 и 08 записями	чисел	0 , 4 и 8 . ) .
Какие из	чисел	делятся на 4 ? .
6 Сколько	чисел	в натуральном ряду между числами .
Какой наименьший остаток может получиться при делении натуральных	чисел	? .
Найдите среднее арифметическое	чисел	.
Какова сумма трёх	чисел	? .
Из каких	чисел	состоит множество всех натуральных чисел ? .
Запишите сочетательный закон сложения для	чисел	.
Вот первые 10	чисел	этого класса .
Любое из	чисел	а , b и с в равенстве и в равенстве может быть нулём , поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел .
Можно ли в сумме	чисел	менять местами слагаемые , заключать слагаемые в скобки ? .
Если одно из двух	чисел	делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это число .
Какое число называют частным	чисел	8 и 2 ; 20 и 4 ?
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много	чисел	.
Найдите сумму этих	чисел	.
в ) чётного и нечётного	чисел	? .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных	чисел	можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Покажите , что любое из	чисел	5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 можно записать в виде 5 k , где k — некоторое натуральное число .
а ) Может ли сумма двух простых	чисел	быть простым числом ? .
Напишите 5	чисел	, кратных числу .
Если каждое из двух	чисел	делится на некоторое число , то их сумма и разность делятся на это число .
Для любых натуральных	чисел	а и b верно равенство , выражающее переместительный закон сложения .
Среднее арифметическое пяти	чисел	равно 2 .
Найдите частное	чисел	.
Верно ли , что сумма любых двух простых	чисел	является простым числом ? .
Какие из полученных	чисел	делятся на 5 .
Получится число 8 , называемое суммой	чисел	5 и 3 .
Любое из чисел а , b и с в равенстве и в равенстве может быть нулём , поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных	чисел	.
Получится то же число 8 , называемое суммой	чисел	3 и 5 .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных	чисел	и сократите полученную дробь по образцу .
Для любых натуральных	чисел	а и b верно равенство , выражающее переместительный закон умножения .
Десятичная система записи натуральных	чисел	.
Так как при делении натуральных	чисел	на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Но можно отметить в натуральном ряду сначала число 3 и отсчитать от него вправо 5	чисел	.
Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители	чисел	28 , 22 , 81 и 100 .
Из	чисел	выберите числа , кратные .
б ) двух нечётных	чисел	.
Так как при делении натуральных	чисел	на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
Отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 6	чисел	.
Число 136 оканчивается цифрой 6 , оно делится на 2 , так как его можно записать в виде суммы	чисел	, делящихся на 2 ( по свойству 3 ) .
Из каких чисел состоит множество всех натуральных	чисел	? .
Запишите пять натуральных	чисел	, не имеющих других простых делителей , кроме .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных	чисел	.
На какие числа делится каждое из приведённых ниже	чисел	? .
Какие из этих	чисел	являются простыми , какие — составными ? .
Так как для неотрицательных	чисел	справедлив переместительный закон умножения , то верны равенства .
Не пользуясь таблицей простых	чисел	, докажите , что число : а ) 29 ; 6 ) 41 ; в ) 53 ; г ) 59 является простым .
С помощью таблицы простых	чисел	: а ) определите , какие из чисел 47 ; 69 ; 127 ; 301 ; 447 ; 517 ; 673 ; 879 являются простыми ; б ) назовите все простые числа , большие 30 , но меньшие 50 ; в ) назовите все составные числа , большие 30 .
С помощью таблицы простых чисел : а ) определите , какие из	чисел	47 ; 69 ; 127 ; 301 ; 447 ; 517 ; 673 ; 879 являются простыми ; б ) назовите все простые числа , большие 30 , но меньшие 50 ; в ) назовите все составные числа , большие 30 .
Запишите пять натуральных	чисел	, имеющих делителями числа .
Из сочетательного закона умножения следует , что произведение трёх ( и более )	чисел	можно записать и без скобок .
Число 2305 оканчивается цифрой 5 , оно делится на 5 , так как его можно записать в виде суммы	чисел	, делящихся на 5 ( по свойству 3 ) .
Чему равно произведение взаимно обратных	чисел	?
Докажите , что , кроме числа 2 , не существует других чётных простых	чисел	.
Глава 3 Делимость натуральных	чисел	.
Запишите переместительный закон сложения для	чисел	.
Рассмотрим ряд натуральных	чисел	, отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Для однозначных и двузначных	чисел	деление , как правило , производится в уме , а для многозначных — уголком .
Изучая главу 3 , вы узнаете свойства и признаки делимости натуральных	чисел	.
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных	чисел	можно разбить на 3 класса .
Используя сочетательный закон сложения для натуральных	чисел	, проверьте равенство .
а ) двух чётных	чисел	.
Сложение и вычитание	чисел	столбиком .
Так как сочетательный закон сложения верен для натуральных	чисел	.
Так как переместительный закон сложения верен для натуральных	чисел	.
Так как переместительный закон умножения верен для натуральных	чисел	.
Найдите все общие делители	чисел	45 и 60 .
Наибольшим общим делителем	чисел	12 и 54 является число 6 .
Аналогичные рассуждения можно провести , если взять больше 100	чисел	.
Сумма двух	чисел	537 , первое меньше второго на 131 .
Из двух натуральных	чисел	больше то , которое в ряду натуральных чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
а ) Сумма двух	чисел	равна 96 , а разность равна 18 .
Он позволяет сократить объём работы при составлении таблицы простых	чисел	.
Сумма двух	чисел	равна 87 , а разность равна 19 .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые числа в натуральном ряду , и найти общую формулу для нахождения простых	чисел	.
С помощью неотрицательных целых	чисел	можно вычислить разность а и b только в том случае , когда а больше или равно b.
Сумма двух	чисел	равна 500 , а разность равна 6 .
Но общей формулы простых	чисел	пока не найдено .
Л. Эйлер рассматривал и такую задачу : « Определить , сколько простых	чисел	содержится между двумя данными натуральными числами , не пересчитывая их непосредственно » .
Л. Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу , называемую проблемой Эйлера : « Доказать , что каждое чётное число , начиная с 4 , можно представить в виде суммы двух простых	чисел	» .
Придумайте задачу на нахождение двух	чисел	по их сумме и разности .
Более двухсот лет назад член Петербургской академии паук X. Гольдбах ( 1690–1764 ) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха : « Доказать , что каждое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых	чисел	» .
В 1937 году выдающийся русский математик академик И. М. Виноградов ( 1891–1983 ) доказал , что проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших	чисел	.
а ) Почему после « просеивания »	чисел	, кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа ? .
а ) Почему после « просеивания » чисел , кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных	чисел	от 1 до 100 остались только простые числа ? .
Рядом с кубиком изображены его развёртки , на которых указано одно из этих	чисел	.
На гранях куба написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма	чисел	на двух противоположных гранях равна семи .
На верхней панели калькулятора имеются клавиши : для ввода	чисел	, для указания арифметических операций , для вывода на табло результата вычислений ; для сброса ( очистки ) табло .
б ) На каком числе следует остановить « просеивание » , если в таблице будет 150 ; 10 000 первых натуральных	чисел	? .
Сумма двух	чисел	432 , первое больше второго на 18 .
При вычислении значений числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных	чисел	.
После вычеркивания из таблицы	чисел	, кратных 7 ( они также расположены на параллельных прямых ) , в ней останутся только простые числа — они тоже обведены кружком .
Сумма двух	чисел	350 .
Задачи на нахождение двух	чисел	по их сумме и разности .
За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих	чисел	.
Чтобы произведение двух	чисел	умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Покажем , как , используя натуральный ряд	чисел	, можно найти разность натуральных чисел а и b .
При решении задач на нахождение двух	чисел	по их сумме и разности помогают схематические рисунки .
Сколько знаков используют для записи натуральных	чисел	в десятичной системе .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно найти разность натуральных	чисел	а и b .
Делимость натуральных	чисел	интересовала математиков уже в глубокой древности .
Сравнение натуральных	чисел	.
Поэтому очень важно узнать тайны простых	чисел	— сколько их , как они распределены в натуральном ряду и т .
доказано , что простых	чисел	бесконечно много .
В этой же книге указан способ ( алгоритм ) нахождения НОД двух натуральных	чисел	.
Отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево шесть	чисел	.
1 а ) Назовите 15 первых натуральных	чисел	.
другой древнегреческий математик Эратосфен предложил довольно лёгкий способ отыскания простых	чисел	.
Немного изменяя способ Эратосфена , запишем числа от 1 до 100 в таблицу по 6	чисел	в строке .
Легко видеть , что сумма	чисел	3 и 6 равна 9 .
Первое из незачёркнутых	чисел	3 .
Результаты сложения и вычитания однозначных	чисел	надо помнить наизусть .
Теперь первое из незачёркнутых	чисел	5 .
а ) Сумма двух	чисел	230 .
Поэтому число 3 есть разность	чисел	9 и 6 .
Петя их не видел , но утверждает , что по количеству записанных	чисел	легко определит , чётная или нечётная у них сумма .
а ) Петя придумал новую формулу для нахождения простых	чисел	.
Какое число называют разностью	чисел	а и b ? .
В 1703 году был издан первый печатный учебник математики — « Арифметика » Л. Ф. Магницкого , в котором все вычисления велись в десятичной системе записи	чисел	.
Вычтите произведение	чисел	12 345 и 9 из числа 1 000 000 .
Пример использования букв для обозначения	чисел	находим на циферблате часов кремля в Суздале .
На доске записали несколько примеров на умножение натуральных	чисел	, потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки .
Вообще , средним арифметическим нескольких	чисел	называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых .
Умножение	чисел	столбиком .
Для вычисления произведения однозначных	чисел	удобно пользоваться таблицей умножения .
Вообще , средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих	чисел	на число слагаемых .
Произведение четырёх последовательных натуральных	чисел	равно 3024 .
Вычислите произведение	чисел	.
Например , для	чисел	1 , 3 , 7 среднее арифметическое равно для чисел 1 , 2 , 3 , 4 среднее арифметическое равно .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных	чисел	8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Таблицы сложения и умножения для однозначных	чисел	в двоичной системе счисления очень просты .
Например , для чисел 1 , 3 , 7 среднее арифметическое равно для	чисел	1 , 2 , 3 , 4 среднее арифметическое равно .
