Логотип Rulex
При поддержке Института филологии и межкультурных коммуникаций
RU
EN
account_circle
Войти

С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников.

Математика. 5 класс.

Математика: Математика. 5 .класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкия]. - 14-е изд. - М.: Просвещение, 2015. - 272с.: ил. - (МГУ - школе). - ISВN 978-5-09-033036-7.

Левый контекст Термин Правый контекст
Автомат на кондитерской фабрике заворачивает 324 конфеты за 3 мин .
Автомат фасует масло в пачки по 1/5 кг .
Величина острого угла меньше 90 ° .
Величина .
Величина есть результат измерения , она определяется числом , выраженным в некоторых единицах .
Величина тупого угла больше 90 ° , но меньше 180 ° .
Вершина угла .
Вершина треугольника .
Вершина четырёхугольника .
Вершина многоугольника .
Вершина прямоугольного параллелепипеда .
Купили 3 коробки конфет по 400 г и 4 пачки печенья по 250 г. Вес чего можно найти следующим способом .
Выражение « цифры равны » употребляется для упрощения речи .
Вычитаемое .
Вычитание дробей .
Вычитание .
Вычитание смешанных дробей .
Вычитать большее число из меньшего нельзя , оставаясь среди неотрицательных чисел .
Вычтите произведение чисел 12 345 и 9 из числа 1 000 000 .
Вычтите сумму чисел 328 и 532 из числа 1000 . е )
Градус .
Градус обозначают знаком « ° » .
Грани пересекаются по отрезкам — рёбрам прямоугольного параллелепипеда .
Деление дробей .
Деление с остатком .
Деление нацело .
Деление с остатком .
Делимое .
Делитель .
Делится ли сумма .
Делится ли разность .
Делить на нуль нельзя .
Десятичная система , которой широко пользуются в настоящее время во всём мире , более совершенна .
Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа .
Десятичная система записи натуральных чисел .
Десятки .
Десятки тысяч .
Десятки миллиардов .
Десятки миллионов .
Диагональ многоугольника .
Диаметр .
Длина отрезка AD больше длины отрезка АС , т .
Длина других частей была вычислена на основе этих измерений .
Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Длина ломаной ABCDE больше расстояния АЕ между её концами .
Длина ломаной .
Длина отрезка AD равна сумме длин отрезков АС и CD .
Длина автобусного маршрута 24 км .
Длина верёвки 27 м .
Длина отрезка ОA равна 5 единичным отрезкам .
Длину отрезка AВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим , что два равных отрезка имеют равные длины .
Доказательство .
Дробная часть смешанной дроби .
Дробь означает две третьих части единицы .
Дробь называется правильной , если её числитель меньше знаменателя .
Дробь неправильная .
Дробь несократимая .
Дробь обратная данной .
Дробь обыкновенная .
Дробь правильная .
Дробь смешанная .
Дробь сократимая .
Дробь называют обратной для дроби .
Дробь означает половину , или одну вторую часть единицы ( миллиметра , килограмма , часа и т . п. ) .
Дробь с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи натурального числа р .
Дробь называется неправильной , если её числитель больше знаменателя или равен ему .
Дробь — означает одну третью часть единицы .
Дробь называют несократимой , если её числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей .
Дробь записывали так .
Единицу они обозначали знаком , десяток , сотню .
Единицы миллиардов .
Единицы времени .
Единицы миллионов .
Единицы .
Единицы тысяч .
Единицы площади .
Единицы объёма .
Единицы длины .
Единицы массы .
Знак называют знаком приближённого равенства и читают « приближённо равно » .
Знаменатель дроби .
Касательная .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
Квадрат числа .
Квадрат площадью 1 м2 разрезали на несколько равных квадратов площадью .
Квадрат разделён на равные части , площадь каждой из которых равна дм2 .
Координаты точек А и В , найдите координаты точек С и D .
Кратное .
Круг .
Круг состоит из точек , удалённых от данной точки на расстояние , меньшее или равное его радиусу .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Куб , сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных параллелепипедов ? .
Куб , ребро которого равно лилейной единице , называют единичным кубом .
Куб .
Куб числа .
Ломаная ABODE , она имеет четыре звена АВ , ВС , CD и DE .
Ломаная .
Ломаная ABCD .
Луч .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше угла ВОС .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше угла ВОС .
Луч обычно располагают горизонтально и направляют вправо .
Каждую из этих частей называют лучом с началом в точке A . Луч , так же как и прямую , обозначают двумя заглавными буквами .
Луч с началом в точке A можно обозначить и АВ , и АС .
Многозначные числа складывают и вычитают но разрядам , используя переместительный , сочетательный и распределительный законы .
Многоугольник называют выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от каждой прямой , содержащей его сторону .
Многоугольник ABCDE выпуклый , а многоугольник MNKLO нет .
Многоугольник .
Многоугольник , замкнутая ломаная линия , не являющаяся многоугольником .
Многоугольник называю правильным , если все его углы и все стороны равны .
Многоугольники .
Многоугольники ABCDE и KLMNO равны , так как они совмещаются при наложении .
Множитель .
Например , 12 делится на 4 , следовательно , НОД ( 12 , 4 ) 4 .
Чему равен НОД ( а , b ) ? .
Например , числа 56 и 45 взаимно простые : НОД ( 56 , 45 ) 1 .
В этой же книге указан способ ( алгоритм ) нахождения НОД двух натуральных чисел .
Найти НОД ( 56 , 45 ) .
В разложении чисел 180 и 336 подчёркнуты все их общие делители , поэтому НОД ( 180 , 336 ) 12 .
Наибольший общий делитель чисел а и b обозначают : НОД ( а , b ) .
Найдите НОД ( 12 321 , 111 ) .
Найти НОД ( 180 , 336 ) .
Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби , затем сократите дробь .
Даны разложения чисел а и b на простые множители , найдите НОД ( а , b ) и НОК ( а , 1 ) .
Найдите НОД ( а , b ) .
Ученик нашёл НОД ( 33 , 198 ) и получил 66 .
Придумайте пять пар таких чисел а и b , чтобы НОД ( а , b ) = 1 .
Напишите пять пар чисел а и b , чтобы НОК ( а , b ) = а .
Это число обозначают : НОК ( а , b ) .
48 не делится на 18 , 72 — делится на 18 , поэтому НОК ( 24 , 18 ) — 72 .
Ученица нашла НОК ( 33 , 198 ) и получила 99 .
Найдём НОК ( 18 , 24 ) .
Чему равно НОК ( а , b ) ? .
Например , 120 делится нацело на 24 , следовательно , НОК ( 120 , 24)= 120 .
Разложим числа 24 и 18 на простые множители : НОК ( 24 , 18 ) должно делиться и на 24 , и на 18 .
Даны разложения чисел а и b на простые множители , найдите НОД ( а , b ) и НОК ( а , 1 ) .
Так как НОК ( 36 , 54 ) — 108 , то наименьший общий знаменатель равен 108 , поэтому .
Наибольший общий делители взаимно простых чисел равен 1 .
Наибольший общий делитель чисел а и b обозначают : НОД ( а , b ) .
Наибольший общий делитель .
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 54 является число 6 .
Найдите разность чисел 46 и 22 .
Найдите высоту прямоугольника .
Найдите большую сторону прямоугольника .
Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности , т .
Найдите стороны прямоугольника .
Сторона квадрата равна 13 см. Найдите его периметр .
Найдите в учебнике , справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
Найдите длину стороны квадрата .
Найдите среднее арифметическое чисел .
Найдите число х , для которого равенство верно .
Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда .
Найдите все несократимые дроби со знаменателем 60 , большие , но меньшие .
Найдите все делители числа а .
Найдите эти числа .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
Найдите все дроби со знаменателем 10 , которые больше , но меньше .
Найдите периметр прямоугольника со сторонами : а ) 12 см и 9 см ; б ) 93 см и 2 см ; в ) 11 см и 47 мм ; г ) 17 см и 3 дм .
Найдите периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 37 см , а другая : а ) на 6 см больше ; б ) на 8 см меньше .
Найдите его .
Найдите периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 26 см , а другая : а ) в 3 раза больше ; б ) в 2 раза меньше .
Найдите все дроби со знаменателем 13 , которые больше , но меньше .
Найдите трёхзначное число .
Найдите задуманное число .
Периметр прямоугольника равен 56 см , одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую сторону .
Найдите целое число , равное дроби .
Найдите двузначное число .
Найдите частное чисел .
Найдите неизвестное число , обозначенное буквой х .
Найдите равные четырёхугольники .
Найдите сумму этих чисел .
а ) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба , т .
б ) Найдите сторону квадрата , площадь которого равна площади данного прямоугольника .
Найдите DOC .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см. Найдите длину отрезка ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
На прямой даны точки А , В и С , причём AB 6 см , АС 13 см. Найдите длину отрезка ВС , если .
Найдите длину отрезка А В .
Найдите а .
Известно , что . Найдите b .
Найдите длину отрезка АВ .
Найдите длину отрезка AB .
Найдите дробь с числителем 7 , равную дроби .
Найдите скорость течения .
Найдите скорость аэроплана .
Найдите частное и проверьте ответ умножением .
а ) Найдите дробь со знаменателем 18 , равную дроби .
Найдите параллельные прямые .
Найдите несколько чисел , кратных 10 , и несколько чисел , кратных 15 .
Найдите несколько общих кратных чисел 10 и 15 .
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел , не выполняя разложения чисел на простые множители .
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел .
Найдите один из возможных маршрутов .
Найдите число .
Найдите несколько таких чисел .
Найдите число , — которого равны 60
Найдите все числа вида , кратные 36 .
AB 12 см . а ) Найдите длины отрезков АС и СВ .
Найдите число , которого равны 99 .
Найдите число х , для которого верно равенство .
Найдите делимое .
Найдите частное .
Найдите все несократимые дроби с числителем 60 , бóльшие но меньшие .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача ? .
Найдите несократимую дробь , равную дроби .
На луче AM отложили отрезки AB и АС , АС 89 см. Найдите длину отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
Найдите ABC и ВОС .
Найдите количество .
Найдите координаты точек , делящих отрезок АВ на три равные части .
Найдите координату точки В по координатам точки А и точки С — середины отрезка АВ .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Найдите координату середины отрезка , соединяющего точки .
Найдите длину отрезков АВ , ВС , АС .
Найдите правила , по которым ребята заполнили клетки , и придумайте ещё одно решение .
Найдите целую часть дроби .
Найдите другие решения для 0 и 1 .
Найдите объём комнаты .
Найдите все делители чисел 45 и 60 .
Найдите первоначальную сумму денег .
Найдите высоту комнаты .
Укажите координаты точек А , В , С , D и Е. Найдите расстояние от этих точек до нулевой точки .
Найдите все общие делители чисел 45 и 60 .
Найдите : Число 12 321 делится на 111 .
Найдите площадь пола .
Найдите скорость течения реки , если известно , что расстояние между мостами 1 км .
Найдите НОД ( 12 321 , 111 ) .
Найдите в справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы .
Найдите сумму .
Найдите уменьшаемое и вычитаемое .
Найдите .
Найдите НОД ( а , b ) .
Найдите периметр треугольника .
7 Найдите в учебнике , справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы .
Найдите слагаемые .
Найдём НОК ( 18 , 24 ) .
Найдём длину отрезка , соединяющего точки а и b , и координату середины этого отрезка .
Найдём .
Найти НОД ( 180 , 336 ) .
Найти НОД ( 56 , 45 ) .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
Натуральные числа можно сравнивать по их десятичной записи .
Натуральные числа , записанные одной цифрой , называют однозначными , а записанные несколькими цифрами — многозначными : двумя — двузначными , тремя — трёхзначными и т .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Натуральные числа можно сравнивать по их десятичной записи .
Натуральные числа , записанные одной цифрой , называют однозначными , а записанные несколькими цифрами — многозначными : двумя — двузначными , тремя — трёхзначными и т .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
Необходимо покрыть кафельной плиткой пол , имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется , если в каждом ящике 50 плиток ?
Нуль не считают натуральным числом .
Глава 4 Обыкновенные дроби .
Окружность с центром О , касательная АВ и радиус окружности ОС .
Окружность .
Окружность и круг .
Основание степени .
Остаток меньше делителя .
Остаток .
Отрезок АН разделён на 6 равных частей .
Отрезок , соединяющий центр сферы с любой её точкой , называют радиусом сферы .
Отрезок с концами в точках А и B обозначают AВ или ВА .
Отрезок .
Отрезок , соединяющий центр окружности с любой её точкой , называют радиусом .
а ) Отрезок длиной 1 м разделили на несколько равных частей длиной 1/10 м .
Отрезок АН , разделённый на 7 равных частей .
Отрезок , соединяющий две любые точки окружности , называют хордой .
Отрезок , соединяющий две несоседние вершины многоугольника , называют диагональю многоугольника .
Отрезок , длина которого принята за единицу измерения , называют единичным отрезком .
Периметр треугольника .
Периметр равнобедренного треугольника AВС равен 30 см , а одна из сторон на 3 см больше другой .
Периметр четырехугольника .
Периметр прямоугольника равен 56 см , одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую сторону .
Периметр прямоугольника равен 54 см , основание на 5 см больше высоты .
Периметр прямоугольника 36 дм , основание на 6 см больше высоты .
а ) Периметр прямоугольника равен 48 см , основание на 4 см больше высоты .
Периметр квадрата равен : а ) 16 см ; б ) 14 см ; в ) 13 см ; г ) 17 см .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
Периметр многоугольника .
Периметр равностороннего треугольника равен 27 см. Вычислите сторону этого треугольника .
Периметры треугольников BCD , BDE и ABE равны соответственно 20 см , 21 см и 22 см , а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см. Определите длины диагоналей BD и BE , если известно , что они равны .
Плоскость можно выложить также равными прямоугольниками .
Площадь пола комнаты 16м2 , высота комнаты 2 м .
Площадь пола комнаты 24 м2 , высота комнаты 3 м .
Площадь S основания прямоугольного параллелепипеда равна .
Площадь прямоугольника .
Площадь прямоугольника 91 см2 , а его высота 7 см. Определите основание прямоугольника .
Площадь прямоугольника равна 4 дм2 .
Поверхность стола или поверхность воды в пруду ( в безветренную погоду ) может служить примером части плоскости .
Показатель степени .
Поле площадью 5 га разделили на 8 равных участков прямоугольной формы .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Прав ли Петя ? .
Правильная дробь меньше 1 , а неправильная дробь больше или равна 1 .
Правильная дробь меньше 1 , а неправильная дробь больше или равна 1 .
Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 28 , 22 , 81 и 100 .
Прибавьте к числу .
Прибавьте к уменьшаемому и вычитаемому по 1 ; по 2 ; по 3 и в каждом случае найдите разность .
Приведите примеры .
Приведите как можно больше таких примеров .
Приведите пример деления с остатком , назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
Приведите другие примеры .
Приведите пример .
Приведите примеры взаимно простых чисел .
Приведите дробь к знаменателю 10 , или 100 , или 1000 .
Приведите дроби к общему знаменателю .
Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю .
Приведите дроби к общему знаменателю , равному произведению знаменателей дробей .
п. Приведите контрпример , показывающий , что Вася не прав . б ) Как исправить утверждение Васи , чтобы оно стало верным ? .
Приведите несколько примеров .
Приведите пример смешанной дроби , укажите её целую и дробную части .
Произведение одинаковых чисел также записывают короче . и называют степенью .
Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024 .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Произведение .
Произведение взаимно обратных чисел равно 1 .
Простым числом называют такое натуральное число , которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
Простых чисел бесконечно много , есть первое число 2 , но нет последнего простого числа .
Прямая MN перпендикулярна прямой AС . .
Прямая .
Прямая не имеет ни начала , ни конца — она бесконечна .
Прямоугольник , у которого все стороны равны , называют квадратом .
Прямоугольник 4 x 9 разрежьте на две части так , чтобы из них можно было сложить квадрат .
Прямоугольник ABCD .
Прямоугольник с основанием а 3 см и высотой b 5 см. Его можно разрезать на 5 слоёв по 3 квадрата в каждом слое , т .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
Прямоугольник .
Прямоугольник состоит из таких частей , поэтому его площадь равна .
Прямоугольный параллелепипед .
Прямоугольный параллелепипед , у которого все рёбра равны , называют кубом .
Прямоугольный параллелепипед состоит из таких частей .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
Формула верна и при дробных а , b и с. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами а дм , b дм и с дм .
Прямоугольный параллелепипед .
Прямоугольный параллелепипед состоит из таких частей .
Формула верна и при дробных а , b и с. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами а дм , b дм и с дм .
Прямоугольный параллелепипед , у которого все рёбра равны , называют кубом .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
Прямые параллельные .
Путь , скорость , время .
Равенство верно , так как сумма разности и вычитаемого равна уменьшаемому .
Равенство дробей .
Равенство можно записать и в обратном порядке .
Радиус окружности .
Разделим путь , который проехал велосипедист , на его скорость : 3 ( ч ) — время движения велосипедиста .
Разделим путь , пройденный пешеходом , на время движения : 4 ( км / ч ) — скорость пешехода .
Разделите полтину на половину .
Разделите с остатком числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби .
Разложение на простые множители .
Разложите на простые множители число .
Разложить данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней .
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Разность .
в ) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9 . г ) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
Разность чисел а и b обозначают а — b .
Разностью чисел а и b называют такое число , которое при сложении с числом b даёт число а .
Разностью двух дробей называют дробь , которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
а ) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба , т .
Решение этой задачи коротко записывают .
Решение текстовых задач с помощью умножения и деления .
Решение . 450 ( р . ) — покупатель истратил на вторую покупку ; 600 ( р . ) — всего истратил покупатель .
Решение .
Решение . 1 ) Сколько рублей стоил купленный товар ? .
Решение . 2 ( кор . ) — стоят 720 р .
Решение . 1 ) 6 ( км / ч ) — удвоенная скорость течения .
Решение . 1 ) 18 ( км / ч ) — скорость катера по течению реки .
Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания .
Решения таких задач можно оформить с помощью вопросов и ответов на них .
Решения таких задач можно оформить с помощью вопросов и ответов на них , а можно использовать более короткую запись — после действия пояснять , что найдено этим действием .
Ромб .
Ряд натуральных чисел .
Система счисления десятичная .
Система счисления двоичная .
Скобки , в которые заключено одно действие умножения или деления , принято для краткости опускать .
Следы этой системы сохранились сейчас в единицах измерения времени : 1 ч — 60 мин , 1 мин — 60 с .
Сложение .
Сложение и вычитание чисел столбиком .
Сложение смешанных дробей выполняют с помощью законов сложения .
Сложение смешанных дробей .
Сложение дробей .
Сложите дроби , полученную дробь сократите .
Сложите величины .
Сложите числа .
Сложите дроби , предварительно сократив их .
Сложите дроби .
Собственная скорость теплохода 27 км / ч , скорость течения реки 3 км / ч .
Сократите дробь .
Сократите дроби по образцу .
Среднее арифметическое .
Среднее арифметическое пяти чисел равно 2 .
а ) Среднее арифметическое двух чисел равно 5 .
Среднее арифметическое .
Среднее арифметическое пяти чисел равно 2 .
а ) Среднее арифметическое двух чисел равно 5 .
Средний возраст оставшихся игроков оказался равным 20 года .
Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды 21 год .
Степень числа .
Степень с натуральным показателем .
Сторона квадрата равна 13 см. Найдите его периметр .
а ) Сторона равностороннего треугольника равна 7 см. Вычислите периметр этого треугольника .
Сторону квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр квадрата ? .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
Стороны треугольника .
Стороны угла .
Стороны прямоугольника равны 4 см и см. Его площадь равна .
Сумма возрастов первого и четвёртого сына равна 9 годам , первого и шестого — 8 годам , второго и пятого — 8 годам , второго и третьего — 9 годам , третьего и шестого — 6 годам , четвёртого и седьмого — 4 годам , а седьмого и пятого — также 4 годам .
а ) Сумма двух чисел 230 .
Сумма показывает , на сколько километров в час удаляются пешеходы друг от друга , эту величину называют скоростью удаления .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Сумма двух чисел 350 .
Сумма двух чисел 432 , первое больше второго на 18 .
Сумма двух чисел 537 , первое меньше второго на 131 .
а ) Сумма двух чисел равна 96 , а разность равна 18 .
Сумма двух чисел равна 87 , а разность равна 19 .
Сумма двух чисел равна 500 , а разность равна 6 .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Сумма .
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
Сумму длин сторон многоугольника называют его периметром .
Сумму длин сторон четырёхугольника называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом .
Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром .
Сумму длин всех звеньев ломаной называют длиной ломаной .
Сфера и шар .
Сфера .
Таблицу умножения однозначных чисел надо помнить наизусть .
Точка A , лежащая на прямой , делит её на две части .
Точка касания .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Точки А и В называют его концами .
Точки А , В , С и D называют вершинами прямоугольника , а отрезки AВ , ВС , CD и АD — его сторонами .
Точки обозначают заглавными ( большими ) латинскими буквами , например A , B , C .
Точки А , В и С называют вершинами треугольника .
Точки , в которых пересекаются рёбра , называют вершинами прямоугольного параллелепипеда .
Точки пересечения окружностей обозначьте буквами М и N. Постройте отрезки AM , AN , ВМ , BN .
Точку , изображающую на координатном луче дробь , называют точкой с координатой или , коротко , точкой .
Точку О называют центром окружности .
Точку В называют вершиной угла , лучи ВА и ВС — его сторонами .
Третье ребро разделим на три равные части ; две из них составляют высоту параллелепипеда .
Третью степень числа называют кубом числа .
Треугольник со сторонами 1 см , 2 см и 3 см тоже построить нельзя .
Треугольник тупоугольный .
Треугольник равносторонний .
Треугольник равнобедренный .
Треугольник с вершинами А , В и С обозначают так : АВС , читают : « треугольник AВС » .
Треугольник остроугольный .
Треугольник .
Треугольник прямоугольный .
Треугольники .
Говорят : « Угол ABD равен углу DВС » .
Угол , больший прямого , но меньший развёрнутого , называют тупым .
Угол .
Угол прямой .
Угол острый .
Угол развёрнутый .
Угол тупой .
Угол АВС обозначают так : ABC .
Угол , меньший прямого , называют острым .
Уменьшаемое .
Умножение чисел столбиком .
Умножение дробей .
Умножение .
Умножение и деление смешанных дробей .
В старину на Руси творили : « Умноженье — моё мученье , а деление — беда » .
Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8 .
Умножим скорость поезда на время движения : 260 ( км ) — путь поезда .
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
Фигуру следует раскрасить « в шахматном порядке » , отсоединить закрашенные области друг от друга так , чтобы каждая из них имела не больше одной общей точки с какой - либо другой закрашенной областью .
Фигуру , образованную такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев ломаной , называют многоугольником .
Фигуры домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх квадратов так , чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом .
Фигуры пентамино можно получить из фигур тетрамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
Фигуры гексамино можно получить из фигур пентамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино , приставляя к ней различными способами ещё один квадрат .
Хорда .
Хорду , проходящую через центр окружности , называют диаметром .
Целая часть смешанной дроби .
Целую часть писали над дробью .
Центр окружности .
Четырехугольник .
Четырёхугольник , все стороны которого равны , называют ромбом .
Четырёхугольник ABCD , изображена фигура , не являющаяся четырёхугольником , в дальнейшем такие фигуры рассматриваться не будут .
Четырёхугольник , у которого все углы прямые , называют прямоугольником .
Четырёхугольники ABCD и KLMN равны , так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по прямой m .
Четырёхугольники .
Числа взаимно обратные .
Числа 3 и 4 называют множителями .
Числа иногда удобно обозначать буквами латинского алфавита ( см. форзац ) .
Числа можно сравнивать при помощи натурального ряда .
Числа простые .
Числа от 1 до 9 записывали так .
Числа взаимно простые .
Числа от 1 до 21 обозначают так .
Числа удобно представлять точками прямой .
Числа , не имеющие общих простых делителей , называют взаимно простыми числами .
Числа рациональные .
Числа разделите : а ) на 3 ; б ) на 1/3 .
Числа составные .
Числа 5 и 3 называют слагаемыми .
Числа , которые используют при подсчёте предметов , называют натуральными числами .
Числа 20 , 30 , 40 , 50 разделите : а ) на 4 ; б ) на 1/4 .
Числитель дроби .
Число 3 показывает , сколько раз нужно взять множителем основание степени — число 2 .
а ) Число уменьшили на этого числа , получилось 210 .
Число трёх- и пятирублёвых монет составляет 2/9 числа рублёвых монет .
Число « три » они называли « два и один » , число « четыре » — « два и два » , число « пять » — « два , два и один » , число « шесть » — « два , два и два » .
Число мальчиков составляет 3/8 числа девочек .
Число 345 записывалось так .
Число называется средним арифметическим чисел а и b .
а ) Число 2 умножили на некоторую правильную дробь .
Найдите : Число 12 321 делится на 111 .
Число нуль также целое , но не положительное .
Число 2 простое — обведём его кружком , а все числа , кратные ему ( они стоят во втором , четвёртом и шестом столбцах ) , вычеркнем .
Число , которое можно записать в виде где р и q — натуральные числа , называют рациональным числом .
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
Число 54 имеет делители 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 , 27 , 54 .
Число 12 имеет делители 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 .
а ) Число а имеет простые делители .
Число 50 увеличили в 3 раза , полученное число увеличили на 100 .
Число 14 не делится нацело на 3 , так как нет натурального числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
Число 375 не делится на 9 , так как сумма его цифр не делится на 9 .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Число , не делящееся на 2 , называют нечётным .
Число , делящееся на 2 , называют чётным .
Число , большее нуля , называют положительным .
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
Число 52 не делится на 5 , потому что сумма числа 50 , делящегося на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
Число 2305 оканчивается цифрой 5 , оно делится на 5 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 5 ( по свойству 3 ) .
Число тысяч — 14 — меньше 36 .
Число 4561 не делится на 10 , потому что сумма числа 4560 , делящегося на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
Число 123 454 321 делится на 11 111 .
а ) Число 12 сначала увеличили в 2 раза , полученный результат увеличили ещё в 3 раза .
Число 4 можно записать в виде суммы , разности , произведения , частного , степени или другими способами .
Число 200 увеличили на 1/10 этого числа , полученный результат уменьшили .
Число а называют уменьшаемым , число b — вычитаемым .
Число , делящееся на 12 , называют кратным числу 12 .
Число 136 оканчивается цифрой 6 , оно делится на 2 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 2 ( по свойству 3 ) .
Число и его половина составляют 9 .
Числу 12 кратны числа 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 и т .
Шар .
Эти умения будут использоваться не только в 5–6 классах , но и при изучении алгебры , физики и других школьных предметов в старших классах .
Здесь не сказано , сколько палочек разламывали на части каждый раз и на сколько именно частей , поэтому перебор всех возможных вариантов довольно сложен .
При измерении площадей чаще всего используют приближённые значения величин .
Чему равна сумма величин углов 1 и 3 ?
Глава 2 Измерение величин .
Чему равна сумма величин углов 3 и 2 ?
Чему равна сумма величин смежных углов ? .
Решая геометрические задачи , вы будете встречать знакомые предметы окружающего вас мира , познакомитесь с различными единицами измерения величин , с формулами , знание которых поможет вам не только успешно учиться , но и решать практические задачи .
Одна и та же величина в разных единицах выражается разными числами .
д. , называют величинами .
С помощью транспортира постройте угол величиной 100 ° .
Измерьте длину отрезка LN и величину угла L .
Теперь рассмотрим задачи , для решения которых некоторую величину надо принять за одну или несколько равных частей .
Определите на глаз величину угла .
Сумма показывает , на сколько километров в час удаляются пешеходы друг от друга , эту величину называют скоростью удаления .
а ) Какую величину на Руси измеряли вёдрами ? .
Постройте развёртку спичечного коробка на альбомном листе в натуральную величину .
Рассмотрим задачу , в которой явно упоминаются части ( равные ) некоторой величины .
Данные величины запишите с точностью до 1 кг : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Однако известно , при этом величины 5 см и 6 см отличаются от AB не более чем на 1 см. Их называют приближениями или приближёнными значениями длины AB с точностью до 1 см .
Сложите величины .
Данные величины запишите с точностью до 1 дм с недостатком ; с избытком ; с округлением по образцу .
Определите величины этих углов , если один из них : а ) в 5 раз больше другого ; б ) на 40″ больше другого .
Для обозначения величины пишут число , а рядом — название единицы .
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней , рёбер и вершин ? .
У прямоугольного параллелепипеда шесть граней , двенадцать рёбер и восемь вершин .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
Что называют углом , вершиной угла , сторонами угла ? .
Точку В называют вершиной угла , лучи ВА и ВС — его сторонами .
Назовите все лучи с вершиной в точках А , В и С. Сколько лучей получилось ? .
За сколько дней она поднимется на вершину столба высотой 8 м ? .
Иногда для краткости угол обозначают одной буквой , обозначающей вершину угла .
Из вершины угла проведите луч так , чтобы один из образовавшихся углов был : а ) в 4 раза больше другого ; б ) на 20 ° больше другого .
Назовите его грани , рёбра и вершины .
Обозначьте его вершины буквами .
Назовите все его стороны и вершины .
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его вершины , от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Дана окружность , постройте равносторонний треугольник , вершины которого лежат на этой окружности .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
Отрезок , соединяющий две несоседние вершины многоугольника , называют диагональю многоугольника .
Там же хранится изготовленная из специального сплава гиря , вес которой принят за основную единицу веса — килограмм .
Если 1 кг сахара рассыпать поровну в четыре пакета , то каждый из них будет иметь вес , равный четверти килограмма .
Из пакета с картофелем , вес которого 3 кг , отсыпали 1 кг .
Напомним , что в повседневной жизни слово « масса » заменяют словом « вес » .
В том же 1792 году Парижская академия наук предложила в качестве единой меры веса использовать вес одного кубического дециметра воды при температуре 4 ° С — килограмм .
В повседневной жизни слово « масса » заменяют словом « вес » .
Например , говорят : « вес яблока 100 граммов » вместо « масса яблока 100 граммов » .
Поэтому в задачах мы будем чаще писать « вес » вместо « масса » .
Определите вес каждого металла в отдельности .
Если буханку хлеба весом 1 кг разрезать на три равные по весу части — каждая по трети килограмма 1/3 кг , то две такие части будут иметь вес , равный двум третьим килограмма .
Яблоки составляют 7 частей , груши — 4 части , а сливы — 5 частей веса сухофруктов .
Яблоки составляют 4 части , груши — 3 части , а сливы — 2 части общего веса сухофруктов .
В том же 1792 году Парижская академия наук предложила в качестве единой меры веса использовать вес одного кубического дециметра воды при температуре 4 ° С — килограмм .
Основу системы мер веса и денег в Древнем Вавилоне составлял 1 талант ; его делили на 60 мин , а мину — на 60 шекелей .
Там же хранится изготовленная из специального сплава гиря , вес которой принят за основную единицу веса — килограмм .
Корона весит 60 мин ( греческая мера веса и денег ) и состоит из сплава золота , меди , олова и железа .
Золото и медь составляют , золото и олово , золото и железо общего веса .
Когда контролёры проверили его весы , то оказалось , что при весе 800 г они показывали ровно 1 кг .
Как с помощью чашечных весов без гирь определить фальшивую монету : а ) за одно взвешивание , если монет 3 ; б ) за два взвешивания , если монет 9 ; в ) за три взвешивания , если монет 27 ? .
Эти старинные названия мер длины , а также и старинные названия мер весов встречаются во многих пословицах , поговорках и образных выражениях : ни пяди земли ; мерить на свой аршин ; косая сажень в плечах ; съесть пуд соли ; фунт лиха ; мал золотник , да дорог ; ты от дела на пяденьку , а оно от тебя на саженьку .
В городе Севре ( Франция ) в Международном бюро мер и весов в специальном помещении , где поддерживается температура 0 ° С , на специальных подставках лежит стержень .
В XVI – XVII веках на Руси установилась система мер длин и весов ( см. форзац ) , которой пользовались до 1918 года , когда была введена метрическая система мер .
а ) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержит кусок сплава весом 350 г ? .
Если буханку хлеба весом 1 кг разрезать на три равные по весу части — каждая по трети килограмма 1/3 кг , то две такие части будут иметь вес , равный двум третьим килограмма .
Если буханку хлеба весом 1 кг разрезать на три равные по весу части — каждая по трети килограмма 1/3 кг , то две такие части будут иметь вес , равный двум третьим килограмма .
Когда контролёры проверили его весы , то оказалось , что при весе 800 г они показывали ровно 1 кг .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень .
До начала вращения шестерёнок соприкасающиеся зубцы пометили мелом .
Например , время движения поезда сравнивают с временем движения стрелки часов , которое , в свою очередь , сравнивают с временем вращения Земли вокруг своей оси .
Задайте формулой зависимость d от n . а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника от числа его сторон ( n ) .
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его вершины , от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Упростите числовое выражение .
Используя четыре цифры 3 , знаки арифметических действий и скобки , составьте числовое выражение , равное .
Дано выражение .
Составьте выражение для вычисления периметра прямоугольника со сторонами .
Используя четыре цифры 8 , знаки арифметических действий и скобки , составьте числовое выражение , равное .
Например , выражение не имеет смысла .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
Укажите порядок действий и упростите числовое выражение .
Решите задачу , составив числовое выражение .
Числовое выражение .
Для решения той же задачи можно составить числовое выражение , вынести общий множитель 3 за скобки .
Докажите , что выражение делится на 49 .
Что называют числовым выражением ? .
Запись , в которой используются только числа , знаки арифметических действий и скобки , называют числовым выражением .
Заметим , что последнее по порядку действие в числовом выражении определяет название числового выражения .
Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление , то эти действия выполняют но порядку слева направо .
2 ) Если в числовом выражении есть скобки , то сначала выполняют все действия в скобках , а потом за скобками .
Если в числовом выражении есть степень с натуральным показателем , то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Используя три цифры 5 , знаки арифметических действий и скобки , составьте несколько выражений , имеющих различные значения .
При вычислении значений числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
Для правильного упрощения числовых выражений мало знать правила выполнения отдельных действий .
Укажите , какое из следующих выражений определяет число деталей , изготовляемых : а ) первым рабочим за 4 ч ; б ) вторым рабочим за 4 ч ; в ) двумя рабочими за 1 ч ; г ) двумя рабочими за 4 ч .
Этим часто пользуются для упрощения выражений .
Про какие числовые выражения говорят , что они не имеют смысла ? .
Запишите в двоичной системе нумерации числовые выражения .
Про числовые выражения , которые содержат деление на нуль , говорят , что они не имеют смысла .
По каким правилам упрощают числовые выражения , записанные без скобок ? .
Что можно узнать , вычислив значение числового выражения .
б ) Какое натуральное число а можно взять , чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13 ?
Например , найдём значение числового выражения .
а ) Каким натуральным числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
а ) Каким числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
б ) Какое число а можно взять , чтобы значение данного выражения было равно нулю ? .
Числовые выражения могут быть сложными .
Заметим , что последнее по порядку действие в числовом выражении определяет название числового выражения .
постепенное выполнение действий и приведение числового выражения к наиболее простой форме — числу , нередко требует серьёзных усилий .
Числовые выражения .
Например , укажем порядок действий в двух выражениях .
Эти старинные названия мер длины , а также и старинные названия мер весов встречаются во многих пословицах , поговорках и образных выражениях : ни пяди земли ; мерить на свой аршин ; косая сажень в плечах ; съесть пуд соли ; фунт лиха ; мал золотник , да дорог ; ты от дела на пяденьку , а оно от тебя на саженьку .
В числовых выражениях принято опускать скобки , но подразумевать их .
Особого внимания требует порядок выполнения действий в числовых выражениях , в которых имеются ( или подразумеваются ) скобки .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Площадь пола комнаты 16м2 , высота комнаты 2 м .
Площадь прямоугольника 91 см2 , а его высота 7 см. Определите основание прямоугольника .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Объём комнаты 48 м3 , а высота 3 м .
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда , длина которого 45 см , ширина 30 см , а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Площадь пола комнаты 24 м2 , высота комнаты 3 м .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Вычислите объём классной комнаты в литрах , если её ширина 6 м , длина 8 м , а высота 3 м .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Если длина , ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Две другие стороны называют высотами , они тоже равны и параллельны .
Аэроплан шёл на высоте 250 м и преодолел всё расстояние за 3 ч 30 мин .
Прямоугольник с основанием а 3 см и высотой b 5 см. Его можно разрезать на 5 слоёв по 3 квадрата в каждом слое , т .
За сколько дней она поднимется на вершину столба высотой 8 м ? .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
Найдите высоту прямоугольника .
его длину увеличить в 4 раза , а ширину и высоту уменьшить в 2 раза ? .
Третье ребро разделим на три равные части ; две из них составляют высоту параллелепипеда .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .
Найдите высоту комнаты .
б ) Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда , зная длину , ширину и высоту ? .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Периметр прямоугольника 36 дм , основание на 6 см больше высоты .
Периметр прямоугольника равен 54 см , основание на 5 см больше высоты .
а ) Периметр прямоугольника равен 48 см , основание на 4 см больше высоты .
На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил загадкой : « Если сложить день и номер месяца моего рождения , то получится 20 ; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения , то получится 14 ; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900 , то получится год моего рождения » .
В дальнейшем будут введены новые числа — отрицательные , с помощью которых можно будет из меньшего числа вычесть большее .
Изучаемые нами дроби не позволяют из меньшей дроби вычесть большую .
Говорят : из 2 вычесть 9 нельзя , занимаем 1 десяток , из 12 вычтем 9 — получим 3 ( единицы ) , пишем 3 , из 6 вычтем 0 — получим 6 ( десятков ) , пишем 6 .
Найдите уменьшаемое и вычитаемое .
в ) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3 , то и разность делится на 3 ? .
В равенстве назовите уменьшаемое , вычитаемое , разность .
Число а называют уменьшаемым , число b — вычитаемым .
Разностью двух дробей называют дробь , которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое .
На доске были записаны верно выполненные примеры на сложение и вычитание , потом некоторые цифры стёрли и заменили их буквами .
Сложение и вычитание чисел столбиком .
Вот несколько примеров на сложение , вычитание и умножение в двоичной системе .
Обычно сложение и вычитание выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда единиц .
Выполните вычитание .
Выполните вычитание и проверьте сложением .
Объясните на примере , как выполняют сложение и вычитание столбиком .
Выполните вычитание по образцу .
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить вычитание .
Перепишите в тетрадь и выполните вычитание .
Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными , то вычитание выполняют так же , как и выше .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление , то эти действия выполняют но порядку слева направо .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
Если при вычитании в каком - либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого , то нужно « занять » одну единицу в следующем ( справа налево ) разряде уменьшаемого .
Какие законы используют при сложении и вычитании столбиком ? .
При сложении и вычитании однозначных чисел удобно пользоваться таблицей сложения .
Тот , кто умел быстро и безошибочно делить , считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению , вычитанию и таблице умножения .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
К выбору действия сложения или вычитания для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « на 10 больше » не всегда требуют сложения .
Результаты сложения и вычитания однозначных чисел надо помнить наизусть .
В других случаях правило вычитания не применяется .
Для вычитания и деления переместительный закон не выполняется , поэтому промежуточный результат надо запомнить ( записать ) .
С помощью сложения и вычитания решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного на несколько единиц , ответить на вопросы « на сколько больше ? » , « на сколько меньше ? » , « сколько всего ? » , « сколько осталось ? » и т .
Как проверить результат вычитания двух дробей ? .
Рассмотрим примеры вычитания меньшего числа из большего .
Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания .
Дроби с разными знаменателями можно вычитать по формуле .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
а ) Как вычитают дроби с общим знаменателем ? .
Как вычитают дроби с разными знаменателями ? .
Многозначные числа складывают и вычитают но разрядам , используя переместительный , сочетательный и распределительный законы .
Как вычитают смешанные дроби ? .
Например , вычтем из дроби дробь .
Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа , зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр .
в ) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9 . г ) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
Для более точного измерения углов используют доли градуса : минуты « ' » и секунды « ″ » .
г ) Какую часть градуса составляет одна минута ? .
Углы измеряют в градусах .
Для измерения углов в градусах пользуются транспортиром .
Его половина прямой угол — содержит 90 градусов .
Считается , что развёрнутый угол содержит 180 градусов .
Сколько градусов содержит развёрнутый угол , прямой угол ? .
Вычислите площадь всех граней и объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого равны .
сумму площадей боковых граней .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
У прямоугольного параллелепипеда шесть граней , двенадцать рёбер и восемь вершин .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося куба .
Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней , рёбер и вершин ? .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда .
Вычислите площадь всех граней и объём куба с ребром .
Какое число изображено на : а ) нижней грани ; б ) боковой грани слева ; в ) боковой грани сзади ? .
Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см. У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань ; только две грани ; три грани ? .
Какое число изображено на : а ) нижней грани ; б ) боковой грани слева ; в ) боковой грани сзади ? .
Какое число изображено на : а ) нижней грани ; б ) боковой грани слева ; в ) боковой грани сзади ? .
Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см. У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань ; только две грани ; три грани ? .
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
Назовите его грани , рёбра и вершины .
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
Каждая грань — прямоугольник .
Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см. У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань ; только две грани ; три грани ? .
Снизу , сверху и с боков он ограничен гранями .
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
На гранях куба написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи .
Какие числа изображены на нижних гранях кубиков ? .
На гранях куба написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи .
Эти группы называют классами .
Чтобы прочитать многозначное число , цифры в его записи разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
Система счисления двоичная .
В электронно - вычислительных машинах используется двоичная система счисления , в которой всего две цифры : 0 и 1 .
Запишите в двоичной системе нумерации числовые выражения .
Проверьте , что в двоичной системе нумерации справедливы равенства .
Вот несколько примеров на сложение , вычитание и умножение в двоичной системе .
Таблицы сложения и умножения для однозначных чисел в двоичной системе счисления очень просты .
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно .
Выполните деление по образцу .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Про числовые выражения , которые содержат деление на нуль , говорят , что они не имеют смысла .
Умножение и деление смешанных дробей .
Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление , то эти действия выполняют но порядку слева направо .
помощью распределительного закона можно коротко выполнить деление смешанной дроби на натуральное число .
Объясните , как выполнено деление .
В старину на Руси творили : « Умноженье — моё мученье , а деление — беда » .
Такое деление записывают обычно короче — уголком .
Для однозначных и двузначных чисел деление , как правило , производится в уме , а для многозначных — уголком .
Выполните деление с остатком .
Выполните деление .
На доске написано несколько примеров на деление с остатком .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Выполните деление правильно .
Ученик выполнил деление : 8 ( ост .
Выполните деление с остатком .
На доске написано несколько примеров на деление с остатком .
После того как найдена « середина » в ряду делителей , остальные делители найдём делением .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
В первый класс включим все числа , имеющие остаток 0 при делении на 2 .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Во второй класс включим все числа , имеющие при делении на 2 остаток 1 .
Что получается при делении нуля на любое натуральное число ?
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
Какой наименьший остаток может получиться при делении натуральных чисел ? .
Чему равен остаток при делении нацело ? .
При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно .
Какое наименьшее число при делении и на 3 , и на 5 , и на 7 даёт в остатке : а ) 0 ; б ) 1 ; в ) 2 ? .
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел : а ) на 2 ; 6 ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 7 ? .
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел ? .
Если же точка B оказалась бы ближе к делению 5 , то мы сказали бы , что длина отрезка AB приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
Приведите пример деления с остатком , назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Решение текстовых задач с помощью умножения и деления .
Разбейте множество натуральных чисел на классы по остаткам от деления на 3 ; 4 ; 7 .
С помощью умножения и деления решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного в несколько раз , ответить на вопросы « во сколько раз больше ? » , « во сколько раз меньше ? » и т .
В самом деле , если числитель дроби р делится на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Какой остаток получится от деления числа ? .
К выбору умножения и деления для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « в 3 раза больше » не всегда требуют умножения .
Вообще , средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых .
Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления числителя на знаменатель .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Скобки , в которые заключено одно действие умножения или деления , принято для краткости опускать .
Принято считать , что в записях вида дроби также означает знак деления .
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен — 2 сотни и десятки — 8 десятков , т .
Это число называют неполным частным от деления 14 на 3 , а число 2 — остатком .
В записях , в которых черта дроби используется несколько раз , знак ставится у черты дроби , означающей последнее по порядку действие деления .
Результат деления 14 на 3 записывают .
Для вычитания и деления переместительный закон не выполняется , поэтому промежуточный результат надо запомнить ( записать ) .
С помощью умножения и деления дробей можно решать задачи на нахождение части целого и целого по его части .
Остаётся разделить остаток от деления десятков ( 28 ) и единицы ( 8) , т .
Здесь 7 — неполное частное от деления 38 на 5 , а 3 — остаток .
Приведите пример деления с остатком , назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
Основу системы мер веса и денег в Древнем Вавилоне составлял 1 талант ; его делили на 60 мин , а мину — на 60 шекелей .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
В следующих записях замените буквы цифрами так , чтобы полученные числа делились на 3 .
Какую цифру нужно поставить вместо звездочки , чтобы полученное число делилось на 9 .
Можно ли с помощью цифр 1 , 2 , 5 , 6 ( без повторения ) составить трёхзначное число , которое делилось бы .
В каждом примере делимое стёрли и заменили буквой .
Назовите делимое , делитель и частное в примере .
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Приведите пример деления с остатком , назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
Вычислите , записав делимое в виде суммы , по образцу .
Найдите делимое .
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Частным двух дробей называют дробь , которая при умножении на делитель даёт делимое .
При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
При этом пишут и называют а — делимым , b — делителем , с — частным .
На сколько частей прямая делит плоскость ? .
Точка A , лежащая на прямой , делит её на две части .
Убедитесь , что прямая MN делит отрезок АВ пополам .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше угла ВОС .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше угла ВОС .
Разложить данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней .
Дробь называют несократимой , если её числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей .
Для этого надо взять каждый из простых делителей числа 90 , их всевозможные произведения , содержащие не больше одного множителя 2 , двух множителей 3 и одного множителя 5 .
Числа , не имеющие общих простых делителей , называют взаимно простыми числами .
Сначала перебираем все делители числа 18 до тех пор , пока произведение двух соседних делителей не даст 18 .
После того как найдена « середина » в ряду делителей , остальные делители найдём делением .
Если делитель — простое число , то его называют простым делителем .
При этом пишут и называют а — делимым , b — делителем , с — частным .
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 54 является число 6 .
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым делителем натурального числа ? .
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым делителем натурального числа ? .
Другие делители найдём , составляя различные произведения из этих простых делителей .
Число 12 имеет делители 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 .
В разложении чисел 180 и 336 подчёркнуты все их общие делители , поэтому НОД ( 180 , 336 ) 12 .
Наибольший общий делители взаимно простых чисел равен 1 .
б ) делится на все делители этих чисел .
Найдите все делители чисел 45 и 60 .
Используя этот приём , найдите все делители числа .
Получатся все делители числа 90 .
После того как найдена « середина » в ряду делителей , остальные делители найдём делением .
а ) Число а имеет простые делители .
Найдите все общие делители чисел 45 и 60 .
Укажите все делители числа .
Сначала перебираем все делители числа 18 до тех пор , пока произведение двух соседних делителей не даст 18 .
Выполняя предыдущее задание , можно заметить , что делители числа 18 обладают интересным свойством .
Запишите в порядке возрастания все делители числа .
Найдите все делители числа а .
Поэтому искомое число содержит все простые делители большего числа 24 ( т . е .
Мы видим , что числа 12 и 54 имеют общие делители 1 , 2 , 3 , 6 .
б ) делится на все общие делители этих чисел .
Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби , затем сократите дробь .
Каждое простое число имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
Все делители числа 90 можно получить из разложения числа 90 на простые множители .
Например , число 13 имеет простой делитель 13 , число 4 — простой делитель 2 , а число 12 — простые делители 2 и 3 .
б ) Чему равен наибольший общий делитель чисел 100 !
Наибольший общий делитель .
Определите делитель .
Если делитель — простое число , то его называют простым делителем .
Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел ? .
Наибольший общий делитель чисел а и b обозначают : НОД ( а , b ) .
Например , число 13 имеет простой делитель 13 , число 4 — простой делитель 2 , а число 12 — простые делители 2 и 3 .
Общий делитель .
При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно .
Например , число 13 имеет простой делитель 13 , число 4 — простой делитель 2 , а число 12 — простые делители 2 и 3 .
Назовите делимое , делитель и частное в примере .
Часто наибольший общий делитель числителя и знаменателя сразу указать трудно .
Объясните , почему наибольший общий делитель двух чисел .
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя .
Частным двух дробей называют дробь , которая при умножении на делитель даёт делимое .
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них .
Приведите пример деления с остатком , назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Рассмотрим примеры нахождения наибольшего общего делителя .
Каждое простое число имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
Остаток меньше делителя .
Запишите пять натуральных чисел , имеющих делителями числа .
Например , число 2300 делится на 5 , потому что это число делится на 10 , а 10 делится на 5 ( по свойству 2 ) .
в ) сумма делится на 13 , где а и с — натуральные числа .
сумма делится на 3 , где а , b и с — натуральные числа .
Проверьте , делится ли .
Число 52 не делится на 5 , потому что сумма числа 50 , делящегося на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Число 2305 оканчивается цифрой 5 , оно делится на 5 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 5 ( по свойству 3 ) .
Проверьте , делится ли число .
сумма делится на 11 .
Например , число 2300 делится на 5 , потому что это число делится на 10 , а 10 делится на 5 ( по свойству 2 ) .
Если число оканчивается цифрой 0 , то оно делится на 10 .
Например , число 4560 оканчивается цифрой 0 , его можно представить в виде произведения , которое делится на 10 ( по свойству 1 ) .
Число 4561 не делится на 10 , потому что сумма числа 4560 , делящегося на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5 , то оно делится на 5 .
а ) сумма делится на 9 .
4 ) 5 не делится на 3 , но делится на 5 .
б ) если каждое из двух слагаемых делится на 5 , то и сумма делится на 5 .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Если а делится на b , то говорят ещё , что а кратно b.
Если один ив множителей делится на некоторое число , то и произведение делится на это число .
Если один ив множителей делится на некоторое число , то и произведение делится на это число .
Например , 15 делится на 3 .
Найдите : Число 12 321 делится на 111 .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то первое число делится на третье .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то первое число делится на третье .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то первое число делится на третье .