Таблицу умножения однозначных	чисел	надо помнить наизусть .
Для дробей , как и для натуральных	чисел	, выполняются переместительный и сочетательный законы умножения .
В предыдущем задании упростите запись	чисел	, учитывая , что четыре одинаковые цифры подряд обычно не пишут .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных	чисел	, требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Вычисление произведения однозначного и многозначного	чисел	, и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Так как сочетательный закон умножения верен для натуральных	чисел	.
Для любых натуральных	чисел	а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон умножения .
Например , среднее арифметическое чисел 3 и 5 равно , а среднее арифметическое	чисел	и равно .
б ) Сколько различных простых	чисел	можно получить по формуле , если брать последовательные натуральные числа , начиная с n = 1 ? .
Произведение одинаковых	чисел	также записывают короче . и называют степенью .
Частное любых двух натуральных	чисел	равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Докажите , что сумма всех	чисел	любого магического квадрата 3 x 3 делится на 3 .
а ) Уменьшите 309 на 12 . б ) Уменьшите произведение	чисел	409 и 5 на 920 .
Из двух натуральных чисел больше то , которое в ряду натуральных	чисел	стоит правее ( дальше от начала ) .
Число называется средним арифметическим	чисел	а и b .
Пусть меньшее из этих двух	чисел	он вычтет из большего числа , зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр .
Запись 5 ! читается « 5 факториал » и означает произведение натуральных	чисел	от 1 до 5 .
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение натуральных	чисел	от 1 до n .
Как обозначают разность	чисел	а и b ? .
Имеются ли среди	чисел	2 ! , 3 ! , 4 ! , 5 ! , 6 ! , 7 ! , взаимно простые числа ? .
б ) Чему равен наибольший общий делитель	чисел	100 !
Чему равна разность равных	чисел	? .
Чему равно наименьшее общее кратное	чисел	100 ! и 50 ! ? .
В квадрате 3x3 расставьте числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 так , чтобы сумма	чисел	в каждой строке , в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова .
Поэтому все натуральные числа записать невозможно , и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых	чисел	, после которых ставят многоточие ( три точки ) .
Итак , для любых натуральных	чисел	р и q всегда есть их частное : дробь .
Из двух натуральных	чисел	больше то , у которого разрядов больше .
в ) Из числа 9999 вычтите произведение	чисел	999 и 9 . г ) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
Например , среднее арифметическое	чисел	3 и 5 равно , а среднее арифметическое чисел и равно .
Сравните суммы	чисел	в строчках , столбцах и диагоналях квадратов .
в ) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9 . г ) Разность	чисел	9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
Вычтите сумму	чисел	328 и 532 из числа 1000 . е )
Найдите разность	чисел	46 и 22 .
Разность	чисел	а и b обозначают а — b .
б ) для любых	чисел	.
куб разности	чисел	.
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи натуральных	чисел	и дробей встречаются обозначения обыкновенных и смешанных дробей .
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей , то их наименьшее общее кратное равно произведению этих	чисел	.
Сколько натуральных	чисел	: а ) однозначных ; б ) двузначных ; в ) трёхзначных ? .
Если одно из двух	чисел	делится нацело на другое , то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наименьшее общее кратное этих	чисел	равно большему из них .
Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых	чисел	? .
Найдите несколько	чисел	, кратных 10 , и несколько чисел , кратных 15 .
Найдите несколько чисел , кратных 10 , и несколько	чисел	, кратных 15 .
Найдите несколько общих кратных	чисел	10 и 15 .
Чему равно наименьшее общее кратное	чисел	10 и 15 ? .
Найдите наименьшее общее кратное этих	чисел	, не выполняя разложения чисел на простые множители .
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел , не выполняя разложения	чисел	на простые множители .
Найдите все делители	чисел	45 и 60 .
При сложении	чисел	бывает удобно слагаемое представить в виде суммы .
Найдите наименьшее общее кратное этих	чисел	.
Напишите пять пар	чисел	а и b , чтобы НОК ( а , b ) = а .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных	чисел	находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Вася записал на листе бумаги несколько нечётных	чисел	.
Даны разложения	чисел	а и b на простые множители .
Ряд натуральных	чисел	.
Запишите число в виде произведения одинаковых	чисел	.
Поэтому на координатной оси можно изобразить только несколько первых натуральных	чисел	.
б ) делится на все общие делители этих	чисел	.
а ) не может быть больше одного из этих	чисел	.
Таким образом , шестидесятые доли таланта , мины ( любой единицы ) записывали с помощью натуральных	чисел	.
Объясните , почему наибольший общий делитель двух	чисел	.
Шестидесятиричная система записи натуральных	чисел	дала основу для записи дробей , так , 2 таланта 13 мин 41 шекель составляют шекель или таланта .
Например , 36 , 72 , 108 , — Эти числа называются общими кратными	чисел	12 и 18 .
Наименьшим общим кратным натуральных	чисел	а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из	чисел	а и b.
Наименьшее общее кратное двух	чисел	обычно находят одним из двух способов .
Составьте таблицу кубов	чисел	от 0 до 10 .
Придумайте пять пар таких	чисел	а и b , чтобы НОД ( а , b ) = 1 .
Найдите несколько таких	чисел	.
В записи каждого из	чисел	назовите цифры разрядов единиц , десятков , сотен , тысяч , десятков тысяч , сотен тысяч и т .
Будем выписывать числа , кратные 24 ( большему из данных	чисел	) , проверяя , делится ли каждое из них на 18 .
Составьте таблицу квадратов	чисел	от 0 до 15 .
С помощью разложения	чисел	на простые множители докажите , что являются взаимно простыми числа .
Из двух натуральных	чисел	больше то , которое на координатном луче находится правее .
Объясните , почему наименьшее общее кратное двух	чисел	.
Среди первых пяти натуральных	чисел	имеются два неравных числа m и n такие , что .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов	чисел	. е ) квадрат разности чисел .
Поэтому переместительный и сочетательный законы сложения верны для любых неотрицательных	чисел	.
сумму кубов	чисел	.
Сколько натуральных	чисел	можно отметить на координатном луче между точками с координатами .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего	чисел	.
Наибольший общий делители взаимно простых	чисел	равен 1 .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности	чисел	.
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного	чисел	нечётная .
з ) куб суммы	чисел	.
а ) не может быть меньше любого из этих	чисел	.
Наибольший общий делитель	чисел	а и b обозначают : НОД ( а , b ) .
Если одно из двух	чисел	делится нацело на другое , то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них .
Для любых натуральных	чисел	а , b и с верно равенство , выражающее распределительный закон .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы	чисел	. д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Сколько раз используется каждая из цифр от 1 до 9 в записи первых 99 натуральных	чисел	? .
В разложении	чисел	180 и 336 подчёркнуты все их общие делители , поэтому НОД ( 180 , 336 ) 12 .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наибольший общий делитель этих	чисел	равен меньшему из них .
Приведите примеры взаимно простых	чисел	.
Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых	чисел	? .
б ) делится на все делители этих	чисел	.
Даны разложения	чисел	а и b на простые множители , найдите НОД ( а , b ) и НОК ( а , 1 ) .
Разностью	чисел	а и b называют такое число , которое при сложении с числом b даёт число а .
При сложении и вычитании однозначных	чисел	удобно пользоваться таблицей сложения .
и ) разность кубов	чисел	.
а ) сумму	чисел	.
б ) разность	чисел	.
Выполняется ли это свойство для других пар	чисел	? .
Чтобы число умножить на сумму двух	чисел	, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
а ) для взаимно простых	чисел	.
Из двух натуральных	чисел	с одинаковым числом разрядов больше то , у которого больше первая ( слева направо ) из неодинаковых цифр .
в ) сумму квадратов	чисел	. г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
С названиями этих	чисел	вы уже знакомы .
Таким образом ,	числа	: один , два , три , десять , сто , тысяча , миллион , миллиард — натуральные числа .
Например ,	числа	37 934 567 373 и 37 934 567 373 равны .
Какие цифры могут стоять в любом разряде	числа	, кроме высшего ? .
Какие цифры могут стоять в высшем разряде	числа	? .
Например , в записи	числа	777 первая справа цифра 7 означает семь единиц , вторая — семь десятков , третья — семь сотен .
Поэтому все натуральные	числа	записать невозможно , и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три точки ) .
Степень	числа	.
Таким образом , числа : один , два , три , десять , сто , тысяча , миллион , миллиард — натуральные	числа	.
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше	числа	1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Прочитайте следующие	числа	: 10 , 100 , 1000 , 10 000 , 100 000 , 1000 000 , 10 000 000 .
Запишите следующие	числа	: сто тысяч , миллион , десять тысяч , сто миллионов , миллиард , десять миллионов , сто миллиардов , десять миллиардов .
При этом одна и та же цифра имеет различное значение в зависимости от того места ( позиции ) , где она расположена в записи	числа	.
а ) В классе 32 учащихся , 3/4 их	числа	учатся на « 4 » и « 5 » .
Натуральные	числа	можно сравнивать по их десятичной записи .
Если	числа	а и b равны , то пишут а = b .
Запишите все трёхзначные	числа	, в записи которых используются цифры .
Прочитайте следующие	числа	, запишите их в виде суммы разрядных слагаемых .
Если в записи многозначного	числа	какие - либо цифры заменены буквами , то над записью числа ставят черту .
Могут ли два взаимно обратных	числа	одновременно являться смешанными дробями ? .
При этом подразумевается , что равны	числа	, им соответствующие .
Если в записи многозначного числа какие - либо цифры заменены буквами , то над записью	числа	ставят черту .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее	числа	а , т .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее	числа	а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Например , 1 , 7 , 9 — однозначные	числа	; 10 , 77 , 99 — двузначные числа ; 100 , 357 — трехзначные числа ; 537 633 , 987 345 — шестизначные числа .
Например , 1 , 7 , 9 — однозначные числа ; 10 , 77 , 99 — двузначные числа ; 100 , 357 — трехзначные	числа	; 537 633 , 987 345 — шестизначные числа .
Натуральные	числа	записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
Например , 1 , 7 , 9 — однозначные числа ; 10 , 77 , 99 — двузначные числа ; 100 , 357 — трехзначные числа ; 537 633 , 987 345 — шестизначные	числа	.
Первая цифра справа в десятичной записи	числа	называется цифрой первого разряда , вторая цифра справа — цифрой второго ( шарада и т .
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых	числа	.
Куб	числа	.
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее	числа	b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Из чисел выберите	числа	, кратные .
Первую цифру слева в записи натурального	числа	называют цифрой высшего разряда .
Практическая деятельность потребовала от человека не только умения считать , но и умения записывать	числа	.
Позднее в математических текстах так же обозначали и отвлечённые ( неименованные )	числа	.
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего	числа	— за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
В настоящее время принята десятичная система записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой	числа	записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
3 ) Два натуральных	числа	равны , если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны .
Запишите	числа	.
Если а и b — два положительных рациональных	числа	и b > а , то .
Если число а больше	числа	b , то пишут а > b и говорят : « а больше b » , или пишут b < а и говорят : « b меньше а » .
	Числа	записаны .
Натуральные	числа	, записанные одной цифрой , называют однозначными , а записанные несколькими цифрами — многозначными : двумя — двузначными , тремя — трёхзначными и т .
Например : число 8 больше	числа	5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей , где а , b , с , d — нечётные натуральные	числа	? .
если разрешается повторять одинаковые цифры в записи одного	числа	.
3 У каждого ли	числа	в натуральном ряду есть .
Квадрат	числа	.
Для чисел укажите обратные им	числа	.
Поэтому натуральные	числа	называют ещё целыми положительными числами .
Если а , b , с — натуральные	числа	и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Например , 2821 больше 2819 потому , что у них одинаковое число разрядов , цифры четвёртых и третьих разрядов одинаковые , а цифры второго разряда у них разные : у первого	числа	больше , чем у второго .
Запишите все трёхзначные	числа	без повторения одинаковых цифр , в записи которых используются цифры .
Например , 1 , 7 , 9 — однозначные числа ; 10 , 77 , 99 — двузначные	числа	; 100 , 357 — трехзначные числа ; 537 633 , 987 345 — шестизначные числа .
числа 2 , 2 , 2 , 3 ) и ещё множители из разложения меньшего числа 18 , которых нет в разложении большего	числа	( т . е .
Глава 1Натуральные	числа	и нуль .
Имеются ли среди чисел 2 ! , 3 ! , 4 ! , 5 ! , 6 ! , 7 ! , взаимно простые	числа	? .
степень	числа	с показателем 1 .
С помощью цифр 2 , 3 , 5 , 7 ( без повторения ) запишите все четырёхзначные	числа	, которые делятся : а ) на 2 ; б ) на 5 .
Таким же образом можно вычислить любую степень	числа	с натуральным показателем , большим единицы .
Степенью	числа	а с натуральным показателем называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Напишите все	числа	от 51 до 73 , которые делятся на 2 .
Напишите все	числа	от 23 до 46 , которые делятся на 5 .
Покажите , что чётные	числа	18 , 20 , 48 , 96 можно записать в виде 2k , где k — некоторое натуральное число .
а ) Напишите все	числа	от 15 до 95 , которые делятся на 10 . б )
Получите описанным способом	числа	232 323 , 343 434 и 898 989 .
Число , которое можно записать в виде где р и q — натуральные	числа	, называют рациональным числом .
Когда говорят « число оканчивается цифрой » , имеют в виду « десятичная запись	числа	заканчивается цифрой » .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр	числа	679 — не делится на 3 .
Дробь с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи натурального	числа	р .
Найдите эти	числа	.
Какую часть от	числа	всех лампочек составляют неисправные лампочки ? .
Если p и q натуральные	числа	, то дробь — ( читается « пэ кутых » ) означает пэ кутых части единицы .
А для любого натурального	числа	n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до n .
Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего	числа	, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр .
Принято считать , что первая степень любого	числа	равна самому числу .
При этом в таблице как бы просеиваются составные	числа	и остаются только простые .
Эратосфен записывал свою таблицу на папирусе , натянутом на рамку , и составные	числа	прокалывал .
Получалось своеобразное числовое сито , через которое составные	числа	просеивались , а простые оставались .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые	числа	в натуральном ряду , и найти общую формулу для нахождения простых чисел .
Например , если в формулу подставлять вместо n натуральные	числа	1 , 2 , 3 , 4 , 40 , то будут получаться простые числа .
Например , если в формулу подставлять вместо n натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 40 , то будут получаться простые	числа	.
Докажите , что : а ) сумма чётного	числа	нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
а ) три нечётных	числа	, сумма которых равна 12 . б )
Докажите признак делимости на 4 : если две последние цифры	числа	образуют число , делящееся на 4 , то и само число делится на 4 .
а ) Почему после « просеивания » чисел , кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые	числа	? .
в ) Используя « решето » Эратосфена , получите все простые	числа	в промежутке от 1 до 200 .
б ) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле , если брать последовательные натуральные	числа	, начиная с n = 1 ? .
Покажите , что нечётные	числа	7 , 9 , 5 , 13 можно записать в виде , где k — некоторое натуральное число .
Найдите все	числа	вида , кратные 36 .
Докажите , что произведение чётного числа и любого натурального	числа	есть число чётное .
Пусть он теперь переставит цифры этого	числа	в любом порядке и получит новое число .
Докажите , что произведение чётного	числа	и любого натурального числа есть число чётное .
Сумма цифр	числа	679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Число 14 не делится нацело на 3 , так как нет натурального	числа	, при умножении которого на 3 получится 14 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр	числа	375 — также делится на 3 .
В самом деле , будем перемножать последовательно	числа	натурального ряда на 3 .
Как найти 3/5	числа	30 ? .
Число мальчиков составляет 3/8	числа	девочек .
Число трёх- и пятирублёвых монет составляет 2/9	числа	рублёвых монет .
Число 52 не делится на 5 , потому что сумма числа 50 , делящегося на 5 , и	числа	2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
Число 52 не делится на 5 , потому что сумма	числа	50 , делящегося на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
Здесь а , b , х и у — натуральные	числа	.
Отметим , что распределительный закон верен не только для двух , но и для любого	числа	слагаемых .
Число 4561 не делится на 10 , потому что сумма числа 4560 , делящегося на 10 , и	числа	1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
Число 4561 не делится на 10 , потому что сумма	числа	4560 , делящегося на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
Докажите , что если а , k и с — натуральные	числа	, то . Вычислите .
сумма делится на 3 , где а , b и с — натуральные	числа	.
в ) сумма делится на 13 , где а и с — натуральные	числа	.
Напишите три	числа	, которые можно записать в виде . a ) 2k ; б ) 5k ; в ) 20k ; г ) 7k , где k — натуральное число .
В формуле и далее числители и знаменатели дробей — натуральные	числа	.
Запишите	числа	24 , 42 , 36 , 72 , 75 в виде произведения и покажите , что .
В первый класс включим все	числа	, имеющие остаток 0 при делении на 2 .
Отметим , что для любого натурального	числа	а верны равенства .
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма	числа	130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
После вычеркивания из таблицы чисел , кратных 7 ( они также расположены на параллельных прямых ) , в ней останутся только простые	числа	— они тоже обведены кружком .
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и	числа	7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
Рассмотрим решения задач , в которых требуется найти часть	числа	или число но его части .
Например , у	числа	375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Если сумма цифр	числа	делится на 3 , то и само число делится на 3 .
Получим	числа	, расположенные в порядке возрастания .
Кроме того , надо помнить , что для любого	числа	а верны равенства .
Например , дроби несократимые дроби , так как	числа	1 и 2 , 3 и 4 , 5 и 7 не имеют общих простых делителей , т .
Это можно доказать следующим образом , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр	числа	375 — не делится на 9 ( по свойству 4 ) .
д. Среди этих чисел нет	числа	14 .
Вычтите произведение чисел 12 345 и 9 из	числа	1 000 000 .
Вычтите сумму чисел 328 и 532 из	числа	1000 . е )
в ) Из	числа	9999 вычтите произведение чисел 999 и 9 . г ) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного	числа	— также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Запишите натуральные	числа	1 , 2 , 5 в виде дроби со знаменателем .
Например , сумма цифр 18	числа	7245 делится на 9 .
Если сумма цифр	числа	делится на 9 , то и само число делится на 9 .
Например , числа 152 и 790 — чётные , а	числа	111 и 293 — нечётные .
Обычно сложение и вычитание выполняют столбиком , записывая	числа	друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда единиц .
Многозначные	числа	складывают и вычитают но разрядам , используя переместительный , сочетательный и распределительный законы .
Чтобы найти 2/5	числа	1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Во второй класс включим все	числа	, имеющие при делении на 2 остаток 1 .
Оно простое обведём его кружком , а все незачёркнутые	числа	, кратные ему ( они расположены на параллельных прямых ) , вычеркнем .
Число 2 простое — обведём его кружком , а все	числа	, кратные ему ( они стоят во втором , четвёртом и шестом столбцах ) , вычеркнем .
Разложим	числа	180 и 336 на простые множители .
Все делители	числа	90 можно получить из разложения числа 90 на простые множители .
Разложим	числа	56 и 45 на простые множители .
Например ,	числа	56 и 45 взаимно простые : НОД ( 56 , 45 ) 1 .
Отметим , что два различных простых	числа	( например , 17 и 23 ) , а также два соседних натуральных числа ( например , 24 и 25 ) являются взаимно простыми .
Отметим , что два различных простых числа ( например , 17 и 23 ) , а также два соседних натуральных	числа	( например , 24 и 25 ) являются взаимно простыми .
Пусть а и b — натуральные	числа	и а больше или равно .
Все делители числа 90 можно получить из разложения	числа	90 на простые множители .
а ) Какие	числа	называют взаимно простыми ?
С помощью разложения чисел на простые множители докажите , что являются взаимно простыми	числа	.
Докажите , что два простых	числа	являются взаимно простыми .
Докажите , что два соседних натуральных	числа	являются взаимно простыми .
Вычислите степени	числа	10 с показателями от 1 до 7 .
Запишите число в виде квадрата натурального	числа	.
Вычислите степени	числа	2 с показателями от 1 до 10 .
Числу 12 кратны	числа	12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 и т .
Среди первых пяти натуральных чисел имеются два неравных	числа	m и n такие , что .