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их сумма и разность делятся на это число .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это число .
Известно , что число а делится нацело на число b.
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это число .
Объясните , почему на 12 делится произведение .
а ) если каждое из двух слагаемых делится на 2 , то и сумма делится на 2 .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Например , 12 делится на 4 , следовательно , НОД ( 12 , 4 ) 4 .
а ) если каждое из двух слагаемых делится на 2 , то и сумма делится на 2 .
Говорят , что а делится на b нацело , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них .
б ) если каждое из двух слагаемых делится на 5 , то и сумма делится на 5 .
в ) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3 , то и разность делится на 3 ? .
Если число оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , то оно делится на 2 .
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
Например , число 130 оканчивается цифрой 0 , оно делится на 10 , а 10 делится на 2 , следовательно , 130 делится на 2 ( по свойству 2 ) .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Считается , что если номер года делится на 4 ( например , 2012 ) , то год содержит 366 суток .
Определите , делится ли число 111 111 111 111 111 : а ) на 3 ; б ) на 9 .
Назовите наибольшее и наименьшее шестизначное число , которое делится на : а ) 2 ; б ) 3 ; в ) 5 ; г ) 9 ; д ) 10 .
Докажите признак делимости на 4 : если две последние цифры числа образуют число , делящееся на 4 , то и само число делится на 4 .
Каждое натуральное число р делится на 1 и само на себя .
Простым числом называют такое натуральное число , которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
Каждое составное число делится на 1 , само на себя и ещё хотя бы на одно натуральное число .
На какие числа делится каждое из приведённых ниже чисел ? .
а ) Напишите четырёхзначное число , которое делится на 9 .
Напишите четырёхзначное число , которое делится на 3 , но не делится на 9 .
Напишите четырёхзначное число , которое делится на 3 , но не делится на 9 .
Когда говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b ? .
Кроме того , число а делится на 1 .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b делится на натуральное число с , то верно равенство .
На какие числа делится нацело любое натуральное число ? .
Покажем , как можно разложить число 90 на простые множители . 1 ) 90 делится на 2 .
2 ) 45 не делится на 2 , но делится на 3 .
2 ) 45 не делится на 2 , но делится на 3 .
3 ) 15 делится на 3 .
4 ) 5 не делится на 3 , но делится на 5 .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Например , число 130 оканчивается цифрой 0 , оно делится на 10 , а 10 делится на 2 , следовательно , 130 делится на 2 ( по свойству 2 ) .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя .
Например , число 130 оканчивается цифрой 0 , оно делится на 10 , а 10 делится на 2 , следовательно , 130 делится на 2 ( по свойству 2 ) .
Если одно число делится нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно делится с остатком , равным нулю .
Например , 12 делится на 1 и на 12 .
Число 136 оканчивается цифрой 6 , оно делится на 2 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 2 ( по свойству 3 ) .
Если одно число делится нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно делится с остатком , равным нулю .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число делится на 9 .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число делится на 9 .
Например , сумма цифр 18 числа 7245 делится на 9 .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Число 375 не делится на 9 , так как сумма его цифр не делится на 9 .
Число 375 не делится на 9 , так как сумма его цифр не делится на 9 .
Это можно доказать следующим образом , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — не делится на 9 ( по свойству 4 ) .
Это можно доказать следующим образом , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — не делится на 9 ( по свойству 4 ) .
Если сумма цифр числа делится на 3 , то и само число делится на 3 .
Если сумма цифр числа делится на 3 , то и само число делится на 3 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Число 14 не делится нацело на 3 , так как нет натурального числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
Например , число 2300 делится на 5 , потому что это число делится на 10 , а 10 делится на 5 ( по свойству 2 ) .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
б ) делится на все общие делители этих чисел .
Докажите , что выражение делится на 49 .
Для этого найдём число , которое делится на 8 и на 3 , например 24 .
Докажите , что сумма всех чисел любого магического квадрата 3 x 3 делится на 3 .
В самом деле , если числитель дроби р делится на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Число 123 454 321 делится на 11 111 .
Например , 120 делится нацело на 24 , следовательно , НОК ( 120 , 24)= 120 .
б ) делится на все делители этих чисел .
Будем выписывать числа , кратные 24 ( большему из данных чисел ) , проверяя , делится ли каждое из них на 18 .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них .
48 не делится на 18 , 72 — делится на 18 , поэтому НОК ( 24 , 18 ) — 72 .
48 не делится на 18 , 72 — делится на 18 , поэтому НОК ( 24 , 18 ) — 72 .
24 — не делится на 18 .
Любое натуральное число а делить на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
Будем делить на 36 число сотен — 146 .
Можно ли делить на нуль ? .
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Три дома нельзя было делить , их взяли старшие три брата .
Можно ли делить .
Мы уже знаем , почему нельзя число делить на нуль .
Тот , кто умел быстро и безошибочно делить , считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению , вычитанию и таблице умножения .
Удивились казаки : как это табунщик будет делить лошадей пополам ?
Но в этом случае частным могло бы быть любое число с. Поэтому считают , что нуль на нуль делить нельзя .
Разложим числа 24 и 18 на простые множители : НОК ( 24 , 18 ) должно делиться и на 24 , и на 18 .
Может ли оно не делиться на 3 ? .
На сколько частей делят плоскость две прямые , если они : а ) пересекаются ; б ) параллельны ? .
Эти лучи тоже делят плоскость на две части , каждую из которых называют развёрнутым углом .
Два различных луча ВА и ВС с общим началом В. Они делят плоскость на две части , называемые углами .
Как умножают и делят смешанные дроби ? .
Две точки делят окружность на две части , называемые дугами .
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их сумма и разность делятся на это число .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это число .
в ) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3 , то и разность делится на 3 ? .
Напишите все числа от 23 до 46 , которые делятся на 5 .
а ) Напишите все числа от 15 до 95 , которые делятся на 10 . б )
Напишите все числа от 51 до 73 , которые делятся на 2 .
Какие из чисел делятся на 4 ? .
Делятся на 4 ? .
Напишите шесть чисел , которые делятся .
Какие из чисел 128 , 325 , 500 , 506 , 725 , 905 , 830 , 962 , 750 , 1000 , 1262 , 2440 делятся на : а ) 2 ; 6 ) 5 ; в ) 2 и 5 ; г ) 10 ?
Какие из полученных чисел делятся на 5 .
Делятся на 2 .
Делятся на 10 .
Так как 365 и 366 не делятся нацело на 12 , то дни распределили между месяцами неравномерно : январь , март , май , июль , август , октябрь , декабрь содержат по 31 дню , апрель , июнь , сентябрь , ноябрь — по 30 дней , а февраль содержит 28 дней в обычном году и 29 — в високосном году .
С помощью цифр 2 , 3 , 5 , 7 ( без повторения ) запишите все четырёхзначные числа , которые делятся : а ) на 2 ; б ) на 5 .
Число 52 не делится на 5 , потому что сумма числа 50 , делящегося на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
Число 4561 не делится на 10 , потому что сумма числа 4560 , делящегося на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
Найдите координаты точек , делящих отрезок АВ на три равные части .
Число 2305 оканчивается цифрой 5 , оно делится на 5 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 5 ( по свойству 3 ) .
Число 136 оканчивается цифрой 6 , оно делится на 2 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 2 ( по свойству 3 ) .
Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из чисел , делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Вася посчитал , что если каждая девочка посадит по 3 дерева , а каждый мальчик — по 5 деревьев , то все 30 учащихся класса посадят 122 дерева .
Вася посчитал , что если каждая девочка посадит по 3 дерева , а каждый мальчик — по 5 деревьев , то все 30 учащихся класса посадят 122 дерева .
Какое дерево самое высокое ?
Вася посчитал , что если каждая девочка посадит по 3 дерева , а каждый мальчик — по 5 деревьев , то все 30 учащихся класса посадят 122 дерева .
Сколько диагоналей в выпуклом : а ) десятиугольнике ; б ) двадцатиугольнике ? .
В России десятичная система счисления начала распространяться в XVII веке .
В настоящее время принята десятичная система записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Система счисления десятичная .
В настоящее время принята десятичная система записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Когда говорят « число оканчивается цифрой » , имеют в виду « десятичная запись числа заканчивается цифрой » .
Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе .
В 1703 году был издан первый печатный учебник математики — « Арифметика » Л. Ф. Магницкого , в котором все вычисления велись в десятичной системе записи чисел .
Особую роль в десятичной системе играют числа 10 , 100 , 1000 и т .
Натуральные числа можно сравнивать по их десятичной записи .
Первая цифра справа в десятичной записи числа называется цифрой первого разряда , вторая цифра справа — цифрой второго ( шарада и т .
Важную роль в десятичной системе счисления играет число 10 .
применяли , в сущности , десятичную систему счисления .
Поэтому десятичную систему счисления называют позиционной .
единицы : 4 . десятки : 13 ( 3 пишем , 1 запоминаем ) .
В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы , десятки и сотни этого класса .
тысячи : 4 . десятки тысяч : 4 .
Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен — 2 сотни и десятки — 8 десятков , т .
в ) 8 сотен и 6 десятков .
б ) 5 десятков тысяч , 9 тысяч , 7 сотен и 4 единиц .
Запишите число , состоящее из . а ) 1 тысячи , 2 сотен , 3 десятков и 5 единиц .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8 единиц .
В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов единиц , десятков , сотен , тысяч , десятков тысяч , сотен тысяч и т .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8 единиц .
При этом говорят так : к 5 прибавим 9 — получим 14 , пишем 4 ( единицы ) и 1 ( десяток ) запоминаем , к 4 прибавим 3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 ( десятков ) , пишем 8 .
Говорят : из 2 вычесть 9 нельзя , занимаем 1 десяток , из 12 вычтем 9 — получим 3 ( единицы ) , пишем 3 , из 6 вычтем 0 — получим 6 ( десятков ) , пишем 6 .
Это вычисление можно записать столбиком подробно Обычно пишут короче , запоминая , что в разряд десятков добавляется один десяток .
г ) 7 сотен тысяч и 3 десятков .
В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов единиц , десятков , сотен , тысяч , десятков тысяч , сотен тысяч и т .
Для обозначения десятков , сотен и т .
Затем перемножали попарно цифры множителей и результат записывали в соответствующую клетку таблицы так : цифру единиц писали вверху клетки , цифру десятков — внизу .
д. не нужны новые значки , так как те же цифры используют и для записи десятков , сотен и т .
Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен — 2 сотни и десятки — 8 десятков , т .
Остаётся разделить остаток от деления десятков ( 28 ) и единицы ( 8) , т .
28 десятков , на 36 .
Например , в записи числа 777 первая справа цифра 7 означает семь единиц , вторая — семь десятков , третья — семь сотен .
« цифру » единиц ставили до « цифры » десятков .
Делим на 7 число десятков .
Десять единиц называют десятком , десять десятков — сотней , десять сотен — тысячей и т .
Например , запись означает , что это число содержит а тысяч , 5 сотен , b десятков и 7 единиц .
Десять единиц называют десятком , десять десятков — сотней , десять сотен — тысячей и т .
Это вычисление можно записать столбиком подробно Обычно пишут короче , запоминая , что в разряд десятков добавляется один десяток .
При этом говорят так : к 5 прибавим 9 — получим 14 , пишем 4 ( единицы ) и 1 ( десяток ) запоминаем , к 4 прибавим 3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 ( десятков ) , пишем 8 .
Говорят : из 2 вычесть 9 нельзя , занимаем 1 десяток , из 12 вычтем 9 — получим 3 ( единицы ) , пишем 3 , из 6 вычтем 0 — получим 6 ( десятков ) , пишем 6 .
Единицу они обозначали знаком , десяток , сотню .
Например , в четырёхугольнике ABCD отрезки AC и BD — диагонали .
В квадрате 3x3 расставьте числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 так , чтобы сумма чисел в каждой строке , в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова .
Отрезок , соединяющий две несоседние вершины многоугольника , называют диагональю многоугольника .
Назовите центр , радиус , диаметр окружности .
Отрезки OL , ОА , ОВ радиусы окружности , АВ — её диаметр , CD хорда .
Хорду , проходящую через центр окружности , называют диаметром .
Сумму длин всех звеньев ломаной называют длиной ломаной .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
При измерении ещё меньших длин указывают , какую часть микрона они составляют .
В XVI – XVII веках на Руси установилась система мер длин и весов ( см. форзац ) , которой пользовались до 1918 года , когда была введена метрическая система мер .
Сумму длин сторон четырёхугольника называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом .
Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром .
Сумму длин сторон многоугольника называют его периметром .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности длин отрезков .
Длина отрезка AD равна сумме длин отрезков АС и CD .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности длин отрезков .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров .
Отрезок , длина которого принята за единицу измерения , называют единичным отрезком .
В каком случае будет больше отходов , если длина обоев в куске в обоих случаях 10 м ?
В равностороннем треугольнике длина стороны равна .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Какими могут быть длина и ширина этого участка ?
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности длин отрезков .
В этом случае точная длина отрезка AB осталась неизвестной .
Какова длина туннеля ? .
Какова длина маршрута ? .
Докажите , что длина ломаной АВС больше длины ломаной АDC .
Выразите в арах площадь прямоугольного участка земли , длина и ширина которого .
В рассмотренном примере длина отрезка АВ приближённо равна 5 см с недостатком и 6 см с избытком с точностью до 1 см .
Через сколько минут после старта они встретятся , если длина дорожки бассейна 25 м и скорости папы и сына равны 14 м / мин и 11 м / мин соответственно ? .
В результате большой работы была найдена длина парижского меридиана в существовавших тогда французских мерах длины — туазах ( 1 туаз — 1 м 95 см ) .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
Если же точка B оказалась бы ближе к делению 5 , то мы сказали бы , что длина отрезка AB приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см .
В этом случае условились считать , что 6 см есть приближённая длина отрезка AB с точностью до 1 см с округлением .
Такие понятия , как длина , площадь , объём , масса , время , скорость и т .
С какой скоростью идёт пассажир метро , если длина эскалатора 150 м ? .
Пассажир , сидящий во втором поезде , заметил , что первый поезд шёл мимо него 12 с. Какова длина первого поезда ? .
Если длина , ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Как называют отрезок , длина которого принята за единицу измерения ? .
Если длина и ширина прямоугольника выражены натуральными числами а и b , то его площадь S вычисляется как произведение .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче правее точки , а длина отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Например , длина ломаной ABCDE .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
б ) Рыболовную леску , длина которой 11 м , разрезали на 4 равные части .
Если на отрезке AB ровно три раза укладывается отрезок длиной дм , то длина отрезка AB равна трём четвёртым дециметра : 3/4 ДМ .
Какова длина каждой части ? .
Вычислите площадь и периметр прямоугольника , длина и ширина которого равны .
а ) Верёвку , длина которой 20 м , разрезали на 3 равные части .
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда , длина которого 45 см , ширина 30 см , а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Вычислите объём классной комнаты в литрах , если её ширина 6 м , длина 8 м , а высота 3 м .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
а ) Отрезок длиной 1 м разделили на несколько равных частей длиной 1/10 м .
Железнодорожный состав длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин , а через туннель при той же скорости за 3 мин .
а ) Для укладки 100 м труб можно купить трубы длиной З м по 38 р .
а ) Отрезок длиной 1 м разделили на несколько равных частей длиной 1/10 м .
Постройте отрезки длиной 7 см , 11 см 4 мм , 14 см 6 мм .
Если отрезок длиной 1 см разделить на две равные части , то каждая из них будет иметь длину , равную половине сантиметра .
а ) За куски ленты длиной м и м заплатили 18 р .
в ) От каната длиной 100 м отрезали 3/4 его длины .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
за штуку или длиной 4 м по 50 р .
Так была открыта первая трасса Аэрофлота длиной 420 км .
Проволоку длиной 3 м нужно разрезать на куски по 12 см. Сколько таких кусков получится ? .
Сколько таких кусков получится из ленты длиной : а ) 1 м ; б ) 3 м ; в ) 11 м ; г ) 17 м ? .
Ленту надо разрезать на равные куски длиной м .
Рейка длиной 147 см разрезана на 4 равные части .
Если на отрезке AB ровно три раза укладывается отрезок длиной дм , то длина отрезка AB равна трём четвёртым дециметра : 3/4 ДМ .
Изобразите на координатном луче ( возьмите единичный отрезок длиной 6 см ) точки О .
Постройте отрезок длиной 6 см. Отметьте этого отрезка .
Отрез ткани длиной 15 м разрезали на 5 равных частей .
б ) От мотка телефонного провода длиной 36 м отмотали его четвёртую часть .
Сумму длин всех звеньев ломаной называют длиной ломаной .
Возьмём , например , отрезок длиной 1 см в качестве единичного .
Найдите длину отрезка AB .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача ? .
Если отрезок длиной 1 см разделить на две равные части , то каждая из них будет иметь длину , равную половине сантиметра .
На луче AM отложили отрезки AB и АС , АС 89 см. Найдите длину отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
а ) его длину увеличить в 2 раза .
Объясните на примере , как измерить длину отрезка с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Определите длину оставшейся части маршрута , если расстояние от начала маршрута до первой остановки составляет .
его длину и ширину увеличить в 2 раза .
Измерьте длину и ширину тетради с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Начертите отрезок с концами в этих точках и измерьте приближённо его длину .
в ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ? .
Определите на глаз длину отрезка : а ) в сантиметрах ; б ) в миллиметрах Проверьте результат с помощью линейки .
б ) Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда , зная длину , ширину и высоту ? .
Для этого задают луч , выходящий из точки О в направлении , отмеченном стрелкой , и отрезок , длину которого принимают за единицу .
Он возвышается над землёй на 2 м 30 см. Определите длину столба .
Вычислите длину прямоугольника , если его ширина равна .
Найдём длину отрезка , соединяющего точки а и b , и координату середины этого отрезка .
Если принять длину отрезка AB за 1 , то .
а ) Как вычислить площадь прямоугольника , зная длину и ширину ? .
В 1792 году Парижская академия паук решила измерить длину земного меридиана , проходящего через Париж .
Найдите длину стороны квадрата .
Его длину тоже называют радиусом .
Пусть задан отрезок AВ , длину которого надо измерить .
Другое ребро куба разделим на две равные части ; одна из них составляет длину параллелепипеда .
Например , если 1 км разделить на q равных частей , то каждая часть будет иметь длину 1 / q км , а р таких частей будут иметь длину p / q км .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров .
Найдите длину отрезков АВ , ВС , АС .
б ) Определите длину отрезка , 3/5 которого равны 15 см . а ) Сыну 10 лет .
Найдите длину отрезка АВ .
его длину увеличить в 4 раза , а ширину и высоту уменьшить в 2 раза ? .
Принято считать , что слово « сторона » означает не только отрезок , но и его длину .
Какой результат в прыжках в длину показал Боря ?
Например , если 1 км разделить на q равных частей , то каждая часть будет иметь длину 1 / q км , а р таких частей будут иметь длину p / q км .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Если принять длину отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .
Найдите длину отрезка А В .
Если принять длину отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см. Найдите длину отрезка ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
Однако ещё можно получить приближённую длину отрезка с точностью до 1 см с округлением .
Одну сторону квадрата разделим на 4 равные части ; три из них составляют длину прямоугольника .
АВ – 3 см , ВС — 4 см , СD — 13 см , АD — 12 см. Определите длину ломаной ABCD и расстояние между её концами .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
Измерьте длину отрезка LN и величину угла L .
Какую длину имеет каждая часть с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением ? .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
На прямой даны точки А , В и С , причём AB 6 см , АС 13 см. Найдите длину отрезка ВС , если .
Если принять длину отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .
а ) Алёша прыгнул в длину на 3 м 12 см. Это на 9 см лучше результата Бори и на 13 см хуже результата Вовы .
В результате большой работы была найдена длина парижского меридиана в существовавших тогда французских мерах длины — туазах ( 1 туаз — 1 м 95 см ) .
Парижская академия наук предложила в качестве единой меры длины новую единицу измерения метр , равную одной десятимиллионной доле четверти парижского меридиана .
AB 12 см . а ) Найдите длины отрезков АС и СВ .
6 ) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Измерение длины отрезка с избытком .
Естественная и древнейшая мера длины шаг .
Периметры треугольников BCD , BDE и ABE равны соответственно 20 см , 21 см и 22 см , а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см. Определите длины диагоналей BD и BE , если известно , что они равны .
Измерение длины отрезка с недостатком .
за меру длины принимали стадий .
В тетради постройте три отрезка различной длины .
Единицы длины .
Эти старинные названия мер длины , а также и старинные названия мер весов встречаются во многих пословицах , поговорках и образных выражениях : ни пяди земли ; мерить на свой аршин ; косая сажень в плечах ; съесть пуд соли ; фунт лиха ; мал золотник , да дорог ; ты от дела на пяденьку , а оно от тебя на саженьку .
С середины XVI века на Руси появилась мера длины аршин ( примерно 71 см ) , заимствованная с Востока .
Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
В старину на Руси пользовались такими мерами длины : пядь — расстояние между концами вытянутых большого и указательного пальцев руки ( примерно 18–23 см ) ; локоть — расстояние от конца среднего пальца руки до локтя ( примерно 38–46 см ) ; сажень — различали « простую » ( примерно 152 см ) , « маховую » ( примерно 176 см ) и « косую » ( примерно 248 см ) сажени .
в ) От каната длиной 100 м отрезали 3/4 его длины .
В России и в большинстве стран мира за основную единицу длины принят метр ( см. « Исторические сведения » ) .
Какой наименьшей длины может быть верёвка , чтобы её можно было разрезать без остатков на куски .
Однако известно , при этом величины 5 см и 6 см отличаются от AB не более чем на 1 см. Их называют приближениями или приближёнными значениями длины AB с точностью до 1 см .
Длина отрезка AD больше длины отрезка АС , т .
Докажите , что длина ломаной АВС больше длины ломаной АDC .
Если все стороны треугольника имеют разные длины , то его называют разносторонним .
Метрические единицы длины .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Если взять длины сторон с избытком : АB — 4 см , AD — 6 см , то площадь прямоугольника ABCD будет меньше чем 24 ( см2 ) .
Какой длины получился ряд ? .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину длины отрезка АB .
объём куба равен третьей степени длины его ребра .
Существует ли замкнутая ломаная , имеющая три звена , длины которых равны ? .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
В таких случаях говорят , что были использованы различные единицы измерения длины .
Для измерения больших расстояний введена единица длины километр , равная 1000 метрам .
Очень малые длины измеряют микронами и микромикронами : 1 мм — 1000 микрон , 1 микрон — 1000 микромикрон .
Запишите длины получаемых при этом частей отреза .
Длину отрезка AВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим , что два равных отрезка имеют равные длины .
а ) Во сколько раз увеличиваются единицы длины при переходе слева направо на одну клетку ? .
Как называют основную единицу длины ? .
Какие единицы длины используют для измерения небольших отрезков ? .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
Сравните длины отрезков АВ и АС , ВС и АС , ВС и АВ .
Отрезали 1/3 её длины .
Какие единицы длины используют для измерения больших расстояний ? .
Во сколько раз уменьшаются единицы длины при переходе справа налево на одну клетку ? .
На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной длины .
Эти теоретические сведения дают возможность решать задачи на доказательство не только в пятом , но и в старших классах .
Здесь впервые появится много задач на доказательство и задач , в которых надо определить , возможна ли описанная ситуация .
Если целые части смешанных дробей не равны , то больше та дробь , у которой целая часть больше .
Разностью двух дробей называют дробь , которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Определением степени с натуральным показателем можно пользоваться и для дробей .
Если целые части смешанных дробей равны , то больше та дробь , у которой дробная часть больше .
Вычитание дробей .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями .
Эту задачу в давние времена умели решать и без дробей .
Смешанные дроби можно сравнивать , не записывая их в виде неправильных дробей .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Умножение дробей .
Умножение и деление смешанных дробей .
В несложных случаях можно не записывать смешанные дроби в виде неправильных дробей .
Чему равна разность равных дробей ? .
Как проверить результат вычитания двух дробей ? .
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Что называют разностью двух дробей ?
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Из двух дробей с общим знаменателем больше та дробь , у которой числитель больше , т .
Выполняется ли для дробей переместительный закон сложения ; сочетательный закон сложения ? .
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи натуральных чисел и дробей встречаются обозначения обыкновенных и смешанных дробей .
Наименьший общий знаменатель этих дробей равен 56 .
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями , их нужно привести к общему знаменателю , а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем .
Шестидесятиричная система записи натуральных чисел дала основу для записи дробей , так , 2 таланта 13 мин 41 шекель составляют шекель или таланта .
С помощью умножения и деления дробей можно решать задачи на нахождение части целого и целого по его части .
Для этого надо сложить её целую и дробную части по правилу сложения дробей .
В дальнейшем шестидесятеричная запись дробей была усовершенствована , появились специальные обозначения и названия для дробей .
Сравнение дробей .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Приведите дроби к общему знаменателю , равному произведению знаменателей дробей .
При сложении дробных частей двух смешанных дробей может получиться неправильная дробь .
При сравнении дробей полезно следующее утверждение .
Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей , где а , b , с , d — нечётные натуральные числа ? .
Поэтому , например , дробь выражали как сумму двух дробей .
Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из чисел , делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Приведение дробей к общему знаменателю .
В задаче упоминаются произведения дробей .
В старых русских руководствах по арифметике использовали такие названия дробей : половина , четь , полчеть , полполчеть , полполполчеть .
Представление дробей на координатном луче .
Сложение смешанных дробей .
Здесь фактически используется понятие дроби и даже сложение дробей .
Кроме обыкновенных дробей , в Индии умели записывать и смешанные дроби .
Сложение смешанных дробей выполняют с помощью законов сложения .
Одним из примеров практического применения дробей может служить нотная запись в музыке .
Примем 24 за общий знаменатель дробей .
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи натуральных чисел и дробей встречаются обозначения обыкновенных и смешанных дробей .
В дальнейшем шестидесятеричная запись дробей была усовершенствована , появились специальные обозначения и названия для дробей .
Равенство дробей .
Для любой дроби можно указать ряд равных ей дробей .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Запишите дробь в виде суммы двух дробей .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в первом примере , то сложение по формуле приводит к лишним вычислениям .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
Для дробей , как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы умножения .
В формуле и далее числители и знаменатели дробей — натуральные числа .
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Сложение дробей .
Частным двух дробей называют дробь , которая при умножении на делитель даёт делимое .
Сколько таких дробей ? .
Докажите , что из двух дробей с равными числителями больше та дробь , у которой знаменатель меньше .
Частное двух дробей вычисляется по формуле .
Запишите пять каких - либо обыкновенных дробей .
Для дробей , как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы сложения .
Из законов сложения следует , что сумму нескольких дробей можно записывать без скобок ; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки .
Вычитание смешанных дробей .
Деление дробей .
Для дробей выполняется распределительный закон .
Как умножают и делят смешанные дроби ? .
Целая часть смешанной дроби .
Кроме обыкновенных дробей , в Индии умели записывать и смешанные дроби .
Основное свойство дроби .
Числитель дроби .
В Индии дроби записывали так же , как мы это делаем сейчас , по черту дроби не писали .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
В несложных случаях можно не записывать смешанные дроби в виде неправильных дробей .
На Руси некоторые смешанные дроби имели свои названия : полтора , полтрети , полчетверта , полпята и т .
Знаменатель дроби .
Дробная часть смешанной дроби .
В Индии дроби записывали так же , как мы это делаем сейчас , по черту дроби не писали .
Эти вычисления обычно записывают короче , умножая устно целую и дробную части смешанной дроби на 2 .
Сокращение дроби .
Дроби с числителем , отличным от единицы ( кроме дроби 2/3 , появились значительно позже .
В Древнем Египте в практических расчётах использовали дроби с числителем 1 .
Здесь отдельно разделили целую и дробную части смешанной дроби на 3 ( т .
Найдите целую часть дроби .
помощью распределительного закона можно коротко выполнить деление смешанной дроби на натуральное число .
Отличие заключается в том , что черту дроби не пишут и дробь не сокращают .
Здесь фактически используется понятие дроби и даже сложение дробей .
а ) Как умножить две дроби ?
В самом деле , если числитель дроби р делится на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Сформулируйте основное свойство дроби .
Например , дроби правильные , дроби неправильные .
При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному , а дробная часть — остатку , делённому на знаменатель .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Например , дроби правильные , дроби неправильные .
Поэтому основное свойство дроби можно сформулировать и так .
Найдите несократимую дробь , равную дроби .
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Пусть даны три дроби .
Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби , затем сократите дробь .
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Понятие смешанной дроби .
Задачи на дроби .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Каждую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби .
Например , сравним дроби .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
а ) Как сравнивают дроби с общим знаменателем ? .
Сравните дроби .
Например , сократим дроби .
Чтобы из первой дроби получить 1 , надо добавить , а чтобы из второй дроби получить 1 , надо добавить меньше : Следовательно , вторая дробь больше .
Чтобы из первой дроби получить 1 , надо добавить , а чтобы из второй дроби получить 1 , надо добавить меньше : Следовательно , вторая дробь больше .
Приведите пример смешанной дроби , укажите её целую и дробную части .
В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами дроби , а их « дополнения » до единицы .
Сравните дроби с числом , а затем между собой .
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю , которым может быть произведение их знаменателей .
Сравните дроби с числом 1 , а затем между собой .
Что называют . а ) целой частью смешанной дроби . б ) дробной частью смешанной дроби ? .
Сравните дроби с одинаковыми числителями .
Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью знаков .
Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью знака .
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
Смешанные дроби можно сравнивать , не записывая их в виде неправильных дробей .
Как сравнивают дроби с разными знаменателями ? .
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями , их нужно привести к общему знаменателю , а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем .
Глава 4 Обыкновенные дроби .
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Для дроби 2/3 запишите равную ей дробь со знаменателем .
Запишите в виде дроби , какую часть отреза составляет : одна такая часть ; две части ; три части ; четыре части ; пять частей .
Прочитайте дроби .
Назовите три дроби : а ) с числителем 3 ; б ) со знаменателем 10 .
б ) К какому общему знаменателю лучше всего приводить две дроби ? .
Запишите две дроби , у которых : а ) числитель на 2 больше знаменателя ; б ) знаменатель на 4 больше числителя .
а ) Любые ли две дроби можно привести к общему знаменателю ? .
Для любой дроби можно указать ряд равных ей дробей .
Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8 .
Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления числителя на знаменатель .
д. Можно ещё сказать , что дроби определяют одно и то же число , записанное разными способами ; дроби также определяют одно и то же число .
д. Можно ещё сказать , что дроби определяют одно и то же число , записанное разными способами ; дроби также определяют одно и то же число .
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Приведём дроби к наименьшему общему знаменателю .
Это свойство называют основным свойством дроби .
С его помощью можно получать дроби , равные данной .
Но для упрощения вычислений нужно стараться привести дроби к наименьшему общему знаменателю .
Принято считать , что в записях вида дроби также означает знак деления .
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
При изучении главы 4 вам предстоит освоить обыкновенные дроби .
дробь больше дроби .
В главе 4 вам встретятся задачи « на дроби » и « на совместную работу » , среди которых есть интересные старинные задачи .
Понятие дроби .
В записях , в которых черта дроби используется несколько раз , знак ставится у черты дроби , означающей последнее по порядку действие деления .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
В записях , в которых черта дроби используется несколько раз , знак ставится у черты дроби , означающей последнее по порядку действие деления .
Определите , равны ли дроби .
Найдите все дроби со знаменателем 10 , которые больше , но меньше .
Приведём дроби к знаменателю 24 .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Такой же смысл имеют дроби пять шестых , семь одиннадцатых , пять четвертых и т .
Приведите дроби к общему знаменателю .
Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю .
Приведите дроби к общему знаменателю , равному произведению знаменателей дробей .
Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3 .
Запишите в виде дроби частное .
Замените следующие дроби равными им дробями со знаменателем 12 .
Из сказанного выше следует , что число 60 можно получить умножением дроби на неизвестное число .
а ) Как записать неправильную дробь в виде смешанной дроби ? .
Что называют . а ) целой частью смешанной дроби . б ) дробной частью смешанной дроби ? .
Найдите дробь с числителем 7 , равную дроби .
а ) Как вычитают дроби с общим знаменателем ? .
В дальнейшем будут введены отрицательные дроби , и такое действие станет возможным .
Изучаемые нами дроби не позволяют из меньшей дроби вычесть большую .
Изучаемые нами дроби не позволяют из меньшей дроби вычесть большую .
Принято считать число 0 равным дроби вида , где q — любое натуральное число .
Левые части равенств — данные дроби , а правые — равные им несократимые дроби .
Например , вычтем из дроби дробь .
Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
Чтобы сложить смешанные дроби , надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить .
Левые части равенств — данные дроби , а правые — равные им несократимые дроби .
Найдите все дроби со знаменателем 13 , которые больше , но меньше .
Для каждой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь .
а ) Найдите дробь со знаменателем 18 , равную дроби .
Сложите дроби , предварительно сократив их .
Например , дроби несократимые дроби , так как числа 1 и 2 , 3 и 4 , 5 и 7 не имеют общих простых делителей , т .
При вычислении значений числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
Запишите натуральные числа 1 , 2 , 5 в виде дроби со знаменателем .
Сложите дроби .
Как вычитают дроби с разными знаменателями ? .
Как складывают смешанные дроби ?
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень .
Назовите дробь , обратную дроби .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями .
Какие дроби называют взаимно обратными ?
Дробь называют обратной для дроби .
Как записывают число 0 в виде дроби ? .
Как вычитают смешанные дроби ? .
Можно считать , что произведение натурального числа n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
В этом случае сокращение дроби выполняют постепенно .
Так как любое натуральное число n можно представить в виде дроби , то справедливо равенство .
Придумайте две дроби , разность которых равна .
Запишите обыкновенную дробь в виде смешанной дроби .
Сократите дроби по образцу .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Сложите дроби , полученную дробь сократите .
Приведём дроби к общему знаменателю .
Докажем распределительный закон , считая , что дроби в скобках уже приведены к общему знаменателю .
Запишите сумму в виде смешанной дроби .
Для упрощения вычислений нужно стараться приводить дроби к наименьшему общему знаменателю , а получаемые результаты приводить к несократимому виду .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Разделите с остатком числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби .
Разделите с остатком числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби .
Определите числитель дроби в равенстве .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Например , сложим по формуле дроби .
Например , дроби несократимые дроби , так как числа 1 и 2 , 3 и 4 , 5 и 7 не имеют общих простых делителей , т .
Найдите целое число , равное дроби .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
а ) Как складывают дроби с общим знаменателем ? .
Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби .
Упростите запись смешанной дроби .
Найдите все несократимые дроби со знаменателем 60 , большие , но меньшие .
Выделите целую часть дроби .
Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби .
б ) Как записать смешанную дробь в виде неправильной дроби ? .
в ) Как сравнивают смешанные дроби ? .
Запишите числа 3 , 5 , 7 в виде дроби со знаменателем .
Как складывают дроби с разными знаменателями ? .
Найдите все несократимые дроби с числителем 60 , бóльшие но меньшие .
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то в целой части уменьшаемого « занимают » единицу .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному , а дробная часть — остатку , делённому на знаменатель .
Если целые части смешанных дробей равны , то больше та дробь , у которой дробная часть больше .
Например , смешанная дробь , у которой целая часть , дробная часть .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Что называют . а ) целой частью смешанной дроби . б ) дробной частью смешанной дроби ? .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то в целой части уменьшаемого « занимают » единицу .
Для этого надо сложить её целую и дробную части по правилу сложения дробей .
Эти вычисления обычно записывают короче , умножая устно целую и дробную части смешанной дроби на 2 .
Здесь отдельно разделили целую и дробную части смешанной дроби на 3 ( т .
Приведите пример смешанной дроби , укажите её целую и дробную части .
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными , то вычитание выполняют так же , как и выше .
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить вычитание .
Если дробные части слагаемых имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить сложение .
Чтобы сложить смешанные дроби , надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
Формула верна и при дробных а , b и с. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами а дм , b дм и с дм .
При сложении дробных частей двух смешанных дробей может получиться неправильная дробь .
Формула верна и при дробных а и b.
Чему равна дробь , числитель которой равен знаменателю ? .
Найдите дробь с числителем 7 , равную дроби .
Определите , сократима ли дробь .
Чтобы разделить дробь на натуральное число , можно её знаменатель умножить на это число .
Какую дробь называют несократимой ?
Найдите несократимую дробь , равную дроби .
Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби , затем сократите дробь .
Например , дробь — записывали так .
Отличие заключается в том , что черту дроби не пишут и дробь не сокращают .
Поэтому , например , дробь выражали как сумму двух дробей .
а ) Как разделить одну дробь на другую ? .
Ту же дробь записывали так , что соответствовало сумме или .
б ) Как разделить дробь на натуральное число ? .
Сократите дробь .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
Отметим , что число 0 , делённое на любую отличную от нуля дробь , даёт 0 .
а ) Найдите дробь со знаменателем 18 , равную дроби .
а ) нуль на дробь , отличную от нуля .
Для дроби 2/3 запишите равную ей дробь со знаменателем .
Частным двух дробей называют дробь , которая при умножении на делитель даёт делимое .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Сложите дроби , полученную дробь сократите .
Запишите дробь в виде суммы двух дробей .
Подберите дробь , которая в сумме с данной дробью даёт .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число , большее 1 ?
Разностью двух дробей называют дробь , которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое .
б ) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число , меньшее 1 ?
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
а ) Число 2 умножили на некоторую правильную дробь .
Например , вычтем из дроби дробь .
Смешанная дробь .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Можно считать , что произведение натурального числа n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
Назовите дробь , обратную дроби .
Чтобы из первой дроби получить 1 , надо добавить , а чтобы из второй дроби получить 1 , надо добавить меньше : Следовательно , вторая дробь больше .
Докажите , что из двух дробей с равными числителями больше та дробь , у которой знаменатель меньше .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Итак , для любых натуральных чисел р и q всегда есть их частное : дробь .
Приведите дробь к знаменателю 10 , или 100 , или 1000 .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Дробь больше дроби .
Из двух дробей с общим знаменателем больше та дробь , у которой числитель больше , т .
Обратите смешанную дробь в обыкновенную дробь .
Если первая дробь меньше второй , а вторая дробь меньше третьей , то первая дробь меньше третьей .
Обратите смешанную дробь в обыкновенную дробь .
Если первая дробь меньше второй , а вторая дробь меньше третьей , то первая дробь меньше третьей .
Так как НОК(4 , 8) = 8 , то к знаменателю 8 надо привести только первую дробь .
Если первая дробь меньше второй , а вторая дробь меньше третьей , то первая дробь меньше третьей .
Так как первая дробь меньше второй , а так как вторая дробь меньше третьей .
Так как первая дробь меньше второй , а так как вторая дробь меньше третьей .
Из полученных неравенств для натуральных чисел следует , что первая дробь меньше третьей .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Правильная дробь меньше 1 , а неправильная дробь больше или равна 1 .
Правильная дробь меньше 1 , а неправильная дробь больше или равна 1 .
Отсюда следует , что любая правильная дробь меньше неправильной .
а ) Какую дробь называют правильной ? .
б ) Какую дробь называют неправильной ? .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Заметим , что дробь , обратная делителю .
Если q — натуральное число , то дробь — ( читается « одна кутая » ) означает одну кутую часть единицы .
б ) дробь на нуль .
Говорят , что можно сократить дробь на n и получить равную ей дробь .
Говорят , что можно сократить дробь на n и получить равную ей дробь .
Левая часть равенства ( 2 ) есть дробь , числитель и знаменатель которой имеют общий множитель n.
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Для упрощения речи вместо слов « рациональное число p / q » говорят « дробь p / q » .
Если p и q натуральные числа , то дробь — ( читается « пэ кутых » ) означает пэ кутых части единицы .
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень .
Смешанную дробь читают так : « три целых и одна вторая » .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Каждую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Если целые части смешанных дробей равны , то больше та дробь , у которой дробная часть больше .
Если целые части смешанных дробей не равны , то больше та дробь , у которой целая часть больше .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень .
Как умножить натуральное число на дробь ?
Запишите обыкновенную дробь в виде смешанной дроби .
При сложении дробных частей двух смешанных дробей может получиться неправильная дробь .
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Ha координатном луче можно изобразить любую дробь .
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Точку , изображающую на координатном луче дробь , называют точкой с координатой или , коротко , точкой .
Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Является ли данная дробь целым числом .
Запишите дробь в виде целого числа .
б ) Как записать смешанную дробь в виде неправильной дроби ? .
а ) Как записать неправильную дробь в виде смешанной дроби ? .
Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби .
Получится равная ей дробь .
Например , смешанная дробь , у которой целая часть , дробная часть .
Например , сократим дробь .
Для каждой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь .
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя .
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Какой дробью можно записать часть яблока , полученную каждой девочкой ? .
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Подберите дробь , которая в сумме с данной дробью даёт .
В том случае , когда одно из двух чисел является натуральным числом или правильной дробью , вычисления выполняются аналогично .
Что называют смешанной дробью ?
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Он обозначается дробью , так как нижняя цифра обозначает длительность доли , а верхняя цифра — количество долей в такте ( две доли ) .
Какой дробью можно выразить взятую часть кубиков , если взять : а ) 2 кубика ; б ) 4 кубика ; в ) 8 кубиков ? .
Иногда целое число изображали дробью со знаменателем 1 .
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
Целую часть писали над дробью .
Записи 1/2 , 1/3 , 1/4 , 2/3 , 3/4 называют обыкновенными дробями или , короче , дробями .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Дроби называют взаимно обратными дробями ( числами ) .
Замените следующие дроби равными им дробями со знаменателем 12 .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Отметим , что многие задачи на совместную работу можно решить этим старинным способом , не пользуясь дробями .
Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями .
неправильными дробями .
а ) правильными дробями . б )
Могут ли два взаимно обратных числа одновременно являться смешанными дробями ? .
Записи 1/2 , 1/3 , 1/4 , 2/3 , 3/4 называют обыкновенными дробями или , короче , дробями .
Обычно рассматривается одна из дуг окружности , определяемая по смыслу задачи .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
Убедитесь , что конец шестой дуги , считая от точки A , совпадает с точкой А .
Обычно рассматривают один из этих углов — его определяют по смыслу задачи и отмечают дугой или штриховкой .
Например , в записи числа 777 первая справа цифра 7 означает семь единиц , вторая — семь десятков , третья — семь сотен .
Десять единиц называют десятком , десять десятков — сотней , десять сотен — тысячей и т .
Затем перемножали попарно цифры множителей и результат записывали в соответствующую клетку таблицы так : цифру единиц писали вверху клетки , цифру десятков — внизу .
д. Каждые 10 единиц любого ( шарада составляют одну единицу следующего ( более высокого ) разряда .
Делим на 7 число единиц 9 .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8 единиц .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8 единиц .
Например , запись означает , что это число содержит а тысяч , 5 сотен , b десятков и 7 единиц .
Запишите число , состоящее из . а ) 1 тысячи , 2 сотен , 3 десятков и 5 единиц .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Например , чтобы прочитать число 148951784296 , выделим в нём классы : 148 951 784 296 и прочитаем число единиц каждого класса слева направо .
Класс единиц .
В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов единиц , десятков , сотен , тысяч , десятков тысяч , сотен тысяч и т .
Первый класс справа называют классом единиц , второй классом тысяч , третий — классом миллионов , четвёртый — классом миллиардов и т .
« цифру » единиц ставили до « цифры » десятков .
288 единиц , на 36 .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
С помощью сложения и вычитания решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного на несколько единиц , ответить на вопросы « на сколько больше ? » , « на сколько меньше ? » , « сколько всего ? » , « сколько осталось ? » и т .
Обычно сложение и вычитание выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда единиц .
б ) 5 десятков тысяч , 9 тысяч , 7 сотен и 4 единиц .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
д . — единица .
Для измерения больших расстояний введена единица длины километр , равная 1000 метрам .
Сутки — основная единица времени .
Принято считать , что единица не является пи простым , пи составным числом .
Основная единица массы — грамм .
Это вычисление записывают , отмечая точкой разряд , в котором « занята » единица .
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости .
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на h единичных кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным единицам .
Решая геометрические задачи , вы будете встречать знакомые предметы окружающего вас мира , познакомитесь с различными единицами измерения величин , с формулами , знание которых поможет вам не только успешно учиться , но и решать практические задачи .
Величина есть результат измерения , она определяется числом , выраженным в некоторых единицах .
Выразите этот объём в принятых в России единицах .
При этом предполагается , что стороны прямоугольника измерены в одинаковых линейных единицах .
Одна и та же величина в разных единицах выражается разными числами .
При этом предполагается , что рёбра прямоугольного параллелепипеда измерены в одинаковых линейных единицах .
Следы этой системы сохранились сейчас в единицах измерения времени : 1 ч — 60 мин , 1 мин — 60 с .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Куб , ребро которого равно лилейной единице , называют единичным кубом .
Говорят , что площадь единичного квадрата равна одной квадратной единице ( 1 м2 , 1 дм2 ) .
Поэтому обычно в таких задачах всю работу принято считать равной единице , объём выполненной работы выражают как часть этой единицы .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
В науке основной единицей измерения времени считается секунда .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
В России и в большинстве стран мира за основную единицу длины принят метр ( см. « Исторические сведения » ) .
Часто употребляют ещё одну единицу массы — центнер .
Для этого задают луч , выходящий из точки О в направлении , отмеченном стрелкой , и отрезок , длину которого принимают за единицу .
Объём единичного куба принимают за единицу измерения объёмов .
Где используют эту единицу ? .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Примем всё расстояние между пристанями А и B за единицу , тогда за 1 ч плот проплывает по реке 2 этого расстояния , а теплоход за 1 ч проплывает по озеру 4 такого же расстояния .
Каждое простое число имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
Рассмотрим задачи на движение по реке , при решении которых удобно весь путь принимать за единицу , а скорость катера по течению реки , против течения и скорость течения реки выражать как часть пути , пройденного за единицу времени .
Как называют основную единицу длины ? .
На нём имеются две отметки , расстояние между которыми принято за основную единицу измерения — метр .
Там же хранится изготовленная из специального сплава гиря , вес которой принят за основную единицу веса — килограмм .
Примем всё расстояние за единицу .
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то в целой части уменьшаемого « занимают » единицу .
Парижская академия наук предложила в качестве единой меры длины новую единицу измерения метр , равную одной десятимиллионной доле четверти парижского меридиана .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Рассмотрим задачи на движение по реке , при решении которых удобно весь путь принимать за единицу , а скорость катера по течению реки , против течения и скорость течения реки выражать как часть пути , пройденного за единицу времени .
Так как 1 а — 100 м2 , то эту единицу измерения площади часто называют соткой .
Для измерения площадей небольших земельных участков оказалось удобным ввести единицу измерения — 1 ар ( обозначают 1 а ) .
Говорят , что тело движется равномерно , если оно за каждую единицу времени проходит одно и то же расстояние .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Примем всю работу за единицу , тогда за 1 ч первая бригада выполняет , а вторая всей работы .
Примем расстояние между сёлами за единицу . ( расстояния ) проходит пешеход за 1 мин . ( расстояния ) — проезжает велосипедист за 1 мин . ( расстояния ) — такую часть расстояния они проходят за 1 мин при движении навстречу друг другу .
Примем объём бочки за единицу и выразим время « работы » каждого пирата в днях : пират Ерёма выпьет бочку рома за 35 дней , а пират Емеля выпьет эту бочку рома за 14 дней .
Если при вычитании в каком - либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого , то нужно « занять » одну единицу в следующем ( справа налево ) разряде уменьшаемого .
Как называют отрезок , длина которого принята за единицу измерения ? .
Отрезок , длина которого принята за единицу измерения , называют единичным отрезком .
д. Каждые 10 единиц любого ( шарада составляют одну единицу следующего ( более высокого ) разряда .
Примем объём кади за единицу . ( кади ) — выпивает муж за 1 день .
Для измерения площадей более крупных земельных участков ввели единицу измерения — 1 гектар ( обозначают 1 га ) .
Говорят : из 2 вычесть 9 нельзя , занимаем 1 десяток , из 12 вычтем 9 — получим 3 ( единицы ) , пишем 3 , из 6 вычтем 0 — получим 6 ( десятков ) , пишем 6 .
Каждое простое число имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
Остаётся разделить остаток от деления десятков ( 28 ) и единицы ( 8) , т .
Дроби с числителем , отличным от единицы ( кроме дроби 2/3 , появились значительно позже .
Для обозначения единицы использовали знак , десяти и т .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Какие единицы массы вы знаете ? .
Простым числом называют такое натуральное число , которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
а ) Во сколько раз увеличиваются единицы площади , записанные во второй строке таблицы , при переходе слева направо на одну клетку ? .
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел , составных чисел и единицы .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
б ) Какие единицы измерения времени вы знаете ? .
В каких странах используются эти единицы измерения ? .
Кроме того , используют такие единицы измерения времени , как год , месяц , неделя — эти названия вам знакомы , а также квартал и декада .
В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы , десятки и сотни этого класса .
Единицы : 4 . десятки : 13 ( 3 пишем , 1 запоминаем ) .
г ) Какие единицы измерения площади вы знаете ? .
б ) Во сколько раз уменьшаются единицы объёма при переходе справа налево на одну клетку ? .
Непростые натуральные числа , большие единицы , называют составными .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
б ) Во сколько раз уменьшаются единицы площади , записанные во второй строке таблицы , при переходе справа налево на одну клетку ? .
Выразим одни единицы объёма через другие .
а ) Во сколько раз увеличиваются единицы объёма ? .
Если q — натуральное число , то дробь — ( читается « одна кутая » ) означает одну кутую часть единицы .
Во сколько раз уменьшаются единицы длины при переходе справа налево на одну клетку ? .
Если p и q натуральные числа , то дробь — ( читается « пэ кутых » ) означает пэ кутых части единицы .
Какие единицы длины используют для измерения больших расстояний ? .
Таким образом , шестидесятые доли таланта , мины ( любой единицы ) записывали с помощью натуральных чисел .
В таких случаях говорят , что были использованы различные единицы измерения длины .
Какие единицы длины используют для измерения небольших отрезков ? .
Это позволяло долго вести расчёты с долями единицы как с натуральными числами .
Дробь означает две третьих части единицы .
При этом говорят так : к 5 прибавим 9 — получим 14 , пишем 4 ( единицы ) и 1 ( десяток ) запоминаем , к 4 прибавим 3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 ( десятков ) , пишем 8 .