Для этого надо взять каждый из простых делителей	числа	90 , их всевозможные произведения , содержащие не больше одного множителя 2 , двух множителей 3 и одного множителя 5 .
Получатся все делители	числа	90 .
Мы видим , что	числа	12 и 54 имеют общие делители 1 , 2 , 3 , 6 .
Представьте данное произведение в виде произведения возможно большего	числа	множителей , отличных от 1 .
Выполняя предыдущее задание , можно заметить , что делители	числа	18 обладают интересным свойством .
Это наблюдение позволяет сократить перебор чисел при поиске всех делителей	числа	18 .
Сначала перебираем все делители	числа	18 до тех пор , пока произведение двух соседних делителей не даст 18 .
Используя этот приём , найдите все делители	числа	.
Найдите все делители	числа	а .
а ) Подберите такие натуральные	числа	а и b , чтобы выполнялось равенство .
Почему нельзя подобрать такие натуральные	числа	а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
в ) Можно ли подобрать такие натуральные	числа	а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
На какие	числа	делится нацело любое натуральное число ? .
Запишите пять натуральных чисел , имеющих делителями	числа	.
Укажите все делители	числа	.
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым делителем натурального	числа	? .
а ) Что называют делителем натурального	числа	; простым делителем натурального числа ? .
Так как для любого	числа	с , то можно было бы считать , что .
Любое натуральное число а делить на нуль нельзя , потому что не существует такого	числа	с , для которого выполнялось бы равенство .
И других делителей у	числа	90 нет .
д. Числу 18 кратны	числа	18 , 36 , 54 , 72 , 90 , 108 , 126 и т .
Мы видим , что имеются	числа	, кратные одновременно 12 и 18 .
Например , 36 , 72 , 108 , — Эти	числа	называются общими кратными чисел 12 и 18 .
Натуральные	числа	и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
На какие	числа	делится каждое из приведённых ниже чисел ? .
На форзаце учебника помещена таблица простых чисел , в которой записаны все простые	числа	от 2 до 997 .
Простых чисел бесконечно много , есть первое число 2 , но нет последнего простого	числа	.
Вот все составные	числа	, меньшие 20 .
Некто утверждает , что знает 4 натуральных	числа	, произведение и сумма которых нечётные числа .
Некто утверждает , что знает 4 натуральных числа , произведение и сумма которых нечётные	числа	.
Записано четыре	числа	: 0 , 0 , 0 , 1 .
Можно ли за несколько ходов получить 4 равных	числа	? .
Оказывается , этот результат зависит от	числа	« нечётных » узлов фигуры , в которых сходится нечётное число линий .
Непростые натуральные	числа	, большие единицы , называют составными .
Третью степень	числа	называют кубом числа .
Вторую степень числа называют также квадратом	числа	.
Ведь эти	числа	входят множителями в любое составное число — « составляют » его .
Вторую степень	числа	называют также квадратом числа .
Немного изменяя способ Эратосфена , запишем	числа	от 1 до 100 в таблицу по 6 чисел в строке .
Простые и составные	числа	.
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного	числа	нечётных слагаемых нечётная .
С помощью таблицы простых чисел : а ) определите , какие из чисел 47 ; 69 ; 127 ; 301 ; 447 ; 517 ; 673 ; 879 являются простыми ; б ) назовите все простые	числа	, большие 30 , но меньшие 50 ; в ) назовите все составные числа , большие 30 .
Оно простое — обведём его кружком , а все незачёркнутые	числа	, кратные ему ( они стоят в третьем столбце ) , вычеркнем .
Третью степень числа называют кубом	числа	.
С помощью таблицы простых чисел : а ) определите , какие из чисел 47 ; 69 ; 127 ; 301 ; 447 ; 517 ; 673 ; 879 являются простыми ; б ) назовите все простые числа , большие 30 , но меньшие 50 ; в ) назовите все составные	числа	, большие 30 .
Будем выписывать	числа	, кратные 24 ( большему из данных чисел ) , проверяя , делится ли каждое из них на 18 .
Разложим	числа	24 и 18 на простые множители : НОК ( 24 , 18 ) должно делиться и на 24 , и на 18 .
Поэтому искомое число содержит все простые делители большего	числа	24 ( т . е .
	Числа	2 , 2 , 2 , 3 ) и ещё множители из разложения меньшего числа 18 , которых нет в разложении большего числа ( т . е .
числа 2 , 2 , 2 , 3 ) и ещё множители из разложения меньшего	числа	18 , которых нет в разложении большего числа ( т . е .
Так как взаимно простые	числа	не имеют общих простых делителей , то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел .
Например , 24 и 25 — взаимно простые	числа	.
Что называют : а ) квадратом числа ; б ) кубом	числа	? .
Что называют : а ) квадратом	числа	; б ) кубом числа ? .
Чему равна первая степень любого	числа	? .
Являются ли взаимно простыми	числа	.
Что называют степенью	числа	а с натуральным показателем n ? .
Следующие степени	числа	10 называют так : 1012 — триллион , 1013 — десять триллионов , 1014 — сто триллионов .
Особую роль в десятичной системе играют	числа	10 , 100 , 1000 и т .
В следующих записях замените буквы цифрами так , чтобы полученные	числа	делились на 3 .
Докажите , что , кроме	числа	2 , не существует других чётных простых чисел .
Являются ли простыми	числа	998 ; 999 ; 1000 ? .
В рассмотренной задаче требуется чётное число ( 20 ) представить в виде суммы нечётного	числа	( 7 ) нечётных слагаемых ( 1 и 5 ) .
Сочетательный закон можно легко проверить при подсчёте	числа	кубиков .
Например ,	числа	152 и 790 — чётные , а числа 111 и 293 — нечётные .
Запишите в порядке возрастания все делители	числа	.
А	числа	, большие шести , они не различали и называли словом « много » .
Запись , в которой используются только	числа	, знаки арифметических действий и скобки , называют числовым выражением .
Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные	числа	.
Долгое время развитие позиционной системы счисления тормозилось отсутствием в ней	числа	и цифры нуль .
До этого	числа	записывали буквами славянского алфавита .
Интересно , что	числа	от 11 ( один - на - десять ) до 19 ( девять - на - десять ) записывали так же , как говорили , т .
Используя степень	числа	10 , квадратный километр можно записать так .
Какой остаток получится от деления	числа	? .
а ) Исследуйте зависимость	числа	диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его вершины , от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Поэтому часто вторую степень числа называют квадратом	числа	.
Чтобы найти	числа	, можно умножить на это число .
Поэтому часто вторую степень	числа	называют квадратом числа .
Задайте формулой зависимость d от n . а ) Исследуйте зависимость	числа	диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника от числа его сторон ( n ) .
В ней	числа	записывают с помощью следующих цифр : I – 1 , V – 5 , Х – 10 , L – 50 , С – 100 , D – 500 , М – 1000 .
Например , взаимно обратные	числа	.
Задайте формулой зависимость d от n . а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника от	числа	его сторон ( n ) .
Для примера запишем в двух системах	числа	от 0 до 9 .
Число 200 увеличили на 1/10 этого	числа	, полученный результат уменьшили .
а ) Прочитайте	числа	, записанные в римской системе нумерации : I , II , IV .
Можно считать , что произведение натурального	числа	n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Запишите в римской системе нумерации	числа	: 6 , 8 , 12 .
б ) Может ли при умножении	числа	3 на некоторую правильную дробь получиться число , меньшее 1 ?
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его вершины , от	числа	сторон этого многоугольника ( n ) .
Ещё в XIX веке у многих племён Австралии и Полинезии было только два обозначения — для числа « один » и для	числа	« два » .
Ещё в XIX веке у многих племён Австралии и Полинезии было только два обозначения — для	числа	« один » и для числа « два » .
Отметим , что для любого	числа	а верны равенства .
Может ли при умножении	числа	4 на некоторую правильную дробь получиться число , большее 1 ?
Верно ли , что при умножении натурального	числа	на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат	числа	» , « куб числа » .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального	числа	?
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб	числа	» .
а и b — натуральные	числа	.
Даже очень большие промежутки времени выражаются в секундах с помощью степени	числа	10 .
а , b , с и d — натуральные	числа	.
Могут ли взаимно обратные	числа	быть одновременно .
Поэтому часто третью степень числа называют кубом	числа	.
Поэтому часто третью степень	числа	называют кубом числа .
Докажите , что от прибавления к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же	числа	разность не изменяется .
Если первое из них уменьшить на 20 , то	числа	станут равными .
На сколько нужно уменьшить большее число , чтобы получились равные	числа	?
Вычислите произведение 7 и	числа	, обратного числу .
Какие	числа	изображены на нижних гранях кубиков ? .
В дальнейшем будут введены новые числа — отрицательные , с помощью которых можно будет из меньшего	числа	вычесть большее .
а ) Вычислите произведение и	числа	, обратного числу 3 .
Являются ли	числа	взаимно обратными ?
Укажите остальные	числа	.
В дальнейшем будут введены новые	числа	— отрицательные , с помощью которых можно будет из меньшего числа вычесть большее .
Укажите	числа	, обратные данным .
На гранях куба написали	числа	1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи .
В Древней Индии умножали многозначные	числа	совсем не так , как мы это делаем теперь .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого	числа	слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
В квадрате 3x3 расставьте	числа	0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 так , чтобы сумма чисел в каждой строке , в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 ,	числа	третьего класса — остаток 2 .
Учащиеся выполняли задание , в котором требуется найти пропущенные	числа	.
а ) Число уменьшили на этого	числа	, получилось 210 .
Сложим теперь три	числа	3 , 2 и 4 .
Переместительный закон умножения легко проверить при подсчёте двумя способами	числа	квадратов .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального	числа	и правильной дроби .
Как сравнивают натуральные	числа	при помощи координатного луча ? .
Поэтому натуральные	числа	можно сравнивать при помощи координатного луча по правилу .
Рассмотрим ряд натуральных чисел , отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3	числа	.
Поэтому складывать правильные дроби и натуральные	числа	со смешанными дробями можно по этому же правилу .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 2	числа	— получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим число 9 .
Координатный луч напоминает линейку , на которой отмечены	числа	0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 и т .
Сравните	числа	.
Даны три	числа	.
Рассмотрим примеры вычитания меньшего	числа	из большего .
Существует ли целое число , меньшее любого натурального	числа	? .
С его помощью натуральные	числа	и нуль изображаются точками .
Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде произведения некоторого числа и степени	числа	10 .
Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде произведения некоторого	числа	и степени числа 10 .
Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней	числа	10 или в виде произведения некоторого числа и степени числа 10 .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные	числа	.
Чтобы сложить	числа	5 и 3 , можно рассуждать так .
При делении на 3	числа	первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
Запишите	числа	3 , 5 , 7 в виде дроби со знаменателем .
Запишите дробь в виде целого	числа	.
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго	числа	снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
Задумали число , увеличили его на y этого	числа	и получили 56 .
а ) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных	числа	, сумма которых равна 912 .
Сложите	числа	.
б ) К двузначному числу приписали цифру 1 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных	числа	, сумма которых равна 926 .
Для любого	числа	а верно равенство .
По каким правилам складывают	числа	с числом 0 ? .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 ,	числа	второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
Сумму натурального	числа	и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
в ) К трёхзначному числу приписали цифру 2 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных	числа	, сумма которых равна 5929 .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального	числа	и правильной дроби .
Если в числовом выражении есть степень с натуральным показателем , то сначала нужно записать её в виде	числа	и только после этого приступать к выполнению остальных действий .
г ) К трёхзначному числу приписали цифру 7 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных	числа	, сумма которых равна 8360 .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4	числа	, получим число 9 .
а ) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных	числа	, разность которых равна 234 .
г ) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных	числа	, разность которых равна 639 .
К двузначному числу приписали цифру 6 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных	числа	, разность которых равна 162 .
в ) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных	числа	, разность которых равна 2214 .
Для любого	числа	а верны равенства .
Особое внимание они уделяли простым	числам	.
Л. Эйлер рассматривал и такую задачу : « Определить , сколько простых чисел содержится между двумя данными натуральными	числами	, не пересчитывая их непосредственно » .
Поэтому натуральные числа называют ещё целыми положительными	числами	.
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными	числами	, а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми	числами	, как в первом примере , то сложение по формуле приводит к лишним вычислениям .
Поставьте знак сравнения между	числами	.
Числа , не имеющие общих простых делителей , называют взаимно простыми	числами	.
е . являются взаимно простыми	числами	.
6 Сколько чисел в натуральном ряду между	числами	.
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми	числами	, как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё , что вы знаете о натуральных	числах	, познакомиться со свойствами сложения и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
б ) На каком	числе	следует остановить « просеивание » , если в таблице будет 150 ; 10 000 первых натуральных чисел ? .
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности	числителей	уменьшаемого и вычитаемого .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме	числителей	, а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению	числителей	, а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Дополнительный множитель обычно пишут слева над	числителем	.
Найдите все несократимые дроби с	числителем	60 , бóльшие но меньшие .
Найдите дробь с	числителем	7 , равную дроби .
Назовите три дроби : а ) с	числителем	3 ; б ) со знаменателем 10 .
Дроби с	числителем	, отличным от единицы ( кроме дроби 2/3 , появились значительно позже .
Дробь с	числителем	р и знаменателем 1 есть другая форма записи натурального числа р .
В Древнем Египте в практических расчётах использовали дроби с	числителем	1 .
Число р , находящееся над чертой дроби , называют	числителем	дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
В формуле и далее	числители	и знаменатели дробей — натуральные числа .
Прочитайте их , назовите	числители	и знаменатели .
Напомним , что если	числитель	дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Из основного свойства дроби следует , что если	числитель	дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем ,	числитель	которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь ,	числитель	которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
В самом деле , если	числитель	дроби р делится на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Запишите	числитель	и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Разделите с остатком	числитель	дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби .
Для этого умножим	числитель	и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3 .
Любую неправильную дробь ,	числитель	которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Можно ли найти дробь ,	числитель	которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
Определите	числитель	дроби в равенстве .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно	числитель	дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой натуральное число , а	числитель	144 , равную дроби ? .
Чтобы записать неправильную дробь (	числитель	которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её	числитель	.
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её	числитель	.
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на	числитель	дроби и результат умножить на её знаменатель .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её	числитель	разделить на знаменатель с остатком .
Дробь называется неправильной , если её	числитель	больше знаменателя или равен ему .
Дробь называется правильной , если её	числитель	меньше знаменателя .
Произведение двух дробей есть дробь ,	числитель	которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в	числитель	, а знаменатель оставляют тот же .
Из двух дробей с общим знаменателем больше та дробь , у которой	числитель	больше , т .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют	числитель	дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Умножим	числитель	и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8 .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на	числитель	дроби и результат умножить на её знаменатель .
Чему равна дробь ,	числитель	которой равен знаменателю ? .
Если	числитель	и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Левая часть равенства ( 2 ) есть дробь ,	числитель	и знаменатель которой имеют общий множитель n.
Если	числитель	и знаменатель дроби имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби ,	числитель	которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Запишите две дроби , у которых : а )	числитель	на 2 больше знаменателя ; б ) знаменатель на 4 больше числителя .
Дробь называют несократимой , если её	числитель	и знаменатель не имеют общих простых делителей .
разделить на него и	числитель	, и знаменатель .
Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления	числителя	на знаменатель .
Укажите все общие делители и НОД	числителя	и знаменателя дроби , затем сократите дробь .
Часто наибольший общий делитель	числителя	и знаменателя сразу указать трудно .
Запишите две дроби , у которых : а ) числитель на 2 больше знаменателя ; б ) знаменатель на 4 больше	числителя	.
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления	числителя	на знаменатель .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления	числителя	на знаменатель .
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее	числителя	и знаменателя .
Если делитель — простое	число	, то его называют простым делителем .
Если	число	оканчивается одной из цифр 0 или 5 , то оно делится на 5 .
Каждое простое число имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное	число	, кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
Например , число 13 имеет простой делитель 13 ,	число	4 — простой делитель 2 , а число 12 — простые делители 2 и 3 .
Укажем в каждой точке , в которой можно изменить направление движения ,	число	способов , которыми можно прийти в эту точку .
Каждое простое	число	имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
Гораздо проще подсчитать их	число	описанным выше способом .
Например ,	число	13 имеет простой делитель 13 , число 4 — простой делитель 2 , а число 12 — простые делители 2 и 3 .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b делится на натуральное	число	с , то верно равенство .
Если один ив множителей делится на некоторое число , то и произведение делится на это	число	.
Разложите на простые множители	число	.
Напишите четырёхзначное	число	, которое делится на 3 , но не делится на 9 .
Например ,	число	4560 оканчивается цифрой 0 , его можно представить в виде произведения , которое делится на 10 ( по свойству 1 ) .
Если каждое из двух чисел делится на некоторое	число	, то их сумма и разность делятся на это число .
Чтобы прочитать многозначное	число	, цифры в его записи разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой .
Например ,	число	2300 делится на 5 , потому что это число делится на 10 , а 10 делится на 5 ( по свойству 2 ) .
С помощью умножения и деления решают задачи , в которых требуется найти	число	, большее или меньшее данного в несколько раз , ответить на вопросы « во сколько раз больше ? » , « во сколько раз меньше ? » и т .
Если первое	число	делится на второе , а второе делится на третье , то первое число делится на третье .
Найдите трёхзначное	число	.
Ученик 5 класса и его сестра - десятиклассница подсчитали	число	шагов от школы до дома .
а ) Напишите четырёхзначное	число	, которое делится на 9 .
Будем делить на 36	число	сотен — 146 .
Например , число 2300 делится на 5 , потому что это	число	делится на 10 , а 10 делится на 5 ( по свойству 2 ) .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то первое	число	делится на третье .
Когда говорят , что натуральное	число	а делится нацело на натуральное число b ? .
Подсчитайте	число	всех способов , которыми можно прочитать это слово .
Когда говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное	число	b ? .
Кроме того ,	число	а делится на 1 .
На какие числа делится нацело любое натуральное	число	? .
Покажите , что любое из чисел 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 можно записать в виде 5 k , где k — некоторое натуральное	число	.
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное	число	с , при умножении которого на b получается а .
Напишите три числа , которые можно записать в виде . a ) 2k ; б ) 5k ; в ) 20k ; г ) 7k , где k — натуральное	число	.
б ) Что значит разложить	число	на простые множители ?
Произвольное натуральное	число	n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это	число	.
Для обозначения величины пишут	число	, а рядом — название единицы .
Делим на 7	число	единиц 9 .
Делим на 7	число	десятков .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное	число	b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Что получается при делении нуля на любое натуральное	число	?
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное	число	а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Сколько брёвен каждого вида надо распилить , чтобы получить 42 бревна по 1 м и сделать наименьшее	число	распилов ? .
Если	число	оканчивается цифрой 0 , то оно делится на 10 .
Если один ив множителей делится на некоторое	число	, то и произведение делится на это число .
Какое	число	называют частным чисел 8 и 2 ; 20 и 4 ?
Делим на 7	число	сотен — 2 ( остаток 0 ) .
Проверьте , делится ли	число	.
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка —	число	2 и т .
Запишите следующее	число	в виде произведения двух множителей различными способами .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка	число	1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Покажем , как можно разложить	число	90 на простые множители . 1 ) 90 делится на 2 .
Разложить данное составное	число	на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней .
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их сумма и разность делятся на это	число	.
Будем считать , что точка О представляет	число	нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Объясните , как найти неизвестное	число	х .
Каждое составное	число	можно представить в виде произведения его простых делителей .
Например ,	число	48 кратно числу 24 .
Например , число 13 имеет простой делитель 13 , число 4 — простой делитель 2 , а	число	12 — простые делители 2 и 3 .
Если одно из двух чисел делится на некоторое	число	, а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это число .
Мы уже знаем , почему нельзя	число	делить на нуль .
Найдите двузначное	число	.
Число 50 увеличили в 3 раза , полученное	число	увеличили на 100 .
Покажите , что нечётные числа 7 , 9 , 5 , 13 можно записать в виде , где k — некоторое натуральное	число	.
а ) Выберите такое натуральное	число	n , чтобы задача имела решение .
Определите , делится ли	число	111 111 111 111 111 : а ) на 3 ; б ) на 9 .