Дробь — означает одну третью часть единицы .
Дробь означает половину , или одну вторую часть единицы ( миллиметра , килограмма , часа и т . п. ) .
В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами дроби , а их « дополнения » до единицы .
Для обозначения величины пишут число , а рядом — название единицы .
Поэтому обычно в таких задачах всю работу принято считать равной единице , объём выполненной работы выражают как часть этой единицы .
Таким же образом можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем , большим единицы .
г ) Какие единицы измерения объёмов вы знаете ?
а ) Во сколько раз увеличиваются единицы длины при переходе слева направо на одну клетку ? .
Метрические единицы длины .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Для этого надо часть единичного отрезка отложить р раз на координатном луче от точки О .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Возьмём , например , отрезок длиной 1 см в качестве единичного .
Объём единичного куба принимают за единицу измерения объёмов .
Говорят , что площадь единичного квадрата равна одной квадратной единице ( 1 м2 , 1 дм2 ) .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Для этого надо часть единичного отрезка отложить р раз на координатном луче от точки О .
На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной длины .
Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатном луче точки .
Изобразите на координатном луче ( возьмите единичный отрезок длиной 6 см ) точки О .
Единичный .
Изобразите на координатном луче ( возьмите единичный отрезок длиной 6 см ) точки О .
Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатном луче точки .
Постройте координатный луч с единичным отрезком 1 см ( 2 клетки тетради ) .
а ) Какой куб называют единичным ? .
Какой отрезок называют единичным ? .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Этот отрезок называют единичным отрезком .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
а ) Какой квадрат называют единичным ? .
Отрезок , длина которого принята за единицу измерения , называют единичным отрезком .
Длина отрезка ОA равна 5 единичным отрезкам .
Куб , ребро которого равно лилейной единице , называют единичным кубом .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
Длина отрезка ОA равна 5 единичным отрезкам .
Этот отрезок называют единичным отрезком .
Постройте координатный луч с единичным отрезком 1 см ( 2 клетки тетради ) .
Отрезок , длина которого принята за единицу измерения , называют единичным отрезком .
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным единицам .
Этот прямоугольный параллелепипед можно разрезать на 2 слоя , в каждом из которых по единичных куба .
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на h единичных кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
С помощью единичных квадратов измеряют площади прямоугольников .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево .
Всего прямоугольный параллелепипед содержит 24 единичных куба , т .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
на 15 единичных квадратов со стороной 1 см. Следовательно , его площадь S равна .
Кузнечик прыгает на 5 единичных отрезков в любом направлении на плоскости .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево .
Кузнечик прыгает на 5 единичных отрезков в любом направлении на плоскости .
Например , ломаная ABCDEА замкнутая .
Многоугольник , замкнутая ломаная линия , не являющаяся многоугольником .
Существует ли замкнутая ломаная , имеющая три звена , длины которых равны ? .
Если конец ломаной совпадает с её началом , то ломаную называют замкнутой .
Карандаш начертит на плоскости замкнутую линию — окружность .
Заметим , что многоугольником называют как замкнутую ломаную , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Какую цифру нужно поставить вместо звездочки , чтобы полученное число делилось на 9 .
Некто купил зерна 2359 четвертей , за четверть платил по 65 коп .
Над одной или несколькими буквами ставили особый знак ( титло ) , чтобы подчеркнуть , что полученная запись не буква , не слово , а число .
Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления числителя на знаменатель .
— Это не восклицательный знак .
Вася увидел в тетради старшего брата странную , как ему показалось , запись . — Что это за восклицательный знак ? — спросил он .
Принято считать , что в записях вида дроби также означает знак деления .
В записях , в которых черта дроби используется несколько раз , знак ставится у черты дроби , означающей последнее по порядку действие деления .
Для обозначения единицы использовали знак , десяти и т .
Поставьте знак сравнения между числами .
Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью знака .
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
Эти знаки называют цифрами .
Верно ли поставлены знаки сравнения .
Используя три цифры 5 , знаки арифметических действий и скобки , составьте несколько выражений , имеющих различные значения .
Запись , в которой используются только числа , знаки арифметических действий и скобки , называют числовым выражением .
Используя четыре цифры 3 , знаки арифметических действий и скобки , составьте числовое выражение , равное .
Как называют эти знаки ? .
Используя четыре цифры 8 , знаки арифметических действий и скобки , составьте числовое выражение , равное .
Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе .
Результат запишите с помощью знаков .
В настоящее время принята десятичная система записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью знаков .
Единицу они обозначали знаком , десяток , сотню .
Знак называют знаком приближённого равенства и читают « приближённо равно » .
Градус обозначают знаком « ° » .
Так как произведение знаменателей .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Приведите дроби к общему знаменателю , равному произведению знаменателей дробей .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю , которым может быть произведение их знаменателей .
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
а ) Как складывают дроби с общим знаменателем ? .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
б ) Какое натуральное число а можно взять , чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13 ?
Найдите все дроби со знаменателем 13 , которые больше , но меньше .
Найдите все дроби со знаменателем 10 , которые больше , но меньше .
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
а ) Как сравнивают дроби с общим знаменателем ? .
Запишите натуральные числа 1 , 2 , 5 в виде дроби со знаменателем .
а ) Найдите дробь со знаменателем 18 , равную дроби .
Найдите все несократимые дроби со знаменателем 60 , большие , но меньшие .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями , их нужно привести к общему знаменателю , а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем .
а ) Как вычитают дроби с общим знаменателем ? .
Иногда целое число изображали дробью со знаменателем 1 .
Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из чисел , делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Запишите числа 3 , 5 , 7 в виде дроби со знаменателем .
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
Дробь с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи натурального числа р .
со знаменателем 17 ?
Из двух дробей с общим знаменателем больше та дробь , у которой числитель больше , т .
Назовите три дроби : а ) с числителем 3 ; б ) со знаменателем 10 .
Для дроби 2/3 запишите равную ей дробь со знаменателем .
Замените следующие дроби равными им дробями со знаменателем 12 .
Если дробные части слагаемых имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить сложение .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
В формуле и далее числители и знаменатели дробей — натуральные числа .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в первом примере , то сложение по формуле приводит к лишним вычислениям .
Дроби имеют одинаковые знаменатели .
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить вычитание .
Прочитайте их , назовите числители и знаменатели .
Дроби имеют разные знаменатели , но их можно привести к общему знаменателю .
Так как НОК ( 36 , 54 ) — 108 , то наименьший общий знаменатель равен 108 , поэтому .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Докажите , что из двух дробей с равными числителями больше та дробь , у которой знаменатель меньше .
При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному , а дробная часть — остатку , делённому на знаменатель .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Наименьший общий знаменатель этих дробей равен 56 .
Чтобы разделить дробь на натуральное число , можно её знаменатель умножить на это число .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Разделите с остатком числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8 .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления числителя на знаменатель .
Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3 .
Примем 24 за общий знаменатель дробей .
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Общий знаменатель .
Запишите две дроби , у которых : а ) числитель на 2 больше знаменателя ; б ) знаменатель на 4 больше числителя .
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Левая часть равенства ( 2 ) есть дробь , числитель и знаменатель которой имеют общий множитель n.
разделить на него и числитель , и знаменатель .
Дробь называют несократимой , если её числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
В самом деле , если числитель дроби р делится на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Говорят , что они имеют общий знаменатель 25 .
Если дробные части слагаемых имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить сложение .
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю , которым может быть произведение их знаменателей .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
Приведём дроби к знаменателю 24 .
Для упрощения вычислений нужно стараться приводить дроби к наименьшему общему знаменателю , а получаемые результаты приводить к несократимому виду .
а ) Любые ли две дроби можно привести к общему знаменателю ? .
Так как НОК(4 , 8) = 8 , то к знаменателю 8 надо привести только первую дробь .
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить вычитание .
Приведём дроби к общему знаменателю .
Докажем распределительный закон , считая , что дроби в скобках уже приведены к общему знаменателю .
Дроби приведены к общему знаменателю .
Чему равна дробь , числитель которой равен знаменателю ? .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
Приведение дробей к общему знаменателю .
Дроби имеют разные знаменатели , но их можно привести к общему знаменателю .
Но для упрощения вычислений нужно стараться привести дроби к наименьшему общему знаменателю .
б ) К какому общему знаменателю лучше всего приводить две дроби ? .
Дроби приведите к знаменателю 24 .
Дроби приведите к знаменателю 36 .
Приведите дроби к общему знаменателю , равному произведению знаменателей дробей .
Приведём дроби к наименьшему общему знаменателю .
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями , их нужно привести к общему знаменателю , а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем .
Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю .
Приведите дроби к общему знаменателю .
Приведите дробь к знаменателю 10 , или 100 , или 1000 .
Дробь называется неправильной , если её числитель больше знаменателя или равен ему .
Запишите две дроби , у которых : а ) числитель на 2 больше знаменателя ; б ) знаменатель на 4 больше числителя .
Дробь называется правильной , если её числитель меньше знаменателя .
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя .
Часто наибольший общий делитель числителя и знаменателя сразу указать трудно .
Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби , затем сократите дробь .
При этом одна и та же цифра имеет различное значение в зависимости от того места ( позиции ) , где она расположена в записи числа .
б ) Какое натуральное число а можно взять , чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13 ?
а ) Каким числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
а ) Каким натуральным числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
Например , найдём значение числового выражения .
Что можно узнать , вычислив значение числового выражения .
б ) Какое число а можно взять , чтобы значение данного выражения было равно нулю ? .
8 В те далёкие времена , когда счёт не был хорошо развит , слово « семь » использовалось также в значении « много » , что отражено в поговорках и загадках , например : семеро одного не ждут ; семь одёжек и все без застёжек .
При вычислении значений числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
д. Одна и та же цифра имеет различные значения в зависимости от места ( позиции ) , где она записана .
Используя три цифры 5 , знаки арифметических действий и скобки , составьте несколько выражений , имеющих различные значения .
При измерении площадей чаще всего используют приближённые значения величин .
Однако известно , при этом величины 5 см и 6 см отличаются от AB не более чем на 1 см. Их называют приближениями или приближёнными значениями длины AB с точностью до 1 см .
б ) На XXII Олимпийских играх в Москве ( 1980 г. ) спортсмены СССР получили 195 медалей , из них 126 золотых и бронзовых .
Постройте третью окружность , центр которой лежит на отрезке AB и которая касается двух первых окружностей внутренним образом .
Окружность с центром О , касательная АВ и радиус окружности ОС .
Покажите , как должны располагаться две окружности , чтобы они имели а общих касательных ?
Построенные окружности имеют только одну общую точку В. Говорят , что они касаются внутренним образом .
Построенные окружности имеют только одну общую точку С. Говорят , что они касаются внешним образом .
Постройте две окружности с центрами A и B радиусами 3 см и 5 см , касающиеся внешним образом .
Постройте две окружности радиусами 3 см и 4 см , касающиеся : а ) внешним образом ; б ) внутренним образом .
а ) Какой квадрат называют единичным ? .
Первый магический квадрат был составлен в Китае в V – IV веке до н .
Фигуры домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх квадратов так , чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Разрежьте полученную фигуру на две части так , чтобы из них можно было сложить квадрат .
Говорят , что квадрат со стороной 1 м имеет площадь один квадратный метр ( 1 м2 ) .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
Прямоугольник 4 x 9 разрежьте на две части так , чтобы из них можно было сложить квадрат .
Примером правильного многоугольника является квадрат .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Квадрат со стороной 1 см имеет площадь один квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Цифры около фигуры домино соответствуют номеру фигуры тримино , которая получится , если на место цифры приложить третий квадрат .
Постройте в тетради квадрат со стороной : а ) 4 см ; б ) 34 мм .
Фигуры пентамино можно получить из фигур тетрамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
Фигуры гексамино можно получить из фигур пентамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
Квадрат со стороной 1 мм имеет площадь один квадратный миллиметр ( 1 мм2 ) .
Учтите , что квадрат является прямоугольником .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Квадрат со стороной 1 км имеет площадь один квадратный километр ( 1 км2 ) .
Перечертите в тетрадь квадрат 4 x 4 клетки .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Другой магический квадрат был составлен в Индии в I веке н .
Изображён квадрат MNKL .
Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино , приставляя к ней различными способами ещё один квадрат .
б ) Является ли любой квадрат прямоугольником ?
Квадрат со стороной 1 дм имеет площадь один квадратный дециметр ( 1 дм2 ) .
Из листа фанеры размером 11 см х 15 см выпилили два квадрата со стороной 5 см и три прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см. Определите площадь оставшейся части .
Так как у квадрата все стороны равны , площадь квадрата равна второй степени его стороны .
б ) Найдите сторону квадрата , площадь которого равна площади данного прямоугольника .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
Сторону квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр квадрата ? .
Сторону квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр квадрата ? .
Как изменится периметр квадрата , если его сторону : а ) увеличить в 2 раза ; б ) уменьшить в 3 раза ? .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Закрасьте : а ) 1/2 квадрата ; б ) 1/4 квадрата ; в ) 1/8 квадрата .
Закрасьте : а ) 1/2 квадрата ; б ) 1/4 квадрата ; в ) 1/8 квадрата .
Закрасьте : а ) 1/2 квадрата ; б ) 1/4 квадрата ; в ) 1/8 квадрата .
в ) Чему равна площадь квадрата ? .
Это площадь квадрата со стороной 100 м .
Это площадь квадрата со стороной 10 м .
Говорят , что площадь единичного квадрата равна одной квадратной единице ( 1 м2 , 1 дм2 ) .
Так как у квадрата все стороны равны , площадь квадрата равна второй степени его стороны .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
Сторона квадрата равна 13 см. Найдите его периметр .
Во сколько раз увеличится площадь квадрата , если его сторону увеличить : а ) в 2 раза ; б ) в 3 раза ; в ) в 10 раз ? .
Докажите , что сумма всех чисел любого магического квадрата 3 x 3 делится на 3 .
Запишите число в виде квадрата натурального числа .
Найдите длину стороны квадрата .
Периметр квадрата равен : а ) 16 см ; б ) 14 см ; в ) 13 см ; г ) 17 см .
Вычислите периметр квадрата , сторона которого равна .
Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата — всего квадрата .
Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата — всего квадрата .
Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3 квадрата — всего квадрата .
Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3 квадрата — всего квадрата .
Жёлтые квадраты расположены в четырёх рядах по 3 квадрата в каждом , т .
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной 1 дм .
Одну сторону квадрата разделим на 4 равные части ; три из них составляют длину прямоугольника .
Необходимо покрыть кафельной плиткой пол , имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется , если в каждом ящике 50 плиток ?
Вычислите площадь и периметр квадрата со стороной .
Считать начинали с правого верхнего угла квадрата .
Другую сторону квадрата разделим на 3 равные части ; две из них составляют ширину прямоугольника .
Прямоугольник с основанием а 3 см и высотой b 5 см. Его можно разрезать на 5 слоёв по 3 квадрата в каждом слое , т .
В квадрате 3x3 расставьте числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 так , чтобы сумма чисел в каждой строке , в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова .
Запись 52 читают « пять в квадрате » .
Говорят , что площадь единичного квадрата равна одной квадратной единице ( 1 м2 , 1 дм2 ) .
квадрат со стороной 1 дм имеет площадь один квадратный дециметр ( 1 дм2 ) .
квадрат со стороной 1 см имеет площадь один квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
квадрат со стороной 1 км имеет площадь один квадратный километр ( 1 км2 ) .
Говорят , что квадрат со стороной 1 м имеет площадь один квадратный метр ( 1 м2 ) .
квадрат со стороной 1 мм имеет площадь один квадратный миллиметр ( 1 мм2 ) .
Используя степень числа 10 , квадратный километр можно записать так .
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным единицам .
Определите площадь каждого участка в квадратных метрах .
Выразите его площадь в квадратных метрах ; в арах ; в гектарах .
Выразите в квадратных дециметрах .
После этого складывали полученные результаты вдоль диагоналей квадратов .
жёлтых квадратов .
Фигуры домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх квадратов так , чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом .
В чём заключается магическое свойство этих квадратов ? .
В каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 красных квадратов , а всего в каждом ряду квадратов .
В каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 красных квадратов , а всего в каждом ряду квадратов .
Подсчитаем двумя способами число квадратов .
Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру домино .
на 15 единичных квадратов со стороной 1 см. Следовательно , его площадь S равна .
Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же .
Красных квадратов , а всего квадратов .
В четырёх же рядах всего квадратов .
Сравните суммы чисел в строчках , столбцах и диагоналях квадратов .
Квадрат площадью 1 м2 разрезали на несколько равных квадратов площадью .
Сколько таких квадратов получилось ? .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Переместительный закон умножения легко проверить при подсчёте двумя способами числа квадратов .
Переложите 2 спички так , чтобы получилось 5 равных квадратов .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Составьте таблицу квадратов чисел от 0 до 15 .
С помощью единичных квадратов измеряют площади прямоугольников .
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным единицам .
Одно и то же число квадратов подсчитано двумя способами .
Красных квадратов , а всего квадратов .
Вторую степень числа называют также квадратом числа .
Что называют : а ) квадратом числа ; б ) кубом числа ? .
Фигуры домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх квадратов так , чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом .
Прямоугольник , у которого все стороны равны , называют квадратом .
а ) Какой прямоугольник называют квадратом ? .
Является ли любой прямоугольник квадратом ? .
Какой из четырёхугольников является : а ) прямоугольником ; б ) квадратом ? .
Поэтому часто вторую степень числа называют квадратом числа .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Жёлтые квадраты расположены в четырёх рядах по 3 квадрата в каждом , т .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3 квадрата — всего квадрата .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата — всего квадрата .
У всех пирамид 128 колец .
а ) Для детского сада купили 20 пирамид : больших и маленьких — по 7 и по 5 колец .
За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк , если за один ход разрешается переносить только одно кольцо ; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее .
Решите задачу : а ) для четырёх колец ; б ) для пяти колец .
Решите задачу : а ) для четырёх колец ; б ) для пяти колец .
Имеется 3 штырька , на один из которых насажены 3 кольца .
За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк , если за один ход разрешается переносить только одно кольцо ; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее .
Саша из 10 бросков имел 6 попаданий в кольцо , а Коля из 8 бросков имел 5 попаданий .
За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк , если за один ход разрешается переносить только одно кольцо ; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее .
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами .
Назовите три точки , расположенные на координатном луче правее точек с указанными координатами , и три точки , расположенные левее их .
Обозначьте точки с координатами 7 , 5 , 3 , 1 соответственно буквами А , В , С и D .
Например , отмечена точка А с координатой 5 , пишут A(5 ) .
Эту точку называют точкой n или точкой с координатой n .
Точку , изображающую на координатном луче дробь , называют точкой с координатой или , коротко , точкой .
A говорят : « точка А с координатой .
Найдите координату точки В по координатам точки А и точки С — середины отрезка АВ .
Например , точка А имеет координату .
Найдите координату середины отрезка , соединяющего точки .
Говорят ещё , что точка О имеет координату О , и пишут О(0 ) .
Найдём длину отрезка , соединяющего точки а и b , и координату середины этого отрезка .
По рисунку определите координату точки А приближённо с точностью до 1 : а ) с недостатком ; б ) с избытком .
Таким образом , можно вычислить координату середины отрезка , соединяющего любые две рациональные точки .
В этом случае точка , имеющая бόльшую координату , расположена на координатном луче правее .
Середина этого отрезка имеет координату .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину длины отрезка АB .
Координаты точек А и В , найдите координаты точек С и D .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Укажите координаты точек А , В , С , D и Е. Найдите расстояние от этих точек до нулевой точки .
Найдите координаты точек , делящих отрезок АВ на три равные части .
Если а делится на b , то говорят ещё , что а кратно b.
Например , число 48 кратно числу 24 .
Чему равно наименьшее общее кратное чисел 10 и 15 ? .
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел , не выполняя разложения чисел на простые множители .
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел .
Объясните , почему наименьшее общее кратное двух чисел .
Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел ? .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них .
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей , то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел .
Наименьшее общее кратное двух чисел обычно находят одним из двух способов .
Чему равно наименьшее общее кратное чисел 100 ! и 50 ! ? .
Наименьшее общее кратное .
Общее кратное .
Числу 12 кратны числа 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 и т .
д. Числу 18 кратны числа 18 , 36 , 54 , 72 , 90 , 108 , 126 и т .
Из чисел выберите числа , кратные .
Мы видим , что имеются числа , кратные одновременно 12 и 18 .
Будем выписывать числа , кратные 24 ( большему из данных чисел ) , проверяя , делится ли каждое из них на 18 .
Найдите все числа вида , кратные 36 .
Оно простое — обведём его кружком , а все незачёркнутые числа , кратные ему ( они стоят в третьем столбце ) , вычеркнем .
Число 2 простое — обведём его кружком , а все числа , кратные ему ( они стоят во втором , четвёртом и шестом столбцах ) , вычеркнем .
Оно простое обведём его кружком , а все незачёркнутые числа , кратные ему ( они расположены на параллельных прямых ) , вычеркнем .
Число , делящееся на 12 , называют кратным числу 12 .
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Например , 36 , 72 , 108 , — Эти числа называются общими кратными чисел 12 и 18 .
Напишите 5 чисел , кратных числу .
Найдите несколько чисел , кратных 10 , и несколько чисел , кратных 15 .
Найдите несколько общих кратных чисел 10 и 15 .
Найдите несколько чисел , кратных 10 , и несколько чисел , кратных 15 .
а ) Почему после « просеивания » чисел , кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа ? .
После вычеркивания из таблицы чисел , кратных 7 ( они также расположены на параллельных прямых ) , в ней останутся только простые числа — они тоже обведены кружком .
На сколько частей могут разбить круг три различные хорды ? .
Окружность и круг .
На рисунке изображён круг с центром О и радиусом ОА .
Назовите какой - нибудь предмет , имеющий форму круга .
Изучая главу 2 , вам предстоит повторить всё , что знаете о геометрических фигурах и их измерении , а также узнать много нового и интересного об углах , треугольниках и четырёхугольниках , окружностях и кругах , о равных фигурах .
Они решили , что водить будет та из них , которая окажется 25-й при счёте по кругу .
з ) куб суммы чисел .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Является ли любой куб прямоугольным параллелепипедом ?
Вырежьте развёртку из бумаги , оставляя припуски для склеивания , и склейте куб .
В результате куб разделён на равные части , объём каждой из которых равен дм3 .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см. У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань ; только две грани ; три грани ? .
Куб разности чисел .
6 ) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
Подсчитайте , сколько различных развёрток имеет куб .
Перерисуйте рисунок в тетрадь и обведите жирной линией видимые рёбра куба так , чтобы куб был виден : а ) сверху и справа ; б ) снизу и слева .
а ) Какой куб называют единичным ? .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Одно ребро куба разделим на пять равных частей ; две из них составляют ширину параллелепипеда .
Другое ребро куба разделим на две равные части ; одна из них составляет длину параллелепипеда .
Во сколько раз увеличится объём куба при увеличении его ребра : а ) в 2 раза ; б ) в 3 раза ; в ) в 10 раз ? .
Для этого достроим прямоугольный параллелепипед до куба с ребром 1 дм .
Так как у куба все рёбра равны , т .
объём куба равен третьей степени длины его ребра .
а ) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба , т .
Вычислите площадь всех граней и объём куба с ребром .
а ) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба , т .
Объём единичного куба принимают за единицу измерения объёмов .
Перерисуйте рисунок в тетрадь и обведите жирной линией видимые рёбра куба так , чтобы куб был виден : а ) сверху и справа ; б ) снизу и слева .
Постройте развёртку куба со стороной 2 см .
в ) Чему равен объём куба ? .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
Постройте развёртку куба , ребро которого м .
На гранях куба написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи .
Вычислите объём куба с ребром .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося куба .
Всего прямоугольный параллелепипед содержит 24 единичных куба , т .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
Составьте таблицу кубов чисел от 0 до 10 .
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на h единичных кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
и ) разность кубов чисел .
сумму кубов чисел .
Третью степень числа называют кубом числа .
Что называют : а ) квадратом числа ; б ) кубом числа ? .
а ) Что называют кубом ? .
б ) Является ли любой прямоугольный параллелепипед кубом ?
Поэтому часто третью степень числа называют кубом числа .
Прямоугольный параллелепипед , у которого все рёбра равны , называют кубом .
Куб , ребро которого равно лилейной единице , называют единичным кубом .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
При этом предполагается , что стороны прямоугольника измерены в одинаковых линейных единицах .
При этом предполагается , что рёбра прямоугольного параллелепипеда измерены в одинаковых линейных единицах .
Существует ли замкнутая ломаная , имеющая три звена , длины которых равны ? .
Например , ломаная ABCDEА замкнутая .
Многоугольник , замкнутая ломаная линия , не являющаяся многоугольником .
Длина ломаной .
Если никакие два из этих отрезков , имеющих общие точки , не лежат на одной прямой , то полученную линию называют ломаной линией или , коротко , ломаной и обозначают ABCDE .
Если никакие два из этих отрезков , имеющих общие точки , не лежат на одной прямой , то полученную линию называют ломаной линией или , коротко , ломаной и обозначают ABCDE .
Отрезки АВ , ВС , CD ) и DE называют звеньями ломаной .
Сумму длин всех звеньев ломаной называют длиной ломаной .
Сумму длин всех звеньев ломаной называют длиной ломаной .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
Например , длина ломаной ABCDE .
Длина ломаной ABCDE больше расстояния АЕ между её концами .
Если конец ломаной совпадает с её началом , то ломаную называют замкнутой .
Фигуру , образованную такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев ломаной , называют многоугольником .
Фигуру , образованную такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев ломаной , называют многоугольником .
а ) Какую линию называют ломаной линией ? .
Докажите , что длина ломаной АВС больше длины ломаной АDC .
Что называют звеньями ломаной ? .
АВ – 3 см , ВС — 4 см , СD — 13 см , АD — 12 см. Определите длину ломаной ABCD и расстояние между её концами .
Докажите , что длина ломаной АВС больше длины ломаной АDC .
Постройте ломаную ABODE .
г ) Какую ломаную называют замкнутой ? .
Как обозначают ломаную ? .
Если конец ломаной совпадает с её началом , то ломаную называют замкнутой .
Заметим , что многоугольником называют как замкнутую ломаную , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Как построить координатный луч ? .
Из вершины угла проведите луч так , чтобы один из образовавшихся углов был : а ) в 4 раза больше другого ; б ) на 20 ° больше другого .
Невозможно полностью изобразить бесконечный координатный луч , но можно себе его представить ( вообразить ) .
Координатный луч .
При этом на первом месте ставится буква , обозначающая начало луча , а на втором — буква , обозначающая какую - либо другую его точку : луч АВ .
Постройте координатный луч с единичным отрезком 1 см ( 2 клетки тетради ) .
д. , с той лишь разницей , что любая линейка ограничена ( конечна ) , а координатный луч неограничен ( бесконечен ) .
Обычно координатный луч располагают горизонтально и направляют слева направо .
Внутри развёрнутого угла ABC проведите луч BD .
На рисунке изображён координатный луч .
Координатный луч напоминает линейку , на которой отмечены числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 и т .
Для этого задают луч , выходящий из точки О в направлении , отмеченном стрелкой , и отрезок , длину которого принимают за единицу .
Мы построили координатный луч .
Дан координатный луч .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево .
При этом на первом месте ставится буква , обозначающая начало луча , а на втором — буква , обозначающая какую - либо другую его точку : луч АВ .
Внутри развёрнутого угла АОВ проведены два луча OD и ОС так , что AOC 130 ° , a DOB 120 ° .
Проведите внутри этого угла два луча OD и ОЕ .
Это — расстояние , которое проходил человек спокойным шагом за промежуток времени , измеряемый от появления первого луча солнца на рассвете до появления над горизонтом полного солнечного диска .
Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 координатного луча попасть в точку 4 ?
Поэтому натуральные числа можно сравнивать при помощи координатного луча по правилу .
Два различных луча ВА и ВС с общим началом В. Они делят плоскость на две части , называемые углами .
Как сравнивают натуральные числа при помощи координатного луча ? .
Если на прямой отметить точку , то образуется два луча , выходящих из одной точки .
Изобразите эти точки на координатном луче .
Изобразите на координатном луче точки .
Покажите на этом луче точки .
Ha координатном луче можно изобразить любую дробь .
Представление дробей на координатном луче .
Изобразите на координатном луче ( возьмите единичный отрезок длиной 6 см ) точки О .
Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатном луче точки .
Точку , изображающую на координатном луче дробь , называют точкой с координатой или , коротко , точкой .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче правее точки , а длина отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
Назовите три точки , расположенные на координатном луче правее точек с указанными координатами , и три точки , расположенные левее их .
Представление натуральных чисел на координатном луче .
На луче AM отложили отрезки AB и АС , АС 89 см. Найдите длину отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Для этого надо часть единичного отрезка отложить р раз на координатном луче от точки О .
На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной длины .
Какая из точек А(5 ) , B(100 ) и С(56 ) расположена на координатном луче : а ) правее других ; б ) левее других ? .
точка b на координатном луче находится правее точки а .
В этом случае точка , имеющая бόльшую координату , расположена на координатном луче правее .
Из двух натуральных чисел больше то , которое на координатном луче находится правее .
Сколько отрезков и сколько лучей при этом образовалось ? .
Отметьте на листе бумаги точку , проведите несколько лучей с началом в этой точке .
Назовите все лучи с вершиной в точках А , В и С. Сколько лучей получилось ? .
Сколько лучей с началом в этой точке они образуют ? .
Запишите обозначения прямой и полученных лучей .
Сколько получится лучей , если на прямой отметить : а ) 3 точки ; б ) 5 точек ; в ) 100 точек ? .
Сколько таких лучей можно провести ? .
Отметьте на прямой две точки А и В. Сколько получилось лучей с началом в этих точках ? .
Если лист бумаги перегнуть по прямой BD , то лучи ВA и ВС совпадут .
Точку В называют вершиной угла , лучи ВА и ВС — его сторонами .
Эти лучи тоже делят плоскость на две части , каждую из которых называют развёрнутым углом .
Перегнём лист бумаги так , чтобы лучи BA и BС совпали , и расправим лист .
Назовите все лучи с вершиной в точках А , В и С. Сколько лучей получилось ? .
Что называют лучом ? .
Каждую из этих частей называют лучом с началом в точке A . Луч , так же как и прямую , обозначают двумя заглавными буквами .
Другой магический квадрат был составлен в Индии в I веке н .
Первый магический квадрат был составлен в Китае в V – IV веке до н .
Докажите , что сумма всех чисел любого магического квадрата 3 x 3 делится на 3 .
Если в записи многозначного числа какие - либо цифры заменены буквами , то над записью числа ставят черту .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Чтобы прочитать многозначное число , цифры в его записи разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой .
Многозначные .
В Древней Индии умножали многозначные числа совсем не так , как мы это делаем теперь .
Натуральные числа , записанные одной цифрой , называют однозначными , а записанные несколькими цифрами — многозначными : двумя — двузначными , тремя — трёхзначными и т .
Для однозначных и двузначных чисел деление , как правило , производится в уме , а для многозначных — уголком .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
По числу сторон многоугольник называют треугольником , четырёхугольником , пятиугольником и т .
Многоугольник ABCDE выпуклый , а многоугольник MNKLO нет .
г ) Какой многоугольник называют выпуклым ? .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
Отрезок , соединяющий две несоседние вершины многоугольника , называют диагональю многоугольника .
в ) Что называют периметром многоугольника ? .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его вершины , от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Определите периметр многоугольника .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
Что называют сторонами , углами , вершинами многоугольника ? .
Определите площадь многоугольника .
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости .
Два многоугольника называют равными , если их можно совместить при наложении .
Примером правильного многоугольника является квадрат .
Диагональ многоугольника .
Отрезок , соединяющий две несоседние вершины многоугольника , называют диагональю многоугольника .
Задайте формулой зависимость d от n . а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника от числа его сторон ( n ) .
Вершина многоугольника .
Сумму длин сторон многоугольника называют его периметром .
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его вершины , от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Периметр многоугольника .
д ) Какие многоугольники называют равными ? .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
Равные многоугольники имеют равные площади .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
а ) Что называют многоугольником ? .
Фигуру , образованную такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев ломаной , называют многоугольником .
Многоугольник , замкнутая ломаная линия , не являющаяся многоугольником .
Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву : Шиве третья доля этого множества .
Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву : Шиве третья доля этого множества .
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
Из каких чисел состоит множество всех натуральных чисел ? .
Разбейте множество натуральных чисел на классы по остаткам от деления на 3 ; 4 ; 7 .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел , составных чисел и единицы .
Затем перемножали попарно цифры множителей и результат записывали в соответствующую клетку таблицы так : цифру единиц писали вверху клетки , цифру десятков — внизу .
Если один ив множителей делится на некоторое число , то и произведение делится на это число .
Запишите число в виде произведения двух равных множителей .
Запишите каждое из чисел 15 ; 25 ; 13 ; 24 ; 36 ; 14 ; 17 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами .
Запишите число в виде произведения двух множителей .
От перестановки множителей произведение не меняется .
Из законов умножения следует , что в произведении нескольких множителей можно менять местами множители и заключать их в скобки любым способом .
Степенью числа а с натуральным показателем называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Представьте данное произведение в виде произведения возможно большего числа множителей , отличных от 1 .
Запишите следующее число в виде произведения двух множителей различными способами .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
Для этого надо взять каждый из простых делителей числа 90 , их всевозможные произведения , содержащие не больше одного множителя 2 , двух множителей 3 и одного множителя 5 .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
Запишите число в виде произведения двух множителей всеми возможными способами .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
Число 3 показывает , сколько раз нужно взять множителем основание степени — число 2 .
Разложим числа 180 и 336 на простые множители .
Из законов умножения следует , что в произведении нескольких множителей можно менять местами множители и заключать их в скобки любым способом .
Разложение на простые множители .
Все делители числа 90 можно получить из разложения числа 90 на простые множители .
Покажем , как можно разложить число 90 на простые множители . 1 ) 90 делится на 2 .
Даны разложения чисел а и b на простые множители , найдите НОД ( а , b ) и НОК ( а , 1 ) .
Даны разложения чисел а и b на простые множители .
Разложите на простые множители число .
б ) Что значит разложить число на простые множители ?
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел , не выполняя разложения чисел на простые множители .
Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 28 , 22 , 81 и 100 .
числа 2 , 2 , 2 , 3 ) и ещё множители из разложения меньшего числа 18 , которых нет в разложении большего числа ( т . е .
Разложим числа 24 и 18 на простые множители : НОК ( 24 , 18 ) должно делиться и на 24 , и на 18 .
Разложим числа 56 и 45 на простые множители .
С помощью разложения чисел на простые множители докажите , что являются взаимно простыми числа .
Разложить данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней .
Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3 .
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Левая часть равенства ( 2 ) есть дробь , числитель и знаменатель которой имеют общий множитель n.
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Дополнительный множитель .
Для решения той же задачи можно составить числовое выражение , вынести общий множитель 3 за скобки .
Дополнительный множитель обычно пишут слева над числителем .
Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8 .
Вынесите общий множитель за скобки .
И ещё надо добавить множитель 1 .
Вынесение общего множителя за скобки позволяет упрощать вычисления .
Переход от суммы к произведению и от разности к произведению называют вынесением общего множителя за скобки .
Для этого надо взять каждый из простых делителей числа 90 , их всевозможные произведения , содержащие не больше одного множителя 2 , двух множителей 3 и одного множителя 5 .
Вынесение общего множителя за скобки .
Для этого надо взять каждый из простых делителей числа 90 , их всевозможные произведения , содержащие не больше одного множителя 2 , двух множителей 3 и одного множителя 5 .
Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок , сколько каждый из них имеет ; наконец , третий даёт каждому из двух столько яблок , сколько есть у каждого в этот момент .
Как далеко друг от друга в этот момент находились лодка и шляпа , если собственная скорость лодки 8 км / ч .
Кто из них в момент встречи будет ближе к селу ? .
В какой - то момент сын уронил за борт папину шляпу .
Рассмотрим примеры нахождения наибольшего общего делителя .
Часто наибольший общий делитель числителя и знаменателя сразу указать трудно .
б ) Чему равен наибольший общий делитель чисел 100 !
Объясните , почему наибольший общий делитель двух чисел .
Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел ? .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них .
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя .
В результате большой работы была найдена длина парижского меридиана в существовавших тогда французских мерах длины — туазах ( 1 туаз — 1 м 95 см ) .
После того как найдена « середина » в ряду делителей , остальные делители найдём делением .
Решения таких задач можно оформить с помощью вопросов и ответов на них , а можно использовать более короткую запись — после действия пояснять , что найдено этим действием .
Но общей формулы простых чисел пока не найдено .
Даны разложения чисел а и b на простые множители , найдите НОД ( а , b ) и НОК ( а , 1 ) .
Используя этот приём , найдите все делители числа .
Прибавьте к уменьшаемому и вычитаемому по 1 ; по 2 ; по 3 и в каждом случае найдите разность .
Координаты точек А и В , найдите координаты точек С и D .
Другие делители найдём , составляя различные произведения из этих простых делителей .
Сначала найдём одну треть первоначальной суммы , а потом и три третьих .
Например , найдём значение числового выражения .
Для этого найдём число , которое делится на 8 и на 3 , например 24 .
Сначала найдём одну пятую от 1000 р . , а потом две пятых : 1 ) 200 ( р . ) ; 2 ) 400 ( р . ) .
После того как найдена « середина » в ряду делителей , остальные делители найдём делением .
Найдём число карандашей в первой коробке : 18 ( кар . ) .
Каким действием можно найти задуманное число ?
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Объясните , как найти неизвестное число х .
Пусть теперь надо найти число , которого равны 60 .
Итак , чтобы найти путь , пройденный телом при равномерном движении , нужно его скорость умножить на время движения ( в дальнейшем слово « равномерное » для краткости опускается , но подразумевается ) .
Чтобы найти скорость , нужно путь разделить на время движения , а чтобы найти время , нужно путь разделить на скорость .
Как найти 3/5 числа 30 ? .
Как найти число , 3/5 которого равны 30 ? .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
Чтобы найти числа , можно умножить на это число .
Тогда это неизвестное число можно найти , разделив 60 на .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
С помощью умножения и деления решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного в несколько раз , ответить на вопросы « во сколько раз больше ? » , « во сколько раз меньше ? » и т .
Чтобы найти 1/4 от 600 р . , надо эту сумму разделить на 4 : 150 ( р . ) .
С помощью сложения и вычитания решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного на несколько единиц , ответить на вопросы « на сколько больше ? » , « на сколько меньше ? » , « сколько всего ? » , « сколько осталось ? » и т .
Например , пусть требуется найти площадь S прямоугольника ABCD .
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно найти разность натуральных чисел а и b .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
С помощью умножения решают задачи , в которых требуется найти число , большее данного в несколько раз .
Чтобы найти эту сумму , надо 50 р .
Купили 3 коробки конфет по 400 г и 4 пачки печенья по 250 г. Вес чего можно найти следующим способом .
а ) Каким числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые числа в натуральном ряду , и найти общую формулу для нахождения простых чисел .
Учащиеся выполняли задание , в котором требуется найти пропущенные числа .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Чтобы найти скорость , нужно путь разделить на время движения , а чтобы найти время , нужно путь разделить на скорость .
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
Рассмотрим решения задач , в которых требуется найти часть числа или число но его части .
а ) Каким натуральным числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Пусть надо найти разность 9 - 6 .
Луч обычно располагают горизонтально и направляют вправо .
Обычно координатный луч располагают горизонтально и направляют слева направо .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
В самом деле , будем перемножать последовательно числа натурального ряда на 3 .
Дробь с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи натурального числа р .
Числа можно сравнивать при помощи натурального ряда .
Отметим , что для любого натурального числа а верны равенства .
Число 14 не делится нацело на 3 , так как нет натурального числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до n .
Запишите число в виде квадрата натурального числа .
Существует ли целое число , меньшее любого натурального числа ? .
Первую цифру слева в записи натурального числа называют цифрой высшего разряда .
Убедитесь с помощью натурального ряда .
Докажите , что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число чётное .
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым делителем натурального числа ? .
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым делителем натурального числа ? .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
Поэтому все натуральные числа записать невозможно , и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три точки ) .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Можно считать , что произведение натурального числа n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Первую цифру слева в записи натурального числа называют цифрой высшего разряда .
Запишите число в виде квадрата натурального числа .
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым делителем натурального числа ? .
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до n .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
Докажите , что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число чётное .
Дробь с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи натурального числа р .
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым делителем натурального числа ? .
Отметим , что для любого натурального числа а верны равенства .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Можно считать , что произведение натурального числа n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Существует ли целое число , меньшее любого натурального числа ? .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
Число 14 не делится нацело на 3 , так как нет натурального числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b делится на натуральное число с , то верно равенство .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Каждое натуральное число а больше нуля ; это записывают так : а>0 .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Напишите три числа , которые можно записать в виде . a ) 2k ; б ) 5k ; в ) 20k ; г ) 7k , где k — натуральное число .
Покажите , что нечётные числа 7 , 9 , 5 , 13 можно записать в виде , где k — некоторое натуральное число .
б ) Какое натуральное число а можно взять , чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13 ?
б ) Как разделить дробь на натуральное число ? .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
а ) Выберите такое натуральное число n , чтобы задача имела решение .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Если q — натуральное число , то дробь — ( читается « одна кутая » ) означает одну кутую часть единицы .
Очевидно , что получаемые таким образом классы чисел не имеют общих чисел каждое натуральное число входит только в один класс .
б ) Какое самое большое натуральное число а можно взять , чтобы разность в задании а была натуральным числом ? .
Что получается при делении нуля на любое натуральное число ?
Принято считать число 0 равным дроби вида , где q — любое натуральное число .
Как умножить натуральное число на дробь ?
Покажите , что чётные числа 18 , 20 , 48 , 96 можно записать в виде 2k , где k — некоторое натуральное число .
Каждое натуральное число р делится на 1 и само на себя .
в ) натуральное число на натуральное число . г ) нуль на нуль ? .
в ) Является ли натуральное число рациональным числом ?
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Говорят , что а делится на b нацело , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Когда говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b ? .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Любое натуральное число а делить на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя .
Так как любое натуральное число n можно представить в виде дроби , то справедливо равенство .
Чтобы разделить дробь на натуральное число , можно её знаменатель умножить на это число .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Простым числом называют такое натуральное число , которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
Каждое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых .
Например , где р — любое натуральное число .
Покажите , что любое из чисел 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 можно записать в виде 5 k , где k — некоторое натуральное число .
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
помощью распределительного закона можно коротко выполнить деление смешанной дроби на натуральное число .
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
в ) натуральное число на натуральное число . г ) нуль на нуль ? .
Каждое составное число делится на 1 , само на себя и ещё хотя бы на одно натуральное число .
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
На какие числа делится нацело любое натуральное число ? .
Когда говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b ? .
Очевидно , что получаемые таким образом классы чисел не имеют общих чисел каждое натуральное число входит только в один класс .
Например , где р — любое натуральное число .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Говорят , что а делится на b нацело , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Напишите три числа , которые можно записать в виде . a ) 2k ; б ) 5k ; в ) 20k ; г ) 7k , где k — натуральное число .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
в ) Является ли натуральное число рациональным числом ?
Если q — натуральное число , то дробь — ( читается « одна кутая » ) означает одну кутую часть единицы .
Покажите , что нечётные числа 7 , 9 , 5 , 13 можно записать в виде , где k — некоторое натуральное число .
Что получается при делении нуля на любое натуральное число ?
а ) Выберите такое натуральное число n , чтобы задача имела решение .
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
помощью распределительного закона можно коротко выполнить деление смешанной дроби на натуральное число .
Покажите , что чётные числа 18 , 20 , 48 , 96 можно записать в виде 2k , где k — некоторое натуральное число .
Принято считать число 0 равным дроби вида , где q — любое натуральное число .
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
в ) натуральное число на натуральное число . г ) нуль на нуль ? .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Чтобы разделить дробь на натуральное число , можно её знаменатель умножить на это число .
Простым числом называют такое натуральное число , которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
Любое натуральное число а делить на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя .
Когда говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b ? .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Так как любое натуральное число n можно представить в виде дроби , то справедливо равенство .
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
б ) Какое самое большое натуральное число а можно взять , чтобы разность в задании а была натуральным числом ? .
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Каждое составное число делится на 1 , само на себя и ещё хотя бы на одно натуральное число .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
б ) Как разделить дробь на натуральное число ? .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b делится на натуральное число с , то верно равенство .
Когда говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b ? .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Каждое натуральное число а больше нуля ; это записывают так : а>0 .
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
в ) натуральное число на натуральное число . г ) нуль на нуль ? .
Покажите , что любое из чисел 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 можно записать в виде 5 k , где k — некоторое натуральное число .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Каждое натуральное число р делится на 1 и само на себя .
б ) Какое натуральное число а можно взять , чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13 ?
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
На какие числа делится нацело любое натуральное число ? .
Каждое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых .
Как умножить натуральное число на дробь ?
На первом место в натуральном ряду стоит число 1 , за ним следует число 2 , затем число 3 и т .
Запишите первое и последнее в натуральном ряду число : а ) двузначное ; б ) трёхзначное ; в ) четырехзначное .
4 а ) Назовите число , которое следует в натуральном ряду за числом : 13 , 276 , 3590 , 999 999
Назовите число , которое предшествует в натуральном ряду числу : 2 , 74 , 100 , 3050 , 438 109 , 1 000 000 .
6 Сколько чисел в натуральном ряду между числами .
Поэтому очень важно узнать тайны простых чисел — сколько их , как они распределены в натуральном ряду и т .
2 Есть ли в натуральном ряду .
3 У каждого ли числа в натуральном ряду есть .
Отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево шесть чисел .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 6 чисел .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим число 9 .
5 Сколько чисел в натуральном ряду .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые числа в натуральном ряду , и найти общую формулу для нахождения простых чисел .
Но можно отметить в натуральном ряду сначала число 3 и отсчитать от него вправо 5 чисел .
Постройте развёртку спичечного коробка на альбомном листе в натуральную величину .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Например , если в формулу подставлять вместо n натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 40 , то будут получаться простые числа .
Как сравнивают натуральные числа при помощи координатного луча ? .
в ) Можно ли подобрать такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
Поэтому натуральные числа можно сравнивать при помощи координатного луча по правилу .
а ) Подберите такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось равенство .
Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей , где а , b , с , d — нечётные натуральные числа ? .
В дальнейшем слова « натуральные » и « нацело » будем опускать для краткости .
Таким образом , числа : один , два , три , десять , сто , тысяча , миллион , миллиард — натуральные числа .
Запишите натуральные числа 1 , 2 , 5 в виде дроби со знаменателем .
С его помощью натуральные числа и нуль изображаются точками .
Числа натуральные .
б ) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле , если брать последовательные натуральные числа , начиная с n = 1 ? .
Пусть а и b — натуральные числа и а больше или равно .
Поэтому натуральные числа называют ещё целыми положительными числами .
Число , которое можно записать в виде где р и q — натуральные числа , называют рациональным числом .
Здесь а , b , х и у — натуральные числа .
Если p и q натуральные числа , то дробь — ( читается « пэ кутых » ) означает пэ кутых части единицы .
а и b — натуральные числа .
В формуле и далее числители и знаменатели дробей — натуральные числа .
Непростые натуральные числа , большие единицы , называют составными .
Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа .
Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
в ) сумма делится на 13 , где а и с — натуральные числа .
Поэтому все натуральные числа записать невозможно , и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три точки ) .
сумма делится на 3 , где а , b и с — натуральные числа .
Докажите , что если а , k и с — натуральные числа , то . Вычислите .
Почему нельзя подобрать такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
а , b , с и d — натуральные числа .
Поэтому натуральные числа называют ещё целыми положительными числами .
Таким образом , числа : один , два , три , десять , сто , тысяча , миллион , миллиард — натуральные числа .
Здесь а , b , х и у — натуральные числа .
Пусть а и b — натуральные числа и а больше или равно .
Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
Запишите натуральные числа 1 , 2 , 5 в виде дроби со знаменателем .
б ) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле , если брать последовательные натуральные числа , начиная с n = 1 ? .
Почему нельзя подобрать такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
Если p и q натуральные числа , то дробь — ( читается « пэ кутых » ) означает пэ кутых части единицы .
а и b — натуральные числа .
Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа .
В формуле и далее числители и знаменатели дробей — натуральные числа .
Поэтому натуральные числа можно сравнивать при помощи координатного луча по правилу .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
а , b , с и d — натуральные числа .
Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей , где а , b , с , d — нечётные натуральные числа ? .
Как сравнивают натуральные числа при помощи координатного луча ? .
Число , которое можно записать в виде где р и q — натуральные числа , называют рациональным числом .
в ) сумма делится на 13 , где а и с — натуральные числа .
сумма делится на 3 , где а , b и с — натуральные числа .
Поэтому все натуральные числа записать невозможно , и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три точки ) .
Докажите , что если а , k и с — натуральные числа , то . Вычислите .
С его помощью натуральные числа и нуль изображаются точками .
Непростые натуральные числа , большие единицы , называют составными .
в ) Можно ли подобрать такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
Например , если в формулу подставлять вместо n натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 40 , то будут получаться простые числа .
а ) Подберите такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось равенство .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно найти разность натуральных чисел а и b .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи , чтобы ответ выражался натуральным числом ?
а ) Каким натуральным числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
Определением степени с натуральным показателем можно пользоваться и для дробей .
б ) Какое самое большое натуральное число а можно взять , чтобы разность в задании а была натуральным числом ? .
Если в числовом выражении есть степень с натуральным показателем , то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий .
Натуральным числом ?
Что называют степенью числа а с натуральным показателем n ? .
Степенью числа а с натуральным показателем называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Нуль не считают натуральным числом .
Таким же образом можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем , большим единицы .
( Возраст каждого из сыновей выражается натуральным числом . ) .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Степень с натуральным показателем .
Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи , чтобы ответ выражался натуральным числом ?
д ) В каких странах число нуль считают натуральным числом ? .
Считают ли число нуль натуральным числом ? .
В том случае , когда одно из двух чисел является натуральным числом или правильной дробью , вычисления выполняются аналогично .
Считают ли число нуль натуральным числом ? .
Нуль не считают натуральным числом .
а ) Каким натуральным числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи , чтобы ответ выражался натуральным числом ?
Натуральным числом ?
Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи , чтобы ответ выражался натуральным числом ?
д ) В каких странах число нуль считают натуральным числом ? .
В том случае , когда одно из двух чисел является натуральным числом или правильной дробью , вычисления выполняются аналогично .
( Возраст каждого из сыновей выражается натуральным числом . ) .
б ) Какое самое большое натуральное число а можно взять , чтобы разность в задании а была натуральным числом ? .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Если длина , ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Л. Эйлер рассматривал и такую задачу : « Определить , сколько простых чисел содержится между двумя данными натуральными числами , не пересчитывая их непосредственно » .
в ) натуральными числами ? .
Это позволяло долго вести расчёты с долями единицы как с натуральными числами .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Числа , которые используют при подсчёте предметов , называют натуральными числами .
Если длина и ширина прямоугольника выражены натуральными числами а и b , то его площадь S вычисляется как произведение .
Л. Эйлер рассматривал и такую задачу : « Определить , сколько простых чисел содержится между двумя данными натуральными числами , не пересчитывая их непосредственно » .
а ) Почему после « просеивания » чисел , кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа ? .
Из двух натуральных чисел больше то , у которого разрядов больше .
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел : а ) на 2 ; 6 ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 7 ? .
б ) На каком числе следует остановить « просеивание » , если в таблице будет 150 ; 10 000 первых натуральных чисел ? .
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
Поэтому на координатной оси можно изобразить только несколько первых натуральных чисел .
Делимость натуральных чисел интересовала математиков уже в глубокой древности .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон сложения .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является простым числом .
Из каких чисел состоит множество всех натуральных чисел ? .
Среди первых пяти натуральных чисел имеются два неравных числа m и n такие , что .
Итак , для любых натуральных чисел р и q всегда есть их частное : дробь .
1 а ) Назовите 15 первых натуральных чисел .
Какой наименьший остаток может получиться при делении натуральных чисел ? .
Из двух натуральных чисел с одинаковым числом разрядов больше то , у которого больше первая ( слева направо ) из неодинаковых цифр .
Из двух натуральных чисел больше то , которое в ряду натуральных чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
Ряд натуральных чисел .
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон умножения .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон умножения .
В старину для записи натуральных чисел использовались и особые рисунки , и чёрточки , и буквы , и т .
Сколько натуральных чисел : а ) однозначных ; б ) двузначных ; в ) трёхзначных ? .
Разбейте множество натуральных чисел на классы по остаткам от деления на 3 ; 4 ; 7 .
Некто утверждает , что знает 4 натуральных числа , произведение и сумма которых нечётные числа .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
В этой же книге указан способ ( алгоритм ) нахождения НОД двух натуральных чисел .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон сложения .
Из двух натуральных чисел больше то , которое на координатном луче находится правее .
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел ? .
Запишите пять натуральных чисел , не имеющих других простых делителей , кроме .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
Сколько раз используется каждая из цифр от 1 до 9 в записи первых 99 натуральных чисел ? .
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами .
Рассмотрим ряд натуральных чисел , отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Таким образом , шестидесятые доли таланта , мины ( любой единицы ) записывали с помощью натуральных чисел .
Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе .
3 ) Два натуральных числа равны , если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b делится на натуральное число с , то верно равенство .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Представление натуральных чисел на координатном луче .
Для дробей , как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы умножения .
Изучая главу 3 , вы узнаете свойства и признаки делимости натуральных чисел .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее распределительный закон .
Отметим , что два различных простых числа ( например , 17 и 23 ) , а также два соседних натуральных числа ( например , 24 и 25 ) являются взаимно простыми .
Так как переместительный закон умножения верен для натуральных чисел .
Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024 .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Так как сочетательный закон умножения верен для натуральных чисел .
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи натуральных чисел и дробей встречаются обозначения обыкновенных и смешанных дробей .
На доске записали несколько примеров на умножение натуральных чисел , потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки .
Десятичная система записи натуральных чисел .
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел , составных чисел и единицы .
Из полученных неравенств для натуральных чисел следует , что первая дробь меньше третьей .
Шестидесятиричная система записи натуральных чисел дала основу для записи дробей , так , 2 таланта 13 мин 41 шекель составляют шекель или таланта .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно найти разность натуральных чисел а и b .
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё , что вы знаете о натуральных числах , познакомиться со свойствами сложения и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
Для любых ли натуральных л число Р простое ? .
Из двух натуральных чисел больше то , которое в ряду натуральных чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
Сравнение натуральных чисел .
Докажите , что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми .
При вычислении значений числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
Запишите пять натуральных чисел , имеющих делителями числа .
Запись 5 ! читается « 5 факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5 .
Используя сочетательный закон сложения для натуральных чисел , проверьте равенство .
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до n .
Так как сочетательный закон сложения верен для натуральных чисел .
Так как переместительный закон сложения верен для натуральных чисел .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Глава 3 Делимость натуральных чисел .
Для дробей , как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы сложения .
Шестидесятиричная система записи натуральных чисел дала основу для записи дробей , так , 2 таланта 13 мин 41 шекель составляют шекель или таланта .
б ) На каком числе следует остановить « просеивание » , если в таблице будет 150 ; 10 000 первых натуральных чисел ? .
В этой же книге указан способ ( алгоритм ) нахождения НОД двух натуральных чисел .
Из двух натуральных чисел больше то , которое в ряду натуральных чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
Сколько раз используется каждая из цифр от 1 до 9 в записи первых 99 натуральных чисел ? .
Глава 3 Делимость натуральных чисел .
На доске записали несколько примеров на умножение натуральных чисел , потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки .
Разбейте множество натуральных чисел на классы по остаткам от деления на 3 ; 4 ; 7 .
Сравнение натуральных чисел .
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи натуральных чисел и дробей встречаются обозначения обыкновенных и смешанных дробей .
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами .
Ряд натуральных чисел .
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Запишите пять натуральных чисел , не имеющих других простых делителей , кроме .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Делимость натуральных чисел интересовала математиков уже в глубокой древности .
Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024 .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является простым числом .
Запишите пять натуральных чисел , имеющих делителями числа .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
Таким образом , шестидесятые доли таланта , мины ( любой единицы ) записывали с помощью натуральных чисел .
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до n .
1 а ) Назовите 15 первых натуральных чисел .
Представление натуральных чисел на координатном луче .
Из двух натуральных чисел больше то , которое в ряду натуральных чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
Из двух натуральных чисел больше то , которое на координатном луче находится правее .
Итак , для любых натуральных чисел р и q всегда есть их частное : дробь .
Запись 5 ! читается « 5 факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5 .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно найти разность натуральных чисел а и b .
Среди первых пяти натуральных чисел имеются два неравных числа m и n такие , что .
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
При вычислении значений числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
Изучая главу 3 , вы узнаете свойства и признаки делимости натуральных чисел .
а ) Почему после « просеивания » чисел , кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа ? .
Из двух натуральных чисел больше то , у которого разрядов больше .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон сложения .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Сколько натуральных чисел : а ) однозначных ; б ) двузначных ; в ) трёхзначных ? .
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел , составных чисел и единицы .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон умножения .
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон сложения .
Какой наименьший остаток может получиться при делении натуральных чисел ? .
Из каких чисел состоит множество всех натуральных чисел ? .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон умножения .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Для дробей , как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы сложения .
Из двух натуральных чисел с одинаковым числом разрядов больше то , у которого больше первая ( слева направо ) из неодинаковых цифр .
Десятичная система записи натуральных чисел .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b делится на натуральное число с , то верно равенство .
Так как переместительный закон сложения верен для натуральных чисел .
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел : а ) на 2 ; 6 ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 7 ? .
Так как сочетательный закон сложения верен для натуральных чисел .
Рассмотрим ряд натуральных чисел , отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Из полученных неравенств для натуральных чисел следует , что первая дробь меньше третьей .
Так как переместительный закон умножения верен для натуральных чисел .
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
Так как сочетательный закон умножения верен для натуральных чисел .
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел ? .
В старину для записи натуральных чисел использовались и особые рисунки , и чёрточки , и буквы , и т .
Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе .
Поэтому на координатной оси можно изобразить только несколько первых натуральных чисел .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее распределительный закон .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Используя сочетательный закон сложения для натуральных чисел , проверьте равенство .
Для дробей , как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы умножения .
3 ) Два натуральных числа равны , если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны .
Некто утверждает , что знает 4 натуральных числа , произведение и сумма которых нечётные числа .
Отметим , что два различных простых числа ( например , 17 и 23 ) , а также два соседних натуральных числа ( например , 24 и 25 ) являются взаимно простыми .
Докажите , что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё , что вы знаете о натуральных числах , познакомиться со свойствами сложения и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Число 14 не делится нацело на 3 , так как нет натурального числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них .
В дальнейшем слова « натуральные » и « нацело » будем опускать для краткости .
Известно , что число а делится нацело на число b.
Например , 120 делится нацело на 24 , следовательно , НОК ( 120 , 24)= 120 .
Если одно число делится нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно делится с остатком , равным нулю .
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Обычно слово « нацело » в этой фразе опускается .
Деление нацело .
На какие числа делится нацело любое натуральное число ? .
Так как 365 и 366 не делятся нацело на 12 , то дни распределили между месяцами неравномерно : январь , март , май , июль , август , октябрь , декабрь содержат по 31 дню , апрель , июнь , сентябрь , ноябрь — по 30 дней , а февраль содержит 28 дней в обычном году и 29 — в високосном году .
Чему равен остаток при делении нацело ? .
Говорят , что а делится на b нацело , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Когда говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b ? .
Ученица нашла НОК ( 33 , 198 ) и получила 99 .
а ) Брат с сестрой нашли в лесу 25 белых грибов .
Брат помнит , что он нашёл на 7 грибов больше , чем его сестра .
Сколько белых грибов нашёл каждый ? .
Ученик нашёл НОД ( 33 , 198 ) и получил 66 .
Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен — 2 сотни и десятки — 8 десятков , т .
Поэтому в решении задачи необходимо рассуждение , показывающее , какое действие надо применить .
Сколько километров в день ему необходимо проезжать , чтобы вернуться обратно за 9 дней ? .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Поэтому равенства верны для любых целых неотрицательных чисел .
Так как для неотрицательных чисел справедлив переместительный закон умножения , то верны равенства .
Любое из чисел а , b и с в равенстве и в равенстве может быть нулём , поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел .
Вычитать большее число из меньшего нельзя , оставаясь среди неотрицательных чисел .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
С помощью неотрицательных целых чисел можно вычислить разность а и b только в том случае , когда а больше или равно b.
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Поэтому переместительный и сочетательный законы сложения верны для любых неотрицательных чисел .
Правильная дробь меньше 1 , а неправильная дробь больше или равна 1 .
При сложении дробных частей двух смешанных дробей может получиться неправильная дробь .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
б ) Как записать смешанную дробь в виде неправильной дроби ? .
Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень .
Каждую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби .
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
а ) Как записать неправильную дробь в виде смешанной дроби ? .
Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Неправильными дробями .
В несложных случаях можно не записывать смешанные дроби в виде неправильных дробей .
Смешанные дроби можно сравнивать , не записывая их в виде неправильных дробей .
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями .
Из полученных неравенств для натуральных чисел следует , что первая дробь меньше третьей .
Прочитайте неравенство .
Запишите неравенство .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Если сумма чётная , то двухрублёвая монета в левой руке , если нечётная , то в правой .
Петя их не видел , но утверждает , что по количеству записанных чисел легко определит , чётная или нечётная у них сумма .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
В рассмотренной задаче требуется чётное число ( 20 ) представить в виде суммы нечётного числа ( 7 ) нечётных слагаемых ( 1 и 5 ) .
в ) чётного и нечётного чисел ? .
Более двухсот лет назад член Петербургской академии паук X. Гольдбах ( 1690–1764 ) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха : « Доказать , что каждое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых чисел » .
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Если же добавить седьмую монету ( достоинством 1 р . или 5 р . ) , то получится нечётное число рублей .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Оказывается , этот результат зависит от числа « нечётных » узлов фигуры , в которых сходится нечётное число линий .
Некто пообещал дать 99 конфет тому , кто сумеет их разделить между четырьмя людьми так , чтобы каждому досталось нечётное число конфет .
На нём всего два нечётных узла , поэтому , напав рисование в одном из них и пройдя по всем линиям по одному разу , закончим рисование в другом нечётном узле .
Например , числа 152 и 790 — чётные , а числа 111 и 293 — нечётные .
Если отметить чётные и нечётные узлы соответственно буквами « ч » и « н » , то получится рисунок .
Некто утверждает , что знает 4 натуральных числа , произведение и сумма которых нечётные числа .
Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей , где а , b , с , d — нечётные натуральные числа ? .
Покажите , что нечётные числа 7 , 9 , 5 , 13 можно записать в виде , где k — некоторое натуральное число .
Если отметить чётные и нечётные узлы соответственно буквами « ч » и « n » , то получится рисунок , на котором нечётных узлов больше двух .
Отметим , что если узел нечётный , то в нём обязательно должно или начинаться , или заканчиваться рисование линии .
Не выполняя сложения , определите , каким числом ( чётным или нечётным ) является сумма .
Какое число называют нечётным ?
Число , не делящееся на 2 , называют нечётным .
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
пять нечётных чисел , сумма которых равна 100 .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
Вася записал на листе бумаги несколько нечётных чисел .
Начав рисование линии в одном из них , невозможно его закончить во всех остальных нечётных узлах одновременно , так как искомая линия имеет одно начало и один конец .
Если отметить чётные и нечётные узлы соответственно буквами « ч » и « n » , то получится рисунок , на котором нечётных узлов больше двух .
В рассмотренной задаче требуется чётное число ( 20 ) представить в виде суммы нечётного числа ( 7 ) нечётных слагаемых ( 1 и 5 ) .
Сколько « нечётных » узлов должно быть , чтобы фигуру можно было нарисовать ? .
Оказывается , этот результат зависит от числа « нечётных » узлов фигуры , в которых сходится нечётное число линий .
Докажите , что сумма двух нечётных чисел является чётным числом .
б ) двух нечётных чисел .
Так как на рисунке имеется два нечётных узла и у линии , которую мы рисуем , одно начало и один конец , то распечатанный конверт можно нарисовать , соблюдая условия задачи .
На нём всего два нечётных узла , поэтому , напав рисование в одном из них и пройдя по всем линиям по одному разу , закончим рисование в другом нечётном узле .
а ) три нечётных числа , сумма которых равна 12 . б )
Назовите 7 нечётных чисел .
Какое число изображено на : а ) нижней грани ; б ) боковой грани слева ; в ) боковой грани сзади ? .
Какие числа изображены на нижних гранях кубиков ? .
Одновременно с ним из А в В вышел пешеход со скоростью 5 км / ч .
На первом место в натуральном ряду стоит число 1 , за ним следует число 2 , затем число 3 и т .
Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км / ч .
Фигуры пентамино можно получить из фигур тетрамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
Фигуры гексамино можно получить из фигур пентамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
После этого пусть средний брат , а за ним старший поступят так же » .
Через день вслед за ним был послан другой юноша , проходивший в день по 45 вёрст .
Через 3 ч вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км / ч .
Считают ли число нуль натуральным числом ? .
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Является ли нуль положительным числом ? .
д ) В каких странах число нуль считают натуральным числом ? .
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Начальную точку О называют нулевой точкой или точкой 0 ( нуль ) .
С его помощью натуральные числа и нуль изображаются точками .
Про числовые выражения , которые содержат деление на нуль , говорят , что они не имеют смысла .
Долгое время развитие позиционной системы счисления тормозилось отсутствием в ней числа и цифры нуль .
в ) натуральное число на натуральное число . г ) нуль на нуль ? .
Мы уже знаем , почему нельзя число делить на нуль .
Отсутствие предметов для счёта условились обозначать числом нуль ( 0 ) .
Но в этом случае частным могло бы быть любое число с. Поэтому считают , что нуль на нуль делить нельзя .
Глава 1Натуральные числа и нуль .
Но в этом случае частным могло бы быть любое число с. Поэтому считают , что нуль на нуль делить нельзя .
в ) натуральное число на натуральное число . г ) нуль на нуль ? .
Делить на нуль нельзя .
Число нуль также целое , но не положительное .
Можно ли делить на нуль ? .
приписать к нему справа нуль .
Любое натуральное число а делить на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
а ) нуль на дробь , отличную от нуля .
б ) дробь на нуль .
б ) Какое число а можно взять , чтобы значение данного выражения было равно нулю ? .
Напомним , что разность равных чисел равна нулю .
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Если одно число делится нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно делится с остатком , равным нулю .
Если уменьшаемое равно вычитаемому , то разность равна нулю .
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Каждое натуральное число а больше нуля ; это записывают так : а>0 .
Примером непозиционной системы счисления без нуля может служить римская система .
Только после введения нуля система стала совершенной .
Отметим , что число 0 , делённое на любую отличную от нуля дробь , даёт 0 .
Число , большее нуля , называют положительным .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Что получается при делении нуля на любое натуральное число ?
а ) нуль на дробь , отличную от нуля .
Она всегда отлична от нуля .
Я предлагаю товарищу записать ( так , чтобы я не видел ) любое трёхзначное число , состоящее из различных цифр ( без нуля ) .
Фигуру , образованную такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев ломаной , называют многоугольником .
а ) Определите углы , образованные касательной и радиусом окружности , проведённым в точку касания .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
Докажите признак делимости на 4 : если две последние цифры числа образуют число , делящееся на 4 , то и само число делится на 4 .
а ) Какой угол образуют часовая и минутная стрелки .
Сколько лучей с началом в этой точке они образуют ? .
Все точки пространства , удалённые от данной точки ( центра ) на одно и то же расстояние , образуют сферу .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Заметим , что дробь , обратная делителю .
Дробь обратная данной .
Вычислите произведение 7 и числа , обратного числу .
а ) Вычислите произведение и числа , обратного числу 3 .
а ) Вычислите произведение и числа , обратного числу 3 .
Вычислите произведение 7 и числа , обратного числу .
Дробь называют обратной для дроби .
Равенство можно записать и в обратном порядке .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Назовите дробь , обратную дроби .
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно .
Для чисел укажите обратные им числа .
Например , взаимно обратные числа .
Дроби взаимно обратные .
Числа взаимно обратные .
Укажите числа , обратные данным .
Например , взаимно обратные числа .
Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно .
Какое время затратит моторная лодка на обратный путь ? .
б ) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин , а на обратный путь — 2 ч .
Являются ли числа взаимно обратными ?
Дроби называют взаимно обратными дробями ( числами ) .
Какие дроби называют взаимно обратными ?
Произведение взаимно обратных чисел равно 1 .
Чему равно произведение взаимно обратных чисел ?
Могут ли два взаимно обратных числа одновременно являться смешанными дробями ? .
Чему равно произведение взаимно обратных чисел ?
Произведение взаимно обратных чисел равно 1 .
Могут ли два взаимно обратных числа одновременно являться смешанными дробями ? .
Год время обращения Земли вокруг Солнца с точностью до 5 - 6 минут .
Обратите смешанную дробь в обыкновенную дробь .
Запишите обыкновенную дробь в виде смешанной дроби .
При изучении главы 4 вам предстоит освоить обыкновенные дроби .
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Записи 1/2 , 1/3 , 1/4 , 2/3 , 3/4 называют обыкновенными дробями или , короче , дробями .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Кроме обыкновенных дробей , в Индии умели записывать и смешанные дроби .
Запишите пять каких - либо обыкновенных дробей .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Например , 1 , 7 , 9 — однозначные числа ; 10 , 77 , 99 — двузначные числа ; 100 , 357 — трехзначные числа ; 537 633 , 987 345 — шестизначные числа .
Числа однозначные .
Натуральные числа , записанные одной цифрой , называют однозначными , а записанные несколькими цифрами — многозначными : двумя — двузначными , тремя — трёхзначными и т .
Сколько натуральных чисел : а ) однозначных ; б ) двузначных ; в ) трёхзначных ? .
Для однозначных и двузначных чисел деление , как правило , производится в уме , а для многозначных — уголком .
Таблицу умножения однозначных чисел надо помнить наизусть .
Для вычисления произведения однозначных чисел удобно пользоваться таблицей умножения .
При сложении и вычитании однозначных чисел удобно пользоваться таблицей сложения .
Результаты сложения и вычитания однозначных чисел надо помнить наизусть .
Таблицы сложения и умножения для однозначных чисел в двоичной системе счисления очень просты .
Летом у меня целые сутки было открыто окно .
В этом случае условились считать , что 6 см есть приближённая длина отрезка AB с точностью до 1 см с округлением .
Ответ выразите приближённо с точностью до 1 км : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Если же точка B оказалась бы ближе к делению 5 , то мы сказали бы , что длина отрезка AB приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см .
Какую длину имеет каждая часть с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением ? .
Данные величины запишите с точностью до 1 кг : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
6 дм 7 см « 7 дм с избытком и с округлением .
Данные величины запишите с точностью до 1 дм с недостатком ; с избытком ; с округлением по образцу .
Объясните на примере , как измерить длину отрезка с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Однако ещё можно получить приближённую длину отрезка с точностью до 1 см с округлением .
С помощью линейки измерьте отрезки с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Измерьте длину и ширину тетради с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Измерение с округлением .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
Точки пересечения окружностей обозначьте буквами М и N. Постройте отрезки AM , AN , ВМ , BN .
Постройте третью окружность , центр которой лежит на отрезке AB и которая касается двух первых окружностей внутренним образом .
а ) Назовите какой - нибудь предмет , имеющий форму окружности .
На окружности с центром О и радиусом 2 см отметьте точку A.
Назовите центр , радиус , диаметр окружности .
Постройте две окружности с центрами A и B радиусами 3 см и 5 см , касающиеся внешним образом .
На отрезке AB отметьте точку С . а ) Постройте две окружности : с центром А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ .
Обычно рассматривается одна из дуг окружности , определяемая по смыслу задачи .
Центр окружности .
Часть плоскости , состоящую из всех точек окружности и всех точек , лежащих внутри окружности , называют кругом .
Постройте две окружности : с центром A и радиусом AB и с центром С и радиусом СВ .
Постройте две окружности радиусами 3 см и 4 см , касающиеся : а ) внешним образом ; б ) внутренним образом .
Построенные окружности имеют только одну общую точку С. Говорят , что они касаются внешним образом .
Построенные окружности имеют только одну общую точку В. Говорят , что они касаются внутренним образом .
Часть плоскости , состоящую из всех точек окружности и всех точек , лежащих внутри окружности , называют кругом .
Все точки окружности удалены от её центра на одинаковое расстояние , равное радиусу .
Отрезки OL , ОА , ОВ радиусы окружности , АВ — её диаметр , CD хорда .
а ) Определите углы , образованные касательной и радиусом окружности , проведённым в точку касания .
б ) Какую часть окружности пройдёт конец минутной стрелки : за 30 мин ; за 15 мин ; за 20 мин ; за 45 мин ; за 40 мин ? .
Касательной к окружности называют прямую , имеющую с окружностью только одну общую точку .
Покажите , как должны располагаться две окружности , чтобы они имели а общих касательных ?
а ) Какая часть окружности заключена между часовой и минутной стрелками , считая от минутной стрелки к часовой по их ходу , в 6 ч 00 мин ; в 3 ч 00 мин ? .
Окружность с центром О , касательная АВ и радиус окружности ОС .
Внутри или вне окружности расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Хорду , проходящую через центр окружности , называют диаметром .
Отрезок , соединяющий центр окружности с любой её точкой , называют радиусом .
Отрезок , соединяющий две любые точки окружности , называют хордой .
Радиус окружности .
Точку О называют центром окружности .
Постройте две окружности с центрами A и B и радиусом АВ .
Дана окружность , постройте равносторонний треугольник , вершины которого лежат на этой окружности .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
Карандаш начертит на плоскости замкнутую линию — окружность .
Начертите окружность , радиус которой равен отрезку АВ .
Две точки делят окружность на две части , называемые дугами .
Начертите окружность , радиус которой равен .
Можно также сказать , что окружность состоит из точек , удалённых от её центра на расстояние , равное радиусу .
Постройте окружность и разделите её с помощью циркуля на : а ) 6 равных частей ; б ) 3 равные части .
Постройте третью окружность , центр которой лежит на отрезке AB и которая касается двух первых окружностей внутренним образом .
Дана окружность , постройте равносторонний треугольник , вершины которого лежат на этой окружности .
Какая из фигур , является окружностью ?
Касательной к окружности называют прямую , имеющую с окружностью только одну общую точку .
Изучая главу 2 , вам предстоит повторить всё , что знаете о геометрических фигурах и их измерении , а также узнать много нового и интересного об углах , треугольниках и четырёхугольниках , окружностях и кругах , о равных фигурах .
Вывести результат операции на табло можно нажатием любой из клавиш вместо клавиши .
Они позволяют практически мгновенно выполнять арифметические операции ( действия ) .
Аналогично выполняются и другие арифметические операции .
Можно ли после нескольких таких операций получить 100 палочек ? .
Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей ? .
На верхней панели калькулятора имеются клавиши : для ввода чисел , для указания арифметических операций , для вывода на табло результата вычислений ; для сброса ( очистки ) табло .
Здесь впервые появится много задач на доказательство и задач , в которых надо определить , возможна ли описанная ситуация .
Гораздо проще подсчитать их число описанным выше способом .
Получите описанным способом числа 232 323 , 343 434 и 898 989 .
д. Получите описанным способом произведения от 333 333 до 999 999 .
а ) Периметр прямоугольника равен 48 см , основание на 4 см больше высоты .
Число 3 показывает , сколько раз нужно взять множителем основание степени — число 2 .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Периметр прямоугольника равен 54 см , основание на 5 см больше высоты .
Площадь прямоугольника 91 см2 , а его высота 7 см. Определите основание прямоугольника .
Периметр прямоугольника 36 дм , основание на 6 см больше высоты .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Запишите в виде степени с основанием 10 число .
При этом число 2 называют основанием степени , а число 3 — показателем степени .
Прямоугольник с основанием а 3 см и высотой b 5 см. Его можно разрезать на 5 слоёв по 3 квадрата в каждом слое , т .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
Показан порядок построения равнобедренного треугольника с основанием 3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Площадь S основания прямоугольного параллелепипеда равна .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности , т .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
В некоторых странах использовались системы счисления с другими основаниями 5 , 12 , 20 , 60 .
Нижнюю и верхнюю стороны прямоугольника называют ещё основаниями прямоугольника .
Первый рабочий выполнил — задания , второй — остатка , третий — остатка , а четвёртый выполнил задание до конца .
Он потратил этой суммы и остатка .
Первому он отрезал часть пирога , второму остатка , третьему того , что осталось , четвёртому нового остатка .
Старшему — половину всего и 1 р . , среднему — половину остатка и ещё 1 р , младшему — половину остатка и последние 3 р .
б ) Некто израсходовал половину своих денег и остатка .
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
Первый рабочий выполнил — задания , второй — остатка , третий — остатка , а четвёртый выполнил задание до конца .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
б ) Мама дала детям конфеты : дочери половину всех конфет и ещё одну , сыну половину остатка и последние 5 конфет .
Первая покупательница купила у неё половину яиц и ещё пол - яйца , вторая — половину остатка и ещё пол - яйца , а третья — последние 10 яиц .
Старшему — половину всего и 1 р . , среднему — половину остатка и ещё 1 р , младшему — половину остатка и последние 3 р .
В первый день туристы прошли всего расстояния , а во второй день — остатка .
Первому он отрезал часть пирога , второму остатка , третьему того , что осталось , четвёртому нового остатка .
Разбейте множество натуральных чисел на классы по остаткам от деления на 3 ; 4 ; 7 .
Какое наименьшее число при делении и на 3 , и на 5 , и на 7 даёт в остатке : а ) 0 ; б ) 1 ; в ) 2 ? .
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел : а ) на 2 ; 6 ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 7 ? .
Какой наименьшей длины может быть верёвка , чтобы её можно было разрезать без остатков на куски .
Приведите пример деления с остатком , назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
Это число называют неполным частным от деления 14 на 3 , а число 2 — остатком .
Выполните деление с остатком .
Разделите с остатком числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
На доске написано несколько примеров на деление с остатком .
Деление с остатком .
Если одно число делится нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно делится с остатком , равным нулю .
В первый класс включим все числа , имеющие остаток 0 при делении на 2 .
Делим на 7 число сотен — 2 ( остаток 0 ) .
Остаётся разделить остаток от деления десятков ( 28 ) и единицы ( 8) , т .
0 ( остаток 28 ) .
Во второй класс включим все числа , имеющие при делении на 2 остаток 1 .
Здесь 7 — неполное частное от деления 38 на 5 , а 3 — остаток .
Приведите пример деления с остатком , назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Какой наименьший остаток может получиться при делении натуральных чисел ? .
Какой остаток получится от деления числа ? .
Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен — 2 сотни и десятки — 8 десятков , т .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
4 ( остаток 2 ) .
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел ? .
Чему равен остаток при делении нацело ? .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
1 ( остаток 2 ) .
Величина острого угла меньше 90 ° .
Величина острого угла меньше 90 ° .
Если все углы треугольника острые , то его называют остроугольным треугольником .
Могут ли смежные углы быть : а ) оба прямые ; б ) оба острые ; в ) оба тупые ? .
Если все углы треугольника острые , то его называют остроугольным треугольником .
Назовите острые , прямые и тупые углы .
Постройте острый угол AOB .
Угол острый .
Показаны острый угол А НС и тупой угол МОК .
Постройте острый угол AOB .
Показаны острый угол А НС и тупой угол МОК .
Угол , меньший прямого , называют острым .
Острым ?
Сколько острых углов получилось ? .
Сколько острых углов получилось ? .
и откладывает за месяц 900 р .
На луче AM отложили отрезки AB и АС , АС 89 см. Найдите длину отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной длины .
Для этого надо часть единичного отрезка отложить р раз на координатном луче от точки О .
Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину длины отрезка АB .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
Это можно объяснить так : если отрезок разделить пополам , а каждую половину ещё пополам , то половина отрезка будет состоять из двух четвертей этого отрезка .
На прямой даны точки А , В и С , причём AB 6 см , АС 13 см. Найдите длину отрезка ВС , если .
Найдите длину отрезка АВ .
Найдите координату точки В по координатам точки А и точки С — середины отрезка АВ .
Длина отрезка ОA равна 5 единичным отрезкам .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров .
Какую часть отрезка АН составляет отрезок AD ? .
Найдём длину отрезка , соединяющего точки а и b , и координату середины этого отрезка .
Найдём длину отрезка , соединяющего точки а и b , и координату середины этого отрезка .
Это можно объяснить так : если отрезок разделить пополам , а каждую половину ещё пополам , то половина отрезка будет состоять из двух четвертей этого отрезка .
Два отрезка АВ и CD называют равными отрезками , если они совмещаются при наложении .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево .
Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Определите на глаз длину отрезка : а ) в сантиметрах ; б ) в миллиметрах Проверьте результат с помощью линейки .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче правее точки , а длина отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
Если же точка B оказалась бы ближе к делению 5 , то мы сказали бы , что длина отрезка AB приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см .
Середина этого отрезка имеет координату .
В этом случае условились считать , что 6 см есть приближённая длина отрезка AB с точностью до 1 см с округлением .
В тетради постройте три отрезка различной длины .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см. Найдите длину отрезка ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
Найдите координату середины отрезка , соединяющего точки .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача ? .
Если принять длину отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .
Если на отрезке AB ровно три раза укладывается отрезок длиной дм , то длина отрезка AB равна трём четвёртым дециметра : 3/4 ДМ .
Длина отрезка AD больше длины отрезка АС , т .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
В этом случае точная длина отрезка AB осталась неизвестной .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Найдите длину отрезка А В .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Измерение длины отрезка с недостатком .
Длина отрезка AD больше длины отрезка АС , т .
Длина отрезка AD равна сумме длин отрезков АС и CD .
б ) Определите длину отрезка , 3/5 которого равны 15 см . а ) Сыну 10 лет .
Для этого надо часть единичного отрезка отложить р раз на координатном луче от точки О .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Длину отрезка AВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим , что два равных отрезка имеют равные длины .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Если принять длину отрезка AB за 1 , то .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Измерьте длину отрезка LN и величину угла L .
Однако ещё можно получить приближённую длину отрезка с точностью до 1 см с округлением .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину длины отрезка АB .
Длину отрезка AВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим , что два равных отрезка имеют равные длины .
Постройте отрезок длиной 6 см. Отметьте этого отрезка .
Найдите длину отрезка AB .
В рассмотренном примере длина отрезка АВ приближённо равна 5 см с недостатком и 6 см с избытком с точностью до 1 см .
расстояние между точками а и b равно b — а . 3 ) точка является серединой отрезка , соединяющего точки а и b .
На луче AM отложили отрезки AB и АС , АС 89 см. Найдите длину отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
Таким образом , можно вычислить координату середины отрезка , соединяющего любые две рациональные точки .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Объясните на примере , как измерить длину отрезка с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Измерение длины отрезка с избытком .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
Длина отрезка ОA равна 5 единичным отрезкам .
Возьмём на плоскости четыре точки А , В , С и D , такие , что никакие три из них не лежат на одной прямой , и соединим их отрезками АВ , ВС , СD и DA .
Возьмём на плоскости несколько точек , например A , В , С , D , Е , и соединим точки А и В , В и С , С и D , D и Е отрезками .
Возьмём на плоскости три точки А , В и О , не лежащие на одной прямой , и соединим их отрезками .
Два отрезка АВ и CD называют равными отрезками , если они совмещаются при наложении .
Постройте отрезок АН 15 см. Отметьте на этом отрезке точки .
На отрезке AB отметили точку С так , что CB м , а AC на 1 м больше СВ .
а ) На отрезке AB отметьте точки С и D. Сколько отрезков получилось ? .
Постройте третью окружность , центр которой лежит на отрезке AB и которая касается двух первых окружностей внутренним образом .
На отрезке AB отметьте точку С . а ) Постройте две окружности : с центром А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ .
Если на отрезке AB ровно три раза укладывается отрезок длиной дм , то длина отрезка AB равна трём четвёртым дециметра : 3/4 ДМ .
На отрезке AB отметили точку С так , что СB = 7 м , и CB на 2 м меньше AC .
Например , в четырёхугольнике ABCD отрезки AC и BD — диагонали .
Постройте отрезки длиной 7 см , 11 см 4 мм , 14 см 6 мм .
Точки А , В , С и D называют вершинами прямоугольника , а отрезки AВ , ВС , CD и АD — его сторонами .
С его помощью измеряют произвольные отрезки .
Назовите все отрезки с концами в точках М , N и К. Сколько отрезков получилось ?
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
Равны ли отрезки АВ , AM , AN , ВМ и BN ?
С помощью линейки измерьте отрезки с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
С помощью циркуля и линейки постройте отрезки , им равные .
В частности , равны отрезки АВ и ВА .
Если отрезки АВ , ВС , CD и DA не имеют других общих точек , кроме точек А , В , С и D , то полученную фигуру называют четырёхугольником ABCD .
На луче AM отложили отрезки AB и АС , АС 89 см. Найдите длину отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
Углы А , В и С называют углами треугольника , отрезки AВ , АС и ВС — его сторонами .
Точки пересечения окружностей обозначьте буквами М и N. Постройте отрезки AM , AN , ВМ , BN .
В каком из этих случаев потребуется меньше асфальта , если отрезки AВ и CD равны ?
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности длин отрезков .
Сравните длины отрезков АВ и АС , ВС и АС , ВС и АВ .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
Длина отрезка AD равна сумме длин отрезков АС и CD .
Если никакие два из этих отрезков , имеющих общие точки , не лежат на одной прямой , то полученную линию называют ломаной линией или , коротко , ломаной и обозначают ABCDE .
Кузнечик прыгает на 5 единичных отрезков в любом направлении на плоскости .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности длин отрезков .
Измерение отрезков .
На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной длины .
Музыкальное произведение состоит из одинаковых по длительности отрезков тактов .
Заметим , что четырёхугольником ABCD называют как линию , составленную из отрезков АВ , ВС , CD и DA , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Назовите все отрезки с концами в точках М , N и К. Сколько отрезков получилось ?
Какие единицы длины используют для измерения небольших отрезков ? .
AB 12 см . а ) Найдите длины отрезков АС и СВ .
Заметим , что треугольником АВС называют как линию , составленную из отрезков АВ , ВС и АС , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Для измерения малых отрезков пользуются долями метра : дециметром , сантиметром и миллиметром .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево .
а ) На отрезке AB отметьте точки С и D. Сколько отрезков получилось ? .
Сколько отрезков и сколько лучей при этом образовалось ? .
Образовалось 6 отрезков с концами в этих точках .
Найдите длину отрезков АВ , ВС , АС .
Часть прямой , ограниченную точками А и В , называют отрезком АВ .
е ) Что называют отрезком ? .
Этот отрезок называют единичным отрезком .
Отрезок , длина которого принята за единицу измерения , называют единичным отрезком .
Постройте координатный луч с единичным отрезком 1 см ( 2 клетки тетради ) .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Начертите окружность , радиус которой равен отрезку АВ .
Возьмём , например , отрезок длиной 1 см в качестве единичного .
Если на отрезке AB ровно три раза укладывается отрезок длиной дм , то длина отрезка AB равна трём четвёртым дециметра : 3/4 ДМ .
Принято считать , что слово « сторона » означает не только отрезок , но и его длину .
Это можно объяснить так : если отрезок разделить пополам , а каждую половину ещё пополам , то половина отрезка будет состоять из двух четвертей этого отрезка .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров .
Начертите отрезок с концами в этих точках и измерьте приближённо его длину .
Постройте отрезок длиной 6 см. Отметьте этого отрезка .
Пусть задан отрезок AВ , длину которого надо измерить .
Постройте отрезок .
Этот отрезок называют единичным отрезком .
Если отрезок длиной 1 см разделить на две равные части , то каждая из них будет иметь длину , равную половине сантиметра .
Для этого задают луч , выходящий из точки О в направлении , отмеченном стрелкой , и отрезок , длину которого принимают за единицу .
Постройте отрезок равный .
Постройте отрезок AB .
Найдите координаты точек , делящих отрезок АВ на три равные части .
Убедитесь , что прямая MN делит отрезок АВ пополам .
Изобразите на координатном луче ( возьмите единичный отрезок длиной 6 см ) точки О .
Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатном луче точки .
Какую часть отрезка АН составляет отрезок AD ? .
Изображён отрезок AB , разделённый на четыре равные части .
Изображён отрезок AB , разделённый на 9 равных частей .
Дан отрезок АВ .
Постройте отрезок АН 15 см. Отметьте на этом отрезке точки .
Постройте отрезок АВ = 12 см. Отметьте на АВ точку С так , чтобы .
Если принять длину отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .
Какой отрезок называют единичным ? .
Если принять длину отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .
Как называют отрезок , длина которого принята за единицу измерения ? .
С помощью циркуля и линейки постройте отрезок : а ) в 2 раза больший первого ; б ) в 3 раза больший первого .
В тетради постройте отрезок .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности длин отрезков .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
В дальнейшем будут введены отрицательные дроби , и такое действие станет возможным .
В дальнейшем будут введены новые числа — отрицательные , с помощью которых можно будет из меньшего числа вычесть большее .
Всего прямоугольный параллелепипед содержит 24 единичных куба , т .
Этот прямоугольный параллелепипед можно разрезать на 2 слоя , в каждом из которых по единичных куба .
Вырежьте развёртку из бумаги , оставляя припуски для склеивания , и склейте прямоугольный параллелепипед .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
Прямоугольный параллелепипед состоит из таких частей .
Прямоугольный параллелепипед , у которого все рёбра равны , называют кубом .
Прямоугольный параллелепипед .
Для этого достроим прямоугольный параллелепипед до куба с ребром 1 дм .
Склейте прямоугольный параллелепипед .
Формула верна и при дробных а , b и с. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами а дм , b дм и с дм .
Изображён прямоугольный параллелепипед .
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на h единичных кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
б ) Является ли любой прямоугольный параллелепипед кубом ?
Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .
Третье ребро разделим на три равные части ; две из них составляют высоту параллелепипеда .
Другое ребро куба разделим на две равные части ; одна из них составляет длину параллелепипеда .
Одно ребро куба разделим на пять равных частей ; две из них составляют ширину параллелепипеда .
Если длина , ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Вершина прямоугольного параллелепипеда .
Объём прямоугольного параллелепипеда .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
При этом предполагается , что рёбра прямоугольного параллелепипеда измерены в одинаковых линейных единицах .
Выполните в тетради рисунок прямоугольного параллелепипеда .
Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , если его рёбра равны : а ) 18 см , 16 см , 5 см ; б ) 12 см , 45 см , 2 см ; в ) 16 см , 23 см , 25 см ; г ) 11 см , 11 см , 11 см .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны .
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см , 4 см и 5 см .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда , длина которого 45 см , ширина 30 см , а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней , рёбер и вершин ? .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Если её разрезать по вертикальным рёбрам , а затем развернуть , то получится развёртка прямоугольного параллелепипеда .
Коробка , имеющая форму прямоугольного параллелепипеда .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
б ) Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда , зная длину , ширину и высоту ? .
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
Грани пересекаются по отрезкам — рёбрам прямоугольного параллелепипеда .
Точки , в которых пересекаются рёбра , называют вершинами прямоугольного параллелепипеда .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого равны .
У прямоугольного параллелепипеда шесть граней , двенадцать рёбер и восемь вершин .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Постройте развёртку прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого дм , дм , дм .
Вычислите площадь всех граней и объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого равны .
б ) Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда ? .
Площадь S основания прямоугольного параллелепипеда равна .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Куб , сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных параллелепипедов ? .
Является ли любой куб прямоугольным параллелепипедом ?
Проведите прямую AB и вне её точку С. Через точку С проведите прямую , параллельную прямой АВ .
Они равны и параллельны .
Две другие стороны называют высотами , они тоже равны и параллельны .
Края дорожки параллельны .
Если прямые AB и CD ( или а и b ) параллельны , то это обозначают так .
На сколько частей делят плоскость две прямые , если они : а ) пересекаются ; б ) параллельны ? .
Показано , как с помощью угольника и линейки провести параллельные прямые .
Прямые параллельные .
Найдите параллельные прямые .
Нарисуйте от руки параллельные прямые .
Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным путям — один со скоростью 100 км / ч , другой со скоростью 80 км / ч .
Такие прямые называют параллельными .
г ) Какие прямые называют параллельными ? .
После вычеркивания из таблицы чисел , кратных 7 ( они также расположены на параллельных прямых ) , в ней останутся только простые числа — они тоже обведены кружком .
Оно простое обведём его кружком , а все незачёркнутые числа , кратные ему ( они расположены на параллельных прямых ) , вычеркнем .
Придумайте ещё два своих паркета из равных прямоугольников .
Два способа покрытия пола паркетом из равных прямоугольников .
В самом деле , будем перемножать последовательно числа натурального ряда на 3 .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
Две различные прямые на плоскости могут и не пересекаться , сколько бы их ни продолжали .
Отсюда следует , что две различные прямые могут пересекаться только в одной точке .
На сколько частей делят плоскость две прямые , если они : а ) пересекаются ; б ) параллельны ? .
Грани пересекаются по отрезкам — рёбрам прямоугольного параллелепипеда .
Две прямые пересекаются в одной точке .
В прямоугольнике KLMN диагонали КМ и LN пересекаются в точке О. Докажите , что площади треугольников KLO и NMO равны .
Точки , в которых пересекаются рёбра , называют вершинами прямоугольного параллелепипеда .
Прямые А В и CD пересекаются в точке О. Углы АОС и BOD называют вертикальными .
Прямые , пересекающиеся под прямым углом , называют перпендикулярными .
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла .
Точки пересечения окружностей обозначьте буквами М и N. Постройте отрезки AM , AN , ВМ , BN .
Обозначьте все точки пересечения прямых , продолжив их , если нужно .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
От перестановки слагаемых сумма не меняется .
То есть сумма не меняется от перестановки слагаемых .
От перестановки множителей произведение не меняется .
Найдите периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 37 см , а другая : а ) на 6 см больше ; б ) на 8 см меньше .
Определите периметр четырёхугольника ABCD .
Как изменится периметр квадрата , если его сторону : а ) увеличить в 2 раза ; б ) уменьшить в 3 раза ? .
Сторону квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр квадрата ? .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
Сторона квадрата равна 13 см. Найдите его периметр .
Найдите периметр прямоугольника со сторонами : а ) 12 см и 9 см ; б ) 93 см и 2 см ; в ) 11 см и 47 мм ; г ) 17 см и 3 дм .
В каком случае периметр участка будет наименьшим ?
Найдите периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 26 см , а другая : а ) в 3 раза больше ; б ) в 2 раза меньше .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
Вычислите периметр квадрата , сторона которого равна .
Периметры треугольников BCD , BDE и ABE равны соответственно 20 см , 21 см и 22 см , а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см. Определите длины диагоналей BD и BE , если известно , что они равны .
Определите периметр многоугольника .
Вычислите площадь и периметр квадрата со стороной .
а ) Определите периметр шестиугольника .
Что такое периметр треугольника ? .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
Найдите периметр треугольника .
Вычислите периметр этого треугольника .
а ) Сторона равностороннего треугольника равна 7 см. Вычислите периметр этого треугольника .
В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
б ) Чему равна сторона ромба , если его периметр равен 20 см ? .
а ) Чему равен периметр ромба , если одна его сторона равна 20 см ? .
Вычислите площадь и периметр прямоугольника , длина и ширина которого равны .
Составьте выражение для вычисления периметра прямоугольника со сторонами .
Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром .
в ) Что называют периметром многоугольника ? .
Сумму длин сторон четырёхугольника называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом .
Сумму длин сторон многоугольника называют его периметром .
Остаётся обвести закрашенные и незакрашенные области по периметру .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
а ) Верно ли , что если два треугольника равны , то их периметры равны ? .
б ) Верно ли , что если периметры двух четырёхугольников равны , то эти четырёхугольники равны ? .
а ) Верно ли , что если четырёхугольники равны , то равны и их периметры ? .
Верно ли , что если периметры двух треугольников равны , то и сами треугольники равны ? .
Измерьте их стороны и вычислите периметры .
Перпендикулярные .
Прямые , пересекающиеся под прямым углом , называют перпендикулярными .
Какие прямые называют перпендикулярными ? .
Принято считать , что единица не является пи простым , пи составным числом .
Принято считать , что единица не является пи простым , пи составным числом .
а ) Для детского сада купили 20 пирамид : больших и маленьких — по 7 и по 5 колец .
Сколько больших пирамид ? .
У всех пирамид 128 колец .
За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк , если за один ход разрешается переносить только одно кольцо ; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее .
Заметим , что треугольником АВС называют как линию , составленную из отрезков АВ , ВС и АС , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Кузнечик прыгает на 5 единичных отрезков в любом направлении на плоскости .
Карандаш начертит на плоскости замкнутую линию — окружность .
Две различные прямые на плоскости могут и не пересекаться , сколько бы их ни продолжали .
Поверхность стола или поверхность воды в пруду ( в безветренную погоду ) может служить примером части плоскости .
Представление о плоскости даёт поверхность стола .
Возьмём на плоскости четыре точки А , В , С и D , такие , что никакие три из них не лежат на одной прямой , и соединим их отрезками АВ , ВС , СD и DA .
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости .
Часть плоскости , состоящую из всех точек окружности и всех точек , лежащих внутри окружности , называют кругом .
Как могут располагаться две прямые на плоскости ? .
Заметим , что четырёхугольником ABCD называют как линию , составленную из отрезков АВ , ВС , CD и DA , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Заметим , что многоугольником называют как замкнутую ломаную , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Возьмём на плоскости несколько точек , например A , В , С , D , Е , и соединим точки А и В , В и С , С и D , D и Е отрезками .
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости .
Возьмём на плоскости три точки А , В и О , не лежащие на одной прямой , и соединим их отрезками .
На сколько частей разделилась плоскость ?
Всю плоскость невозможно изобразить потому , что она бесконечна , но её можно представить себе .
Два различных луча ВА и ВС с общим началом В. Они делят плоскость на две части , называемые углами .
На сколько частей делят плоскость две прямые , если они : а ) пересекаются ; б ) параллельны ? .
Эти лучи тоже делят плоскость на две части , каждую из которых называют развёрнутым углом .
На сколько частей прямая делит плоскость ? .
Клетчатая бумага даёт представление о том , как можно равными квадратами выложить плоскость .
На сколько частей можно разделить плоскость тремя прямыми ? .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося куба .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда .
При измерении площадей чаще всего используют приближённые значения величин .
Для измерения площадей более крупных земельных участков ввели единицу измерения — 1 гектар ( обозначают 1 га ) .
сумму площадей боковых граней .
Для измерения площадей небольших земельных участков оказалось удобным ввести единицу измерения — 1 ар ( обозначают 1 а ) .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
б ) Верно ли , что если площади прямоугольников равны , то прямоугольники равны ? .
а ) Верно ли , что если прямоугольники равны , то их площади равны ? .
Равные многоугольники имеют равные площади .
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости .
Равные прямоугольники имеют равные площади .
б ) Найдите сторону квадрата , площадь которого равна площади данного прямоугольника .
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
Так как 1 а — 100 м2 , то эту единицу измерения площади часто называют соткой .
Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .
Верно ли , что площади треугольников ABD и CDВ равны ?
г ) Какие единицы измерения площади вы знаете ? .
В прямоугольнике KLMN диагонали КМ и LN пересекаются в точке О. Докажите , что площади треугольников KLO и NMO равны .
Единицы площади .
С помощью единичных квадратов измеряют площади прямоугольников .
а ) Две бригады убрали картофель с площади 12 га за 4 дня .
а ) Во сколько раз увеличиваются единицы площади , записанные во второй строке таблицы , при переходе слева направо на одну клетку ? .
Если изобразить класс на плане с уменьшением сторон в 10 раз , то во сколько раз площадь класса на этом плане будет меньше настоящей площади класса ? .
б ) Во сколько раз уменьшаются единицы площади , записанные во второй строке таблицы , при переходе справа налево на одну клетку ? .
Определите площадь многоугольника .
Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда .
Из листа фанеры размером 11 см х 15 см выпилили два квадрата со стороной 5 см и три прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см. Определите площадь оставшейся части .
Это площадь квадрата со стороной 100 м .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Определите площадь каждого участка в квадратных метрах .