Назовите наибольшее и наименьшее шестизначное	число	, которое делится на : а ) 2 ; б ) 3 ; в ) 5 ; г ) 9 ; д ) 10 .
Нажатием клавиши MRC	число	9 извлекается из « памяти » .
Назовите	число	, которое предшествует в натуральном ряду числу : 2 , 74 , 100 , 3050 , 438 109 , 1 000 000 .
Докажите признак делимости на 4 : если две последние цифры числа образуют	число	, делящееся на 4 , то и само число делится на 4 .
Докажите признак делимости на 4 : если две последние цифры числа образуют число , делящееся на 4 , то и само	число	делится на 4 .
Но среди них есть наибольшее	число	, меньшее 14 , — это число .
Но среди них есть наибольшее число , меньшее 14 , — это	число	.
Важную роль в десятичной системе счисления играет	число	10 .
Число « три » они называли « два и один » ,	число	« четыре » — « два и два » , число « пять » — « два , два и один » , число « шесть » — « два , два и два » .
Число « три » они называли « два и один » , число « четыре » — « два и два » ,	число	« пять » — « два , два и один » , число « шесть » — « два , два и два » .
Число « три » они называли « два и один » , число « четыре » — « два и два » , число « пять » — « два , два и один » ,	число	« шесть » — « два , два и два » .
Чтобы получить	число	14 , надо прибавить к 12 число 2 , которое меньше 3 .
Докажите , что произведение чётного числа и любого натурального числа есть	число	чётное .
Какое	число	изображено на : а ) нижней грани ; б ) боковой грани слева ; в ) боковой грани сзади ? .
Наименьшее	число	сторон в многоугольнике равно трём .
Сколько тетрадей надо переложить из первой пачки во вторую , чтобы уравнять	число	тетрадей в пачках ? .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само	число	не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Когда говорят «	число	оканчивается цифрой » , имеют в виду « десятичная запись числа заканчивается цифрой » .
Если сумма цифр числа делится на 3 , то и само	число	делится на 3 .
Какое	число	называют чётным ?
а ) последующее число ; б ) предшествующее	число	? .
Какое	число	называют нечётным ?
а ) первое число ; б ) последнее	число	? .
Какое наименьшее	число	при делении и на 3 , и на 5 , и на 7 даёт в остатке : а ) 0 ; б ) 1 ; в ) 2 ? .
а ) первое	число	; б ) последнее число ? .
Найдём	число	карандашей во второй коробке : 12 ( кар . ) .
Считают ли	число	нуль натуральным числом ? .
найдём	число	карандашей в первой коробке : 18 ( кар . ) .
Можно ли с помощью цифр 1 , 2 , 5 , 6 ( без повторения ) составить трёхзначное	число	, которое делилось бы .
4 а ) Назовите	число	, которое следует в натуральном ряду за числом : 13 , 276 , 3590 , 999 999
Покажите , что чётные числа 18 , 20 , 48 , 96 можно записать в виде 2k , где k — некоторое натуральное	число	.
На сколько нужно уменьшить большее	число	, чтобы получились равные числа ?
Решите задачу с выбранным числом n . б ) Какое самое большое и какое самое маленькое	число	n можно взять , чтобы задача имела решение ? .
Над одной или несколькими буквами ставили особый знак ( титло ) , чтобы подчеркнуть , что полученная запись не буква , не слово , а	число	.
Чтобы получить число 14 , надо прибавить к 12	число	2 , которое меньше 3 .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное	число	, большее предшествующего на единицу .
Назовите наименьшее простое	число	.
На первом место в натуральном ряду стоит число 1 , за ним следует число 2 , затем	число	3 и т .
Используя признаки делимости , докажите , что	число	: а ) 7690 ; 6)7395 ; в ) 4256 ; г ) 12 375 ; д ) 12 321 является составным .
Не пользуясь таблицей простых чисел , докажите , что	число	: а ) 29 ; 6 ) 41 ; в ) 53 ; г ) 59 является простым .
На первом место в натуральном ряду стоит число 1 , за ним следует	число	2 , затем число 3 и т .
Чтобы разделить число а на	число	b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
а ) последующее	число	; б ) предшествующее число ? .
Является ли	число	1 : а ) простым ; 6 ) составным ? .
На первом место в натуральном ряду стоит	число	1 , за ним следует число 2 , затем число 3 и т .
В школе равное	число	девочек и мальчиков .
Некто пообещал дать 99 конфет тому , кто сумеет их разделить между четырьмя людьми так , чтобы каждому досталось нечётное	число	конфет .
Если	число	оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , то оно делится на 2 .
150 — число , полученное после первого увеличения ; 250 — число , полученное после второго увеличения ; 5 ( раз ) — во столько раз увеличили	число	50 за два раза .
150 — число , полученное после первого увеличения ; 250 —	число	, полученное после второго увеличения ; 5 ( раз ) — во столько раз увеличили число 50 за два раза .
150 —	число	, полученное после первого увеличения ; 250 — число , полученное после второго увеличения ; 5 ( раз ) — во столько раз увеличили число 50 за два раза .
Во сколько раз увеличили	число	50 за два раза ? .
Можно ли простое	число	записать в виде суммы .
д ) В каких странах	число	нуль считают натуральным числом ? .
б ) Какое	число	называют составным ? .
Например ,	число	130 оканчивается цифрой 0 , оно делится на 10 , а 10 делится на 2 , следовательно , 130 делится на 2 ( по свойству 2 ) .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само	число	делится на 9 .
Можно ли	число	1 представить в виде суммы дробей , где а , b , с , d — нечётные натуральные числа ? .
Каждое натуральное	число	р делится на 1 и само на себя .
Простым числом называют такое натуральное	число	, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
Итак , справедливо равенство , где 4 — наибольшее	число	, произведение которого на 3 меньше 14 .
Это	число	называют неполным частным от деления 14 на 3 , а число 2 — остатком .
Это число называют неполным частным от деления 14 на 3 , а	число	2 — остатком .
а ) Какое	число	называют простым ? .
Очевидно , что получаемые таким образом классы чисел не имеют общих чисел каждое натуральное	число	входит только в один класс .
Уменьшите	число	64 в 4 раза , полученный результат уменьшите на 8 .
Каждое составное	число	делится на 1 , само на себя и ещё хотя бы на одно натуральное число .
а ) Уменьшите	число	64 на 8 , полученный результат уменьшите в 4 раза .
Каждое составное число делится на 1 , само на себя и ещё хотя бы на одно натуральное	число	.
Если одно	число	делится нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно делится с остатком , равным нулю .
Простых чисел бесконечно много , есть первое	число	2 , но нет последнего простого числа .
Чтобы разделить	число	а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
В натуральном ряду есть первое	число	1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Какую цифру нужно поставить вместо звездочки , чтобы полученное	число	делилось на 9 .
Натуральные числа и	число	нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Например , чтобы прочитать число 148951784296 , выделим в нём классы : 148 951 784 296 и прочитаем	число	единиц каждого класса слева направо .
Что значит умножить число 5 на	число	6 ? .
Что значит умножить	число	5 на число 6 ? .
С помощью умножения решают задачи , в которых требуется найти	число	, большее данного в несколько раз .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье	число	, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Так как	число	кубиков в обоих случаях одно и то же .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое	число	умножить на произведение второго и третьего чисел .
Если	число	а больше числа b , то пишут а > b и говорят : « а больше b » , или пишут b < а и говорят : « b меньше а » .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье	число	, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Принято считать	число	0 равным дроби вида , где q — любое натуральное число .
Принято считать число 0 равным дроби вида , где q — любое натуральное	число	.
Так как	число	квадратов в обоих случаях одно и то же .
Как записывают	число	0 в виде дроби ? .
Найдите	число	х , для которого верно равенство .
3 ) Два натуральных числа равны , если у них одинаковое	число	разрядов и цифры одинаковых разрядов равны .
Известно , что за последний год	число	марок в коллекции увеличилось на .
Таким образом , чтобы умножить натуральное	число	на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Получится	число	12 , называемое произведением чисел 3 и 4 .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное	число	, а знаменатель оставить тот же .
Умножить натуральное число 3 на натуральное	число	4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
Умножить натуральное	число	3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
Придумайте задачу , в которой	число	заменено буквой , и проведите похожее исследование .
Как умножить натуральное	число	на дробь ?
Решите задачу с выбранным числом а . б ) Какое самое большое	число	а можно взять , чтобы задача имела решение , если на третьей полке была хотя бы одна книга ? .
Если а , b , с — натуральные числа и	число	b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
а ) Выберите такое	число	а , чтобы задача имела решение .
Какое	число	обратно самому себе ? .
Какое	число	получится : большее или меньшее 2 ? .
б ) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться	число	, меньшее 1 ?
Так как любое натуральное	число	n можно представить в виде дроби , то справедливо равенство .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное	число	; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное	число	? .
б ) Задумали	число	, увеличили его в 3 раза , полученный результат увеличили ещё в 4 раза .
Например , где р — любое натуральное	число	.
Например , 1001 больше 999 потому , что	число	1001 содержит разрядов больше , чем число 999 .
Увеличьте	число	.
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное	число	, а знаменатель 121 , равную дроби ? .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате	число	, большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой натуральное	число	, а числитель 144 , равную дроби ? .
Например , 1001 больше 999 потому , что число 1001 содержит разрядов больше , чем	число	999 .
Рассмотрим решения задач , в которых требуется найти часть числа или	число	но его части .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно	число	1000 разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Будем считать , что искомое	число	состоит из трёх третьих долей .
Чтобы найти	число	, 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
в ) Какое	число	а нужно взять , чтобы разность в задании а была нулём ? .
Как найти	число	, 3/5 которого равны 30 ? .
Для этого найдём	число	, которое делится на 8 и на 3 , например 24 .
Например , 2821 больше 2819 потому , что у них одинаковое	число	разрядов , цифры четвёртых и третьих разрядов одинаковые , а цифры второго разряда у них разные : у первого числа больше , чем у второго .
б ) Какое самое большое натуральное	число	а можно взять , чтобы разность в задании а была натуральным числом ? .
а ) Каким может быть	число	а , чтобы вы могли устно вычислить разность двух произведений ?