Такие понятия , как длина , площадь , объём , масса , время , скорость и т .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Стороны прямоугольника равны 4 см и см. Его площадь равна .
б ) Найдите сторону квадрата , площадь которого равна площади данного прямоугольника .
Например , пусть требуется найти площадь S прямоугольника ABCD .
Вычислите площадь всех граней и объём куба с ребром .
Вычислите площадь всех граней и объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого равны .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
в ) Чему равна площадь квадрата ? .
Каковы должны быть размеры участка , чтобы он занимал наибольшую площадь , если ограда должна иметь калитку шириной 1 м ? .
Измерив его стороны АB и AD , получим АB — 3 см и AD — 5 см с недостатком , значит , площадь S прямоугольника ABCD больше чем 15 ( см2 ) .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
Размеры первой комнаты 4 м х 5 м , второй — 3 м х 5 м , кухни 4 м х 3 м , а площадь подсобных помещений равна 10 м2 .
б ) Чему равна площадь прямоугольника ? .
Определите общую площадь квартиры .
Если взять длины сторон с избытком : АB — 4 см , AD — 6 см , то площадь прямоугольника ABCD будет меньше чем 24 ( см2 ) .
Чему равна площадь треугольника ABD ? .
Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности , т .
Говорят , что площадь единичного квадрата равна одной квадратной единице ( 1 м2 , 1 дм2 ) .
Как изменится площадь прямоугольника , если .
Во сколько раз увеличится площадь квадрата , если его сторону увеличить : а ) в 2 раза ; б ) в 3 раза ; в ) в 10 раз ? .
Это площадь квадрата со стороной 10 м .
Найдите площадь пола .
а ) Как вычислить площадь прямоугольника , зная длину и ширину ? .
квадрат со стороной 1 км имеет площадь один квадратный километр ( 1 км2 ) .
Вычислите площадь и периметр прямоугольника , длина и ширина которого равны .
квадрат со стороной 1 мм имеет площадь один квадратный миллиметр ( 1 мм2 ) .
Вычислите площадь и периметр квадрата со стороной .
квадрат со стороной 1 см имеет площадь один квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
квадрат со стороной 1 дм имеет площадь один квадратный дециметр ( 1 дм2 ) .
Говорят , что квадрат со стороной 1 м имеет площадь один квадратный метр ( 1 м2 ) .
Покажем , что его площадь равна .
Если изобразить класс на плане с уменьшением сторон в 10 раз , то во сколько раз площадь класса на этом плане будет меньше настоящей площади класса ? .
Квадрат разделён на равные части , площадь каждой из которых равна дм2 .
Прямоугольник состоит из таких частей , поэтому его площадь равна .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Выразите в арах площадь прямоугольного участка земли , длина и ширина которого .
Вычислите площадь прямоугольника , стороны которого равны .
Объём комнаты 45 м3 , а площадь пола 15 м2 .
Выразите его площадь в квадратных метрах ; в арах ; в гектарах .
в ) Под картофель в хозяйстве занята в 5 раз бόльшая площадь , чем под морковь , а всего под картофель и морковь занято 27 га .
Какая площадь занята под картофель ? .
а ) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба , т .
Так как у квадрата все стороны равны , площадь квадрата равна второй степени его стороны .
Если длина и ширина прямоугольника выражены натуральными числами а и b , то его площадь S вычисляется как произведение .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным единицам .
на 15 единичных квадратов со стороной 1 см. Следовательно , его площадь S равна .
Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности , т .
Какова площадь всего поля ? .
Поле площадью 5 га разделили на 8 равных участков прямоугольной формы .
Квадрат площадью 1 м2 разрезали на несколько равных квадратов площадью .
Некто хочет приобрести прямоугольный участок земли площадью 4 сотки .
Квадрат площадью 1 м2 разрезали на несколько равных квадратов площадью .
Сколько банок краски потребуется для покраски железной крыши дома , если содержимого одной банки хватает на покраску 10 м2 поверхности ? .
а ) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба , т .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда .
Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности , т .
Представление о плоскости даёт поверхность стола .
Поверхность стола или поверхность воды в пруду ( в безветренную погоду ) может служить примером части плоскости .
При этом число 2 называют основанием степени , а число 3 — показателем степени .
Если в числовом выражении есть степень с натуральным показателем , то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий .
Что называют степенью числа а с натуральным показателем n ? .
Степень с натуральным показателем .
Определением степени с натуральным показателем можно пользоваться и для дробей .
Степенью числа а с натуральным показателем называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Таким же образом можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем , большим единицы .
степень числа с показателем 1 .
Вычислите степени числа 10 с показателями от 1 до 7 .
Вычислите степени числа 2 с показателями от 1 до 10 .
Два способа покрытия пола паркетом из равных прямоугольников .
б ) Для покрытия пола кафельной плиткой можно купить 8 упаковок по 36 плиток размером 15 х 15 см или 7 упаковок по 24 плитки размером 20 х 20 см. В каком случае будет больше отходов ? .
За сколько часов второй тракторист может вспахать поле ? .
Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы .
Число нуль также целое , но не положительное .
Является ли нуль положительным числом ? .
Число , большее нуля , называют положительным .
Какое число называют положительным ? .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Поэтому натуральные числа называют ещё целыми положительными числами .
Если а и b — два положительных рациональных числа и b > а , то .
Какую часть поля ему осталось вспахать ? .
а ) Два тракториста за 1 день совместной работы вспахали поля .
Какова площадь всего поля ? .
Первый тракторист вспахал поля , второй поля .
Какую часть поля вспахал второй тракторист ? .
Тракторист должен вспахать поля .
Первый тракторист вспахал поля .
Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля .
Первый тракторист вспахал поля , второй поля .
До обеда он вспахал поля .
При вычислении значений числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
Получим числа , расположенные в порядке возрастания .
Запишите в порядке возрастания все делители числа .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
Нажмите клавиши в следующем порядке .
Равенство можно записать и в обратном порядке .
Фигуру следует раскрасить « в шахматном порядке » , отсоединить закрашенные области друг от друга так , чтобы каждая из них имела не больше одной общей точки с какой - либо другой закрашенной областью .
Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число .
Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление , то эти действия выполняют но порядку слева направо .
В записях , в которых черта дроби используется несколько раз , знак ставится у черты дроби , означающей последнее по порядку действие деления .
Заметим , что последнее по порядку действие в числовом выражении определяет название числового выражения .
Определите порядок выполнения действий при вычислении суммы .
Укажите порядок действий и упростите числовое выражение .
Укажите порядок действий .
Определите порядок действий .
Показан порядок построения равнобедренного треугольника с основанием 3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки .
Изменять принятый порядок действий можно только в тех случаях , когда это позволяют законы сложения и умножения .
Например , укажем порядок действий в двух выражениях .
Нужно ещё знать порядок выполнения этих действий .
Особого внимания требует порядок выполнения действий в числовых выражениях , в которых имеются ( или подразумеваются ) скобки .
п. Приведите контрпример , показывающий , что Вася не прав . б ) Как исправить утверждение Васи , чтобы оно стало верным ? .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче правее точки , а длина отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
Из двух натуральных чисел больше то , которое в ряду натуральных чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Какая из точек А(5 ) , B(100 ) и С(56 ) расположена на координатном луче : а ) правее других ; б ) левее других ? .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Назовите три точки , расположенные на координатном луче правее точек с указанными координатами , и три точки , расположенные левее их .
Из двух натуральных чисел больше то , которое на координатном луче находится правее .
точка b на координатном луче находится правее точки а .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
В этом случае точка , имеющая бόльшую координату , расположена на координатном луче правее .
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Отсюда следует , что любая правильная дробь меньше неправильной .
Дробь правильная .
Отсюда следует , что любая правильная дробь меньше неправильной .
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Как его было бы правильнее назвать — « шариком » или « сфериком » ? .
Примером правильного многоугольника является квадрат .
Для правильного упрощения числовых выражений мало знать правила выполнения отдельных действий .
Примером правильного многоугольника является квадрат .
В том случае , когда одно из двух чисел является натуральным числом или правильной дробью , вычисления выполняются аналогично .
Дробь называется правильной , если её числитель меньше знаменателя .
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
а ) Какую дробь называют правильной ? .
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
В том случае , когда одно из двух чисел является натуральным числом или правильной дробью , вычисления выполняются аналогично .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
б ) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число , меньшее 1 ?
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
а ) Число 2 умножили на некоторую правильную дробь .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число , большее 1 ?
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
б ) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число , меньшее 1 ?
а ) Число 2 умножили на некоторую правильную дробь .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число , большее 1 ?
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
Например , дроби правильные , дроби неправильные .
Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
С помощью циркуля и линейки можно построить правильный шестиугольник , у которого стороны равны и углы равны .
Постройте в тетради правильный шестиугольник и измерьте его углы .
Выберите правильный ответ .
С помощью циркуля и линейки можно построить правильный шестиугольник , у которого стороны равны и углы равны .
Постройте в тетради правильный шестиугольник и измерьте его углы .
Многоугольник называю правильным , если все его углы и все стороны равны .
а ) правильными дробями . б )
а ) правильными дробями . б )
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Пчёлы строят свои соты в виде правильных шестиугольников .
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Пчёлы строят свои соты в виде правильных шестиугольников .
Считать начинали с правого верхнего угла квадрата .
Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2 , в левой — на 3 и результаты сложить , а мне сообщить лишь , является сумма чётной или нет .
Если сумма чётная , то двухрублёвая монета в левой руке , если нечётная , то в правой .
Левые части равенств — данные дроби , а правые — равные им несократимые дроби .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
При этом говорят так : к 5 прибавим 9 — получим 14 , пишем 4 ( единицы ) и 1 ( десяток ) запоминаем , к 4 прибавим 3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 ( десятков ) , пишем 8 .
При этом говорят так : к 5 прибавим 9 — получим 14 , пишем 4 ( единицы ) и 1 ( десяток ) запоминаем , к 4 прибавим 3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 ( десятков ) , пишем 8 .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел .
Таким образом , мы получили равенство , показывающее , что если к сумме прибавить 4 или к 3 прибавить сумму , то результат будет один и тот же .
Таким образом , мы получили равенство , показывающее , что если к сумме прибавить 4 или к 3 прибавить сумму , то результат будет один и тот же .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину длины отрезка АB .
Чтобы получить число 14 , надо прибавить к 12 число 2 , которое меньше 3 .
На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил загадкой : « Если сложить день и номер месяца моего рождения , то получится 20 ; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения , то получится 14 ; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900 , то получится год моего рождения » .
д. Словом , каждый день я буду прибавлять тебе по одному рублю , так что за один только четырнадцатый ( последний ) день я заплачу 14 р .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Если хочешь в произведении иметь 121 212 , возьми 12 , умножь на 2 и на 10 , будет 240 , прибавь первое число , будет 252 .
В этом случае условились считать , что 6 см есть приближённая длина отрезка AB с точностью до 1 см с округлением .
Знак называют знаком приближённого равенства и читают « приближённо равно » .
Однако ещё можно получить приближённую длину отрезка с точностью до 1 см с округлением .
При измерении площадей чаще всего используют приближённые значения величин .
Однако известно , при этом величины 5 см и 6 см отличаются от AB не более чем на 1 см. Их называют приближениями или приближёнными значениями длины AB с точностью до 1 см .
Докажем распределительный закон , считая , что дроби в скобках уже приведены к общему знаменателю .
Дроби приведены к общему знаменателю .
Дроби приведите к знаменателю 36 .
Если да , то приведите два примера .
Дроби приведите к знаменателю 24 .
На какие числа делится каждое из приведённых ниже чисел ? .
п. привели людей к необходимости уметь считать предметы .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
Дроби имеют разные знаменатели , но их можно привести к общему знаменателю .
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями , их нужно привести к общему знаменателю , а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё , что вы знаете о натуральных числах , познакомиться со свойствами сложения и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю , которым может быть произведение их знаменателей .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
а ) Любые ли две дроби можно привести к общему знаменателю ? .
Так как НОК(4 , 8) = 8 , то к знаменателю 8 надо привести только первую дробь .
Но для упрощения вычислений нужно стараться привести дроби к наименьшему общему знаменателю .
Если дробные части слагаемых имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить сложение .
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить вычитание .
Подтверждая своё мнение , он приводит примеры .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в первом примере , то сложение по формуле приводит к лишним вычислениям .
Для упрощения вычислений нужно стараться приводить дроби к наименьшему общему знаменателю , а получаемые результаты приводить к несократимому виду .
Для упрощения вычислений нужно стараться приводить дроби к наименьшему общему знаменателю , а получаемые результаты приводить к несократимому виду .
б ) К какому общему знаменателю лучше всего приводить две дроби ? .
— Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада ?
— Я привожу две трети от трети скота .
Запишите произведение в виде степени .
( Для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его . ) .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Вычтите произведение чисел 12 345 и 9 из числа 1 000 000 .
в ) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9 . г ) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
Если один ив множителей делится на некоторое число , то и произведение делится на это число .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является простым числом .
Вычислим произведение .
От перестановки множителей произведение не меняется .
Если длина , ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Запишите произведение в виде суммы .
Из сочетательного закона умножения следует , что произведение трёх ( и более ) чисел можно записать и без скобок .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
а ) Уменьшите 309 на 12 . б ) Уменьшите произведение чисел 409 и 5 на 920 .
Используя распределительный закон , запишите произведение в виде суммы .
а ) Вычислите произведение и числа , обратного числу 3 .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Степенью числа а с натуральным показателем называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Вычислите произведение .
Вычислите произведение 7 и числа , обратного числу .
Чему равно произведение взаимно обратных чисел ?
Музыкальное произведение состоит из одинаковых по длительности отрезков тактов .
Определите пропавшую цифру без справочника и не вычисляя произведение .
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до n .
Запись 5 ! читается « 5 факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5 .
Так как произведение знаменателей .
Ответ : 6724 . 3 ) Вычислите произведение .
Вычислите произведение двух чисел индийским способом и сделайте проверку обычным способом .
Представьте данное произведение в виде произведения возможно большего числа множителей , отличных от 1 .
Если длина и ширина прямоугольника выражены натуральными числами а и b , то его площадь S вычисляется как произведение .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
Вычислите произведение чисел .
Некто утверждает , что знает 4 натуральных числа , произведение и сумма которых нечётные числа .
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю , которым может быть произведение их знаменателей .
Можно считать , что произведение натурального числа n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Запишите произведение в виде разности .
Сначала перебираем все делители числа 18 до тех пор , пока произведение двух соседних делителей не даст 18 .
Докажите , что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число чётное .
Объясните , почему на 12 делится произведение .
Итак , справедливо равенство , где 4 — наибольшее число , произведение которого на 3 меньше 14 .
Вычислите полученное произведение .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Получится число 12 , называемое произведением чисел 3 и 4 .
Замените сумму произведением .
в произведении получилось 111 111 , или 222 222 , или 333 333 , и так до 999 999 , то умножай 777 на 143 и будет 111111 .
Если хочешь в произведении иметь 121 212 , возьми 12 , умножь на 2 и на 10 , будет 240 , прибавь первое число , будет 252 .
Из законов умножения следует , что в произведении нескольких множителей можно менять местами множители и заключать их в скобки любым способом .
Переход от произведений соответственно к сумме и разности называют раскрытием скобок .
Определите , какое из следующих произведений определяет количество квартир а ) в подъезде ; 6 ) на одном этаже в двух подъездах ; в ) в двух подъездах .
а ) Каким может быть число а , чтобы вы могли устно вычислить разность двух произведений ?
Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Приведите дроби к общему знаменателю , равному произведению знаменателей дробей .
Переход от суммы к произведению и от разности к произведению называют вынесением общего множителя за скобки .
На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил загадкой : « Если сложить день и номер месяца моего рождения , то получится 20 ; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения , то получится 14 ; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900 , то получится год моего рождения » .
Переход от суммы к произведению и от разности к произведению называют вынесением общего множителя за скобки .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей , то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел .
Представьте данное произведение в виде произведения возможно большего числа множителей , отличных от 1 .
д. Получите описанным способом произведения от 333 333 до 999 999 .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Запишите сумму в виде произведения .
В задаче упоминаются произведения дробей .
Запишите числа 24 , 42 , 36 , 72 , 75 в виде произведения и покажите , что .
Запишите число в виде произведения одинаковых чисел .
Разложить данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
Каждое составное число можно представить в виде произведения его простых делителей .
Запишите каждое из чисел 15 ; 25 ; 13 ; 24 ; 36 ; 14 ; 17 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
Запишите число в виде произведения двух равных множителей .
Запишите число в виде произведения двух множителей .
Мы уже знаем , что сумму нескольких одинаковых слагаемых принято записывать короче — в виде произведения .
Запишите в виде произведения .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
Используя распределительный закон , запишите сумму в виде произведения .
Запишите следующее число в виде произведения двух множителей различными способами .
Для вычисления этого произведения надо умножить 5 на 48 , а полученный результат умножить на 2 .
Например , число 4560 оканчивается цифрой 0 , его можно представить в виде произведения , которое делится на 10 ( по свойству 1 ) .
Запишите число в виде произведения двух множителей всеми возможными способами .
В самом деле , если числитель дроби р делится на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Число 4 можно записать в виде суммы , разности , произведения , частного , степени или другими способами .
Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде произведения некоторого числа и степени числа 10 .
Другие делители найдём , составляя различные произведения из этих простых делителей .
Для вычисления произведения однозначных чисел удобно пользоваться таблицей умножения .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Используя распределительный закон , запишите разность в виде произведения .
Для этого надо взять каждый из простых делителей числа 90 , их всевозможные произведения , содержащие не больше одного множителя 2 , двух множителей 3 и одного множителя 5 .
Например . Говорят , что в произведениях раскрыли скобки и получили соответственно сумму и разность .
Простых чисел бесконечно много , есть первое число 2 , но нет последнего простого числа .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является простым числом .
3 , 2 — простое число , 5 , 3 — простое число и т .
3 , 2 — простое число , 5 , 3 — простое число и т .
Большой вклад в её решение внёс великий русский математик академик П. Л. Чебышев ( 1821–1894 ) , доказавший , в частности , что между числами n и 2п ( n > 1 ) имеется по крайней мере одно простое число .
Можно ли простое число записать в виде суммы .
Назовите наименьшее простое число .
Если делитель — простое число , то его называют простым делителем .
Каждое простое число имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
1 не простое число и не составное — вычеркнем его .
С помощью таблицы простых чисел : а ) определите , какие из чисел 47 ; 69 ; 127 ; 301 ; 447 ; 517 ; 673 ; 879 являются простыми ; б ) назовите все простые числа , большие 30 , но меньшие 50 ; в ) назовите все составные числа , большие 30 .
Например , если в формулу подставлять вместо n натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 40 , то будут получаться простые числа .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые числа в натуральном ряду , и найти общую формулу для нахождения простых чисел .
в ) Используя « решето » Эратосфена , получите все простые числа в промежутке от 1 до 200 .
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей , то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел .
После вычеркивания из таблицы чисел , кратных 7 ( они также расположены на параллельных прямых ) , в ней останутся только простые числа — они тоже обведены кружком .
Например , 24 и 25 — взаимно простые числа .
а ) Почему после « просеивания » чисел , кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа ? .
На форзаце учебника помещена таблица простых чисел , в которой записаны все простые числа от 2 до 997 .
Имеются ли среди чисел 2 ! , 3 ! , 4 ! , 5 ! , 6 ! , 7 ! , взаимно простые числа ? .
Особое внимание они уделяли простым числам .
Верно ли , что сумма любых двух простых чисел является простым числом ? .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является простым числом .
а ) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом ? .
Являются ли простыми числа 998 ; 999 ; 1000 ? .
Являются ли взаимно простыми числа .
С помощью разложения чисел на простые множители докажите , что являются взаимно простыми числа .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в первом примере , то сложение по формуле приводит к лишним вычислениям .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
е . являются взаимно простыми числами .
Числа , не имеющие общих простых делителей , называют взаимно простыми числами .
Но общей формулы простых чисел пока не найдено .
Наибольший общий делители взаимно простых чисел равен 1 .
а ) Петя придумал новую формулу для нахождения простых чисел .
а ) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом ? .
Л. Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу , называемую проблемой Эйлера : « Доказать , что каждое чётное число , начиная с 4 , можно представить в виде суммы двух простых чисел » .
Более двухсот лет назад член Петербургской академии паук X. Гольдбах ( 1690–1764 ) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха : « Доказать , что каждое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых чисел » .
б ) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле , если брать последовательные натуральные числа , начиная с n = 1 ? .
Л. Эйлер рассматривал и такую задачу : « Определить , сколько простых чисел содержится между двумя данными натуральными числами , не пересчитывая их непосредственно » .
Верно ли , что сумма любых двух простых чисел является простым числом ? .
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел , составных чисел и единицы .
доказано , что простых чисел бесконечно много .
На форзаце учебника помещена таблица простых чисел , в которой записаны все простые числа от 2 до 997 .
а ) для взаимно простых чисел .
Приведите примеры взаимно простых чисел .
Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел ? .
Поэтому очень важно узнать тайны простых чисел — сколько их , как они распределены в натуральном ряду и т .
Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел ? .
С помощью таблицы простых чисел : а ) определите , какие из чисел 47 ; 69 ; 127 ; 301 ; 447 ; 517 ; 673 ; 879 являются простыми ; б ) назовите все простые числа , большие 30 , но меньшие 50 ; в ) назовите все составные числа , большие 30 .
другой древнегреческий математик Эратосфен предложил довольно лёгкий способ отыскания простых чисел .
Не пользуясь таблицей простых чисел , докажите , что число : а ) 29 ; 6 ) 41 ; в ) 53 ; г ) 59 является простым .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые числа в натуральном ряду , и найти общую формулу для нахождения простых чисел .
Он позволяет сократить объём работы при составлении таблицы простых чисел .
Докажите , что , кроме числа 2 , не существует других чётных простых чисел .
Вот первые десять простых чисел .
Отметим , что два различных простых числа ( например , 17 и 23 ) , а также два соседних натуральных числа ( например , 24 и 25 ) являются взаимно простыми .
Докажите , что два простых числа являются взаимно простыми .
Убедитесь , что прямая MN делит отрезок АВ пополам .
На сколько частей прямая делит плоскость ? .
Через каждые две точки проведена прямая .
Отметим на прямой l две различные точки С и D. Тогда эту прямую l называют также « прямая CD » .
Прямую обозначают одной строчной ( малой ) латинской буквой , например l , и читают : « прямая эль » .
Угол , меньший прямого , называют острым .
В треугольнике не может быть больше одного прямого или тупого угла .
Угол , больший прямого , но меньший развёрнутого , называют тупым .
На прямой отметили 5 точек .
Сколько получится лучей , если на прямой отметить : а ) 3 точки ; б ) 5 точек ; в ) 100 точек ? .
Часть прямой , ограниченную точками А и В , называют отрезком АВ .
На рисунке всегда изображается только часть прямой , которую проводят с помощью линейки .
На прямой отметили четыре точки .
Коротко — частью прямой .
Например , треугольники АВС и MNK равны , так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по прямой l .
Если согнуть лист бумаги , то линия сгиба будет частью прямой линии .
Сколько градусов содержит развёрнутый угол , прямой угол ? .
На прямой даны точки А , В и С , причём AB 6 см , АС 13 см. Найдите длину отрезка ВС , если .
Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Запишите обозначения прямой и полученных лучей .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Прямая MN перпендикулярна прямой AС . .
Проведите прямую AB и вне её точку С. Через точку С проведите прямую , параллельную прямой АВ .
Возьмём на плоскости три точки А , В и О , не лежащие на одной прямой , и соединим их отрезками .
Отметьте на прямой две точки А и В. Сколько получилось лучей с началом в этих точках ? .
Угол прямой .
Его половина прямой угол — содержит 90 градусов .
Отметим на прямой l две различные точки С и D. Тогда эту прямую l называют также « прямая CD » .
Если на прямой отметить точку , то образуется два луча , выходящих из одной точки .
Если лист бумаги перегнуть по прямой BD , то лучи ВA и ВС совпадут .
Представление о прямой даёт туго натянутая нить .
Четырёхугольники ABCD и KLMN равны , так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по прямой m .
Точка A , лежащая на прямой , делит её на две части .
Числа удобно представлять точками прямой .
Если один из углов треугольника прямой , то его называют прямоугольным треугольником .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача ? .
Многоугольник называют выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от каждой прямой , содержащей его сторону .
Возьмём на плоскости четыре точки А , В , С и D , такие , что никакие три из них не лежат на одной прямой , и соединим их отрезками АВ , ВС , СD и DA .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см. Найдите длину отрезка ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
Если согнуть лист бумаги , то линия сгиба будет частью прямой линии .
Сколько градусов содержит развёрнутый угол , прямой угол ? .
Его половина прямой угол — содержит 90 градусов .
Из прямоугольника 10 x 7 вырезали прямоугольник 1 х 6 .
Каждая грань — прямоугольник .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным единицам .
Изображён прямоугольник со сторонами а дм и b дм .
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной 1 дм .
Изображён прямоугольник ABCD .
Постройте в тетради прямоугольник со сторонами : а ) 5 см и 3 см ; б ) 71 мм и 27 мм .
Является ли любой прямоугольник квадратом ? .
а ) Какой прямоугольник называют квадратом ? .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
б ) Чему равна площадь прямоугольника ? .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Сад имеет форму прямоугольника со сторонами 500 м и 400 м .
Стороны прямоугольника равны 4 см и см. Его площадь равна .
Площадь прямоугольника 91 см2 , а его высота 7 см. Определите основание прямоугольника .
Площадь прямоугольника 91 см2 , а его высота 7 см. Определите основание прямоугольника .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
б ) Найдите сторону квадрата , площадь которого равна площади данного прямоугольника .
Если взять длины сторон с избытком : АB — 4 см , AD — 6 см , то площадь прямоугольника ABCD будет меньше чем 24 ( см2 ) .
Как изменится площадь прямоугольника , если .
Вычислите площадь и периметр прямоугольника , длина и ширина которого равны .
Площадь прямоугольника .
Пол в классе имеет форму прямоугольника со сторонами 5 м и 6 м .
Вычислите площадь прямоугольника , стороны которого равны .
Площадь прямоугольника равна 4 дм2 .
Вычислите длину прямоугольника , если его ширина равна .
Необходимо покрыть кафельной плиткой пол , имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется , если в каждом ящике 50 плиток ?
Из прямоугольника 10 x 7 вырезали прямоугольник 1 х 6 .
Из листа фанеры размером 11 см х 15 см выпилили два квадрата со стороной 5 см и три прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см. Определите площадь оставшейся части .
Линия проведена так , чтобы она пересекала каждую сторону каждого маленького прямоугольника только один раз .
Измерив его стороны АB и AD , получим АB — 3 см и AD — 5 см с недостатком , значит , площадь S прямоугольника ABCD больше чем 15 ( см2 ) .
При этом предполагается , что стороны прямоугольника измерены в одинаковых линейных единицах .
Если длина и ширина прямоугольника выражены натуральными числами а и b , то его площадь S вычисляется как произведение .
а ) Как вычислить площадь прямоугольника , зная длину и ширину ? .
Например , пусть требуется найти площадь S прямоугольника ABCD .
Одну сторону квадрата разделим на 4 равные части ; три из них составляют длину прямоугольника .
Найдите высоту прямоугольника .
Составьте выражение для вычисления периметра прямоугольника со сторонами .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
Другую сторону квадрата разделим на 3 равные части ; две из них составляют ширину прямоугольника .
Найдите большую сторону прямоугольника .
Точки А , В , С и D называют вершинами прямоугольника , а отрезки AВ , ВС , CD и АD — его сторонами .
Найдите периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 37 см , а другая : а ) на 6 см больше ; б ) на 8 см меньше .
Найдите стороны прямоугольника .
Найдите периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 26 см , а другая : а ) в 3 раза больше ; б ) в 2 раза меньше .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Периметр прямоугольника равен 56 см , одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую сторону .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Периметр прямоугольника равен 54 см , основание на 5 см больше высоты .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
а ) Периметр прямоугольника равен 48 см , основание на 4 см больше высоты .
Нижнюю и верхнюю стороны прямоугольника называют ещё основаниями прямоугольника .
Периметр прямоугольника 36 дм , основание на 6 см больше высоты .
Нижнюю и верхнюю стороны прямоугольника называют ещё основаниями прямоугольника .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Найдите периметр прямоугольника со сторонами : а ) 12 см и 9 см ; б ) 93 см и 2 см ; в ) 11 см и 47 мм ; г ) 17 см и 3 дм .
Плоскость можно выложить также равными прямоугольниками .
В прямоугольнике KLMN диагонали КМ и LN пересекаются в точке О. Докажите , что площади треугольников KLO и NMO равны .
б ) Верно ли , что если площади прямоугольников равны , то прямоугольники равны ? .
Равные прямоугольники имеют равные площади .
а ) Верно ли , что если прямоугольники равны , то их площади равны ? .
Придумайте ещё два своих паркета из равных прямоугольников .
Два способа покрытия пола паркетом из равных прямоугольников .
С помощью единичных квадратов измеряют площади прямоугольников .
Сколько прямоугольников изображено ? .
Изображено 18 прямоугольников .
б ) Верно ли , что если площади прямоугольников равны , то прямоугольники равны ? .
Какой из четырёхугольников является : а ) прямоугольником ; б ) квадратом ? .
б ) Является ли любой квадрат прямоугольником ?
Какой четырёхугольник называют прямоугольником ? .
Четырёхугольник , у которого все углы прямые , называют прямоугольником .
Учтите , что квадрат является прямоугольником .
Объём прямоугольного параллелепипеда .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого равны .
Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда .
Вычислите площадь всех граней и объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого равны .
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда , длина которого 45 см , ширина 30 см , а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Площадь S основания прямоугольного параллелепипеда равна .
Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .
При этом предполагается , что рёбра прямоугольного параллелепипеда измерены в одинаковых линейных единицах .
Постройте развёртку прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого дм , дм , дм .
б ) Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда ? .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , если его рёбра равны : а ) 18 см , 16 см , 5 см ; б ) 12 см , 45 см , 2 см ; в ) 16 см , 23 см , 25 см ; г ) 11 см , 11 см , 11 см .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см , 4 см и 5 см .
Если длина , ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Вершина прямоугольного параллелепипеда .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Выполните в тетради рисунок прямоугольного параллелепипеда .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Грани пересекаются по отрезкам — рёбрам прямоугольного параллелепипеда .
Точки , в которых пересекаются рёбра , называют вершинами прямоугольного параллелепипеда .
Выразите в арах площадь прямоугольного участка земли , длина и ширина которого .
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней , рёбер и вершин ? .
б ) Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда , зная длину , ширину и высоту ? .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны .
Коробка , имеющая форму прямоугольного параллелепипеда .
У прямоугольного параллелепипеда шесть граней , двенадцать рёбер и восемь вершин .
Если её разрезать по вертикальным рёбрам , а затем развернуть , то получится развёртка прямоугольного параллелепипеда .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Вычислите площадь всех граней и объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого равны .
б ) Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда ? .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если её разрезать по вертикальным рёбрам , а затем развернуть , то получится развёртка прямоугольного параллелепипеда .
Коробка , имеющая форму прямоугольного параллелепипеда .
Площадь S основания прямоугольного параллелепипеда равна .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .
б ) Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда , зная длину , ширину и высоту ? .
Точки , в которых пересекаются рёбра , называют вершинами прямоугольного параллелепипеда .
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны .
Постройте развёртку прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого дм , дм , дм .
Вершина прямоугольного параллелепипеда .
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда , длина которого 45 см , ширина 30 см , а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Грани пересекаются по отрезкам — рёбрам прямоугольного параллелепипеда .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Выполните в тетради рисунок прямоугольного параллелепипеда .
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
Если длина , ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см , 4 см и 5 см .
Объём прямоугольного параллелепипеда .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , если его рёбра равны : а ) 18 см , 16 см , 5 см ; б ) 12 см , 45 см , 2 см ; в ) 16 см , 23 см , 25 см ; г ) 11 см , 11 см , 11 см .
У прямоугольного параллелепипеда шесть граней , двенадцать рёбер и восемь вершин .
Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней , рёбер и вершин ? .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого равны .
При этом предполагается , что рёбра прямоугольного параллелепипеда измерены в одинаковых линейных единицах .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Некто имел 99 м сетки для ограждения участка прямоугольной формы .
Поле площадью 5 га разделили на 8 равных участков прямоугольной формы .
Классная комната , коробка конфет или кирпич дают представление о прямоугольном параллелепипеде .
Для этого достроим прямоугольный параллелепипед до куба с ребром 1 дм .
Некто хочет приобрести прямоугольный участок земли площадью 4 сотки .
Треугольник прямоугольный .
Вырежьте развёртку из бумаги , оставляя припуски для склеивания , и склейте прямоугольный параллелепипед .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Изображён прямоугольный параллелепипед .
Всего прямоугольный параллелепипед содержит 24 единичных куба , т .
Склейте прямоугольный параллелепипед .
Этот прямоугольный параллелепипед можно разрезать на 2 слоя , в каждом из которых по единичных куба .
б ) Является ли любой прямоугольный параллелепипед кубом ?
АВС — остроугольный , MNK прямоугольный , PQR — тупоугольный .
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на h единичных кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
б ) Является ли любой прямоугольный параллелепипед кубом ?
Склейте прямоугольный параллелепипед .
Вырежьте развёртку из бумаги , оставляя припуски для склеивания , и склейте прямоугольный параллелепипед .
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на h единичных кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
Этот прямоугольный параллелепипед можно разрезать на 2 слоя , в каждом из которых по единичных куба .
Изображён прямоугольный параллелепипед .
Всего прямоугольный параллелепипед содержит 24 единичных куба , т .
Для этого достроим прямоугольный параллелепипед до куба с ребром 1 дм .
Если один из углов треугольника прямой , то его называют прямоугольным треугольником .
Является ли любой куб прямоугольным параллелепипедом ?
Является ли любой куб прямоугольным параллелепипедом ?
Если один из углов треугольника прямой , то его называют прямоугольным треугольником .
Куб , сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных параллелепипедов ? .
Куб , сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных параллелепипедов ? .
Касательной к окружности называют прямую , имеющую с окружностью только одну общую точку .
Каждую из этих частей называют лучом с началом в точке A . Луч , так же как и прямую , обозначают двумя заглавными буквами .
Проведите прямую AB и вне её точку С. Через точку С проведите прямую , параллельную прямой АВ .
Можно ли в школьной тетради изобразить всю прямую ? .
Проведите прямую AB и вне её точку С. Через точку С проведите прямую , параллельную прямой АВ .
Через любые две точки можно провести только одну прямую .
Отметим на прямой l две различные точки С и D. Тогда эту прямую l называют также « прямая CD » .
Нарисуйте прямую , обозначьте её .
Проведите от руки прямую , проходящую через эти точки .
Как могут располагаться две прямые на плоскости ? .
Отсюда следует , что две различные прямые могут пересекаться только в одной точке .
Найдите параллельные прямые .
Две прямые пересекаются в одной точке .
На сколько частей делят плоскость две прямые , если они : а ) пересекаются ; б ) параллельны ? .
Две различные прямые на плоскости могут и не пересекаться , сколько бы их ни продолжали .
Четырёхугольник , у которого все углы прямые , называют прямоугольником .
Назовите острые , прямые и тупые углы .
Какие прямые называют перпендикулярными ? .
Показано , как с помощью угольника и линейки провести параллельные прямые .
Могут ли смежные углы быть : а ) оба прямые ; б ) оба острые ; в ) оба тупые ? .
Если прямые AB и CD ( или а и b ) параллельны , то это обозначают так .
г ) Какие прямые называют параллельными ? .
Такие прямые называют параллельными .
Нарисуйте от руки параллельные прямые .
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов на два равных угла , каждый из которых называют прямым углом .
Прямые , пересекающиеся под прямым углом , называют перпендикулярными .
Прямым ?
Прямые , пересекающиеся под прямым углом , называют перпендикулярными .
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов на два равных угла , каждый из которых называют прямым углом .
На сколько частей можно разделить плоскость тремя прямыми ? .
Как разрезать торт тремя прямыми так , чтобы получилось семь частей и на каждой из них была розочка ? .
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла .
Сколько прямых проведено ? .
Сколько прямых можно провести через одну точку ? .
Обозначьте все точки пересечения прямых , продолжив их , если нужно .
После вычеркивания из таблицы чисел , кратных 7 ( они также расположены на параллельных прямых ) , в ней останутся только простые числа — они тоже обведены кружком .
Оно простое обведём его кружком , а все незачёркнутые числа , кратные ему ( они расположены на параллельных прямых ) , вычеркнем .
б ) Сколько прямых можно провести через две разные точки ? .
Изображены 4 прямых угла .
Изображены 4 прямых угла .
В первый день они проехали 2/3 всего пути .
Какую часть пути прошёл за это время второй турист ? .
Автотуристы за три дня проехали 360 км ; в первый день они проехали 2/5 , а во второй день — 3/8 всего пути .
Через некоторое время они прошли всего пути , причем первый прошёл всего пути .
Рассмотрим задачи на движение по реке , при решении которых удобно весь путь принимать за единицу , а скорость катера по течению реки , против течения и скорость течения реки выражать как часть пути , пройденного за единицу времени .
Под совместной работой можно понимать и одновременную работу двух труб при наполнении бассейна , и прохождение некоторого пути при движении навстречу друг другу и т .
Они проходят каждый час 1/4 всего пути .
а ) Путник проходит в час 1/5 пути .
Через некоторое время они прошли всего пути , причем первый прошёл всего пути .
Чтобы найти скорость , нужно путь разделить на время движения , а чтобы найти время , нужно путь разделить на скорость .
Рассмотрим задачи на движение по реке , при решении которых удобно весь путь принимать за единицу , а скорость катера по течению реки , против течения и скорость течения реки выражать как часть пути , пройденного за единицу времени .
Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер , если его собственная скорость 15 км / ч , а скорость течения реки 3 км / ч ? .
За сколько часов он пройдёт весь путь ? .
Путешественник идёт из одного города в другой 10 дней , а другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней .
Эту задачу можно решить , вычислив предварительно путь , пройденный каждым пешеходом .
Мальчик заметил , что на путь по течению реки было затрачено меньше времени , чем на тот же путь против течения .
Если тело движется равномерно t ч со скоростью v км / ч , то оно проходит путь s км , и при этом верно равенство .
Мальчик заметил , что на путь по течению реки было затрачено меньше времени , чем на тот же путь против течения .
Какое время затратит моторная лодка на обратный путь ? .
б ) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин , а на обратный путь — 2 ч .
Сколько времени потратит моторная лодка на путь между причалами туда и обратно , если собственная скорость моторной лодки 10 км / ч , а скорость течения 2 км / ч ? .
Сколько времени он затратил на этот путь ? .
Итак , чтобы найти путь , пройденный телом при равномерном движении , нужно его скорость умножить на время движения ( в дальнейшем слово « равномерное » для краткости опускается , но подразумевается ) .
Сколько времени потратит катер на тот же путь по озеру ? .
б ) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин , а на обратный путь — 2 ч .
Какой путь прошёл катер по озеру за 2 ч со скоростью 12 км / ч ? .
Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и ещё через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на путь из В в А ? .
Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами , если расстояние между ними 120 км ? .
Разделим путь , который проехал велосипедист , на его скорость : 3 ( ч ) — время движения велосипедиста .
в ) путь катера по течению реки за 3 ч . г ) путь катера против течения реки за 5 ч . а )
Какой путь он прошёл ? .
в ) путь катера по течению реки за 3 ч . г ) путь катера против течения реки за 5 ч . а )
Умножим скорость поезда на время движения : 260 ( км ) — путь поезда .
Чтобы найти скорость , нужно путь разделить на время движения , а чтобы найти время , нужно путь разделить на скорость .
Разделим путь , пройденный пешеходом , на время движения : 4 ( км / ч ) — скорость пешехода .
По дороге он менял колёса с таким расчётом , чтобы каждое колесо проехало один и тот же путь .
Какой путь пройдёт катер за 3 ч ? .
Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным путям — один со скоростью 100 км / ч , другой со скоростью 80 км / ч .
Постройте пятиугольник ABCDE .
Периметры треугольников BCD , BDE и ABE равны соответственно 20 см , 21 см и 22 см , а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см. Определите длины диагоналей BD и BE , если известно , что они равны .
Сколько диагоналей в выпуклом : а ) четырёхугольнике ; б ) пятиугольнике ; в ) шестиугольнике ; г ) семиугольнике ? .
По числу сторон многоугольник называют треугольником , четырёхугольником , пятиугольником и т .
Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 28 , 22 , 81 и 100 .
Из спичек сложили шесть неверных равенств .
Надо в каждом из равенств переложить одну спичку так , чтобы получились другие верные равенства .
Левые части равенств — данные дроби , а правые — равные им несократимые дроби .
Надо в каждом из равенств переложить одну спичку так , чтобы получились другие верные равенства .
Так как для неотрицательных чисел справедлив переместительный закон умножения , то верны равенства .
Знак называют знаком приближённого равенства и читают « приближённо равно » .
Отметим , что для любого числа а верны равенства .
Проверьте справедливость равенства .
Отметим , что для любого натурального числа а верны равенства .
Из спичек сложены верные равенства .
Кроме того , надо помнить , что для любого числа а верны равенства .
Для любого числа а верны равенства .
Проверьте равенства калькулятором .
Переложите в каждом равенстве по одной спичке так , чтобы равенства стали верными .
Поэтому равенства верны для любых целых неотрицательных чисел .
Левая часть равенства ( 2 ) есть дробь , числитель и знаменатель которой имеют общий множитель n.
Докажем эти равенства , применяя на каждом этапе рассуждений переместительный или сочетательный закон сложения .
Например , верны равенства .
Проверьте , что в двоичной системе нумерации справедливы равенства .
Переложите в каждом равенстве по одной спичке так , чтобы равенства стали верными .
В равенстве назовите уменьшаемое , вычитаемое , разность .
Определите числитель дроби в равенстве .
Любое из чисел а , b и с в равенстве и в равенстве может быть нулём , поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел .
Любое из чисел а , b и с в равенстве и в равенстве может быть нулём , поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел .
Например , верно равенство .
Верно ли равенство ?
Так как любое натуральное число n можно представить в виде дроби , то справедливо равенство .
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон сложения .
Запишите равенство , выражающее сочетательный закон умножения , сформулируйте этот закон .
Кроме того , если b больше или равно , то верно равенство .
Замените букву х числом так , чтобы равенство стало верным .
Любое натуральное число а делить на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
Запишите равенство , выражающее . а ) переместительный закон умножения .
Итак , справедливо равенство , где 4 — наибольшее число , произведение которого на 3 меньше 14 .
Если , то выполняется равенство .
Найдите число х , для которого верно равенство .
Запишите равенство , выражающее переместительный закон сложения .
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон умножения .
Восстановите равенство , вставив пропущенное число ( 59 , 60 ) .
Объясните , почему верно равенство .
Для любого числа а верно равенство .
Найдите число х , для которого равенство верно .
Вообще , равенство а = b означает , что а и b одно и то же число .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b делится на натуральное число с , то верно равенство .
Если тело движется равномерно t ч со скоростью v км / ч , то оно проходит путь s км , и при этом верно равенство .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон умножения .
а ) Подберите такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось равенство .
Почему нельзя подобрать такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон сложения .
в ) Можно ли подобрать такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
Запишите равенство , выражающее распределительный закон , сформулируйте этот закон .
Используя сочетательный закон сложения для натуральных чисел , проверьте равенство .
Запишите равенство , выражающее сочетательный закон сложения .
Таким образом , мы получили равенство , показывающее , что если к сумме прибавить 4 или к 3 прибавить сумму , то результат будет один и тот же .
Запишите равенство , выражающее переместительный закон умножения , сформулируйте этот закон .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее распределительный закон .
Вычислите неизвестное число х , удовлетворяющее равенству .
Например , что соответствует равенству .
Показан порядок построения равнобедренного треугольника с основанием 3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки .
Периметр равнобедренного треугольника AВС равен 30 см , а одна из сторон на 3 см больше другой .
Показан порядок построения равнобедренного треугольника с основанием 3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки .
Периметр равнобедренного треугольника AВС равен 30 см , а одна из сторон на 3 см больше другой .
В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Треугольник равнобедренный .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
Если две стороны треугольника равны , то его называют равнобедренным , а если три стороны треугольника равны , то его называют равносторонним .
В равностороннем треугольнике длина стороны равна .
В равностороннем треугольнике длина стороны равна .
Треугольник равносторонний .
Постройте равносторонний треугольник со стороной AB .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Дана окружность , постройте равносторонний треугольник , вершины которого лежат на этой окружности .
Дана окружность , постройте равносторонний треугольник , вершины которого лежат на этой окружности .
Постройте равносторонний треугольник со стороной AB .
Если две стороны треугольника равны , то его называют равнобедренным , а если три стороны треугольника равны , то его называют равносторонним .
Начертите окружность , радиус которой равен отрезку АВ .
Начертите окружность , радиус которой равен .
Окружность с центром О , касательная АВ и радиус окружности ОС .
Например , радиус Солнца равен 700 000 км , а среднее расстояние от Земли до Солнца равно 150 000 000 км .
Назовите центр , радиус , диаметр окружности .
Внутри или вне сферы расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Внутри или вне окружности расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Внутри или вне сферы расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Внутри или вне окружности расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Постройте две окружности с центрами A и B радиусами 3 см и 5 см , касающиеся внешним образом .
Постройте две окружности радиусами 3 см и 4 см , касающиеся : а ) внешним образом ; б ) внутренним образом .
На окружности с центром О и радиусом 2 см отметьте точку A.
Постройте две окружности : с центром A и радиусом AB и с центром С и радиусом СВ .
Постройте две окружности : с центром A и радиусом AB и с центром С и радиусом СВ .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
На рисунке изображён круг с центром О и радиусом ОА .
На отрезке AB отметьте точку С . а ) Постройте две окружности : с центром А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ .
а ) Определите углы , образованные касательной и радиусом окружности , проведённым в точку касания .
Отрезок , соединяющий центр сферы с любой её точкой , называют радиусом сферы .
Его длину тоже называют радиусом .
На отрезке AB отметьте точку С . а ) Постройте две окружности : с центром А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ .
Отрезок , соединяющий центр окружности с любой её точкой , называют радиусом .
Постройте две окружности с центрами A и B и радиусом АВ .
Все точки шара удалены от его центра на расстояние , меньшее или равное радиусу шара .
Можно также сказать , что окружность состоит из точек , удалённых от её центра на расстояние , равное радиусу .
Все точки окружности удалены от её центра на одинаковое расстояние , равное радиусу .
Круг состоит из точек , удалённых от данной точки на расстояние , меньшее или равное его радиусу .
Отрезки OL , ОА , ОВ радиусы окружности , АВ — её диаметр , CD хорда .
Считается , что развёрнутый угол содержит 180 градусов .
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов на два равных угла , каждый из которых называют прямым углом .
Тогда это неизвестное число можно найти , разделив 60 на .
Последний кусок Саша разделил поровну с пятым другом .
На сколько частей разделилась плоскость ?
Меньшие разделили эти деньги между собою , и тогда у всех братьев стало поровну .
а ) Отрезок длиной 1 м разделили на несколько равных частей длиной 1/10 м .
Поле площадью 5 га разделили на 8 равных участков прямоугольной формы .
Пять братьев разделили после отца наследство поровну .
Здесь отдельно разделили целую и дробную части смешанной дроби на 3 ( т .
Для этого разделим .
Третье ребро разделим на три равные части ; две из них составляют высоту параллелепипеда .
Другое ребро куба разделим на две равные части ; одна из них составляет длину параллелепипеда .
Одну сторону квадрата разделим на 4 равные части ; три из них составляют длину прямоугольника .
Одно ребро куба разделим на пять равных частей ; две из них составляют ширину параллелепипеда .
Другую сторону квадрата разделим на 3 равные части ; две из них составляют ширину прямоугольника .
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов на два равных угла , каждый из которых называют прямым углом .
С помощью транспортира разделите угол АВС на : а ) 2 равные части ; б ) 3 равные части .
С помощью транспортира разделите угол АВС на два угла так , чтобы один угол был : а ) в 2 раза больше другого ; б ) в 3 раза меньше другого ; в ) на 20 ° больше другого ; г ) на 30 ° меньше другого .
Постройте окружность и разделите её с помощью циркуля на : а ) 6 равных частей ; б ) 3 равные части .
Числа 20 , 30 , 40 , 50 разделите : а ) на 4 ; б ) на 1/4 .
Числа разделите : а ) на 3 ; б ) на 1/3 .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Чтобы разделить дробь на натуральное число , можно её знаменатель умножить на это число .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Например , если 1 км разделить на q равных частей , то каждая часть будет иметь длину 1 / q км , а р таких частей будут иметь длину p / q км .
Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников , состоящие только из мальчиков или только из девочек .
Чтобы найти скорость , нужно путь разделить на время движения , а чтобы найти время , нужно путь разделить на скорость .
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями .
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Чтобы найти скорость , нужно путь разделить на время движения , а чтобы найти время , нужно путь разделить на скорость .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
На сколько частей можно разделить плоскость тремя прямыми ? .
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Некто пообещал дать 99 конфет тому , кто сумеет их разделить между четырьмя людьми так , чтобы каждому досталось нечётное число конфет .
а ) Как разделить одну дробь на другую ? .
Разделить на него и числитель , и знаменатель .
Чтобы найти 1/4 от 600 р . , надо эту сумму разделить на 4 : 150 ( р . ) .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
б ) Как разделить дробь на натуральное число ? .
Если отрезок длиной 1 см разделить на две равные части , то каждая из них будет иметь длину , равную половине сантиметра .
Остаётся разделить остаток от деления десятков ( 28 ) и единицы ( 8) , т .
Это можно объяснить так : если отрезок разделить пополам , а каждую половину ещё пополам , то половина отрезка будет состоять из двух четвертей этого отрезка .
Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен — 2 сотни и десятки — 8 десятков , т .
Видя это , младший брат предложил такой обмен яблоками : « Я оставлю себе половину имеющихся у меня яблок , а остальные разделю между вами поровну .
В результате куб разделён на равные части , объём каждой из которых равен дм3 .
Квадрат разделён на равные части , площадь каждой из которых равна дм2 .
Отрезок АН разделён на 6 равных частей .
Изображён отрезок AB , разделённый на 9 равных частей .
Изображён отрезок AB , разделённый на четыре равные части .
Отрезок АН , разделённый на 7 равных частей .
Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 28 , 22 , 81 и 100 .
числа 2 , 2 , 2 , 3 ) и ещё множители из разложения меньшего числа 18 , которых нет в разложении большего числа ( т . е .
В разложении чисел 180 и 336 подчёркнуты все их общие делители , поэтому НОД ( 180 , 336 ) 12 .
Даны разложения чисел а и b на простые множители , найдите НОД ( а , b ) и НОК ( а , 1 ) .
С помощью разложения чисел на простые множители докажите , что являются взаимно простыми числа .
числа 2 , 2 , 2 , 3 ) и ещё множители из разложения меньшего числа 18 , которых нет в разложении большего числа ( т . е .
Даны разложения чисел а и b на простые множители .
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел , не выполняя разложения чисел на простые множители .
Все делители числа 90 можно получить из разложения числа 90 на простые множители .
Три крестьянки привезли на рынок масло : одна 4 кадки по пуда в каждой , вторая 2 кадки по пуда , а всё масло третьей крестьянки было разложено поровну в 5 кадок и весило 3 пуда .
В какое наибольшее число подарков можно разложить все эти мандарины и яблоки так , чтобы во всех подарках было поровну мандаринов и поровну яблок ? .
Покажем , как можно разложить число 90 на простые множители . 1 ) 90 делится на 2 .
б ) Что значит разложить число на простые множители ?
Равенство верно , так как сумма разности и вычитаемого равна уменьшаемому .
Если катер движется по течению реки , то его скорость равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки ; если же катер движется против течения реки , то его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения реки .
При решении задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности помогают схематические рисунки .
Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности .
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Переход от произведений соответственно к сумме и разности называют раскрытием скобок .
Придумайте задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности .
Запишите произведение в виде разности .
куб разности чисел .
Число 4 можно записать в виде суммы , разности , произведения , частного , степени или другими способами .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа , зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр .
Переход от суммы к произведению и от разности к произведению называют вынесением общего множителя за скобки .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности длин отрезков .
Если все стороны треугольника имеют разные длины , то его называют разносторонним .
Например . Говорят , что в произведениях раскрыли скобки и получили соответственно сумму и разность .
Делится ли разность .
б ) разность чисел .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно найти разность натуральных чисел а и b .
и ) разность кубов чисел .
Поэтому число 3 есть разность чисел 9 и 6 .
Чему равна разность равных дробей ? .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Придумайте две дроби , разность которых равна .
г ) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , разность которых равна 639 .
Пусть надо найти разность 9 - 6 .
в ) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3 , то и разность делится на 3 ? .
Напомним , что разность равных чисел равна нулю .
Как обозначают разность чисел а и b ? .
а ) Сумма двух чисел равна 96 , а разность равна 18 .
Докажите , что от прибавления к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа разность не изменяется .
а ) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , разность которых равна 234 .
Чему равна разность ? .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
Используя распределительный закон , запишите разность в виде произведения .
Найдите разность чисел 46 и 22 .
С помощью неотрицательных целых чисел можно вычислить разность а и b только в том случае , когда а больше или равно b.
В равенстве назовите уменьшаемое , вычитаемое , разность .
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их сумма и разность делятся на это число .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
Обратим внимание : скорость катера по течению реки — это сумма его собственной скорости и скорости течения реки , а скорость катера против течения реки это разность его собственной скорости и скорости течения реки , поэтому скорость по течению реки больше скорости против течения на удвоенную скорость течения .
Прибавьте к уменьшаемому и вычитаемому по 1 ; по 2 ; по 3 и в каждом случае найдите разность .
Если уменьшаемое равно вычитаемому , то разность равна нулю .
в ) Какое число а нужно взять , чтобы разность в задании а была нулём ? .
а ) Каким может быть число а , чтобы вы могли устно вычислить разность двух произведений ?
Сумма двух чисел равна 87 , а разность равна 19 .
Вычислите разность .
Сумма двух чисел равна 500 , а разность равна 6 .
Чему равна разность равных чисел ? .
г ) Вычитаемое составляет — уменьшаемого , а их разность равна 45 .
К двузначному числу приписали цифру 6 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , разность которых равна 162 .
в ) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , разность которых равна 2214 .
б ) Какое самое большое натуральное число а можно взять , чтобы разность в задании а была натуральным числом ? .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это число .
Что называют разностью двух дробей ?
Какое число называют разностью чисел а и b ? .
Это вычисление можно записать столбиком подробно Обычно пишут короче , запоминая , что в разряд десятков добавляется один десяток .
Это вычисление записывают , отмечая точкой разряд , в котором « занята » единица .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Обычно сложение и вычитание выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда единиц .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Первую цифру слева в записи натурального числа называют цифрой высшего разряда .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Например , 2821 больше 2819 потому , что у них одинаковое число разрядов , цифры четвёртых и третьих разрядов одинаковые , а цифры второго разряда у них разные : у первого числа больше , чем у второго .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
д. Каждые 10 единиц любого ( шарада составляют одну единицу следующего ( более высокого ) разряда .
Первая цифра справа в десятичной записи числа называется цифрой первого разряда , вторая цифра справа — цифрой второго ( шарада и т .
Многозначные числа складывают и вычитают но разрядам , используя переместительный , сочетательный и распределительный законы .
Так получали цифры ответа по разрядам , В нашем примере .
Если при вычитании в каком - либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого , то нужно « занять » одну единицу в следующем ( справа налево ) разряде уменьшаемого .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Какие цифры могут стоять в высшем разряде числа ? .
Если при вычитании в каком - либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого , то нужно « занять » одну единицу в следующем ( справа налево ) разряде уменьшаемого .
Какие цифры могут стоять в любом разряде числа , кроме высшего ? .
Из двух натуральных чисел с одинаковым числом разрядов больше то , у которого больше первая ( слева направо ) из неодинаковых цифр .
3 ) Два натуральных числа равны , если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны .
Например , 1001 больше 999 потому , что число 1001 содержит разрядов больше , чем число 999 .
3 ) Два натуральных числа равны , если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны .
Например , 2821 больше 2819 потому , что у них одинаковое число разрядов , цифры четвёртых и третьих разрядов одинаковые , а цифры второго разряда у них разные : у первого числа больше , чем у второго .
Например , 2821 больше 2819 потому , что у них одинаковое число разрядов , цифры четвёртых и третьих разрядов одинаковые , а цифры второго разряда у них разные : у первого числа больше , чем у второго .
Обычно сложение и вычитание выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда единиц .
Из двух натуральных чисел больше то , у которого разрядов больше .
В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов единиц , десятков , сотен , тысяч , десятков тысяч , сотен тысяч и т .
Например . Говорят , что в произведениях раскрыли скобки и получили соответственно сумму и разность .
Отсюда следует , что между любыми двумя рациональными точками находится ещё хотя бы одна рациональная точка .
б ) Как ещё называют рациональное число ? .
Для упрощения речи вместо слов « рациональное число p / q » говорят « дробь p / q » .
б ) Как ещё называют рациональное число ? .
Для упрощения речи вместо слов « рациональное число p / q » говорят « дробь p / q » .
Таким образом , можно вычислить координату середины отрезка , соединяющего любые две рациональные точки .
Числа рациональные .
Какое число называют рациональным числом ? .
в ) Является ли натуральное число рациональным числом ?
Число , которое можно записать в виде где р и q — натуральные числа , называют рациональным числом .
Какое число называют рациональным числом ? .
Число , которое можно записать в виде где р и q — натуральные числа , называют рациональным числом .
в ) Является ли натуральное число рациональным числом ?
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Отсюда следует , что между любыми двумя рациональными точками находится ещё хотя бы одна рациональная точка .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Если а и b — два положительных рациональных числа и b > а , то .
Если а и b — два положительных рациональных числа и b > а , то .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
объём куба равен третьей степени длины его ребра .
Во сколько раз увеличится объём куба при увеличении его ребра : а ) в 2 раза ; б ) в 3 раза ; в ) в 10 раз ? .
Куб , ребро которого равно лилейной единице , называют единичным кубом .
Постройте развёртку куба , ребро которого м .
Третье ребро разделим на три равные части ; две из них составляют высоту параллелепипеда .
Одно ребро куба разделим на пять равных частей ; две из них составляют ширину параллелепипеда .
Другое ребро куба разделим на две равные части ; одна из них составляет длину параллелепипеда .
а ) Выберите такое число а , чтобы задача имела решение .
Прочитайте задачу классу , и пусть кто - то её решит , а вы оцените это решение .
Это решение можно записать столбиком подробно Обычно пишут короче .
Решите задачу с выбранным числом n . б ) Какое самое большое и какое самое маленькое число n можно взять , чтобы задача имела решение ? .
Это решение можно записать столбиком подробно .
Большой вклад в её решение внёс великий русский математик академик П. Л. Чебышев ( 1821–1894 ) , доказавший , в частности , что между числами n и 2п ( n > 1 ) имеется по крайней мере одно простое число .
Решите задачу с выбранным числом а . б ) Какое самое большое число а можно взять , чтобы задача имела решение , если на третьей полке была хотя бы одна книга ? .
Прочитайте составленную вами задачу классу , и пусть кто - то её решит , а вы оцените это решение .
а ) Выберите такое натуральное число n , чтобы задача имела решение .
Найдите правила , по которым ребята заполнили клетки , и придумайте ещё одно решение .
Рассмотрим такое решение .
При решении таких задач полезно рисовать схематические рисунки , облегчающие решение .
Убедитесь , что числовые данные для задачи подобраны хорошо и она имеет решение .
Это решение можно записать короче .
Поэтому в решении задачи необходимо рассуждение , показывающее , какое действие надо применить .
При решении задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности помогают схематические рисунки .
Использование четности при решении задач .
Рассмотрим задачи на движение по реке , при решении которых удобно весь путь принимать за единицу , а скорость катера по течению реки , против течения и скорость течения реки выражать как часть пути , пройденного за единицу времени .
При решении таких задач полезно рисовать схематические рисунки , облегчающие решение .
При решении текстовых задач часто приходится применять все арифметические действия .
Рассмотрим задачи , при решении которых полезно использовать скорость удаления и скорость сближения .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача ? .
Сколько решений имеет каждая из задач а ) и б ) ? .
Докажите , что предыдущая задача имеет бесконечно много решений .
Найдите другие решения для 0 и 1 .
Для решения этой задачи можно рассмотреть фигуры гексамино .
Теперь рассмотрим задачи , для решения которых некоторую величину надо принять за одну или несколько равных частей .
Используйте его для проверки своего решения .
Рассмотрим решения задач , в которых требуется найти часть числа или число но его части .
п. Метод решения остаётся тем же .
К выбору действия сложения или вычитания для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « на 10 больше » не всегда требуют сложения .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см. Найдите длину отрезка ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
Для решения той же задачи можно составить числовое выражение , вынести общий множитель 3 за скобки .
К выбору умножения и деления для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « в 3 раза больше » не всегда требуют умножения .
( Для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его . ) .
6 ) В вазы поставили по пять роз , и две розы остались лишними .
Чтобы поставить по шесть роз , четырёх роз не хватит .
Чтобы поставить по шесть роз , четырёх роз не хватит .
6 ) В вазы поставили по пять роз , и две розы остались лишними .
Постройте ромб KLMN , если KL – 4 см , ZK – 60 ° .
б ) Чему равна сторона ромба , если его периметр равен 20 см ? .
а ) Чему равен периметр ромба , если одна его сторона равна 20 см ? .
Четырёхугольник , все стороны которого равны , называют ромбом .
Изображены ромбы ABCD и MNKL .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно найти разность натуральных чисел а и b .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
Какой длины получился ряд ? .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Если же их расставить по 24 стула в ряд , то двенадцать стульев останется .
Ребят построили в колонну по 4 человека в ряд .
Если их расставить по 25 штук в ряд , то четырёх стульев не хватит .
Класс построили в колонну по 4 человека в ряд .
Получилось 8 полных и один неполный ряд из трёх человек .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
Для любой дроби можно указать ряд равных ей дробей .
6 ) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд , то какой длины получится ряд ? .
6 ) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Рассмотрим ряд натуральных чисел , отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Убедитесь с помощью натурального ряда .
Поэтому все натуральные числа записать невозможно , и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три точки ) .
Числа можно сравнивать при помощи натурального ряда .
В самом деле , будем перемножать последовательно числа натурального ряда на 3 .
Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата — всего квадрата .
В четырёх же рядах всего квадратов .
Жёлтые квадраты расположены в четырёх рядах по 3 квадрата в каждом , т .
Поэтому очень важно узнать тайны простых чисел — сколько их , как они распределены в натуральном ряду и т .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые числа в натуральном ряду , и найти общую формулу для нахождения простых чисел .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево шесть чисел .
Расположите их так , чтобы в каждом горизонтальном ряду было : а ) по 4 спички ; б ) по 6 спичек ; в ) по 9 спичек ; г ) по 11 спичек .
Рассмотрим ряд натуральных чисел , отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Из двух натуральных чисел больше то , которое в ряду натуральных чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим число 9 .
2 Есть ли в натуральном ряду .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
Но можно отметить в натуральном ряду сначала число 3 и отсчитать от него вправо 5 чисел .
В каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 красных квадратов , а всего в каждом ряду квадратов .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Сколько человек стоит в последнем ( неполном ) ряду ? .
Назовите число , которое предшествует в натуральном ряду числу : 2 , 74 , 100 , 3050 , 438 109 , 1 000 000 .
Запишите первое и последнее в натуральном ряду число : а ) двузначное ; б ) трёхзначное ; в ) четырехзначное .
4 а ) Назовите число , которое следует в натуральном ряду за числом : 13 , 276 , 3590 , 999 999
6 Сколько чисел в натуральном ряду между числами .
3 У каждого ли числа в натуральном ряду есть .
После того как найдена « середина » в ряду делителей , остальные делители найдём делением .
В каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 красных квадратов , а всего в каждом ряду квадратов .
На первом место в натуральном ряду стоит число 1 , за ним следует число 2 , затем число 3 и т .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
5 Сколько чисел в натуральном ряду .
Отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 6 чисел .
У прямоугольного параллелепипеда шесть граней , двенадцать рёбер и восемь вершин .
Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней , рёбер и вершин ? .
Лифт поднимается с первого этажа на третий за 6 с. За сколько секунд он поднимется с первого этажа на пятый ? .
Сколько секунд содержат ; а ) 2ч ; 6 ) 3 ч ; в ) сутки ; г ) неделя ? .
В науке основной единицей измерения времени считается секунда .
Даже очень большие промежутки времени выражаются в секундах с помощью степени числа 10 .
Выразите в минутах : Выразите в секундах .
Выразите в метрах в секунду .
Например , скорость света 300 000 000 ( триста миллионов ) метров в секунду удобнее записать так .
Для более точного измерения углов используют доли градуса : минуты « ' » и секунды « ″ » .
В некоторых видах спортивных соревнований достижения измеряются в десятых и даже в сотых долях секунды .
Приходится иметь дело и с долями секунды .
Сколько диагоналей в выпуклом : а ) четырёхугольнике ; б ) пятиугольнике ; в ) шестиугольнике ; г ) семиугольнике ? .
Десятичная система записи натуральных чисел .
В России десятичная система счисления начала распространяться в XVII веке .
Например , древняя вавилонская система счисления была шестидесятеричная .
Шестидесятиричная система записи натуральных чисел дала основу для записи дробей , так , 2 таланта 13 мин 41 шекель составляют шекель или таланта .
В настоящее время принята десятичная система записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа .
Десятичная система , которой широко пользуются в настоящее время во всём мире , более совершенна .
В XVI – XVII веках на Руси установилась система мер длин и весов ( см. форзац ) , которой пользовались до 1918 года , когда была введена метрическая система мер .
Только после введения нуля система стала совершенной .
Позиционная система счисления .
Примером непозиционной системы счисления без нуля может служить римская система .
В XVI – XVII веках на Руси установилась система мер длин и весов ( см. форзац ) , которой пользовались до 1918 года , когда была введена метрическая система мер .
В электронно - вычислительных машинах используется двоичная система счисления , в которой всего две цифры : 0 и 1 .
В настоящее время принята десятичная система записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Метрическая система мер была введена впервые во Франции в 1795 году .
Для примера запишем в двух системах числа от 0 до 9 .
В 1703 году был издан первый печатный учебник математики — « Арифметика » Л. Ф. Магницкого , в котором все вычисления велись в десятичной системе записи чисел .
Запишите в двоичной системе нумерации числовые выражения .
Важную роль в десятичной системе счисления играет число 10 .
Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе .
Проверьте , что в двоичной системе нумерации справедливы равенства .
Народы пришли к этой системе постепенно .
Таблицы сложения и умножения для однозначных чисел в двоичной системе счисления очень просты .
Запишите в римской системе нумерации числа : 6 , 8 , 12 .
Особую роль в десятичной системе играют числа 10 , 100 , 1000 и т .
а ) Прочитайте числа , записанные в римской системе нумерации : I , II , IV .
Вот несколько примеров на сложение , вычитание и умножение в двоичной системе .
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи натуральных чисел и дробей встречаются обозначения обыкновенных и смешанных дробей .
Используя римскую систему счисления , запишем год выхода « Арифметики » Л. Ф. Магницкого — MDCCIII .
Римскую систему нумерации используют и сейчас для обозначения веков , глав в книгах и т .
Благодаря этому свойству современную систему счисления называют позиционной .
Поэтому десятичную систему счисления называют позиционной .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё , что вы знаете о натуральных числах , познакомиться со свойствами сложения и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
применяли , в сущности , десятичную систему счисления .
У разных пародов в разное время употреблялись различные системы счисления ( нумерации ) .
В некоторых странах использовались системы счисления с другими основаниями 5 , 12 , 20 , 60 .
Следы этой системы сохранились сейчас в единицах измерения времени : 1 ч — 60 мин , 1 мин — 60 с .
Примером непозиционной системы счисления без нуля может служить римская система .
Основу системы мер веса и денег в Древнем Вавилоне составлял 1 талант ; его делили на 60 мин , а мину — на 60 шекелей .
У первобытных народов не существовало развитой системы счисления .
Долгое время развитие позиционной системы счисления тормозилось отсутствием в ней числа и цифры нуль .
После этого складывали полученные результаты вдоль диагоналей квадратов .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Дроби можно складывать по формуле .
Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
Многозначные числа складывают и вычитают но разрядам , используя переместительный , сочетательный и распределительный законы .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
Как складывают смешанные дроби ?
Как складывают дроби с разными знаменателями ? .
а ) Как складывают дроби с общим знаменателем ? .
По каким правилам складывают числа с числом 0 ? .
2 ) Если в числовом выражении есть скобки , то сначала выполняют все действия в скобках , а потом за скобками .
Используя четыре цифры 8 , знаки арифметических действий и скобки , составьте числовое выражение , равное .
В сумме нескольких слагаемых можно менять слагаемые местами и заключать их в скобки любым образом .
Используя четыре цифры 3 , знаки арифметических действий и скобки , составьте числовое выражение , равное .
Особого внимания требует порядок выполнения действий в числовых выражениях , в которых имеются ( или подразумеваются ) скобки .
Запись , в которой используются только числа , знаки арифметических действий и скобки , называют числовым выражением .
Из законов сложения следует , что сумму нескольких дробей можно записывать без скобок ; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки .
Примените распределительный закон , раскрыв скобки .
Из законов умножения следует , что в произведении нескольких множителей можно менять местами множители и заключать их в скобки любым способом .
Вынесение общего множителя за скобки позволяет упрощать вычисления .
Вынесение общего множителя за скобки .
Можно ли в сумме чисел менять местами слагаемые , заключать слагаемые в скобки ? .
Вынесите общий множитель за скобки .
Используя три цифры 5 , знаки арифметических действий и скобки , составьте несколько выражений , имеющих различные значения .
Переход от суммы к произведению и от разности к произведению называют вынесением общего множителя за скобки .
В числовых выражениях принято опускать скобки , но подразумевать их .
Для решения той же задачи можно составить числовое выражение , вынести общий множитель 3 за скобки .
Сочетательный закон сложения позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок .
Раскрытие скобок .
Заметим , что если примеры 7 и 8 записать так : то результат первого действия нужно вводить в « память » калькулятора или использовать клавиши для введения скобок , если это возможно на данном калькуляторе .
Из законов сложения следует , что сумму нескольких дробей можно записывать без скобок ; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки .
По каким правилам упрощают числовые выражения , записанные без скобок ? .
Переход от произведений соответственно к сумме и разности называют раскрытием скобок .
Из сочетательного закона умножения следует , что произведение трёх ( и более ) чисел можно записать и без скобок .
На табло , по мере нажатия клавиш , вы увидите первое слагаемое 12 345 , затем второе слагаемое 67 890 и , наконец , результат 80 235 .
При сложении чисел бывает удобно слагаемое представить в виде суммы .
На табло , по мере нажатия клавиш , вы увидите первое слагаемое 12 345 , затем второе слагаемое 67 890 и , наконец , результат 80 235 .
Из законов сложения следует , что сумму нескольких дробей можно записывать без скобок ; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки .
Можно ли в сумме чисел менять местами слагаемые , заключать слагаемые в скобки ? .
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых числа .
Прочитайте следующие числа , запишите их в виде суммы разрядных слагаемых .
в ) Первое слагаемое равно 45 , а второе составляет суммы двух слагаемых .
Сочетательный закон сложения позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок .
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
В правильности вычислений можно убедиться , выполнив сложение .
Здесь фактически используется понятие дроби и даже сложение дробей .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
В правильности вычислений можно убедиться » выполнив сложение .
Обычно сложение и вычитание выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда единиц .
Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление , то эти действия выполняют но порядку слева направо .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Ученик выполнил сложение .
Выполните сложение по образцу .
Вот несколько примеров на сложение , вычитание и умножение в двоичной системе .
Объясните на примере , как выполняют сложение и вычитание столбиком .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в первом примере , то сложение по формуле приводит к лишним вычислениям .
Выполните сложение « цепочкой » по образцу .
На доске были записаны верно выполненные примеры на сложение и вычитание , потом некоторые цифры стёрли и заменили их буквами .
Если дробные части слагаемых имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить сложение .
Перепишите в тетрадь и выполните сложение .
Выполните вычитание и проверьте сложением .
При сложении чисел бывает удобно слагаемое представить в виде суммы .
При сложении и вычитании однозначных чисел удобно пользоваться таблицей сложения .
Разностью чисел а и b называют такое число , которое при сложении с числом b даёт число а .
Какие законы используют при сложении и вычитании столбиком ? .
При сложении дробных частей двух смешанных дробей может получиться неправильная дробь .
Тот , кто умел быстро и безошибочно делить , считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению , вычитанию и таблице умножения .
Результаты сложения и вычитания однозначных чисел надо помнить наизусть .
С помощью сложения можно убедиться , что получился верный ответ .
Не выполняя сложения , определите , каким числом ( чётным или нечётным ) является сумма .
К выбору действия сложения или вычитания для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « на 10 больше » не всегда требуют сложения .
Сочетательный закон сложения . умножения .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
К выбору действия сложения или вычитания для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « на 10 больше » не всегда требуют сложения .
При сложении и вычитании однозначных чисел удобно пользоваться таблицей сложения .
Таблицы сложения и умножения для однозначных чисел в двоичной системе счисления очень просты .
С помощью сложения и вычитания решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного на несколько единиц , ответить на вопросы « на сколько больше ? » , « на сколько меньше ? » , « сколько всего ? » , « сколько осталось ? » и т .
Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания .
Вы научитесь их сравнивать , выполнять с ними четыре арифметических действия , применять законы сложения и умножения для упрощения вычислений .
Для дробей , как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы сложения .
Используя сочетательный закон сложения для натуральных чисел , проверьте равенство .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё , что вы знаете о натуральных числах , познакомиться со свойствами сложения и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
Запишите равенство , выражающее сочетательный закон сложения .
Изменять принятый порядок действий можно только в тех случаях , когда это позволяют законы сложения и умножения .
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон сложения .
Переместительный закон сложения .
Запишите равенство , выражающее переместительный закон сложения .
Запишите и сформулируйте переместительный закон сложения ; сочетательный закон сложения .
Запишите и сформулируйте переместительный закон сложения ; сочетательный закон сложения .
б ) С помощью рисунка покажите , что . Вычислите , используя законы сложения .
Рассмотренные законы сложения широко применяются для упрощения вычислений .
Докажем эти равенства , применяя на каждом этапе рассуждений переместительный или сочетательный закон сложения .
Поэтому переместительный и сочетательный законы сложения верны для любых неотрицательных чисел .
Выполняется ли для дробей переместительный закон сложения ; сочетательный закон сложения ? .
Примените законы сложения для упрощения вычислений .
Законы сложения .
Так как сочетательный закон сложения верен для натуральных чисел .
Из законов сложения следует , что сумму нескольких дробей можно записывать без скобок ; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки .
Выполняется ли для дробей переместительный закон сложения ; сочетательный закон сложения ? .
Так как переместительный закон сложения верен для натуральных чисел .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон сложения .
Для этого надо сложить её целую и дробную части по правилу сложения дробей .
Запишите сочетательный закон сложения для чисел .
Сложение смешанных дробей выполняют с помощью законов сложения .
Запишите переместительный закон сложения для чисел .
Сочетательный закон сложения позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок .
Куб , сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных параллелепипедов ? .
Спички сложены .
Из спичек сложены верные равенства .
Известно , что первый из них , работая один , сложил бы печь за 24 ч .
За сколько часов второй печник , работая один , сложил бы ту же печь ? .
Из спичек сложили рака , который ползёт вверх .
е . умножили на 1/3 ) и полученные результаты сложили .
а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Два печника сложили печь за 16 ч .
Из спичек сложили шесть неверных равенств .
Например , сложим по формуле дроби .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
Чтобы сложить смешанные дроби , надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить .
Прямоугольник 4 x 9 разрежьте на две части так , чтобы из них можно было сложить квадрат .
6 ) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Для этого надо сложить её целую и дробную части по правилу сложения дробей .
Чтобы сложить смешанные дроби , надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить .
Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2 , в левой — на 3 и результаты сложить , а мне сообщить лишь , является сумма чётной или нет .
Чтобы сложить смешанные дроби , надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить .
Чтобы сложить числа 5 и 3 , можно рассуждать так .
Разрежьте полученную фигуру на две части так , чтобы из них можно было сложить квадрат .
На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил загадкой : « Если сложить день и номер месяца моего рождения , то получится 20 ; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения , то получится 14 ; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900 , то получится год моего рождения » .
3 ) 45 ( км / ч ) — собственная скорость .
б ) Сколько времени потребуется для того , чтобы проплыть на моторной лодке 90 км против течения , если её собственная скорость 20 км / ч , а скорость течения реки 2 км / ч ? .
Какова скорость течения реки и собственная скорость моторной лодки ? .
Сколько времени потратит моторная лодка на путь между причалами туда и обратно , если собственная скорость моторной лодки 10 км / ч , а скорость течения 2 км / ч ? .
Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер , если его собственная скорость 15 км / ч , а скорость течения реки 3 км / ч ? .
Как далеко друг от друга в этот момент находились лодка и шляпа , если собственная скорость лодки 8 км / ч .
Если катер движется по течению реки , то его скорость равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки ; если же катер движется против течения реки , то его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения реки .
Если катер движется по течению реки , то его скорость равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки ; если же катер движется против течения реки , то его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения реки .
Скорость катера в стоячей воде ( в озере ) называют ещё собственной скоростью катера .
Обратим внимание : скорость катера по течению реки — это сумма его собственной скорости и скорости течения реки , а скорость катера против течения реки это разность его собственной скорости и скорости течения реки , поэтому скорость по течению реки больше скорости против течения на удвоенную скорость течения .
Обратим внимание : скорость катера по течению реки — это сумма его собственной скорости и скорости течения реки , а скорость катера против течения реки это разность его собственной скорости и скорости течения реки , поэтому скорость по течению реки больше скорости против течения на удвоенную скорость течения .
Катер , имеющий собственную скорость 15 км / ч , проплыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения .
Под совместной работой можно понимать и одновременную работу двух труб при наполнении бассейна , и прохождение некоторого пути при движении навстречу друг другу и т .
За сколько часов машинистки перепечатали бы рукопись при совместной работе ? .
Какую часть задания выполнят две бригады за 1 день совместной работы ? .
Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы ? .
За сколько часов эти бригады выполнят задание при совместной работе ? .
При совместной работе за 1 ч две бригады выполняют всей работы , поэтому всю работу они выполнят .
а ) Два тракториста за 1 день совместной работы вспахали поля .
Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 ч совместной работы ? .
За сколько часов они обточат 144 такие же заготовки при совместной работе ? .
Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы .
За сколько часов это задание выполнят две бригады при совместной работе ? .
За какое время можно отштамповать 960 деталей при совместной работе двух станков ? .
За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе этих труб ? .
( бочки ) — выпивают они при совместной « работе » за 1 день .
За сколько лет они построят дом при совместной работе ? .
Рассмотрим задачи , в которых речь идёт о совместном выполнении некоторой работы .
В главе 4 вам встретятся задачи « на дроби » и « на совместную работу » , среди которых есть интересные старинные задачи .
Отметим , что многие задачи на совместную работу можно решить этим старинным способом , не пользуясь дробями .
Задачи на совместную работу .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Если конец ломаной совпадает с её началом , то ломаную называют замкнутой .
Убедитесь , что конец шестой дуги , считая от точки A , совпадает с точкой А .
Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки будут совпадать ? .
Если лист бумаги перегнуть по прямой BD , то лучи ВA и ВС совпадут .
Перегнём лист бумаги так , чтобы лучи BA и BС совпали , и расправим лист .
Сложите дроби , предварительно сократив их .
Например , сократим дроби .
Например , сократим дробь .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Сложите дроби , полученную дробь сократите .
Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби , затем сократите дробь .
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя .
Говорят , что можно сократить дробь на n и получить равную ей дробь .
Он позволяет сократить объём работы при составлении таблицы простых чисел .
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Это наблюдение позволяет сократить перебор чисел при поиске всех делителей числа 18 .
Отличие заключается в том , что черту дроби не пишут и дробь не сокращают .
В старину на Руси пользовались такими мерами длины : пядь — расстояние между концами вытянутых большого и указательного пальцев руки ( примерно 18–23 см ) ; локоть — расстояние от конца среднего пальца руки до локтя ( примерно 38–46 см ) ; сажень — различали « простую » ( примерно 152 см ) , « маховую » ( примерно 176 см ) и « косую » ( примерно 248 см ) сажени .
Например , для чисел 1 , 3 , 7 среднее арифметическое равно для чисел 1 , 2 , 3 , 4 среднее арифметическое равно .
Например , среднее арифметическое чисел 3 и 5 равно , а среднее арифметическое чисел и равно .
Например , среднее арифметическое чисел 3 и 5 равно , а среднее арифметическое чисел и равно .
Найдите среднее арифметическое чисел .
Например , для чисел 1 , 3 , 7 среднее арифметическое равно для чисел 1 , 2 , 3 , 4 среднее арифметическое равно .
Например , радиус Солнца равен 700 000 км , а среднее расстояние от Земли до Солнца равно 150 000 000 км .
Например , для чисел 1 , 3 , 7 среднее арифметическое равно для чисел 1 , 2 , 3 , 4 среднее арифметическое равно .
Например , для чисел 1 , 3 , 7 среднее арифметическое равно для чисел 1 , 2 , 3 , 4 среднее арифметическое равно .
Например , среднее арифметическое чисел 3 и 5 равно , а среднее арифметическое чисел и равно .
Найдите среднее арифметическое чисел .
Например , среднее арифметическое чисел 3 и 5 равно , а среднее арифметическое чисел и равно .
Старшему — половину всего и 1 р . , среднему — половину остатка и ещё 1 р , младшему — половину остатка и последние 3 р .
— Если подсчитать средний возраст 32 учеников нашего класса , то получится 10 года .
После этого пусть средний брат , а за ним старший поступят так же » .
Вообще , средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых .
Число называется средним арифметическим чисел а и b .
Вообще , средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых .
Число называется средним арифметическим чисел а и b .
Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде произведения некоторого числа и степени числа 10 .
Разложить данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней .
Так как у квадрата все стороны равны , площадь квадрата равна второй степени его стороны .
д. Их можно записать в виде степени .
Даже очень большие промежутки времени выражаются в секундах с помощью степени числа 10 .
Следующие степени числа 10 называют так : 1012 — триллион , 1013 — десять триллионов , 1014 — сто триллионов .
объём куба равен третьей степени длины его ребра .
Определением степени с натуральным показателем можно пользоваться и для дробей .
Число 4 можно записать в виде суммы , разности , произведения , частного , степени или другими способами .
Запишите каждое число в виде степени .
Запишите в виде степени с основанием 10 число .
Число 3 показывает , сколько раз нужно взять множителем основание степени — число 2 .
Показатель степени .
При этом число 2 называют основанием степени , а число 3 — показателем степени .
При этом число 2 называют основанием степени , а число 3 — показателем степени .
Вычислите степени числа 10 с показателями от 1 до 7 .
Читают « пять в степени четыре » .
Основание степени .
Вычислите степени числа 2 с показателями от 1 до 10 .
Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде произведения некоторого числа и степени числа 10 .
Используя специальные названия второй и третьей степени , прочитайте степени .
Используя специальные названия второй и третьей степени , прочитайте степени .
Запишите произведение в виде степени .
Запись 23 ( « два в степени три » ) означает 2 - 2 - 2 .
У многих калькуляторов предусмотрено упрощение вычислений при возведении в степень .
Если в числовом выражении есть степень с натуральным показателем , то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень .
Чему равна первая степень любого числа ? .
Поэтому часто третью степень числа называют кубом числа .
Таким же образом можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем , большим единицы .
Вторую степень числа называют также квадратом числа .
Степень числа с показателем 1 .
Третью степень числа называют кубом числа .
Используя степень числа 10 , квадратный километр можно записать так .
Поэтому часто вторую степень числа называют квадратом числа .
Принято считать , что первая степень любого числа равна самому числу .
Вычислите степень с помощью калькулятора .
Что называют степенью числа а с натуральным показателем n ? .
Произведение одинаковых чисел также записывают короче . и называют степенью .
Задайте формулой зависимость d от n . а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника от числа его сторон ( n ) .
Периметр равнобедренного треугольника AВС равен 30 см , а одна из сторон на 3 см больше другой .
Сумму длин сторон многоугольника называют его периметром .
Найдите периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 37 см , а другая : а ) на 6 см больше ; б ) на 8 см меньше .
Если изобразить класс на плане с уменьшением сторон в 10 раз , то во сколько раз площадь класса на этом плане будет меньше настоящей площади класса ? .
Если взять длины сторон с избытком : АB — 4 см , AD — 6 см , то площадь прямоугольника ABCD будет меньше чем 24 ( см2 ) .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
Найдите периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 26 см , а другая : а ) в 3 раза больше ; б ) в 2 раза меньше .
Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром .
Наименьшее число сторон в многоугольнике равно трём .
По числу сторон многоугольник называют треугольником , четырёхугольником , пятиугольником и т .
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его вершины , от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Периметр прямоугольника равен 56 см , одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую сторону .
Сумму длин сторон четырёхугольника называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом .
б ) Чему равна сторона ромба , если его периметр равен 20 см ? .
а ) Одна сторона треугольника равна 10 см , она на 2 см меньше второй стороны и на 3 см меньше третьей .
Вычислите периметр квадрата , сторона которого равна .
Одна сторона треугольника равна 12 см , она на 3 см меньше второй стороны и на 2 см больше третьей .
Принято считать , что слово « сторона » означает не только отрезок , но и его длину .
а ) Чему равен периметр ромба , если одна его сторона равна 20 см ? .
Одна сторона треугольника равна 25 см , она на 4 см больше второй стороны и на 5 см меньше третьей .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Одна сторона треугольника равна 12 см , она на 4 см больше второй стороны и на 3 см больше третьей .
А треугольник со сторонами 1 см , 2 см и 5 см построить нельзя .
Что называют углом , вершиной угла , сторонами угла ? .
Углы А , В и С называют углами треугольника , отрезки AВ , АС и ВС — его сторонами .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Постройте в тетради прямоугольник со сторонами : а ) 5 см и 3 см ; б ) 71 мм и 27 мм .
Например , треугольник со сторонами 3 см , 4 см и 5 см построить можно .
Точки А , В , С и D называют вершинами прямоугольника , а отрезки AВ , ВС , CD и АD — его сторонами .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
Необходимо покрыть кафельной плиткой пол , имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется , если в каждом ящике 50 плиток ?
Пол в классе имеет форму прямоугольника со сторонами 5 м и 6 м .
Что называют сторонами , углами , вершинами многоугольника ? .
Изображён прямоугольник со сторонами а дм и b дм .
Треугольник со сторонами 1 см , 2 см и 3 см тоже построить нельзя .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
Сад имеет форму прямоугольника со сторонами 500 м и 400 м .
Точку В называют вершиной угла , лучи ВА и ВС — его сторонами .
Отрезки АВ , ВС , CD и DA называют сторонами , углы А , В , С и D — углами , а точки А , В , С и D — вершинами четырёхугольника ABCD .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник со сторонами 3 см , 4 см и 5 см. Измерьте его углы .
Составьте выражение для вычисления периметра прямоугольника со сторонами .
Из листа фанеры размером 11 см х 15 см выпилили два квадрата со стороной 5 см и три прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см. Определите площадь оставшейся части .
Найдите периметр прямоугольника со сторонами : а ) 12 см и 9 см ; б ) 93 см и 2 см ; в ) 11 см и 47 мм ; г ) 17 см и 3 дм .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
Показан порядок построения равнобедренного треугольника с основанием 3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки .
Постройте в тетради квадрат со стороной : а ) 4 см ; б ) 34 мм .
Из листа фанеры размером 11 см х 15 см выпилили два квадрата со стороной 5 см и три прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см. Определите площадь оставшейся части .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Вычислите площадь и периметр квадрата со стороной .
на 15 единичных квадратов со стороной 1 см. Следовательно , его площадь S равна .
Необходимо покрыть кафельной плиткой пол , имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется , если в каждом ящике 50 плиток ?
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
квадрат со стороной 1 мм имеет площадь один квадратный миллиметр ( 1 мм2 ) .
квадрат со стороной 1 см имеет площадь один квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Это площадь квадрата со стороной 100 м .
квадрат со стороной 1 дм имеет площадь один квадратный дециметр ( 1 дм2 ) .
Это площадь квадрата со стороной 10 м .
Говорят , что квадрат со стороной 1 м имеет площадь один квадратный метр ( 1 м2 ) .
квадрат со стороной 1 км имеет площадь один квадратный километр ( 1 км2 ) .
Постройте развёртку куба со стороной 2 см .
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной 1 дм .
Постройте равносторонний треугольник со стороной AB .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
Другую сторону квадрата разделим на 3 равные части ; две из них составляют ширину прямоугольника .
а ) точки B и С лежат по одну сторону от точки A . б ) точки B и С лежат по разные стороны от точки A .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
Во сколько раз увеличится площадь квадрата , если его сторону увеличить : а ) в 2 раза ; б ) в 3 раза ; в ) в 10 раз ? .
б ) Найдите сторону квадрата , площадь которого равна площади данного прямоугольника .
Периметр прямоугольника равен 56 см , одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую сторону .
Линия проведена так , чтобы она пересекала каждую сторону каждого маленького прямоугольника только один раз .
Многоугольник называют выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от каждой прямой , содержащей его сторону .
Как изменится периметр квадрата , если его сторону : а ) увеличить в 2 раза ; б ) уменьшить в 3 раза ? .
Фигуры домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх квадратов так , чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом .
Многоугольник называют выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от каждой прямой , содержащей его сторону .
Одну сторону квадрата разделим на 4 равные части ; три из них составляют длину прямоугольника .
Найдите большую сторону прямоугольника .
Периметр равностороннего треугольника равен 27 см. Вычислите сторону этого треугольника .
Если все стороны треугольника имеют разные длины , то его называют разносторонним .
Прямоугольник , у которого все стороны равны , называют квадратом .
Какими могут быть стороны треугольника AВС ? .
Вычислите площадь прямоугольника , стороны которого равны .
Если две стороны треугольника равны , то его называют равнобедренным , а если три стороны треугольника равны , то его называют равносторонним .
С помощью циркуля и линейки можно построить правильный шестиугольник , у которого стороны равны и углы равны .
Назовите все его стороны и вершины .
Нижнюю и верхнюю стороны прямоугольника называют ещё основаниями прямоугольника .
а ) Одна сторона треугольника равна 10 см , она на 2 см меньше второй стороны и на 3 см меньше третьей .
а ) точки B и С лежат по одну сторону от точки A . б ) точки B и С лежат по разные стороны от точки A .
Многоугольник называю правильным , если все его углы и все стороны равны .
Одна сторона треугольника равна 12 см , она на 4 см больше второй стороны и на 3 см больше третьей .
Если две стороны треугольника равны , то его называют равнобедренным , а если три стороны треугольника равны , то его называют равносторонним .
При этом предполагается , что стороны прямоугольника измерены в одинаковых линейных единицах .
Две другие стороны называют высотами , они тоже равны и параллельны .
Измерив его стороны АB и AD , получим АB — 3 см и AD — 5 см с недостатком , значит , площадь S прямоугольника ABCD больше чем 15 ( см2 ) .
В равностороннем треугольнике длина стороны равна .
Найдите стороны прямоугольника .
Так как у квадрата все стороны равны , площадь квадрата равна второй степени его стороны .
Одна сторона треугольника равна 25 см , она на 4 см больше второй стороны и на 5 см меньше третьей .
Одна сторона треугольника равна 12 см , она на 3 см меньше второй стороны и на 2 см больше третьей .
Так как у квадрата все стороны равны , площадь квадрата равна второй степени его стороны .
Четырёхугольник , все стороны которого равны , называют ромбом .
Измерьте их стороны и вычислите периметры .
Найдите длину стороны квадрата .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
Пчёлы строят свои соты в виде правильных шестиугольников .
Если сумма цифр числа делится на 3 , то и само число делится на 3 .
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их сумма и разность делятся на это число .
в ) сумма делится на 13 , где а и с — натуральные числа .
а ) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , сумма которых равна 912 .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число делится на 9 .
а ) три нечётных числа , сумма которых равна 12 . б )
Петя их не видел , но утверждает , что по количеству записанных чисел легко определит , чётная или нечётная у них сумма .
Если сумма чётная , то двухрублёвая монета в левой руке , если нечётная , то в правой .
Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2 , в левой — на 3 и результаты сложить , а мне сообщить лишь , является сумма чётной или нет .
Некто утверждает , что знает 4 натуральных числа , произведение и сумма которых нечётные числа .
Делится ли сумма .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
Докажите , что сумма двух чётных чисел является чётным числом .
Сумма делится на 11 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
б ) если каждое из двух слагаемых делится на 5 , то и сумма делится на 5 .
пять нечётных чисел , сумма которых равна 100 .
То есть сумма не меняется от перестановки слагаемых .
а ) если каждое из двух слагаемых делится на 2 , то и сумма делится на 2 .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
В Московском метрополитене разрешается бесплатно провозить предметы , сумма трёх измерений которых не превышает 150 см. Какие размеры может иметь коробка , сумма измерений которой 150 см ?
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
В Московском метрополитене разрешается бесплатно провозить предметы , сумма трёх измерений которых не превышает 150 см. Какие размеры может иметь коробка , сумма измерений которой 150 см ?
Чему равна сумма величин углов 1 и 3 ?
Какова эта сумма ? .
Чему равна сумма величин углов 3 и 2 ?
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
а ) сумма делится на 9 .
Какова сумма трёх чисел ? .
От перестановки слагаемых сумма не меняется .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
Докажите , что сумма всех чисел любого магического квадрата 3 x 3 делится на 3 .
первоначальная сумма в 6 раз больше , чем 50 р .
Докажите , что сумма двух нечётных чисел является чётным числом .
Сначала определите , какой должна быть эта сумма .
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Обратим внимание : скорость катера по течению реки — это сумма его собственной скорости и скорости течения реки , а скорость катера против течения реки это разность его собственной скорости и скорости течения реки , поэтому скорость по течению реки больше скорости против течения на удвоенную скорость течения .
Сумма делится на 3 , где а , b и с — натуральные числа .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
На гранях куба написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи .
Число 375 не делится на 9 , так как сумма его цифр не делится на 9 .
б ) К двузначному числу приписали цифру 1 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , сумма которых равна 926 .
В квадрате 3x3 расставьте числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 так , чтобы сумма чисел в каждой строке , в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова .
а ) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом ? .
Число 52 не делится на 5 , потому что сумма числа 50 , делящегося на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
а ) Первое слагаемое составляет второго , а их сумма равна 45 .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
в ) К трёхзначному числу приписали цифру 2 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , сумма которых равна 5929 .
Например , сумма , частное .
Чему равна сумма величин смежных углов ? .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
в ) Предположим , что у вас и у меня имеется одинаковая сумма денег .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
Легко видеть , что сумма чисел 3 и 6 равна 9 .
Число 4561 не делится на 10 , потому что сумма числа 4560 , делящегося на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
г ) К трёхзначному числу приписали цифру 7 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , сумма которых равна 8360 .
Верно ли , что сумма любых двух простых чисел является простым числом ? .
Это можно доказать следующим образом , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — не делится на 9 ( по свойству 4 ) .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это число .
Не выполняя сложения , определите , каким числом ( чётным или нечётным ) является сумма .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Можно считать , что произведение натурального числа n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Равенство верно , так как сумма разности и вычитаемого равна уменьшаемому .
Это можно доказать следующим образом , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — не делится на 9 ( по свойству 4 ) .
Например , сумма цифр 18 числа 7245 делится на 9 .
Разностью двух дробей называют дробь , которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Ту же дробь записывали так , что соответствовало сумме или .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
Подберите дробь , которая в сумме с данной дробью даёт .
В сумме нескольких слагаемых можно менять слагаемые местами и заключать их в скобки любым образом .
Можно ли в сумме чисел менять местами слагаемые , заключать слагаемые в скобки ? .
Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности .
При решении задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности помогают схематические рисунки .
Таким образом , мы получили равенство , показывающее , что если к сумме прибавить 4 или к 3 прибавить сумму , то результат будет один и тот же .
Придумайте задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Считают , что если многоугольники равны , то их площади равны ; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности длин отрезков .
Длина отрезка AD равна сумме длин отрезков АС и CD .
Переход от произведений соответственно к сумме и разности называют раскрытием скобок .
Если катер движется по течению реки , то его скорость равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки ; если же катер движется против течения реки , то его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения реки .
Получится то же число 8 , называемое суммой чисел 3 и 5 .
Получится число 8 , называемое суммой чисел 5 и 3 .
Таким образом , мы получили равенство , показывающее , что если к сумме прибавить 4 или к 3 прибавить сумму , то результат будет один и тот же .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Запишите сумму в виде смешанной дроби .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Например . Говорят , что в произведениях раскрыли скобки и получили соответственно сумму и разность .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося куба .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда .
а ) Четверо купцов имеют некоторую сумму денег .
Для санатория купили 12 кресел и 50 стульев на общую сумму 98 800 р .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
и 12 комплектов головоломок — на общую сумму 222 р .
Из законов сложения следует , что сумму нескольких дробей можно записывать без скобок ; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки .
Трое выиграли некоторую сумму денег .
Сумму площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
Примеры . 1 ) Вычислите сумму .
Найдите сумму этих чисел .
Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа , зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр .
Мы уже знаем , что сумму нескольких одинаковых слагаемых принято записывать короче — в виде произведения .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Сумму кубов чисел .
Вычислите сумму .
Чтобы найти эту сумму , надо 50 р .
Найдите первоначальную сумму денег .
Сочетательный закон сложения позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок .
Чтобы найти 1/4 от 600 р . , надо эту сумму разделить на 4 : 150 ( р . ) .
Замените сумму произведением .
Знака « + » для записи суммы в то время ещё не существовало , и сумму записывали так .
Найдите сумму .
а ) сумму чисел .
Поэтому , например , дробь выражали как сумму двух дробей .
Вычтите сумму чисел 328 и 532 из числа 1000 . е )
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
Запишите сумму в виде произведения .
Используя распределительный закон , запишите сумму в виде произведения .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
Сумму площадей боковых граней .
Переход от суммы к произведению и от разности к произведению называют вынесением общего множителя за скобки .
На долю первого пришлась у этой суммы , на долю второго , а на долю третьего — 17 флоринов .
Используя распределительный закон , запишите произведение в виде суммы .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
Запишите дробь в виде суммы двух дробей .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Потратили 50 р . , это составило 1/6 первоначальной суммы денег .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей , где а , b , с , d — нечётные натуральные числа ? .
Вообще , средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является простым числом .
Число 4 можно записать в виде суммы , разности , произведения , частного , степени или другими способами .
Знака « + » для записи суммы в то время ещё не существовало , и сумму записывали так .
Л. Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу , называемую проблемой Эйлера : « Доказать , что каждое чётное число , начиная с 4 , можно представить в виде суммы двух простых чисел » .
, 2/5 этой суммы истратили .
Было 600 р . , 1/4 этой суммы истратили .
Прочитайте следующие числа , запишите их в виде суммы разрядных слагаемых .
Сравните суммы чисел в строчках , столбцах и диагоналях квадратов .
Определите порядок выполнения действий при вычислении суммы .
Можно ли за несколько ходов уравнять суммы в коробочках ? .
з ) куб суммы чисел .
При сложении чисел бывает удобно слагаемое представить в виде суммы .
на этой суммы .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых числа .
в 6 раз меньше первоначальной суммы , т .
Вычислите , записав делимое в виде суммы , по образцу .
Каждое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых .
Число 2305 оканчивается цифрой 5 , оно делится на 5 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 5 ( по свойству 3 ) .
Теперь она увеличилась на 2/5 этой суммы .
Теперь она понизилась на 3/10 этой суммы .
на 2/5 этой суммы .
на 1/10 этой суммы .
Некто оставил в наследство жене , дочери и трём сыновьям 48 000 рублей и завещал жене всей суммы , а каждому из сыновей вдвое больше , чем дочери .
Можно ли простое число записать в виде суммы .
Запишите произведение в виде суммы .
Он потратил этой суммы и остатка .
составляют 3/4 имеющейся суммы денег .
б ) Первое слагаемое составляет — суммы и на 45 больше второго слагаемого .