Укажите , какое из следующих выражений определяет	число	деталей , изготовляемых : а ) первым рабочим за 4 ч ; б ) вторым рабочим за 4 ч ; в ) двумя рабочими за 1 ч ; г ) двумя рабочими за 4 ч .
Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из чисел , делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является	число	24 .
Одно и то же	число	квадратов подсчитано двумя способами .
Подсчитаем двумя способами	число	квадратов .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это	число	умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
Например , чтобы прочитать	число	148951784296 , выделим в нём классы : 148 951 784 296 и прочитаем число единиц каждого класса слева направо .
Увеличьте	число	48 в 3 раза , полученный результат увеличьте на 3 .
Увеличьте	число	48 на 3 , полученный результат увеличьте в 3 раза .
Надо ли развязывать пачки , чтобы сосчитать	число	всех книг ?
Запишите	число	в виде произведения двух равных множителей .
Запишите	число	в виде произведения двух множителей .
Во сколько раз увеличилось	число	в итоге ? .
Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться	число	, большее 1 ?
Вычислите неизвестное	число	х , удовлетворяющее равенству .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится	число	, меньшее этого натурального числа ?
б ) Какое натуральное	число	а можно взять , чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13 ?
Получилось ли снова	число	200 ?
Разностью чисел а и b называют такое число , которое при сложении с числом b даёт	число	а .
Найдите	число	, — которого равны 60
Найдите	число	, которого равны 99 .
Задумали	число	, увеличили его на y этого числа и получили 56 .
Какое	число	задумали ? .
Разностью чисел а и b называют такое	число	, которое при сложении с числом b даёт число а .
При этом натуральное	число	называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье	число	, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
Вообще , равенство а = b означает , что а и b одно и то же	число	.
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное	число	записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Отметим в натуральном ряду	число	3 , отсчитаем от него вправо 6 чисел .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим	число	9 .
Найдите	число	.
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим	число	5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим число 9 .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном ряду	число	3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим число 9 .
Каждое натуральное	число	а больше нуля ; это записывают так : а>0 .
Получится то же	число	8 , называемое суммой чисел 3 и 5 .
Но можно отметить в натуральном ряду сначала	число	3 и отсчитать от него вправо 5 чисел .
Заметим , что любое натуральное	число	имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Получится	число	8 , называемое суммой чисел 5 и 3 .
Рассмотрим ряд натуральных чисел , отметим в этом ряду	число	5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Существует ли целое	число	, меньшее любого натурального числа ? .
Какое	число	называют положительным ? .
Вычитать большее	число	из меньшего нельзя , оставаясь среди неотрицательных чисел .
б ) Какое	число	а можно взять , чтобы значение данного выражения было равно нулю ? .
помощью распределительного закона можно коротко выполнить деление смешанной дроби на натуральное	число	.
Если к ряду натуральных чисел приписать слева	число	0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
Найдите целое	число	, равное дроби .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что	число	с находится правее числа а , т .
Число а называют уменьшаемым ,	число	b — вычитаемым .
Аналогично число , — которого равны 30 , есть	число	.
Вообще , средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на	число	слагаемых .
в ) Задумали	число	, увеличили его на 120 , результат уменьшили на 49 .
Найдите задуманное	число	.
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а	число	с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Задумали	число	, уменьшили его на 45 и получили 66 .
Каким действием можно найти задуманное	число	?
а ) Задумали	число	, увеличили его на 45 и получили 66 .
Найдите неизвестное	число	, обозначенное буквой х .
Восстановите равенство , вставив пропущенное	число	( 59 , 60 ) .
Чтобы разделить дробь на натуральное	число	, можно её знаменатель умножить на это число .
Чтобы разделить дробь на натуральное число , можно её знаменатель умножить на это	число	.
Отметим , что	число	0 , делённое на любую отличную от нуля дробь , даёт 0 .
Какое	число	называют разностью чисел а и b ? .
б ) Как разделить дробь на натуральное	число	? .
в ) натуральное	число	на натуральное число . г ) нуль на нуль ? .
в ) натуральное число на натуральное	число	. г ) нуль на нуль ? .
Найдите	число	х , для которого равенство верно .
Поэтому	число	3 есть разность чисел 9 и 6 .
Получим	число	3 .
Отметим в натуральном ряду	число	9 и отсчитаем от него влево шесть чисел .
Это	число	в 4 раза больше , чем .
Чтобы найти числа , можно умножить на это	число	.
Пусть теперь надо найти	число	, которого равны 60 .
Из сказанного выше следует , что	число	60 можно получить умножением дроби на неизвестное число .
Из сказанного выше следует , что число 60 можно получить умножением дроби на неизвестное	число	.
Тогда это неизвестное	число	можно найти , разделив 60 на .
Итак ,	число	, число .
Итак , число ,	число	.
Аналогично	число	, — которого равны 30 , есть число .
С помощью сложения и вычитания решают задачи , в которых требуется найти	число	, большее или меньшее данного на несколько единиц , ответить на вопросы « на сколько больше ? » , « на сколько меньше ? » , « сколько всего ? » , « сколько осталось ? » и т .
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное	число	, то получится равная ей дробь .
Чтобы	число	умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное	число	, делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Запишите первое и последнее в натуральном ряду	число	: а ) двузначное ; б ) трёхзначное ; в ) четырехзначное .
Оказывается , этот результат зависит от числа « нечётных » узлов фигуры , в которых сходится нечётное	число	линий .
Ведь эти числа входят множителями в любое составное	число	— « составляют » его .
Составьте и решите аналогичную задачу , учитывая размеры вашей классной комнаты и	число	учащихся вашего класса .
1 не простое	число	и не составное — вычеркнем его .
Запишите и прочитайте	число	.
Говорят , что а делится на b нацело , если существует натуральное	число	с , при умножении которого на b получается а .
Если взять , то по рассмотренной формуле получится — составное	число	, делящееся .
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное	число	линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Большой вклад в её решение внёс великий русский математик академик П. Л. Чебышев ( 1821–1894 ) , доказавший , в частности , что между числами n и 2п ( n > 1 ) имеется по крайней мере одно простое	число	.
При делении нуля на любое натуральное	число	получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Л. Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу , называемую проблемой Эйлера : « Доказать , что каждое чётное	число	, начиная с 4 , можно представить в виде суммы двух простых чисел » .
Более двухсот лет назад член Петербургской академии паук X. Гольдбах ( 1690–1764 ) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха : « Доказать , что каждое нечётное	число	, большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых чисел » .
Для любых ли натуральных л	число	Р простое ? .
Для этого я попрошу умножить	число	рублей в правой руке на 2 , в левой — на 3 и результаты сложить , а мне сообщить лишь , является сумма чётной или нет .
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 54 является	число	6 .
Любое натуральное	число	а делить на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
Иногда целое	число	изображали дробью со знаменателем 1 .
Какое наименьшее	число	пачек мороженого он может купить ? .
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное	число	линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Известно , что	число	а делится нацело на число b.
Известно , что число а делится нацело на	число	b.
Через какое наименьшее	число	оборотов каждой шестерёнки метки будут совпадать ? .
Поэтому искомое	число	содержит все простые делители большего числа 24 ( т . е .
Это	число	обозначают : НОК ( а , b ) .
В какое наибольшее	число	подарков можно разложить все эти мандарины и яблоки так , чтобы во всех подарках было поровну мандаринов и поровну яблок ? .
Какое наибольшее	число	участников может быть в каждой команде ?
Если взять любые две монеты , то получится чётное	число	рублей , поэтому любые шесть монет дают чётное число рублей .
Если взять любые две монеты , то получится чётное число рублей , поэтому любые шесть монет дают чётное	число	рублей .
Запишите	число	в виде квадрата натурального числа .
Запишите	число	, состоящее из . а ) 1 тысячи , 2 сотен , 3 десятков и 5 единиц .
Если же добавить седьмую монету ( достоинством 1 р . или 5 р . ) , то получится нечётное	число	рублей .
Например , запись означает , что это	число	содержит а тысяч , 5 сотен , b десятков и 7 единиц .
Запишите в виде степени с основанием 10	число	.
В рассмотренной задаче требуется чётное	число	( 20 ) представить в виде суммы нечётного числа ( 7 ) нечётных слагаемых ( 1 и 5 ) .
Разламывая палочку или на 3 , или на 5 частей , мы увеличиваем их общее	число	или на 2 , или на 4 палочки , т .
на чётное	число	палочек .
Запишите	число	в виде произведения одинаковых чисел .
Первоначальное	число	палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Запишите каждое	число	в виде степени .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное	число	палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Но в этом случае частным могло бы быть любое	число	с. Поэтому считают , что нуль на нуль делить нельзя .
3 , 2 — простое число , 5 , 3 — простое	число	и т .
Любое натуральное	число	а делится на 1 и само на себя .
Я предлагаю товарищу записать ( так , чтобы я не видел ) любое трёхзначное	число	, состоящее из различных цифр ( без нуля ) .
При этом число 2 называют основанием степени , а	число	3 — показателем степени .
При этом	число	2 называют основанием степени , а число 3 — показателем степени .
Если q — натуральное	число	, то дробь — ( читается « одна кутая » ) означает одну кутую часть единицы .
Например : число 8 больше числа 5 ,	число	3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
а ) Представьте	число	8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
Для упрощения речи вместо слов « рациональное	число	p / q » говорят « дробь p / q » .
Если хочешь в произведении иметь 121 212 , возьми 12 , умножь на 2 и на 10 , будет 240 , прибавь первое	число	, будет 252 .
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ;	число	q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
Число 3 показывает , сколько раз нужно взять множителем основание степени —	число	2 .
Как это делается , видно из следующих примеров :	число	99 состоит из 9 десятков и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8 единиц .
Какое	число	называют рациональным числом ? .
Запишите	число	в виде произведения двух множителей всеми возможными способами .
б ) Как ещё называют рациональное	число	? .
Каждое натуральное	число	можно записать в виде суммы разрядных слагаемых .
в ) Является ли натуральное	число	рациональным числом ?
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное	число	— частное от этого не изменится .
д. Можно ещё сказать , что дроби определяют одно и то же	число	, записанное разными способами ; дроби также определяют одно и то же число .
д. Можно ещё сказать , что дроби определяют одно и то же число , записанное разными способами ; дроби также определяют одно и то же	число	.