Потратили 600 р . , это составило 2/3 первоначальной суммы денег .
Число 136 оканчивается цифрой 6 , оно делится на 2 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 2 ( по свойству 3 ) .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Сначала найдём одну треть первоначальной суммы , а потом и три третьих .
в ) Первое слагаемое равно 45 , а второе составляет суммы двух слагаемых .
В рассмотренной задаче требуется чётное число ( 20 ) представить в виде суммы нечётного числа ( 7 ) нечётных слагаемых ( 1 и 5 ) .
Более двухсот лет назад член Петербургской академии паук X. Гольдбах ( 1690–1764 ) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха : « Доказать , что каждое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых чисел » .
а ) Представление о сфере даёт теннисный мяч .
Все точки пространства , удалённые от данной точки ( центра ) на одно и то же расстояние , образуют сферу .
Отрезок , соединяющий центр сферы с любой её точкой , называют радиусом сферы .
Отрезок , соединяющий центр сферы с любой её точкой , называют радиусом сферы .
Часть пространства , состоящую из всех точек сферы и всех точек , находящихся внутри сферы , называют шаром .
Внутри или вне сферы расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Назовите какой - нибудь предмет , имеющий форму сферы .
Часть пространства , состоящую из всех точек сферы и всех точек , находящихся внутри сферы , называют шаром .
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Оказывается , этот результат зависит от числа « нечётных » узлов фигуры , в которых сходится нечётное число линий .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
Тот , кто умел быстро и безошибочно делить , считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению , вычитанию и таблице умножения .
Для вычисления произведения однозначных чисел удобно пользоваться таблицей умножения .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Например , если тело за каждый час проходит v км , говорят , что скорость тела v километров в час , и пишут : v км / ч .
Например , если тело за каждый час проходит v км , говорят , что скорость тела v километров в час , и пишут : v км / ч .
Говорят , что тело движется равномерно , если оно за каждую единицу времени проходит одно и то же расстояние .
Если тело движется равномерно t ч со скоростью v км / ч , то оно проходит путь s км , и при этом верно равенство .
Итак , чтобы найти путь , пройденный телом при равномерном движении , нужно его скорость умножить на время движения ( в дальнейшем слово « равномерное » для краткости опускается , но подразумевается ) .
Какая из точек А(5 ) , B(100 ) и С(56 ) расположена на координатном луче : а ) правее других ; б ) левее других ? .
Сколько получится лучей , если на прямой отметить : а ) 3 точки ; б ) 5 точек ; в ) 100 точек ? .
Сколько получится лучей , если на прямой отметить : а ) 3 точки ; б ) 5 точек ; в ) 100 точек ? .
Часть плоскости , состоящую из всех точек окружности и всех точек , лежащих внутри окружности , называют кругом .
Координаты точек А и В , найдите координаты точек С и D .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
Координаты точек А и В , найдите координаты точек С и D .
Можно также сказать , что окружность состоит из точек , удалённых от её центра на расстояние , равное радиусу .
Назовите три точки , расположенные на координатном луче правее точек с указанными координатами , и три точки , расположенные левее их .
Возьмём на плоскости несколько точек , например A , В , С , D , Е , и соединим точки А и В , В и С , С и D , D и Е отрезками .
Найдите координаты точек , делящих отрезок АВ на три равные части .
Часть плоскости , состоящую из всех точек окружности и всех точек , лежащих внутри окружности , называют кругом .
Укажите координаты точек А , В , С , D и Е. Найдите расстояние от этих точек до нулевой точки .
Укажите координаты точек А , В , С , D и Е. Найдите расстояние от этих точек до нулевой точки .
Фигуру , образованную такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев ломаной , называют многоугольником .
Круг состоит из точек , удалённых от данной точки на расстояние , меньшее или равное его радиусу .
На прямой отметили 5 точек .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
Часть пространства , состоящую из всех точек сферы и всех точек , находящихся внутри сферы , называют шаром .
Если отрезки АВ , ВС , CD и DA не имеют других общих точек , кроме точек А , В , С и D , то полученную фигуру называют четырёхугольником ABCD .
Часть пространства , состоящую из всех точек сферы и всех точек , находящихся внутри сферы , называют шаром .
Расстояние между точками А и В равно 5 см. Постройте точку , удалённую от точки А на расстояние 4 см , а от точки В — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить ? .
Если отрезки АВ , ВС , CD и DA не имеют других общих точек , кроме точек А , В , С и D , то полученную фигуру называют четырёхугольником ABCD .
С — точка касания .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
Если же точка B оказалась бы ближе к делению 5 , то мы сказали бы , что длина отрезка AB приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см .
расстояние между точками а и b равно b — а . 3 ) точка является серединой отрезка , соединяющего точки а и b .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче правее точки , а длина отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
В этом случае точка , имеющая бόльшую координату , расположена на координатном луче правее .
Например , отмечена точка А с координатой 5 , пишут A(5 ) .
Точка b на координатном луче находится правее точки а .
Например , точка А имеет координату .
Следующие точки называют соответственно : точка 1 , точка 2 и т .
Следующие точки называют соответственно : точка 1 , точка 2 и т .
A говорят : « точка А с координатой .
Говорят ещё , что точка О имеет координату О , и пишут О(0 ) .
Остаётся ещё третий случай , когда точка B оказалась точно посередине между делениями линейки 5 и 6 .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Отсюда следует , что между любыми двумя рациональными точками находится ещё хотя бы одна рациональная точка .
Числа удобно представлять точками прямой .
Длину отрезка AВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим , что два равных отрезка имеют равные длины .
С его помощью натуральные числа и нуль изображаются точками .
расстояние между точками а и b равно b — а . 3 ) точка является серединой отрезка , соединяющего точки а и b .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Расстояние между точками А и В равно 5 см. Постройте точку , удалённую от точки А на расстояние 4 см , а от точки В — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить ? .
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами .
Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Отсюда следует , что между любыми двумя рациональными точками находится ещё хотя бы одна рациональная точка .
Что называют расстоянием между двумя точками ? .
Расстояние между точками .
Часть прямой , ограниченную точками А и В , называют отрезком АВ .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Назовите все лучи с вершиной в точках А , В и С. Сколько лучей получилось ? .
Назовите все отрезки с концами в точках М , N и К. Сколько отрезков получилось ?
Отметьте на прямой две точки А и В. Сколько получилось лучей с началом в этих точках ? .
Начертите отрезок с концами в этих точках и измерьте приближённо его длину .
Образовалось 6 отрезков с концами в этих точках .
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Отрезок с концами в точках А и B обозначают AВ или ВА .
Отметьте на листе бумаги точку , проведите несколько лучей с началом в этой точке .
Сколько лучей с началом в этой точке они образуют ? .
Две прямые пересекаются в одной точке .
Луч с началом в точке A можно обозначить и АВ , и АС .
Укажем в каждой точке , в которой можно изменить направление движения , число способов , которыми можно прийти в эту точку .
Каждую из этих частей называют лучом с началом в точке A . Луч , так же как и прямую , обозначают двумя заглавными буквами .
Нарисуйте фигуру , не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды так , чтобы линия не пересекала себя ни в одной точке .
Прямые А В и CD пересекаются в точке О. Углы АОС и BOD называют вертикальными .
В прямоугольнике KLMN диагонали КМ и LN пересекаются в точке О. Докажите , что площади треугольников KLO и NMO равны .
Отсюда следует , что две различные прямые могут пересекаться только в одной точке .
Установим острие циркуля неподвижно в точке О , а ножку с карандашом будем свободно вращать , не меняя раствора циркуля .
Изобразите на координатном луче ( возьмите единичный отрезок длиной 6 см ) точки О .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Сколько получится лучей , если на прямой отметить : а ) 3 точки ; б ) 5 точек ; в ) 100 точек ? .
Для этого задают луч , выходящий из точки О в направлении , отмеченном стрелкой , и отрезок , длину которого принимают за единицу .
Круг состоит из точек , удалённых от данной точки на расстояние , меньшее или равное его радиусу .
Отметьте в тетради две точки .
На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной длины .
Изобразите на координатном луче точки .
Если на прямой отметить точку , то образуется два луча , выходящих из одной точки .
а ) точки B и С лежат по одну сторону от точки A . б ) точки B и С лежат по разные стороны от точки A .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача ? .
Отметьте на прямой две точки А и В. Сколько получилось лучей с началом в этих точках ? .
Обозначьте все точки пересечения прямых , продолжив их , если нужно .
Возьмём на плоскости четыре точки А , В , С и D , такие , что никакие три из них не лежат на одной прямой , и соединим их отрезками АВ , ВС , СD и DA .
Из точки А , показанной на схеме города , надо попасть в точку В , двигаясь только вправо и вверх .
Возьмём на плоскости три точки А , В и О , не лежащие на одной прямой , и соединим их отрезками .
Даны четыре точки так , что никакие три из них не лежат на одной прямой .
На прямой отметили четыре точки .
Через каждые две точки проведена прямая .
Даны три точки , не лежащие на одной прямой .
Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатном луче точки .
Для этого надо часть единичного отрезка отложить р раз на координатном луче от точки О .
Найдите координату середины отрезка , соединяющего точки .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Проведите от руки прямую , проходящую через эти точки .
Отметьте две точки .
Покажите на этом луче точки .
На прямой даны точки А , В и С , причём AB 6 см , АС 13 см. Найдите длину отрезка ВС , если .
б ) Сколько прямых можно провести через две разные точки ? .
а ) точки B и С лежат по одну сторону от точки A . б ) точки B и С лежат по разные стороны от точки A .
а ) точки B и С лежат по одну сторону от точки A . б ) точки B и С лежат по разные стороны от точки A .
а ) точки B и С лежат по одну сторону от точки A . б ) точки B и С лежат по разные стороны от точки A .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см. Найдите длину отрезка ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
Отметим на прямой l две различные точки С и D. Тогда эту прямую l называют также « прямая CD » .
Все точки пространства , удалённые от данной точки ( центра ) на одно и то же расстояние , образуют сферу .
Через любые две точки можно провести только одну прямую .
Назовите три точки , расположенные на координатном луче правее точек с указанными координатами , и три точки , расположенные левее их .
Укажите координаты точек А , В , С , D и Е. Найдите расстояние от этих точек до нулевой точки .
Отметьте точки 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 .
Обозначьте точки с координатами 7 , 5 , 3 , 1 соответственно буквами А , В , С и D .
точка b на координатном луче находится правее точки а .
Найдите координату точки В по координатам точки А и точки С — середины отрезка АВ .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
Найдите координату точки В по координатам точки А и точки С — середины отрезка АВ .
расстояние между точками а и b равно b — а . 3 ) точка является серединой отрезка , соединяющего точки а и b .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину длины отрезка АB .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Постройте отрезок АН 15 см. Отметьте на этом отрезке точки .
Назовите три точки , расположенные на координатном луче правее точек с указанными координатами , и три точки , расположенные левее их .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Назовите отмеченные на нём точки .
Убедитесь , что конец шестой дуги , считая от точки A , совпадает с точкой А .
Все точки шара удалены от его центра на расстояние , меньшее или равное радиусу шара .
Поэтому все натуральные числа записать невозможно , и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три точки ) .
По рисунку определите координату точки А приближённо с точностью до 1 : а ) с недостатком ; б ) с избытком .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче правее точки , а длина отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть : а ) в точку 6 ; б ) в точку 7 ? .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче правее точки , а длина отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 координатного луча попасть в точку 4 ?
Фигуру следует раскрасить « в шахматном порядке » , отсоединить закрашенные области друг от друга так , чтобы каждая из них имела не больше одной общей точки с какой - либо другой закрашенной областью .
Даны точки А и В. Найдите координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Все точки окружности удалены от её центра на одинаковое расстояние , равное радиусу .
Таким образом , можно вычислить координату середины отрезка , соединяющего любые две рациональные точки .
Отрезок , соединяющий две любые точки окружности , называют хордой .
Две точки делят окружность на две части , называемые дугами .
Изобразите эти точки на координатном луче .
Все точки пространства , удалённые от данной точки ( центра ) на одно и то же расстояние , образуют сферу .
Найдём длину отрезка , соединяющего точки а и b , и координату середины этого отрезка .
Внутри или вне окружности расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Отрезки АВ , ВС , CD и DA называют сторонами , углы А , В , С и D — углами , а точки А , В , С и D — вершинами четырёхугольника ABCD .
а ) На отрезке AB отметьте точки С и D. Сколько отрезков получилось ? .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
Расстояние между точками А и В равно 5 см. Постройте точку , удалённую от точки А на расстояние 4 см , а от точки В — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить ? .
Некоторые его точки обозначены буквами .
Внутри или вне сферы расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Найдите координату точки В по координатам точки А и точки С — середины отрезка АВ .
Расстояние между точками А и В равно 5 см. Постройте точку , удалённую от точки А на расстояние 4 см , а от точки В — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить ? .
Следующие точки называют соответственно : точка 1 , точка 2 и т .
Возьмём на плоскости несколько точек , например A , В , С , D , Е , и соединим точки А и В , В и С , С и D , D и Е отрезками .
Если никакие два из этих отрезков , имеющих общие точки , не лежат на одной прямой , то полученную линию называют ломаной линией или , коротко , ломаной и обозначают ABCDE .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
Точку , изображающую на координатном луче дробь , называют точкой с координатой или , коротко , точкой .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Отрезок , соединяющий центр окружности с любой её точкой , называют радиусом .
Эту точку называют точкой касания .
Точку , изображающую на координатном луче дробь , называют точкой с координатой или , коротко , точкой .
Эту точку называют точкой n или точкой с координатой n .
Эту точку называют точкой n или точкой с координатой n .
Начальную точку О называют нулевой точкой или точкой 0 ( нуль ) .
Отрезок , соединяющий центр сферы с любой её точкой , называют радиусом сферы .
Начальную точку О называют нулевой точкой или точкой 0 ( нуль ) .
Обозначение нота с точкой используется для увеличения длительности наполовину .
Убедитесь , что конец шестой дуги , считая от точки A , совпадает с точкой А .
Это вычисление записывают , отмечая точкой разряд , в котором « занята » единица .
Эту точку называют точкой касания .
Касательной к окружности называют прямую , имеющую с окружностью только одну общую точку .
Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть : а ) в точку 6 ; б ) в точку 7 ? .
Если на прямой отметить точку , то образуется два луча , выходящих из одной точки .
Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть : а ) в точку 6 ; б ) в точку 7 ? .
Из точки А , показанной на схеме города , надо попасть в точку В , двигаясь только вправо и вверх .
Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 координатного луча попасть в точку 4 ?
Отметьте на листе бумаги точку , проведите несколько лучей с началом в этой точке .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
На отрезке AB отметьте точку С . а ) Постройте две окружности : с центром А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
Построенные окружности имеют только одну общую точку С. Говорят , что они касаются внешним образом .
Постройте отрезок АВ = 12 см. Отметьте на АВ точку С так , чтобы .
На отрезке AB отметили точку С так , что CB м , а AC на 1 м больше СВ .
Расстояние между точками А и В равно 5 см. Постройте точку , удалённую от точки А на расстояние 4 см , а от точки В — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить ? .
Отметьте на ней точку , обозначьте её .
Построенные окружности имеют только одну общую точку В. Говорят , что они касаются внутренним образом .
Проведите прямую AB и вне её точку С. Через точку С проведите прямую , параллельную прямой АВ .
В точку В можно прийти 6 способами .
Проведите прямую AB и вне её точку С. Через точку С проведите прямую , параллельную прямой АВ .
Эту точку называют точкой n или точкой с координатой n .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
Укажем в каждой точке , в которой можно изменить направление движения , число способов , которыми можно прийти в эту точку .
Начальную точку О называют нулевой точкой или точкой 0 ( нуль ) .
Сколько прямых можно провести через одну точку ? .
На окружности с центром О и радиусом 2 см отметьте точку A.
При этом на первом месте ставится буква , обозначающая начало луча , а на втором — буква , обозначающая какую - либо другую его точку : луч АВ .
а ) Определите углы , образованные касательной и радиусом окружности , проведённым в точку касания .
На отрезке AB отметили точку С так , что СB = 7 м , и CB на 2 м меньше AC .
Однажды умный бедняк попросил у скупого богача приюта на две недели , причём сказал : « За это я тебе в первый день заплачу 1 р . , во второй день — 2 р . , в третий день — 3 р .
Сколько километров им осталось пройти в третий день ? .
Первый мог бы один переписать сочинение за 24 дня , второй за 36 дней , третий за 20 дней , и четвёртый за 18 дней .
Остаётся ещё третий случай , когда точка B оказалась точно посередине между делениями линейки 5 и 6 .
Первый плотник может построить дом за год , второй — за два года , третий — за три года , четвёртый — за четыре года .
Лифт поднимается с первого этажа на третий за 6 с. За сколько секунд он поднимется с первого этажа на пятый ? .
В первый час влетел 1 комар , во второй — 2 , в третий — 3 и т .
За третий день они собрали на 218 ящиков меньше , чем за первые два дня вместе .
Первый сделал в день всей работы , второй , третий .
Ты же будешь мне подавать милостыню : в первый день копейку , во второй — 2 к. , в третий день — 4 к. и т .
Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок , сколько каждый из них имеет ; наконец , третий даёт каждому из двух столько яблок , сколько есть у каждого в этот момент .
Поскольку овощей расходовала столовая в третий и четвёртый месяцы ? .
в ) Столовая израсходовала за 4 месяца 3672 кг овощей : в первый месяц этих овощей , во второй месяц — в 2 раза меньше , чем в первый , а остальные овощи — поровну в третий и четвёртый месяцы .
« Хорошо , я вам продам лошадей , — сказал табунщик , — первому продам я полтабуна и ещё половину лошади , второму — половину оставшихся лошадей и ещё пол - лошади , третий также получит половину оставшихся лошадей и ещё пол - лошади .
Сколько километров проехали автотуристы в третий день ? .
Один писарь в часа может написать листа , другой в часа — листа , третий в 1 часа — листа .
Цифры около фигуры домино соответствуют номеру фигуры тримино , которая получится , если на место цифры приложить третий квадрат .
Первый рабочий выполнил — задания , второй — остатка , третий — остатка , а четвёртый выполнил задание до конца .
Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого , третий — втрое больше второго , четвёртый — вчетверо больше третьего , все вместе дали 132 .
Сколько километров они прошли в третий день ? .
Первый класс справа называют классом единиц , второй классом тысяч , третий — классом миллионов , четвёртый — классом миллиардов и т .
Первое 4 второе на 5 больше , чем первое , а третье на 3 больше второго .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то первое число делится на третье .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то первое число делится на третье .
Первое из этих чисел есть 3 , второе больше первого на 3 , третье больше второго тоже на 3 и т .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого , третий — втрое больше второго , четвёртый — вчетверо больше третьего , все вместе дали 132 .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
На долю первого пришлась у этой суммы , на долю второго , а на долю третьего — 17 флоринов .
Сумма возрастов первого и четвёртого сына равна 9 годам , первого и шестого — 8 годам , второго и пятого — 8 годам , второго и третьего — 9 годам , третьего и шестого — 6 годам , четвёртого и седьмого — 4 годам , а седьмого и пятого — также 4 годам .
Сумма возрастов первого и четвёртого сына равна 9 годам , первого и шестого — 8 годам , второго и пятого — 8 годам , второго и третьего — 9 годам , третьего и шестого — 6 годам , четвёртого и седьмого — 4 годам , а седьмого и пятого — также 4 годам .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Бездельник согласился и после третьего перехода остался без гроша .
Известно , что , сложившись без первого , они соберут 90 р . ; сложившись без второго , — 85р . ; сложившись без третьего , — 80 р . ; сложившись без четвёртого , — 75 р .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Одна сторона треугольника равна 25 см , она на 4 см больше второй стороны и на 5 см меньше третьей .
Из полученных неравенств для натуральных чисел следует , что первая дробь меньше третьей .
Решите задачу с выбранным числом а . б ) Какое самое большое число а можно взять , чтобы задача имела решение , если на третьей полке была хотя бы одна книга ? .
а ) Одна сторона треугольника равна 10 см , она на 2 см меньше второй стороны и на 3 см меньше третьей .
Три крестьянки привезли на рынок масло : одна 4 кадки по пуда в каждой , вторая 2 кадки по пуда , а всё масло третьей крестьянки было разложено поровну в 5 кадок и весило 3 пуда .
« Расстояние от той деревни , от которой ты идёшь , равно третьей части всего расстояния между деревнями , а если ещё пройдёшь 2 версты , тогда будешь ровно посередине между деревнями » .
объём куба равен третьей степени длины его ребра .
, в третьей 3 р .
На первой полке стояло 12 книг , на второй — на 3 книги больше , а на третьей полке — на а книг меньше , чем на двух первых полках вместе .
Одна сторона треугольника равна 12 см , она на 4 см больше второй стороны и на 3 см больше третьей .
Сколько цифр напечатали для нумерации страниц , начиная с третьей страницы ? .
Используя специальные названия второй и третьей степени , прочитайте степени .
Так как первая дробь меньше второй , а так как вторая дробь меньше третьей .
б ) Для нумерации страниц , начиная с третьей , использовано 169 цифр .
Первая принесла 10 поленьев , вторая — 8 поленьев , а у третьей дров не было — она угостила своих соседок , дав им 9 яблок .
Сколько книг на третьей полке ? .
Если первая дробь меньше второй , а вторая дробь меньше третьей , то первая дробь меньше третьей .
Если первая дробь меньше второй , а вторая дробь меньше третьей , то первая дробь меньше третьей .
Одна сторона треугольника равна 12 см , она на 3 см меньше второй стороны и на 2 см больше третьей .
На первом экзамене в институт получили двойки 1/7 всех абитуриентов , на втором экзамене — 1/8 остальных абитуриентов , на третьем экзамене — 1/9 оставшихся абитуриентов .
Оно простое — обведём его кружком , а все незачёркнутые числа , кратные ему ( они стоят в третьем столбце ) , вычеркнем .
и , наконец , уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да ещё 1 р .
Первому он отрезал часть пирога , второму остатка , третьему того , что осталось , четвёртому нового остатка .
Если буханку хлеба весом 1 кг разрезать на три равные по весу части — каждая по трети килограмма 1/3 кг , то две такие части будут иметь вес , равный двум третьим килограмма .
Например , 2821 больше 2819 потому , что у них одинаковое число разрядов , цифры четвёртых и третьих разрядов одинаковые , а цифры второго разряда у них разные : у первого числа больше , чем у второго .
Поэтому часто говорят не « две третьих » , а « два , делённое на три » .
Будем считать , что искомое число состоит из трёх третьих долей .
Дробь означает две третьих части единицы .
Сначала найдём одну треть первоначальной суммы , а потом и три третьих .
Когда с первой полки сняли 16 , со второй переставили на третью 15 , а на четвёртую поставили 12 новых книг , то на всех полках книг оказалось поровну .
Постройте третью окружность , центр которой лежит на отрезке AB и которая касается двух первых окружностей внутренним образом .
Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин ; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин , а через вторую и третью — за 2 ч 20 мин .
Дробь — означает одну третью часть единицы .
Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин ; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин , а через вторую и третью — за 2 ч 20 мин .
Поэтому часто третью степень числа называют кубом числа .
Машинистка перепечатала третью часть рукописи , потом ещё 10 страниц .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
а ) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней ; вторая и третья бригады — за 18 дней ; первая и третья бригады — за 12 дней .
Первая бригада собрала за смену 52 прибора , вторая — на 9 приборов меньше , чем первая , а третья — на 12 приборов больше , чем вторая .
в ) По условию задачи а ) определите , за сколько дней третья бригада сможет выполнить задание , работая отдельно .
Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву : Шиве третья доля этого множества .
а ) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней ; вторая и третья бригады — за 18 дней ; первая и третья бригады — за 12 дней .
Например , в записи числа 777 первая справа цифра 7 означает семь единиц , вторая — семь десятков , третья — семь сотен .
Когда третья часть воробьёв улетела , их осталось 6 .
Первая покупательница купила у неё половину яиц и ещё пол - яйца , вторая — половину остатка и ещё пол - яйца , а третья — последние 10 яиц .
Одна из труб может наполнить водоём за один час , другая , более тонкая , — за два часа , третья , ещё более тонкая , — за три часа .
Первые две крестьянки продали всё своё масло , а третья — только одну кадку .
Треугольник с вершинами А , В и С обозначают так : АВС , читают : « треугольник AВС » .
Например , треугольник со сторонами 3 см , 4 см и 5 см построить можно .
А треугольник со сторонами 1 см , 2 см и 5 см построить нельзя .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник со сторонами 3 см , 4 см и 5 см. Измерьте его углы .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
Дан треугольник AВС .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
Постройте равносторонний треугольник со стороной AB .
Дана окружность , постройте равносторонний треугольник , вершины которого лежат на этой окружности .
На стороне AВ отметили точку М , на стороне ВС — точку N , на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник AВС отрезки МС , NA и КВ при различных положениях точек М , N и К ? .
Периметр равностороннего треугольника равен 27 см. Вычислите сторону этого треугольника .
а ) Сторона равностороннего треугольника равна 7 см. Вычислите периметр этого треугольника .
Периметр равностороннего треугольника равен 27 см. Вычислите сторону этого треугольника .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
Показан порядок построения равнобедренного треугольника с основанием 3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки .
Определите вид треугольника .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
Стороны треугольника .
Что такое периметр треугольника ? .
Найдите периметр треугольника .
Периметр треугольника .
Два треугольника называют равными , если их можно совместить при наложении .
Вершина треугольника .
Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром .
Если один из углов треугольника тупой , то его называют тупоугольным треугольником .
Если один из углов треугольника прямой , то его называют прямоугольным треугольником .
Вычислите периметр этого треугольника .
Если все углы треугольника острые , то его называют остроугольным треугольником .
Измерьте углы построенного треугольника .
Одна сторона треугольника равна 12 см , она на 4 см больше второй стороны и на 3 см больше третьей .
Чему равна площадь треугольника ABD ? .
Углы А , В и С называют углами треугольника , отрезки AВ , АС и ВС — его сторонами .
Одна сторона треугольника равна 12 см , она на 3 см меньше второй стороны и на 2 см больше третьей .
а ) Верно ли , что если два треугольника равны , то их периметры равны ? .
Точки А , В и С называют вершинами треугольника .
Если две стороны треугольника равны , то его называют равнобедренным , а если три стороны треугольника равны , то его называют равносторонним .
Если две стороны треугольника равны , то его называют равнобедренным , а если три стороны треугольника равны , то его называют равносторонним .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
Какими могут быть стороны треугольника AВС ? .
Если все стороны треугольника имеют разные длины , то его называют разносторонним .
Одна сторона треугольника равна 25 см , она на 4 см больше второй стороны и на 5 см меньше третьей .
Периметр равнобедренного треугольника AВС равен 30 см , а одна из сторон на 3 см больше другой .
а ) Одна сторона треугольника равна 10 см , она на 2 см меньше второй стороны и на 3 см меньше третьей .
а ) Сторона равностороннего треугольника равна 7 см. Вычислите периметр этого треугольника .
В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
Изучая главу 2 , вам предстоит повторить всё , что знаете о геометрических фигурах и их измерении , а также узнать много нового и интересного об углах , треугольниках и четырёхугольниках , окружностях и кругах , о равных фигурах .
В равностороннем треугольнике длина стороны равна .
В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
В треугольнике не может быть больше одного прямого или тупого угла .
Например , треугольники АВС и MNK равны , так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по прямой l .
Верно ли , что если периметры двух треугольников равны , то и сами треугольники равны ? .
Какие виды треугольников вы знаете ? .
В прямоугольнике KLMN диагонали КМ и LN пересекаются в точке О. Докажите , что площади треугольников KLO и NMO равны .
Верно ли , что площади треугольников ABD и CDВ равны ?
Периметры треугольников BCD , BDE и ABE равны соответственно 20 см , 21 см и 22 см , а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см. Определите длины диагоналей BD и BE , если известно , что они равны .
Верно ли , что если периметры двух треугольников равны , то и сами треугольники равны ? .
Если один из углов треугольника прямой , то его называют прямоугольным треугольником .
Заметим , что треугольником АВС называют как линию , составленную из отрезков АВ , ВС и АС , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Если все углы треугольника острые , то его называют остроугольным треугольником .
Полученную фигуру называют треугольником .
Если один из углов треугольника тупой , то его называют тупоугольным треугольником .
По числу сторон многоугольник называют треугольником , четырёхугольником , пятиугольником и т .
Величина тупого угла больше 90 ° , но меньше 180 ° .
В треугольнике не может быть больше одного прямого или тупого угла .
В треугольнике не может быть больше одного прямого или тупого угла .
Величина тупого угла больше 90 ° , но меньше 180 ° .
Угол тупой .
Показаны острый угол А НС и тупой угол МОК .
Если один из углов треугольника тупой , то его называют тупоугольным треугольником .
Показаны острый угол А НС и тупой угол МОК .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Постройте треугольник : а ) остроугольный ; б ) прямоугольный ; в ) тупоугольный ; г ) равнобедренный ; д ) равносторонний ; е ) равнобедренный и остроугольный ; ж ) равнобедренный и тупоугольный .
Треугольник тупоугольный .
АВС — остроугольный , MNK прямоугольный , PQR — тупоугольный .
Если один из углов треугольника тупой , то его называют тупоугольным треугольником .
Если один из углов треугольника тупой , то его называют тупоугольным треугольником .
Назовите острые , прямые и тупые углы .
Могут ли смежные углы быть : а ) оба прямые ; б ) оба острые ; в ) оба тупые ? .
Назовите острые , прямые и тупые углы .
Угол , больший прямого , но меньший развёрнутого , называют тупым .
Тупым ?
Иногда для краткости угол обозначают одной буквой , обозначающей вершину угла .
Определите на глаз величину угла .
Стороны угла .
С помощью транспортира разделите угол АВС на два угла так , чтобы один угол был : а ) в 2 раза больше другого ; б ) в 3 раза меньше другого ; в ) на 20 ° больше другого ; г ) на 30 ° меньше другого .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше угла ВОС .
Проведите внутри этого угла два луча OD и ОЕ .
Из вершины угла проведите луч так , чтобы один из образовавшихся углов был : а ) в 4 раза больше другого ; б ) на 20 ° больше другого .
Измерьте длину отрезка LN и величину угла L .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше угла ВОС .
Величина острого угла меньше 90 ° .
Что называют углом , вершиной угла , сторонами угла ? .
Точку В называют вершиной угла , лучи ВА и ВС — его сторонами .
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов на два равных угла , каждый из которых называют прямым углом .
Внутри развёрнутого угла АОВ проведены два луча OD и ОС так , что AOC 130 ° , a DOB 120 ° .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше угла ВОС .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше угла ВОС .
Внутри развёрнутого угла ABC проведите луч BD .
Из верхнего угла комнаты вниз по стене поползли две мухи .
Два угла называют равными , если они совмещаются при наложении .
Изображены два угла : ABD и DBC .
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла .
Вершина угла .
Изображены 4 прямых угла .
В треугольнике не может быть больше одного прямого или тупого угла .
Считать начинали с правого верхнего угла квадрата .
Величина тупого угла больше 90 ° , но меньше 180 ° .
Что называют углом , вершиной угла , сторонами угла ? .
Он разбивает развёрнутый угол на два угла ABD и ВDC , которые называют смежными углами .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
Отрезки АВ , ВС , CD и DA называют сторонами , углы А , В , С и D — углами , а точки А , В , С и D — вершинами четырёхугольника ABCD .
Углы А , В и С называют углами треугольника , отрезки AВ , АС и ВС — его сторонами .
Два различных луча ВА и ВС с общим началом В. Они делят плоскость на две части , называемые углами .
Он разбивает развёрнутый угол на два угла ABD и ВDC , которые называют смежными углами .
Что называют сторонами , углами , вершинами многоугольника ? .
Изучая главу 2 , вам предстоит повторить всё , что знаете о геометрических фигурах и их измерении , а также узнать много нового и интересного об углах , треугольниках и четырёхугольниках , окружностях и кругах , о равных фигурах .
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов на два равных угла , каждый из которых называют прямым углом .
Обычно рассматривают один из этих углов — его определяют по смыслу задачи и отмечают дугой или штриховкой .
Из вершины угла проведите луч так , чтобы один из образовавшихся углов был : а ) в 4 раза больше другого ; б ) на 20 ° больше другого .
Измерение углов .
Чему равна сумма величин углов 1 и 3 ?
Сколько острых углов получилось ? .
Чему равна сумма величин смежных углов ? .
Для измерения углов в градусах пользуются транспортиром .
Назовите другую пару вертикальных углов .
Если один из углов треугольника тупой , то его называют тупоугольным треугольником .
Если один из углов треугольника прямой , то его называют прямоугольным треугольником .
Чему равна сумма величин углов 3 и 2 ?
Определите величины этих углов , если один из них : а ) в 5 раз больше другого ; б ) на 40″ больше другого .
Для более точного измерения углов используют доли градуса : минуты « ' » и секунды « ″ » .
Транспортир используют также для построения углов с заданной градусной мерой .
Прямые , пересекающиеся под прямым углом , называют перпендикулярными .
Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов на два равных угла , каждый из которых называют прямым углом .
Эти лучи тоже делят плоскость на две части , каждую из которых называют развёрнутым углом .
Что называют углом , вершиной угла , сторонами угла ? .
Говорят : « Угол ABD равен углу DВС » .
Четырёхугольник , у которого все углы прямые , называют прямоугольником .
Если все углы треугольника острые , то его называют остроугольным треугольником .
Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник со сторонами 3 см , 4 см и 5 см. Измерьте его углы .
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника .
а ) Какие углы называют равными ? .
Постройте в тетради правильный шестиугольник и измерьте его углы .
С помощью циркуля и линейки можно построить правильный шестиугольник , у которого стороны равны и углы равны .
Равные углы отмечают одинаковыми дугами .
Многоугольник называю правильным , если все его углы и все стороны равны .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
С помощью транспортира постройте углы , равные .
С помощью транспортира измерьте углы и сделайте в тетради соответствующие записи .
Назовите острые , прямые и тупые углы .
Измерьте углы построенного треугольника .
Отрезки АВ , ВС , CD и DA называют сторонами , углы А , В , С и D — углами , а точки А , В , С и D — вершинами четырёхугольника ABCD .
Изображены углы .
Измеряют углы с помощью транспортира .
а ) Определите углы , образованные касательной и радиусом окружности , проведённым в точку касания .
Могут ли смежные углы быть : а ) оба прямые ; б ) оба острые ; в ) оба тупые ? .
Верно ли утверждение : вертикальные углы равны ? .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше угла ВОС .
Он разбивает развёрнутый угол на два угла ABD и ВDC , которые называют смежными углами .
На рисунке показано , как с помощью транспортира можно построить угол ABС , равный 60 ° .
Постройте острый угол AOB .
С помощью транспортира разделите угол АВС на два угла так , чтобы один угол был : а ) в 2 раза больше другого ; б ) в 3 раза меньше другого ; в ) на 20 ° больше другого ; г ) на 30 ° меньше другого .
в ) На какой угол повернётся минутная стрелка .
На какой угол повернётся часовая стрелка .
а ) Какой угол образуют часовая и минутная стрелки .
Определите угол между направлениями .
Сколько градусов содержит развёрнутый угол , прямой угол ? .
Считается , что развёрнутый угол содержит 180 градусов .
Сколько градусов содержит развёрнутый угол , прямой угол ? .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше угла ВОС .
Иногда для краткости угол обозначают одной буквой , обозначающей вершину угла .
б ) Какой угол называют развёрнутым ?
Его половина прямой угол — содержит 90 градусов .
Показаны острый угол А НС и тупой угол МОК .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше угла ВОС .
Показаны острый угол А НС и тупой угол МОК .
Луч ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше угла ВОС .
С помощью транспортира разделите угол АВС на : а ) 2 равные части ; б ) 3 равные части .
Постройте угол АВС , равный 90 ° .
С помощью транспортира постройте угол величиной 100 ° .
Тот же угол AВС обозначают так : B .
С помощью транспортира разделите угол АВС на два угла так , чтобы один угол был : а ) в 2 раза больше другого ; б ) в 3 раза меньше другого ; в ) на 20 ° больше другого ; г ) на 30 ° меньше другого .
Постройте угол ЛВС , равный 120 ° .
Изображён развёрнутый угол ABС .
Сколько стоит угольник ? .
в ) За три линейки и угольник заплатили 11 р .
20 к. , а за линейку и три угольника заплатили 22 р .
Показано , как с помощью угольника и линейки провести параллельные прямые .
Проверьте с помощью линейки и угольника точность построения .
Проверьте с помощью линейки и угольника справедливость ваших утверждений .
В равенстве назовите уменьшаемое , вычитаемое , разность .
Найдите уменьшаемое и вычитаемое .
Если уменьшаемое равно вычитаемому , то разность равна нулю .
в ) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3 , то и разность делится на 3 ? .
Разностью двух дробей называют дробь , которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Будем пока рассматривать случай , когда уменьшаемое больше вычитаемого .
Число а называют уменьшаемым , число b — вычитаемым .
В Древней Индии умножали многозначные числа совсем не так , как мы это делаем теперь .
Отметим , что : 1 ) для данного фокуса подойдут и другие монеты : рублёвая и двухрублёвая , пятирублёвая и десятирублёвая , но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты ; 2 ) умножать можно на 2 и 5 , на 4 и 5 , на 6 и 9 , но нельзя на 3 и 5 .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Как умножают и делят смешанные дроби ? .
Эти вычисления обычно записывают короче , умножая устно целую и дробную части смешанной дроби на 2 .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Если хочешь , чтобы умножение было с некоторым удивлением , т .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
На доске записали несколько примеров на умножение натуральных чисел , потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки .
Объясните , как выполнено умножение .
Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление , то эти действия выполняют но порядку слева направо .
Вот несколько примеров на сложение , вычитание и умножение в двоичной системе .
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Из сказанного выше следует , что число 60 можно получить умножением дроби на неизвестное число .
Найдите частное и проверьте ответ умножением .
Вычислите частное и проверьте ответ умножением .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Какие законы используют при умножении столбиком ? .
Частным двух дробей называют дробь , которая при умножении на делитель даёт делимое .
Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число , большее 1 ?
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
Число 14 не делится нацело на 3 , так как нет натурального числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
Говорят , что а делится на b нацело , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
б ) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число , меньшее 1 ?
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Запишите равенство , выражающее . а ) переместительный закон умножения .
сочетательный закон умножения .
а ) переместительный закон умножения .
Вычислите , используя законы умножения .
Таблицы сложения и умножения для однозначных чисел в двоичной системе счисления очень просты .
Решение текстовых задач с помощью умножения и деления .
Скобки , в которые заключено одно действие умножения или деления , принято для краткости опускать .
К выбору умножения и деления для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « в 3 раза больше » не всегда требуют умножения .
К выбору умножения и деления для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « в 3 раза больше » не всегда требуют умножения .
Изменять принятый порядок действий можно только в тех случаях , когда это позволяют законы сложения и умножения .
Запишите равенство , выражающее сочетательный закон умножения , сформулируйте этот закон .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё , что вы знаете о натуральных числах , познакомиться со свойствами сложения и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
С помощью умножения и деления решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного в несколько раз , ответить на вопросы « во сколько раз больше ? » , « во сколько раз меньше ? » и т .
Из законов умножения следует , что в произведении нескольких множителей можно менять местами множители и заключать их в скобки любым способом .
С помощью умножения решают задачи , в которых требуется найти число , большее данного в несколько раз .
Вы научитесь их сравнивать , выполнять с ними четыре арифметических действия , применять законы сложения и умножения для упрощения вычислений .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон умножения .
Из сочетательного закона умножения следует , что произведение трёх ( и более ) чисел можно записать и без скобок .
С помощью умножения и деления дробей можно решать задачи на нахождение части целого и целого по его части .
Тот , кто умел быстро и безошибочно делить , считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению , вычитанию и таблице умножения .
Запишите равенство , выражающее переместительный закон умножения , сформулируйте этот закон .
Для упрощения вычислений применим переместительный и сочетательный законы умножения .
Рассмотренные законы умножения применяются для упрощения вычислений .
Переместительный закон умножения .
Так как для неотрицательных чисел справедлив переместительный закон умножения , то верны равенства .
Таблицу умножения однозначных чисел надо помнить наизусть .
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон умножения .
Сочетательный закон сложения . умножения .
Переместительный закон умножения легко проверить при подсчёте двумя способами числа квадратов .
Для вычисления произведения однозначных чисел удобно пользоваться таблицей умножения .
Законы умножения .
Так как переместительный закон умножения верен для натуральных чисел .
Для дробей , как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы умножения .
Так как сочетательный закон умножения верен для натуральных чисел .
а ) Число 2 умножили на некоторую правильную дробь .
е . умножили на 1/3 ) и полученные результаты сложили .
Обычно пишут короче и говорят : 7 умножим на 8 — получим 56 , 6 пишем , 5 запоминаем ; 2 умножим на 8 — получим 16 , да ещё 5 запомнили , будет 21 , 1 пишем , 2 запоминаем ; 3 умножим на 8 — получим 24 , да ещё 2 запомнили , будет 26 , пишем 26 .
Обычно пишут короче и говорят : 7 умножим на 8 — получим 56 , 6 пишем , 5 запоминаем ; 2 умножим на 8 — получим 16 , да ещё 5 запомнили , будет 21 , 1 пишем , 2 запоминаем ; 3 умножим на 8 — получим 24 , да ещё 2 запомнили , будет 26 , пишем 26 .
Обычно пишут короче и говорят : 7 умножим на 8 — получим 56 , 6 пишем , 5 запоминаем ; 2 умножим на 8 — получим 16 , да ещё 5 запомнили , будет 21 , 1 пишем , 2 запоминаем ; 3 умножим на 8 — получим 24 , да ещё 2 запомнили , будет 26 , пишем 26 .
Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3 .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Для вычисления этого произведения надо умножить 5 на 48 , а полученный результат умножить на 2 .
Для вычисления этого произведения надо умножить 5 на 48 , а полученный результат умножить на 2 .
Итак , чтобы найти путь , пройденный телом при равномерном движении , нужно его скорость умножить на время движения ( в дальнейшем слово « равномерное » для краткости опускается , но подразумевается ) .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Чтобы разделить дробь на натуральное число , можно её знаменатель умножить на это число .
а ) Как умножить две дроби ?
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2 , в левой — на 3 и результаты сложить , а мне сообщить лишь , является сумма чётной или нет .
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
Умножить на 6 .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Чтобы найти числа , можно умножить на это число .
При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно .
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Что значит умножить число 5 на число 6 ? .
Так как , то можно сначала умножить 46 на 48 и полученный результат умножить на 10 , т .
Так как , то можно сначала умножить 46 на 48 и полученный результат умножить на 10 , т .
Как умножить натуральное число на дробь ?
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
А когда 143 умножишь на 2 и результат умножишь на 777 , то получишь 222 222 , и т .
Если хочешь в произведении иметь 121 212 , возьми 12 , умножь на 2 и на 10 , будет 240 , прибавь первое число , будет 252 .
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до n .
Запись 5 ! читается « 5 факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5 .
Убедитесь , что можно составить только 5 фигур тетрамино .
Фигуры пентамино можно получить из фигур тетрамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
Сколько фигур пентамино можно составить ? .
Фигуры гексамино можно получить из фигур пентамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
Какая из фигур , является окружностью ?
Сколько фигур гексамино можно составить ? .
Какую из фигур , нельзя нарисовать , не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды ? .
Четырёхугольник ABCD , изображена фигура , не являющаяся четырёхугольником , в дальнейшем такие фигуры рассматриваться не будут .
Сколько « нечётных » узлов должно быть , чтобы фигуру можно было нарисовать ? .
Разрежьте полученную фигуру на две части так , чтобы из них можно было сложить квадрат .
Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру домино .
Нарисуйте фигуру , не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды так , чтобы линия не пересекала себя ни в одной точке .
Нарисуйте по правилам фигуру .
Пусть требуется нарисовать фигуру таким образом , чтобы линия не пересекала себя .
Полученную фигуру называют треугольником .
Если отрезки АВ , ВС , CD и DA не имеют других общих точек , кроме точек А , В , С и D , то полученную фигуру называют четырёхугольником ABCD .
Нарисуйте по тем же правилам фигуру .
Придумайте свои фигуры , которые можно нарисовать , не отрывая карандаша от бумаги , не проводя по линии дважды и без самопересечений .
Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды , попробуйте нарисовать фигуры .
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости .
Цифры около фигуры домино соответствуют номеру фигуры тримино , которая получится , если на место цифры приложить третий квадрат .
Получатся только две различные фигуры тримино .
Цифры около фигуры домино соответствуют номеру фигуры тримино , которая получится , если на место цифры приложить третий квадрат .
Оказывается , этот результат зависит от числа « нечётных » узлов фигуры , в которых сходится нечётное число линий .
Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды , нарисуйте фигуры .
Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино , приставляя к ней различными способами ещё один квадрат .
Придумайте свои фигуры , которые можно нарисовать , не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды .
Четырёхугольник ABCD , изображена фигура , не являющаяся четырёхугольником , в дальнейшем такие фигуры рассматриваться не будут .
Для решения этой задачи можно рассмотреть фигуры гексамино .
Вам не удалось нарисовать две последние фигуры .
Научитесь выполнять этот фокус .
Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус .
Отметим , что : 1 ) для данного фокуса подойдут и другие монеты : рублёвая и двухрублёвая , пятирублёвая и десятирублёвая , но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты ; 2 ) умножать можно на 2 и 5 , на 4 и 5 , на 6 и 9 , но нельзя на 3 и 5 .
Разгадайте секрет фокуса .
Отрезки OL , ОА , ОВ радиусы окружности , АВ — её диаметр , CD хорда .
Отрезок , соединяющий две любые точки окружности , называют хордой .
На сколько частей могут разбить круг три различные хорды ? .
Если целые части смешанных дробей не равны , то больше та дробь , у которой целая часть больше .
Например , смешанная дробь , у которой целая часть , дробная часть .
При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному , а дробная часть — остатку , делённому на знаменатель .
С помощью умножения и деления дробей можно решать задачи на нахождение части целого и целого по его части .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Запишите дробь в виде целого числа .
Нахождение части целого и целого по его части .
Нахождение части целого и целого по его части .
С помощью умножения и деления дробей можно решать задачи на нахождение части целого и целого по его части .
Запишите дробь в виде целого числа .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Число нуль также целое , но не положительное .
Существует ли целое число , меньшее любого натурального числа ? .
Иногда целое число изображали дробью со знаменателем 1 .
Найдите целое число , равное дроби .
Найдите целое число , равное дроби .
Иногда целое число изображали дробью со знаменателем 1 .
Существует ли целое число , меньшее любого натурального числа ? .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
Что называют . а ) целой частью смешанной дроби . б ) дробной частью смешанной дроби ? .
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то в целой части уменьшаемого « занимают » единицу .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров .
Эти вычисления обычно записывают короче , умножая устно целую и дробную части смешанной дроби на 2 .
Для этого надо сложить её целую и дробную части по правилу сложения дробей .
Найдите целую часть дроби .
Здесь отдельно разделили целую и дробную части смешанной дроби на 3 ( т .
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Выделите целую часть дроби .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Приведите пример смешанной дроби , укажите её целую и дробную части .
Если целые части смешанных дробей не равны , то больше та дробь , у которой целая часть больше .
Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными , то вычитание выполняют так же , как и выше .
Указанная выше прибавка в 6 часов в течение 4 лет составляет целые сутки , которые добавляют к каждому четвёртому году .
Летом у меня целые сутки было открыто окно .
Если целые части смешанных дробей равны , то больше та дробь , у которой дробная часть больше .
Чтобы сложить смешанные дроби , надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить .
Является ли данная дробь целым числом .
Является ли данная дробь целым числом .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Поэтому натуральные числа называют ещё целыми положительными числами .
Любое из чисел а , b и с в равенстве и в равенстве может быть нулём , поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел .
Смешанную дробь читают так : « три целых и одна вторая » .
Поэтому равенства верны для любых целых неотрицательных чисел .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
С помощью неотрицательных целых чисел можно вычислить разность а и b только в том случае , когда а больше или равно b.
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
С помощью неотрицательных целых чисел можно вычислить разность а и b только в том случае , когда а больше или равно b.
Хорду , проходящую через центр окружности , называют диаметром .
Отрезок , соединяющий центр сферы с любой её точкой , называют радиусом сферы .
Постройте третью окружность , центр которой лежит на отрезке AB и которая касается двух первых окружностей внутренним образом .
Назовите центр , радиус , диаметр окружности .
Отрезок , соединяющий центр окружности с любой её точкой , называют радиусом .
Внутри или вне окружности расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Внутри или вне сферы расположены точки , удалённые от её центра на расстояние : а ) большее её радиуса ; б ) меньшее её радиуса ? .
Можно также сказать , что окружность состоит из точек , удалённых от её центра на расстояние , равное радиусу .
Все точки пространства , удалённые от данной точки ( центра ) на одно и то же расстояние , образуют сферу .
Все точки окружности удалены от её центра на одинаковое расстояние , равное радиусу .
Все точки шара удалены от его центра на расстояние , меньшее или равное радиусу шара .
Постройте две окружности с центрами A и B радиусами 3 см и 5 см , касающиеся внешним образом .
Постройте две окружности с центрами A и B и радиусом АВ .
На отрезке AB отметьте точку С . а ) Постройте две окружности : с центром А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ .
Постройте две окружности : с центром A и радиусом AB и с центром С и радиусом СВ .
На рисунке изображён круг с центром О и радиусом ОА .
Окружность с центром О , касательная АВ и радиус окружности ОС .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные дуге АВ .
Постройте две окружности : с центром A и радиусом AB и с центром С и радиусом СВ .
На отрезке AB отметьте точку С . а ) Постройте две окружности : с центром А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ .
Точку О называют центром окружности .
На окружности с центром О и радиусом 2 см отметьте точку A.
Использование четности при решении задач .
Периметр четырехугольника .
Какой четырёхугольник называют прямоугольником ? .
Определите периметр четырёхугольника ABCD .
Отрезки АВ , ВС , CD и DA называют сторонами , углы А , В , С и D — углами , а точки А , В , С и D — вершинами четырёхугольника ABCD .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
Сумму длин сторон четырёхугольника называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом .
Постройте два равных четырёхугольника .
Два четырёхугольника называют равными , если их можно совместить при наложении .