Определите , является	число	простым или составным .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте	число	35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц ,	число	3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8 единиц .
ещё одно	число	3 ) .
Вася считает , что любое простое	число	можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является простым числом .
3 , 2 — простое	число	, 5 , 3 — простое число и т .
Например :	число	8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое	число	.
Старший брат выписал из справочника	число	15 ! , а Вася случайно поставил в его тетради кляксу на одну цифру .
Каким натуральным	числом	можно заменить букву а в условии задачи , чтобы ответ выражался натуральным числом ?
( Возраст каждого из сыновей выражается натуральным	числом	. ) .
Сравните дроби с	числом	1 , а затем между собой .
Докажите , что сумма двух нечётных чисел является чётным	числом	.
Из двух натуральных чисел с одинаковым	числом	разрядов больше то , у которого больше первая ( слева направо ) из неодинаковых цифр .
В том случае , когда одно из двух чисел является натуральным	числом	или правильной дробью , вычисления выполняются аналогично .
Сравните дроби с	числом	, а затем между собой .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является простым	числом	.
Разностью чисел а и b называют такое число , которое при сложении с	числом	b даёт число а .
а ) Каким	числом	надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
Считают ли число нуль натуральным	числом	? .
Величина есть результат измерения , она определяется	числом	, выраженным в некоторых единицах .
Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи , чтобы ответ выражался натуральным	числом	?
Какое число называют рациональным	числом	? .
Замените букву х	числом	так , чтобы равенство стало верным .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным	числом	следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Отсутствие предметов для счёта условились обозначать	числом	нуль ( 0 ) .
Является ли данная дробь целым	числом	.
а ) Может ли сумма двух простых чисел быть простым	числом	? .
Верно ли , что сумма любых двух простых чисел является простым	числом	? .
Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым	числом	участников , состоящие только из мальчиков или только из девочек .
Докажите , что сумма двух чётных чисел является чётным	числом	.
в ) Является ли натуральное число рациональным	числом	?
Нуль не считают натуральным	числом	.
натуральным	числом	?
При этом всё равно , какую работу выполняют и чем эту работу измеряют —	числом	деталей , количеством вспаханных гектаров пашни и т .
б ) Какое самое большое натуральное число а можно взять , чтобы разность в задании а была натуральным	числом	? .
По каким правилам складывают числа с	числом	0 ? .
а ) Каким натуральным	числом	надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
Принято считать , что единица не является пи простым , пи составным	числом	.
Является ли нуль положительным	числом	? .
Решите задачу с выбранным	числом	n . б ) Какое самое большое и какое самое маленькое число n можно взять , чтобы задача имела решение ? .
Решите задачу с выбранным	числом	а . б ) Какое самое большое число а можно взять , чтобы задача имела решение , если на третьей полке была хотя бы одна книга ? .
Простым	числом	называют такое натуральное число , которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
д ) В каких странах число нуль считают натуральным	числом	? .
Не выполняя сложения , определите , каким	числом	( чётным или нечётным ) является сумма .
Число , которое можно записать в виде где р и q — натуральные числа , называют рациональным	числом	.
4 а ) Назовите число , которое следует в натуральном ряду за	числом	: 13 , 276 , 3590 , 999 999
г ) К трёхзначному	числу	приписали цифру 7 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , сумма которых равна 8360 .
К двузначному	числу	приписали цифру 6 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , разность которых равна 162 .
Например , число 48 кратно	числу	24 .
а ) К двузначному	числу	приписали цифру 5 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , разность которых равна 234 .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но длина не всякого отрезка в точности равна целому	числу	сантиметров .
Число , делящееся на 12 , называют кратным	числу	12 .
Напишите 5 чисел , кратных	числу	.
Прибавьте к	числу	.
Назовите число , которое предшествует в натуральном ряду	числу	: 2 , 74 , 100 , 3050 , 438 109 , 1 000 000 .
б ) К двузначному	числу	приписали цифру 1 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , сумма которых равна 926 .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АB , надо к	числу	а прибавить половину длины отрезка АB .
в ) К трёхзначному	числу	приписали цифру 2 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , сумма которых равна 5929 .
Принято считать , что первая степень любого числа равна самому	числу	.
а ) К двузначному	числу	приписали цифру 5 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , сумма которых равна 912 .
г ) К трёхзначному	числу	приписали цифру 9 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , разность которых равна 639 .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому	числу	прибавить сумму второго и третьего чисел .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому	числу	прибавить сумму второго и третьего .
Вычислите произведение 7 и числа , обратного	числу	.
постепенное выполнение действий и приведение числового выражения к наиболее простой форме —	числу	, нередко требует серьёзных усилий .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по	числу	цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
а ) Вычислите произведение и числа , обратного	числу	3 .
По	числу	сторон многоугольник называют треугольником , четырёхугольником , пятиугольником и т .
в ) К трёхзначному	числу	приписали цифру 9 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , разность которых равна 2214 .
Более двухсот лет назад	член	Петербургской академии паук X. Гольдбах ( 1690–1764 ) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха : « Доказать , что каждое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых чисел » .
Если сумма	чётная	, то двухрублёвая монета в левой руке , если нечётная , то в правой .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых	чётная	; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
Петя их не видел , но утверждает , что по количеству записанных чисел легко определит ,	чётная	или нечётная у них сумма .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и	чётного	чисел нечётная .
Докажите , что : а ) сумма	чётного	числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
в )	чётного	и нечётного чисел ? .
Докажите , что произведение	чётного	числа и любого натурального числа есть число чётное .
Докажите , что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число	чётное	.
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится	чётное	число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Если взять любые две монеты , то получится	чётное	число рублей , поэтому любые шесть монет дают чётное число рублей .
Если взять любые две монеты , то получится чётное число рублей , поэтому любые шесть монет дают	чётное	число рублей .
Л. Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу , называемую проблемой Эйлера : « Доказать , что каждое	чётное	число , начиная с 4 , можно представить в виде суммы двух простых чисел » .
В рассмотренной задаче требуется	чётное	число ( 20 ) представить в виде суммы нечётного числа ( 7 ) нечётных слагаемых ( 1 и 5 ) .
на	чётное	число палочек .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз	чётное	число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2 , в левой — на 3 и результаты сложить , а мне сообщить лишь , является сумма	чётной	или нет .
Использование идеи	чётности	позволяет решать разнообразные задачи , в условии которых ничего не говорится о чётности .
Использование идеи чётности позволяет решать разнообразные задачи , в условии которых ничего не говорится о	чётности	.
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить	чётную	сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Покажите , что	чётные	числа 18 , 20 , 48 , 96 можно записать в виде 2k , где k — некоторое натуральное число .
Например , числа 152 и 790 —	чётные	, а числа 111 и 293 — нечётные .
Если отметить	чётные	и нечётные узлы соответственно буквами « ч » и « n » , то получится рисунок , на котором нечётных узлов больше двух .
Если отметить	чётные	и нечётные узлы соответственно буквами « ч » и « н » , то получится рисунок .
Если же узел	чётный	, то в нём не обязательно начинать или заканчивать рисование линии — его можно пройти один или несколько раз , но если всё же в нём начать рисование линии , то в нём же нужно и закончить .
Докажите , что сумма двух нечётных чисел является	чётным	числом .
Какое число называют	чётным	?
Число , делящееся на 2 , называют	чётным	.
Докажите , что сумма двух чётных чисел является	чётным	числом .
Не выполняя сложения , определите , каким числом (	чётным	или нечётным ) является сумма .
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное число линий ( назовём их	чётными	узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Докажите , что сумма двух	чётных	чисел является чётным числом .
Докажите , что , кроме числа 2 , не существует других	чётных	простых чисел .
Назовите 6	чётных	чисел .
а ) двух	чётных	чисел .
Сфера и	шар	.
Назовите какой - нибудь предмет , имеющий форму	шара	.
Все точки шара удалены от его центра на расстояние , меньшее или равное радиусу	шара	.
Все точки	шара	удалены от его центра на расстояние , меньшее или равное радиусу шара .
Представление о	шаре	даёт арбуз .
Часть пространства , состоящую из всех точек сферы и всех точек , находящихся внутри сферы , называют	шаром	.
Постройте в тетради правильный	шестиугольник	и измерьте его углы .
С помощью циркуля и линейки можно построить правильный	шестиугольник	, у которого стороны равны и углы равны .
а ) Определите периметр	шестиугольника	.
Пчёлы строят свои соты в виде правильных	шестиугольников	.
Какими могут быть длина и	ширина	этого участка ?
Если длина ,	ширина	и высота прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина ,	ширина	и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если длина и	ширина	прямоугольника выражены натуральными числами а и b , то его площадь S вычисляется как произведение .
Вычислите объём классной комнаты в литрах , если её	ширина	6 м , длина 8 м , а высота 3 м .
Прямоугольный параллелепипед , у которого	ширина	равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
Вычислите длину прямоугольника , если его	ширина	равна .
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда , длина которого 45 см ,	ширина	30 см , а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Вычислите площадь и периметр прямоугольника , длина и	ширина	которого равны .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина ,	ширина	и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Выразите в арах площадь прямоугольного участка земли , длина и	ширина	которого .
в ) Для оклейки комнаты можно купить 8 кусков обоев	шириной	50 см или 7 кусков обоев шириной 60 см .
в ) Для оклейки комнаты можно купить 8 кусков обоев шириной 50 см или 7 кусков обоев	шириной	60 см .
Каковы должны быть размеры участка , чтобы он занимал наибольшую площадь , если ограда должна иметь калитку	шириной	1 м ? .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной ,	шириной	и высотой .
Измерьте длину и	ширину	тетради с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
его длину увеличить в 4 раза , а	ширину	и высоту уменьшить в 2 раза ? .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза ,	ширину	— в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
в ) увеличить его длину в 2 раза , а	ширину	— в 3 раза ? .
Другую сторону квадрата разделим на 3 равные части ; две из них составляют	ширину	прямоугольника .
а ) Как вычислить площадь прямоугольника , зная длину и	ширину	? .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а	ширину	— в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
б ) Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда , зная длину ,	ширину	и высоту ? .
его длину и	ширину	увеличить в 2 раза .
Одно ребро куба разделим на пять равных частей ; две из них составляют	ширину	параллелепипеда .