Вершина четырёхугольника .
Изучая главу 2 , вам предстоит повторить всё , что знаете о геометрических фигурах и их измерении , а также узнать много нового и интересного об углах , треугольниках и четырёхугольниках , окружностях и кругах , о равных фигурах .
Сколько диагоналей в выпуклом : а ) четырёхугольнике ; б ) пятиугольнике ; в ) шестиугольнике ; г ) семиугольнике ? .
Найдите равные четырёхугольники .
б ) Верно ли , что если периметры двух четырёхугольников равны , то эти четырёхугольники равны ? .
а ) Верно ли , что если четырёхугольники равны , то равны и их периметры ? .
б ) Верно ли , что если периметры двух четырёхугольников равны , то эти четырёхугольники равны ? .
Какой из четырёхугольников является : а ) прямоугольником ; б ) квадратом ? .
Четырёхугольник ABCD , изображена фигура , не являющаяся четырёхугольником , в дальнейшем такие фигуры рассматриваться не будут .
Заметим , что четырёхугольником ABCD называют как линию , составленную из отрезков АВ , ВС , CD и DA , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
По числу сторон многоугольник называют треугольником , четырёхугольником , пятиугольником и т .
Если отрезки АВ , ВС , CD и DA не имеют других общих точек , кроме точек А , В , С и D , то полученную фигуру называют четырёхугольником ABCD .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b делится на натуральное число с , то верно равенство .
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел ? .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Напомним , что разность равных чисел равна нулю .
а ) Среднее арифметическое двух чисел равно 5 .
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел : а ) на 2 ; 6 ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 7 ? .
Очевидно , что получаемые таким образом классы чисел не имеют общих чисел каждое натуральное число входит только в один класс .
Очевидно , что получаемые таким образом классы чисел не имеют общих чисел каждое натуральное число входит только в один класс .
Первое из этих чисел есть 3 , второе больше первого на 3 , третье больше второго тоже на 3 и т .
Вот первые десять простых чисел .
Это наблюдение позволяет сократить перебор чисел при поиске всех делителей числа 18 .
д. Среди этих чисел нет числа 14 .
Получится число 12 , называемое произведением чисел 3 и 4 .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
В том случае , когда одно из двух чисел является натуральным числом или правильной дробью , вычисления выполняются аналогично .
В настоящее время принята десятичная система записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел , составных чисел и единицы .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон сложения .
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел , составных чисел и единицы .
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел , составных чисел и единицы .
Простых чисел бесконечно много , есть первое число 2 , но нет последнего простого числа .
В старину для записи натуральных чисел использовались и особые рисунки , и чёрточки , и буквы , и т .
Для чисел укажите обратные им числа .
На форзаце учебника помещена таблица простых чисел , в которой записаны все простые числа от 2 до 997 .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
пять нечётных чисел , сумма которых равна 100 .
Вычитать большее число из меньшего нельзя , оставаясь среди неотрицательных чисел .
Для дробей , как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы сложения .
Вычислите произведение двух чисел индийским способом и сделайте проверку обычным способом .
Поэтому равенства верны для любых целых неотрицательных чисел .
5 Сколько чисел в натуральном ряду .
Выпишите первые десять чисел каждого класса .
Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из чисел , делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Представление натуральных чисел на координатном луче .
Произведение взаимно обратных чисел равно 1 .
Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из чисел , делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является простым числом .
Разбейте множество натуральных чисел на классы по остаткам от деления на 3 ; 4 ; 7 .
Напишите шесть чисел , которые делятся .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Запишите каждое из чисел 15 ; 25 ; 13 ; 24 ; 36 ; 14 ; 17 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами .
Какие из чисел 128 , 325 , 500 , 506 , 725 , 905 , 830 , 962 , 750 , 1000 , 1262 , 2440 делятся на : а ) 2 ; 6 ) 5 ; в ) 2 и 5 ; г ) 10 ?
Назовите 7 нечётных чисел .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
Назовите 6 чётных чисел .
Докажите , что сумма двух чётных чисел является чётным числом .
Докажите , что сумма двух нечётных чисел является чётным числом .
Из полученных неравенств для натуральных чисел следует , что первая дробь меньше третьей .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
Для каких чисел выполняется распределительный закон ?
( Считайте записи 00 , 04 и 08 записями чисел 0 , 4 и 8 . ) .
Какие из чисел делятся на 4 ? .
6 Сколько чисел в натуральном ряду между числами .
Какой наименьший остаток может получиться при делении натуральных чисел ? .
Найдите среднее арифметическое чисел .
Какова сумма трёх чисел ? .
Из каких чисел состоит множество всех натуральных чисел ? .
Запишите сочетательный закон сложения для чисел .
Вот первые 10 чисел этого класса .
Любое из чисел а , b и с в равенстве и в равенстве может быть нулём , поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел .
Можно ли в сумме чисел менять местами слагаемые , заключать слагаемые в скобки ? .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это число .
Какое число называют частным чисел 8 и 2 ; 20 и 4 ?
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Найдите сумму этих чисел .
в ) чётного и нечётного чисел ? .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Покажите , что любое из чисел 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 можно записать в виде 5 k , где k — некоторое натуральное число .
а ) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом ? .
Напишите 5 чисел , кратных числу .
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их сумма и разность делятся на это число .
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон сложения .
Среднее арифметическое пяти чисел равно 2 .
Найдите частное чисел .
Верно ли , что сумма любых двух простых чисел является простым числом ? .
Какие из полученных чисел делятся на 5 .
Получится число 8 , называемое суммой чисел 5 и 3 .
Любое из чисел а , b и с в равенстве и в равенстве может быть нулём , поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел .
Получится то же число 8 , называемое суммой чисел 3 и 5 .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство , выражающее переместительный закон умножения .
Десятичная система записи натуральных чисел .
Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Но можно отметить в натуральном ряду сначала число 3 и отсчитать от него вправо 5 чисел .
Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 28 , 22 , 81 и 100 .
Из чисел выберите числа , кратные .
б ) двух нечётных чисел .
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
Отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 6 чисел .
Число 136 оканчивается цифрой 6 , оно делится на 2 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 2 ( по свойству 3 ) .
Из каких чисел состоит множество всех натуральных чисел ? .
Запишите пять натуральных чисел , не имеющих других простых делителей , кроме .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
На какие числа делится каждое из приведённых ниже чисел ? .
Какие из этих чисел являются простыми , какие — составными ? .
Так как для неотрицательных чисел справедлив переместительный закон умножения , то верны равенства .
Не пользуясь таблицей простых чисел , докажите , что число : а ) 29 ; 6 ) 41 ; в ) 53 ; г ) 59 является простым .
С помощью таблицы простых чисел : а ) определите , какие из чисел 47 ; 69 ; 127 ; 301 ; 447 ; 517 ; 673 ; 879 являются простыми ; б ) назовите все простые числа , большие 30 , но меньшие 50 ; в ) назовите все составные числа , большие 30 .
С помощью таблицы простых чисел : а ) определите , какие из чисел 47 ; 69 ; 127 ; 301 ; 447 ; 517 ; 673 ; 879 являются простыми ; б ) назовите все простые числа , большие 30 , но меньшие 50 ; в ) назовите все составные числа , большие 30 .
Запишите пять натуральных чисел , имеющих делителями числа .
Из сочетательного закона умножения следует , что произведение трёх ( и более ) чисел можно записать и без скобок .
Число 2305 оканчивается цифрой 5 , оно делится на 5 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 5 ( по свойству 3 ) .
Чему равно произведение взаимно обратных чисел ?
Докажите , что , кроме числа 2 , не существует других чётных простых чисел .
Глава 3 Делимость натуральных чисел .
Запишите переместительный закон сложения для чисел .
Рассмотрим ряд натуральных чисел , отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Для однозначных и двузначных чисел деление , как правило , производится в уме , а для многозначных — уголком .
Изучая главу 3 , вы узнаете свойства и признаки делимости натуральных чисел .
Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
Используя сочетательный закон сложения для натуральных чисел , проверьте равенство .
а ) двух чётных чисел .
Сложение и вычитание чисел столбиком .
Так как сочетательный закон сложения верен для натуральных чисел .
Так как переместительный закон сложения верен для натуральных чисел .
Так как переместительный закон умножения верен для натуральных чисел .
Найдите все общие делители чисел 45 и 60 .
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 54 является число 6 .
Аналогичные рассуждения можно провести , если взять больше 100 чисел .
Сумма двух чисел 537 , первое меньше второго на 131 .
Из двух натуральных чисел больше то , которое в ряду натуральных чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
а ) Сумма двух чисел равна 96 , а разность равна 18 .
Он позволяет сократить объём работы при составлении таблицы простых чисел .
Сумма двух чисел равна 87 , а разность равна 19 .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые числа в натуральном ряду , и найти общую формулу для нахождения простых чисел .
С помощью неотрицательных целых чисел можно вычислить разность а и b только в том случае , когда а больше или равно b.
Сумма двух чисел равна 500 , а разность равна 6 .
Но общей формулы простых чисел пока не найдено .
Л. Эйлер рассматривал и такую задачу : « Определить , сколько простых чисел содержится между двумя данными натуральными числами , не пересчитывая их непосредственно » .
Л. Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу , называемую проблемой Эйлера : « Доказать , что каждое чётное число , начиная с 4 , можно представить в виде суммы двух простых чисел » .
Придумайте задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности .
Более двухсот лет назад член Петербургской академии паук X. Гольдбах ( 1690–1764 ) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха : « Доказать , что каждое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых чисел » .
В 1937 году выдающийся русский математик академик И. М. Виноградов ( 1891–1983 ) доказал , что проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших чисел .
а ) Почему после « просеивания » чисел , кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа ? .
а ) Почему после « просеивания » чисел , кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа ? .
Рядом с кубиком изображены его развёртки , на которых указано одно из этих чисел .
На гранях куба написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи .
На верхней панели калькулятора имеются клавиши : для ввода чисел , для указания арифметических операций , для вывода на табло результата вычислений ; для сброса ( очистки ) табло .
б ) На каком числе следует остановить « просеивание » , если в таблице будет 150 ; 10 000 первых натуральных чисел ? .
Сумма двух чисел 432 , первое больше второго на 18 .
При вычислении значений числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
После вычеркивания из таблицы чисел , кратных 7 ( они также расположены на параллельных прямых ) , в ней останутся только простые числа — они тоже обведены кружком .
Сумма двух чисел 350 .
Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности .
За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно найти разность натуральных чисел а и b .
При решении задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности помогают схематические рисунки .
Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе .
Покажем , как , используя натуральный ряд чисел , можно найти разность натуральных чисел а и b .
Делимость натуральных чисел интересовала математиков уже в глубокой древности .
Сравнение натуральных чисел .
Поэтому очень важно узнать тайны простых чисел — сколько их , как они распределены в натуральном ряду и т .
доказано , что простых чисел бесконечно много .
В этой же книге указан способ ( алгоритм ) нахождения НОД двух натуральных чисел .
Отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево шесть чисел .
1 а ) Назовите 15 первых натуральных чисел .
другой древнегреческий математик Эратосфен предложил довольно лёгкий способ отыскания простых чисел .
Немного изменяя способ Эратосфена , запишем числа от 1 до 100 в таблицу по 6 чисел в строке .
Легко видеть , что сумма чисел 3 и 6 равна 9 .
Первое из незачёркнутых чисел 3 .
Результаты сложения и вычитания однозначных чисел надо помнить наизусть .
Теперь первое из незачёркнутых чисел 5 .
а ) Сумма двух чисел 230 .
Поэтому число 3 есть разность чисел 9 и 6 .
Петя их не видел , но утверждает , что по количеству записанных чисел легко определит , чётная или нечётная у них сумма .
а ) Петя придумал новую формулу для нахождения простых чисел .
Какое число называют разностью чисел а и b ? .
В 1703 году был издан первый печатный учебник математики — « Арифметика » Л. Ф. Магницкого , в котором все вычисления велись в десятичной системе записи чисел .
Вычтите произведение чисел 12 345 и 9 из числа 1 000 000 .
Пример использования букв для обозначения чисел находим на циферблате часов кремля в Суздале .
На доске записали несколько примеров на умножение натуральных чисел , потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки .
Вообще , средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых .
Умножение чисел столбиком .
Для вычисления произведения однозначных чисел удобно пользоваться таблицей умножения .
Вообще , средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых .
Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024 .
Вычислите произведение чисел .
Например , для чисел 1 , 3 , 7 среднее арифметическое равно для чисел 1 , 2 , 3 , 4 среднее арифметическое равно .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Таблицы сложения и умножения для однозначных чисел в двоичной системе счисления очень просты .
Например , для чисел 1 , 3 , 7 среднее арифметическое равно для чисел 1 , 2 , 3 , 4 среднее арифметическое равно .
Таблицу умножения однозначных чисел надо помнить наизусть .
Для дробей , как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы умножения .
В предыдущем задании упростите запись чисел , учитывая , что четыре одинаковые цифры подряд обычно не пишут .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел , и тем более двух многозначных чисел , требует применения не только таблицы умножения , но и законов сложения и умножения .
Так как сочетательный закон умножения верен для натуральных чисел .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее сочетательный закон умножения .
Например , среднее арифметическое чисел 3 и 5 равно , а среднее арифметическое чисел и равно .
б ) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле , если брать последовательные натуральные числа , начиная с n = 1 ? .
Произведение одинаковых чисел также записывают короче . и называют степенью .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Докажите , что сумма всех чисел любого магического квадрата 3 x 3 делится на 3 .
а ) Уменьшите 309 на 12 . б ) Уменьшите произведение чисел 409 и 5 на 920 .
Из двух натуральных чисел больше то , которое в ряду натуральных чисел стоит правее ( дальше от начала ) .
Число называется средним арифметическим чисел а и b .
Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа , зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр .
Запись 5 ! читается « 5 факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5 .
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до n .
Как обозначают разность чисел а и b ? .
Имеются ли среди чисел 2 ! , 3 ! , 4 ! , 5 ! , 6 ! , 7 ! , взаимно простые числа ? .
б ) Чему равен наибольший общий делитель чисел 100 !
Чему равна разность равных чисел ? .
Чему равно наименьшее общее кратное чисел 100 ! и 50 ! ? .
В квадрате 3x3 расставьте числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 так , чтобы сумма чисел в каждой строке , в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова .
Поэтому все натуральные числа записать невозможно , и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три точки ) .
Итак , для любых натуральных чисел р и q всегда есть их частное : дробь .
Из двух натуральных чисел больше то , у которого разрядов больше .
в ) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9 . г ) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
Например , среднее арифметическое чисел 3 и 5 равно , а среднее арифметическое чисел и равно .
Сравните суммы чисел в строчках , столбцах и диагоналях квадратов .
в ) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9 . г ) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
Вычтите сумму чисел 328 и 532 из числа 1000 . е )
Найдите разность чисел 46 и 22 .
Разность чисел а и b обозначают а — b .
б ) для любых чисел .
куб разности чисел .
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи натуральных чисел и дробей встречаются обозначения обыкновенных и смешанных дробей .
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей , то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел .
Сколько натуральных чисел : а ) однозначных ; б ) двузначных ; в ) трёхзначных ? .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них .
Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел ? .
Найдите несколько чисел , кратных 10 , и несколько чисел , кратных 15 .
Найдите несколько чисел , кратных 10 , и несколько чисел , кратных 15 .
Найдите несколько общих кратных чисел 10 и 15 .
Чему равно наименьшее общее кратное чисел 10 и 15 ? .
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел , не выполняя разложения чисел на простые множители .
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел , не выполняя разложения чисел на простые множители .
Найдите все делители чисел 45 и 60 .
При сложении чисел бывает удобно слагаемое представить в виде суммы .
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел .
Напишите пять пар чисел а и b , чтобы НОК ( а , b ) = а .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Вася записал на листе бумаги несколько нечётных чисел .
Даны разложения чисел а и b на простые множители .
Ряд натуральных чисел .
Запишите число в виде произведения одинаковых чисел .
Поэтому на координатной оси можно изобразить только несколько первых натуральных чисел .
б ) делится на все общие делители этих чисел .
а ) не может быть больше одного из этих чисел .
Таким образом , шестидесятые доли таланта , мины ( любой единицы ) записывали с помощью натуральных чисел .
Объясните , почему наибольший общий делитель двух чисел .
Шестидесятиричная система записи натуральных чисел дала основу для записи дробей , так , 2 таланта 13 мин 41 шекель составляют шекель или таланта .
Например , 36 , 72 , 108 , — Эти числа называются общими кратными чисел 12 и 18 .
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Наименьшее общее кратное двух чисел обычно находят одним из двух способов .
Составьте таблицу кубов чисел от 0 до 10 .
Придумайте пять пар таких чисел а и b , чтобы НОД ( а , b ) = 1 .
Найдите несколько таких чисел .
В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов единиц , десятков , сотен , тысяч , десятков тысяч , сотен тысяч и т .
Будем выписывать числа , кратные 24 ( большему из данных чисел ) , проверяя , делится ли каждое из них на 18 .
Составьте таблицу квадратов чисел от 0 до 15 .
С помощью разложения чисел на простые множители докажите , что являются взаимно простыми числа .
Из двух натуральных чисел больше то , которое на координатном луче находится правее .
Объясните , почему наименьшее общее кратное двух чисел .
Среди первых пяти натуральных чисел имеются два неравных числа m и n такие , что .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Поэтому переместительный и сочетательный законы сложения верны для любых неотрицательных чисел .
сумму кубов чисел .
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Наибольший общий делители взаимно простых чисел равен 1 .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
з ) куб суммы чисел .
а ) не может быть меньше любого из этих чисел .
Наибольший общий делитель чисел а и b обозначают : НОД ( а , b ) .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них .
Для любых натуральных чисел а , b и с верно равенство , выражающее распределительный закон .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Сколько раз используется каждая из цифр от 1 до 9 в записи первых 99 натуральных чисел ? .
В разложении чисел 180 и 336 подчёркнуты все их общие делители , поэтому НОД ( 180 , 336 ) 12 .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них .
Приведите примеры взаимно простых чисел .
Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел ? .
б ) делится на все делители этих чисел .
Даны разложения чисел а и b на простые множители , найдите НОД ( а , b ) и НОК ( а , 1 ) .
Разностью чисел а и b называют такое число , которое при сложении с числом b даёт число а .
При сложении и вычитании однозначных чисел удобно пользоваться таблицей сложения .
и ) разность кубов чисел .
а ) сумму чисел .
б ) разность чисел .
Выполняется ли это свойство для других пар чисел ? .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
а ) для взаимно простых чисел .
Из двух натуральных чисел с одинаковым числом разрядов больше то , у которого больше первая ( слева направо ) из неодинаковых цифр .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
С названиями этих чисел вы уже знакомы .
Таким образом , числа : один , два , три , десять , сто , тысяча , миллион , миллиард — натуральные числа .
Например , числа 37 934 567 373 и 37 934 567 373 равны .
Какие цифры могут стоять в любом разряде числа , кроме высшего ? .
Какие цифры могут стоять в высшем разряде числа ? .
Например , в записи числа 777 первая справа цифра 7 означает семь единиц , вторая — семь десятков , третья — семь сотен .
Поэтому все натуральные числа записать невозможно , и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел , после которых ставят многоточие ( три точки ) .
Степень числа .
Таким образом , числа : один , два , три , десять , сто , тысяча , миллион , миллиард — натуральные числа .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Прочитайте следующие числа : 10 , 100 , 1000 , 10 000 , 100 000 , 1000 000 , 10 000 000 .
Запишите следующие числа : сто тысяч , миллион , десять тысяч , сто миллионов , миллиард , десять миллионов , сто миллиардов , десять миллиардов .
При этом одна и та же цифра имеет различное значение в зависимости от того места ( позиции ) , где она расположена в записи числа .
а ) В классе 32 учащихся , 3/4 их числа учатся на « 4 » и « 5 » .
Натуральные числа можно сравнивать по их десятичной записи .
Если числа а и b равны , то пишут а = b .
Запишите все трёхзначные числа , в записи которых используются цифры .
Прочитайте следующие числа , запишите их в виде суммы разрядных слагаемых .
Если в записи многозначного числа какие - либо цифры заменены буквами , то над записью числа ставят черту .
Могут ли два взаимно обратных числа одновременно являться смешанными дробями ? .
При этом подразумевается , что равны числа , им соответствующие .
Если в записи многозначного числа какие - либо цифры заменены буквами , то над записью числа ставят черту .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Например , 1 , 7 , 9 — однозначные числа ; 10 , 77 , 99 — двузначные числа ; 100 , 357 — трехзначные числа ; 537 633 , 987 345 — шестизначные числа .
Например , 1 , 7 , 9 — однозначные числа ; 10 , 77 , 99 — двузначные числа ; 100 , 357 — трехзначные числа ; 537 633 , 987 345 — шестизначные числа .
Натуральные числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
Например , 1 , 7 , 9 — однозначные числа ; 10 , 77 , 99 — двузначные числа ; 100 , 357 — трехзначные числа ; 537 633 , 987 345 — шестизначные числа .
Первая цифра справа в десятичной записи числа называется цифрой первого разряда , вторая цифра справа — цифрой второго ( шарада и т .
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых числа .
Куб числа .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Из чисел выберите числа , кратные .
Первую цифру слева в записи натурального числа называют цифрой высшего разряда .
Практическая деятельность потребовала от человека не только умения считать , но и умения записывать числа .
Позднее в математических текстах так же обозначали и отвлечённые ( неименованные ) числа .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
В настоящее время принята десятичная система записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
3 ) Два натуральных числа равны , если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны .
Запишите числа .
Если а и b — два положительных рациональных числа и b > а , то .
Если число а больше числа b , то пишут а > b и говорят : « а больше b » , или пишут b < а и говорят : « b меньше а » .
Числа записаны .
Натуральные числа , записанные одной цифрой , называют однозначными , а записанные несколькими цифрами — многозначными : двумя — двузначными , тремя — трёхзначными и т .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей , где а , b , с , d — нечётные натуральные числа ? .
если разрешается повторять одинаковые цифры в записи одного числа .
3 У каждого ли числа в натуральном ряду есть .
Квадрат числа .
Для чисел укажите обратные им числа .
Поэтому натуральные числа называют ещё целыми положительными числами .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Например , 2821 больше 2819 потому , что у них одинаковое число разрядов , цифры четвёртых и третьих разрядов одинаковые , а цифры второго разряда у них разные : у первого числа больше , чем у второго .
Запишите все трёхзначные числа без повторения одинаковых цифр , в записи которых используются цифры .
Например , 1 , 7 , 9 — однозначные числа ; 10 , 77 , 99 — двузначные числа ; 100 , 357 — трехзначные числа ; 537 633 , 987 345 — шестизначные числа .
числа 2 , 2 , 2 , 3 ) и ещё множители из разложения меньшего числа 18 , которых нет в разложении большего числа ( т . е .
Глава 1Натуральные числа и нуль .
Имеются ли среди чисел 2 ! , 3 ! , 4 ! , 5 ! , 6 ! , 7 ! , взаимно простые числа ? .
степень числа с показателем 1 .
С помощью цифр 2 , 3 , 5 , 7 ( без повторения ) запишите все четырёхзначные числа , которые делятся : а ) на 2 ; б ) на 5 .
Таким же образом можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем , большим единицы .
Степенью числа а с натуральным показателем называют произведение n множителей , каждый из которых равен а .
Напишите все числа от 51 до 73 , которые делятся на 2 .
Напишите все числа от 23 до 46 , которые делятся на 5 .
Покажите , что чётные числа 18 , 20 , 48 , 96 можно записать в виде 2k , где k — некоторое натуральное число .
а ) Напишите все числа от 15 до 95 , которые делятся на 10 . б )
Получите описанным способом числа 232 323 , 343 434 и 898 989 .
Число , которое можно записать в виде где р и q — натуральные числа , называют рациональным числом .
Когда говорят « число оканчивается цифрой » , имеют в виду « десятичная запись числа заканчивается цифрой » .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Дробь с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи натурального числа р .
Найдите эти числа .
Какую часть от числа всех лампочек составляют неисправные лампочки ? .
Если p и q натуральные числа , то дробь — ( читается « пэ кутых » ) означает пэ кутых части единицы .
А для любого натурального числа n ( n>1 ) запись n ! читается « эн факториал » и означает произведение натуральных чисел от 1 до n .
Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа , зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр .
Принято считать , что первая степень любого числа равна самому числу .
При этом в таблице как бы просеиваются составные числа и остаются только простые .
Эратосфен записывал свою таблицу на папирусе , натянутом на рамку , и составные числа прокалывал .
Получалось своеобразное числовое сито , через которое составные числа просеивались , а простые оставались .
С древнейших времён математики пытались понять , как расположены простые числа в натуральном ряду , и найти общую формулу для нахождения простых чисел .
Например , если в формулу подставлять вместо n натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 40 , то будут получаться простые числа .
Например , если в формулу подставлять вместо n натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 40 , то будут получаться простые числа .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
а ) три нечётных числа , сумма которых равна 12 . б )
Докажите признак делимости на 4 : если две последние цифры числа образуют число , делящееся на 4 , то и само число делится на 4 .
а ) Почему после « просеивания » чисел , кратных 2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа ? .
в ) Используя « решето » Эратосфена , получите все простые числа в промежутке от 1 до 200 .
б ) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле , если брать последовательные натуральные числа , начиная с n = 1 ? .
Покажите , что нечётные числа 7 , 9 , 5 , 13 можно записать в виде , где k — некоторое натуральное число .
Найдите все числа вида , кратные 36 .
Докажите , что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число чётное .
Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число .
Докажите , что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число чётное .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Число 14 не делится нацело на 3 , так как нет натурального числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
В самом деле , будем перемножать последовательно числа натурального ряда на 3 .
Как найти 3/5 числа 30 ? .
Число мальчиков составляет 3/8 числа девочек .
Число трёх- и пятирублёвых монет составляет 2/9 числа рублёвых монет .
Число 52 не делится на 5 , потому что сумма числа 50 , делящегося на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
Число 52 не делится на 5 , потому что сумма числа 50 , делящегося на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
Здесь а , b , х и у — натуральные числа .
Отметим , что распределительный закон верен не только для двух , но и для любого числа слагаемых .
Число 4561 не делится на 10 , потому что сумма числа 4560 , делящегося на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
Число 4561 не делится на 10 , потому что сумма числа 4560 , делящегося на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
Докажите , что если а , k и с — натуральные числа , то . Вычислите .
сумма делится на 3 , где а , b и с — натуральные числа .
в ) сумма делится на 13 , где а и с — натуральные числа .
Напишите три числа , которые можно записать в виде . a ) 2k ; б ) 5k ; в ) 20k ; г ) 7k , где k — натуральное число .
В формуле и далее числители и знаменатели дробей — натуральные числа .
Запишите числа 24 , 42 , 36 , 72 , 75 в виде произведения и покажите , что .
В первый класс включим все числа , имеющие остаток 0 при делении на 2 .
Отметим , что для любого натурального числа а верны равенства .
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
После вычеркивания из таблицы чисел , кратных 7 ( они также расположены на параллельных прямых ) , в ней останутся только простые числа — они тоже обведены кружком .
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
Рассмотрим решения задач , в которых требуется найти часть числа или число но его части .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Если сумма цифр числа делится на 3 , то и само число делится на 3 .
Получим числа , расположенные в порядке возрастания .
Кроме того , надо помнить , что для любого числа а верны равенства .
Например , дроби несократимые дроби , так как числа 1 и 2 , 3 и 4 , 5 и 7 не имеют общих простых делителей , т .
Это можно доказать следующим образом , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — не делится на 9 ( по свойству 4 ) .
д. Среди этих чисел нет числа 14 .
Вычтите произведение чисел 12 345 и 9 из числа 1 000 000 .
Вычтите сумму чисел 328 и 532 из числа 1000 . е )
в ) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9 . г ) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Запишите натуральные числа 1 , 2 , 5 в виде дроби со знаменателем .
Например , сумма цифр 18 числа 7245 делится на 9 .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число делится на 9 .
Например , числа 152 и 790 — чётные , а числа 111 и 293 — нечётные .
Обычно сложение и вычитание выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда единиц .
Многозначные числа складывают и вычитают но разрядам , используя переместительный , сочетательный и распределительный законы .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Во второй класс включим все числа , имеющие при делении на 2 остаток 1 .
Оно простое обведём его кружком , а все незачёркнутые числа , кратные ему ( они расположены на параллельных прямых ) , вычеркнем .
Число 2 простое — обведём его кружком , а все числа , кратные ему ( они стоят во втором , четвёртом и шестом столбцах ) , вычеркнем .
Разложим числа 180 и 336 на простые множители .
Все делители числа 90 можно получить из разложения числа 90 на простые множители .
Разложим числа 56 и 45 на простые множители .
Например , числа 56 и 45 взаимно простые : НОД ( 56 , 45 ) 1 .
Отметим , что два различных простых числа ( например , 17 и 23 ) , а также два соседних натуральных числа ( например , 24 и 25 ) являются взаимно простыми .
Отметим , что два различных простых числа ( например , 17 и 23 ) , а также два соседних натуральных числа ( например , 24 и 25 ) являются взаимно простыми .
Пусть а и b — натуральные числа и а больше или равно .
Все делители числа 90 можно получить из разложения числа 90 на простые множители .
а ) Какие числа называют взаимно простыми ?
С помощью разложения чисел на простые множители докажите , что являются взаимно простыми числа .
Докажите , что два простых числа являются взаимно простыми .
Докажите , что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми .
Вычислите степени числа 10 с показателями от 1 до 7 .
Запишите число в виде квадрата натурального числа .
Вычислите степени числа 2 с показателями от 1 до 10 .
Числу 12 кратны числа 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 и т .
Среди первых пяти натуральных чисел имеются два неравных числа m и n такие , что .
Для этого надо взять каждый из простых делителей числа 90 , их всевозможные произведения , содержащие не больше одного множителя 2 , двух множителей 3 и одного множителя 5 .
Получатся все делители числа 90 .
Мы видим , что числа 12 и 54 имеют общие делители 1 , 2 , 3 , 6 .
Представьте данное произведение в виде произведения возможно большего числа множителей , отличных от 1 .
Выполняя предыдущее задание , можно заметить , что делители числа 18 обладают интересным свойством .
Это наблюдение позволяет сократить перебор чисел при поиске всех делителей числа 18 .
Сначала перебираем все делители числа 18 до тех пор , пока произведение двух соседних делителей не даст 18 .
Используя этот приём , найдите все делители числа .
Найдите все делители числа а .
а ) Подберите такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось равенство .
Почему нельзя подобрать такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
в ) Можно ли подобрать такие натуральные числа а и b , чтобы выполнялось равенство ? .
На какие числа делится нацело любое натуральное число ? .
Запишите пять натуральных чисел , имеющих делителями числа .
Укажите все делители числа .
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым делителем натурального числа ? .
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым делителем натурального числа ? .
Так как для любого числа с , то можно было бы считать , что .
Любое натуральное число а делить на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
И других делителей у числа 90 нет .
д. Числу 18 кратны числа 18 , 36 , 54 , 72 , 90 , 108 , 126 и т .
Мы видим , что имеются числа , кратные одновременно 12 и 18 .
Например , 36 , 72 , 108 , — Эти числа называются общими кратными чисел 12 и 18 .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
На какие числа делится каждое из приведённых ниже чисел ? .
На форзаце учебника помещена таблица простых чисел , в которой записаны все простые числа от 2 до 997 .
Простых чисел бесконечно много , есть первое число 2 , но нет последнего простого числа .
Вот все составные числа , меньшие 20 .
Некто утверждает , что знает 4 натуральных числа , произведение и сумма которых нечётные числа .
Некто утверждает , что знает 4 натуральных числа , произведение и сумма которых нечётные числа .
Записано четыре числа : 0 , 0 , 0 , 1 .
Можно ли за несколько ходов получить 4 равных числа ? .
Оказывается , этот результат зависит от числа « нечётных » узлов фигуры , в которых сходится нечётное число линий .
Непростые натуральные числа , большие единицы , называют составными .
Третью степень числа называют кубом числа .
Вторую степень числа называют также квадратом числа .
Ведь эти числа входят множителями в любое составное число — « составляют » его .
Вторую степень числа называют также квадратом числа .
Немного изменяя способ Эратосфена , запишем числа от 1 до 100 в таблицу по 6 чисел в строке .
Простые и составные числа .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
С помощью таблицы простых чисел : а ) определите , какие из чисел 47 ; 69 ; 127 ; 301 ; 447 ; 517 ; 673 ; 879 являются простыми ; б ) назовите все простые числа , большие 30 , но меньшие 50 ; в ) назовите все составные числа , большие 30 .
Оно простое — обведём его кружком , а все незачёркнутые числа , кратные ему ( они стоят в третьем столбце ) , вычеркнем .
Третью степень числа называют кубом числа .
С помощью таблицы простых чисел : а ) определите , какие из чисел 47 ; 69 ; 127 ; 301 ; 447 ; 517 ; 673 ; 879 являются простыми ; б ) назовите все простые числа , большие 30 , но меньшие 50 ; в ) назовите все составные числа , большие 30 .
Будем выписывать числа , кратные 24 ( большему из данных чисел ) , проверяя , делится ли каждое из них на 18 .
Разложим числа 24 и 18 на простые множители : НОК ( 24 , 18 ) должно делиться и на 24 , и на 18 .
Поэтому искомое число содержит все простые делители большего числа 24 ( т . е .
Числа 2 , 2 , 2 , 3 ) и ещё множители из разложения меньшего числа 18 , которых нет в разложении большего числа ( т . е .
числа 2 , 2 , 2 , 3 ) и ещё множители из разложения меньшего числа 18 , которых нет в разложении большего числа ( т . е .
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей , то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел .
Например , 24 и 25 — взаимно простые числа .
Что называют : а ) квадратом числа ; б ) кубом числа ? .
Что называют : а ) квадратом числа ; б ) кубом числа ? .
Чему равна первая степень любого числа ? .
Являются ли взаимно простыми числа .
Что называют степенью числа а с натуральным показателем n ? .
Следующие степени числа 10 называют так : 1012 — триллион , 1013 — десять триллионов , 1014 — сто триллионов .
Особую роль в десятичной системе играют числа 10 , 100 , 1000 и т .
В следующих записях замените буквы цифрами так , чтобы полученные числа делились на 3 .
Докажите , что , кроме числа 2 , не существует других чётных простых чисел .
Являются ли простыми числа 998 ; 999 ; 1000 ? .
В рассмотренной задаче требуется чётное число ( 20 ) представить в виде суммы нечётного числа ( 7 ) нечётных слагаемых ( 1 и 5 ) .
Сочетательный закон можно легко проверить при подсчёте числа кубиков .
Например , числа 152 и 790 — чётные , а числа 111 и 293 — нечётные .
Запишите в порядке возрастания все делители числа .
А числа , большие шести , они не различали и называли словом « много » .
Запись , в которой используются только числа , знаки арифметических действий и скобки , называют числовым выражением .
Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа .
Долгое время развитие позиционной системы счисления тормозилось отсутствием в ней числа и цифры нуль .
До этого числа записывали буквами славянского алфавита .
Интересно , что числа от 11 ( один - на - десять ) до 19 ( девять - на - десять ) записывали так же , как говорили , т .
Используя степень числа 10 , квадратный километр можно записать так .
Какой остаток получится от деления числа ? .
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его вершины , от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Поэтому часто вторую степень числа называют квадратом числа .
Чтобы найти числа , можно умножить на это число .
Поэтому часто вторую степень числа называют квадратом числа .
Задайте формулой зависимость d от n . а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника от числа его сторон ( n ) .
В ней числа записывают с помощью следующих цифр : I – 1 , V – 5 , Х – 10 , L – 50 , С – 100 , D – 500 , М – 1000 .
Например , взаимно обратные числа .
Задайте формулой зависимость d от n . а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника от числа его сторон ( n ) .
Для примера запишем в двух системах числа от 0 до 9 .
Число 200 увеличили на 1/10 этого числа , полученный результат уменьшили .
а ) Прочитайте числа , записанные в римской системе нумерации : I , II , IV .
Можно считать , что произведение натурального числа n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Запишите в римской системе нумерации числа : 6 , 8 , 12 .
б ) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число , меньшее 1 ?
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его вершины , от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Ещё в XIX веке у многих племён Австралии и Полинезии было только два обозначения — для числа « один » и для числа « два » .
Ещё в XIX веке у многих племён Австралии и Полинезии было только два обозначения — для числа « один » и для числа « два » .
Отметим , что для любого числа а верны равенства .
Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число , большее 1 ?
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
а и b — натуральные числа .
Даже очень большие промежутки времени выражаются в секундах с помощью степени числа 10 .
а , b , с и d — натуральные числа .
Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно .
Поэтому часто третью степень числа называют кубом числа .
Поэтому часто третью степень числа называют кубом числа .
Докажите , что от прибавления к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа разность не изменяется .
Если первое из них уменьшить на 20 , то числа станут равными .
На сколько нужно уменьшить большее число , чтобы получились равные числа ?
Вычислите произведение 7 и числа , обратного числу .
Какие числа изображены на нижних гранях кубиков ? .
В дальнейшем будут введены новые числа — отрицательные , с помощью которых можно будет из меньшего числа вычесть большее .
а ) Вычислите произведение и числа , обратного числу 3 .
Являются ли числа взаимно обратными ?
Укажите остальные числа .
В дальнейшем будут введены новые числа — отрицательные , с помощью которых можно будет из меньшего числа вычесть большее .
Укажите числа , обратные данным .
На гранях куба написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи .
В Древней Индии умножали многозначные числа совсем не так , как мы это делаем теперь .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
В квадрате 3x3 расставьте числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 так , чтобы сумма чисел в каждой строке , в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
Учащиеся выполняли задание , в котором требуется найти пропущенные числа .
а ) Число уменьшили на этого числа , получилось 210 .
Сложим теперь три числа 3 , 2 и 4 .
Переместительный закон умножения легко проверить при подсчёте двумя способами числа квадратов .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Как сравнивают натуральные числа при помощи координатного луча ? .
Поэтому натуральные числа можно сравнивать при помощи координатного луча по правилу .
Рассмотрим ряд натуральных чисел , отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим число 9 .
Координатный луч напоминает линейку , на которой отмечены числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 и т .
Сравните числа .
Даны три числа .
Рассмотрим примеры вычитания меньшего числа из большего .
Существует ли целое число , меньшее любого натурального числа ? .
С его помощью натуральные числа и нуль изображаются точками .
Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде произведения некоторого числа и степени числа 10 .
Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде произведения некоторого числа и степени числа 10 .
Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде произведения некоторого числа и степени числа 10 .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Чтобы сложить числа 5 и 3 , можно рассуждать так .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
Запишите числа 3 , 5 , 7 в виде дроби со знаменателем .
Запишите дробь в виде целого числа .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
Задумали число , увеличили его на y этого числа и получили 56 .
а ) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , сумма которых равна 912 .
Сложите числа .
б ) К двузначному числу приписали цифру 1 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , сумма которых равна 926 .
Для любого числа а верно равенство .
По каким правилам складывают числа с числом 0 ? .
При делении на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
в ) К трёхзначному числу приписали цифру 2 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , сумма которых равна 5929 .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Если в числовом выражении есть степень с натуральным показателем , то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий .
г ) К трёхзначному числу приписали цифру 7 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , сумма которых равна 8360 .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим число 9 .
а ) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , разность которых равна 234 .
г ) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , разность которых равна 639 .
К двузначному числу приписали цифру 6 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , разность которых равна 162 .
в ) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , разность которых равна 2214 .
Для любого числа а верны равенства .
Особое внимание они уделяли простым числам .
Л. Эйлер рассматривал и такую задачу : « Определить , сколько простых чисел содержится между двумя данными натуральными числами , не пересчитывая их непосредственно » .
Поэтому натуральные числа называют ещё целыми положительными числами .
Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в первом примере , то сложение по формуле приводит к лишним вычислениям .
Поставьте знак сравнения между числами .
Числа , не имеющие общих простых делителей , называют взаимно простыми числами .
е . являются взаимно простыми числами .
6 Сколько чисел в натуральном ряду между числами .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё , что вы знаете о натуральных числах , познакомиться со свойствами сложения и умножения , научиться применять их для упрощения вычислений и узнать много нового .
б ) На каком числе следует остановить « просеивание » , если в таблице будет 150 ; 10 000 первых натуральных чисел ? .
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Дополнительный множитель обычно пишут слева над числителем .
Найдите все несократимые дроби с числителем 60 , бóльшие но меньшие .
Найдите дробь с числителем 7 , равную дроби .
Назовите три дроби : а ) с числителем 3 ; б ) со знаменателем 10 .
Дроби с числителем , отличным от единицы ( кроме дроби 2/3 , появились значительно позже .
Дробь с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи натурального числа р .
В Древнем Египте в практических расчётах использовали дроби с числителем 1 .
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
В формуле и далее числители и знаменатели дробей — натуральные числа .
Прочитайте их , назовите числители и знаменатели .
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
В самом деле , если числитель дроби р делится на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Разделите с остатком числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби .
Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3 .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
Определите числитель дроби в равенстве .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Дробь называется неправильной , если её числитель больше знаменателя или равен ему .
Дробь называется правильной , если её числитель меньше знаменателя .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Из двух дробей с общим знаменателем больше та дробь , у которой числитель больше , т .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8 .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Чему равна дробь , числитель которой равен знаменателю ? .
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Левая часть равенства ( 2 ) есть дробь , числитель и знаменатель которой имеют общий множитель n.
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Запишите две дроби , у которых : а ) числитель на 2 больше знаменателя ; б ) знаменатель на 4 больше числителя .
Дробь называют несократимой , если её числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей .
разделить на него и числитель , и знаменатель .
Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления числителя на знаменатель .
Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби , затем сократите дробь .
Часто наибольший общий делитель числителя и знаменателя сразу указать трудно .
Запишите две дроби , у которых : а ) числитель на 2 больше знаменателя ; б ) знаменатель на 4 больше числителя .
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя .
Если делитель — простое число , то его называют простым делителем .
Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5 , то оно делится на 5 .
Каждое простое число имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
Например , число 13 имеет простой делитель 13 , число 4 — простой делитель 2 , а число 12 — простые делители 2 и 3 .
Укажем в каждой точке , в которой можно изменить направление движения , число способов , которыми можно прийти в эту точку .
Каждое простое число имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
Гораздо проще подсчитать их число описанным выше способом .
Например , число 13 имеет простой делитель 13 , число 4 — простой делитель 2 , а число 12 — простые делители 2 и 3 .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b делится на натуральное число с , то верно равенство .
Если один ив множителей делится на некоторое число , то и произведение делится на это число .
Разложите на простые множители число .
Напишите четырёхзначное число , которое делится на 3 , но не делится на 9 .
Например , число 4560 оканчивается цифрой 0 , его можно представить в виде произведения , которое делится на 10 ( по свойству 1 ) .
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их сумма и разность делятся на это число .
Чтобы прочитать многозначное число , цифры в его записи разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой .
Например , число 2300 делится на 5 , потому что это число делится на 10 , а 10 делится на 5 ( по свойству 2 ) .
С помощью умножения и деления решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного в несколько раз , ответить на вопросы « во сколько раз больше ? » , « во сколько раз меньше ? » и т .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то первое число делится на третье .
Найдите трёхзначное число .
Ученик 5 класса и его сестра - десятиклассница подсчитали число шагов от школы до дома .
а ) Напишите четырёхзначное число , которое делится на 9 .
Будем делить на 36 число сотен — 146 .
Например , число 2300 делится на 5 , потому что это число делится на 10 , а 10 делится на 5 ( по свойству 2 ) .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то первое число делится на третье .
Когда говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b ? .
Подсчитайте число всех способов , которыми можно прочитать это слово .
Когда говорят , что натуральное число а делится нацело на натуральное число b ? .
Кроме того , число а делится на 1 .
На какие числа делится нацело любое натуральное число ? .
Покажите , что любое из чисел 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 можно записать в виде 5 k , где k — некоторое натуральное число .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Напишите три числа , которые можно записать в виде . a ) 2k ; б ) 5k ; в ) 20k ; г ) 7k , где k — натуральное число .
б ) Что значит разложить число на простые множители ?
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n единичным отрезкам .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это число .
Для обозначения величины пишут число , а рядом — название единицы .
Делим на 7 число единиц 9 .
Делим на 7 число десятков .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Что получается при делении нуля на любое натуральное число ?
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а делится нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Сколько брёвен каждого вида надо распилить , чтобы получить 42 бревна по 1 м и сделать наименьшее число распилов ? .
Если число оканчивается цифрой 0 , то оно делится на 10 .
Если один ив множителей делится на некоторое число , то и произведение делится на это число .
Какое число называют частным чисел 8 и 2 ; 20 и 4 ?
Делим на 7 число сотен — 2 ( остаток 0 ) .
Проверьте , делится ли число .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Запишите следующее число в виде произведения двух множителей различными способами .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Покажем , как можно разложить число 90 на простые множители . 1 ) 90 делится на 2 .
Разложить данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней .
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их сумма и разность делятся на это число .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Объясните , как найти неизвестное число х .
Каждое составное число можно представить в виде произведения его простых делителей .
Например , число 48 кратно числу 24 .
Например , число 13 имеет простой делитель 13 , число 4 — простой делитель 2 , а число 12 — простые делители 2 и 3 .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это число .
Мы уже знаем , почему нельзя число делить на нуль .
Найдите двузначное число .
Число 50 увеличили в 3 раза , полученное число увеличили на 100 .
Покажите , что нечётные числа 7 , 9 , 5 , 13 можно записать в виде , где k — некоторое натуральное число .
а ) Выберите такое натуральное число n , чтобы задача имела решение .
Определите , делится ли число 111 111 111 111 111 : а ) на 3 ; б ) на 9 .
Назовите наибольшее и наименьшее шестизначное число , которое делится на : а ) 2 ; б ) 3 ; в ) 5 ; г ) 9 ; д ) 10 .
Нажатием клавиши MRC число 9 извлекается из « памяти » .
Назовите число , которое предшествует в натуральном ряду числу : 2 , 74 , 100 , 3050 , 438 109 , 1 000 000 .
Докажите признак делимости на 4 : если две последние цифры числа образуют число , делящееся на 4 , то и само число делится на 4 .
Докажите признак делимости на 4 : если две последние цифры числа образуют число , делящееся на 4 , то и само число делится на 4 .
Но среди них есть наибольшее число , меньшее 14 , — это число .
Но среди них есть наибольшее число , меньшее 14 , — это число .
Важную роль в десятичной системе счисления играет число 10 .
Число « три » они называли « два и один » , число « четыре » — « два и два » , число « пять » — « два , два и один » , число « шесть » — « два , два и два » .
Число « три » они называли « два и один » , число « четыре » — « два и два » , число « пять » — « два , два и один » , число « шесть » — « два , два и два » .
Число « три » они называли « два и один » , число « четыре » — « два и два » , число « пять » — « два , два и один » , число « шесть » — « два , два и два » .
Чтобы получить число 14 , надо прибавить к 12 число 2 , которое меньше 3 .
Докажите , что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число чётное .
Какое число изображено на : а ) нижней грани ; б ) боковой грани слева ; в ) боковой грани сзади ? .
Наименьшее число сторон в многоугольнике равно трём .
Сколько тетрадей надо переложить из первой пачки во вторую , чтобы уравнять число тетрадей в пачках ? .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Когда говорят « число оканчивается цифрой » , имеют в виду « десятичная запись числа заканчивается цифрой » .
Если сумма цифр числа делится на 3 , то и само число делится на 3 .
Какое число называют чётным ?
а ) последующее число ; б ) предшествующее число ? .
Какое число называют нечётным ?
а ) первое число ; б ) последнее число ? .
Какое наименьшее число при делении и на 3 , и на 5 , и на 7 даёт в остатке : а ) 0 ; б ) 1 ; в ) 2 ? .
а ) первое число ; б ) последнее число ? .
Найдём число карандашей во второй коробке : 12 ( кар . ) .
Считают ли число нуль натуральным числом ? .
найдём число карандашей в первой коробке : 18 ( кар . ) .
Можно ли с помощью цифр 1 , 2 , 5 , 6 ( без повторения ) составить трёхзначное число , которое делилось бы .
4 а ) Назовите число , которое следует в натуральном ряду за числом : 13 , 276 , 3590 , 999 999
Покажите , что чётные числа 18 , 20 , 48 , 96 можно записать в виде 2k , где k — некоторое натуральное число .
На сколько нужно уменьшить большее число , чтобы получились равные числа ?
Решите задачу с выбранным числом n . б ) Какое самое большое и какое самое маленькое число n можно взять , чтобы задача имела решение ? .
Над одной или несколькими буквами ставили особый знак ( титло ) , чтобы подчеркнуть , что полученная запись не буква , не слово , а число .
Чтобы получить число 14 , надо прибавить к 12 число 2 , которое меньше 3 .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Назовите наименьшее простое число .
На первом место в натуральном ряду стоит число 1 , за ним следует число 2 , затем число 3 и т .
Используя признаки делимости , докажите , что число : а ) 7690 ; 6)7395 ; в ) 4256 ; г ) 12 375 ; д ) 12 321 является составным .
Не пользуясь таблицей простых чисел , докажите , что число : а ) 29 ; 6 ) 41 ; в ) 53 ; г ) 59 является простым .
На первом место в натуральном ряду стоит число 1 , за ним следует число 2 , затем число 3 и т .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
а ) последующее число ; б ) предшествующее число ? .
Является ли число 1 : а ) простым ; 6 ) составным ? .
На первом место в натуральном ряду стоит число 1 , за ним следует число 2 , затем число 3 и т .
В школе равное число девочек и мальчиков .
Некто пообещал дать 99 конфет тому , кто сумеет их разделить между четырьмя людьми так , чтобы каждому досталось нечётное число конфет .
Если число оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , то оно делится на 2 .
150 — число , полученное после первого увеличения ; 250 — число , полученное после второго увеличения ; 5 ( раз ) — во столько раз увеличили число 50 за два раза .
150 — число , полученное после первого увеличения ; 250 — число , полученное после второго увеличения ; 5 ( раз ) — во столько раз увеличили число 50 за два раза .
150 — число , полученное после первого увеличения ; 250 — число , полученное после второго увеличения ; 5 ( раз ) — во столько раз увеличили число 50 за два раза .
Во сколько раз увеличили число 50 за два раза ? .
Можно ли простое число записать в виде суммы .
д ) В каких странах число нуль считают натуральным числом ? .
б ) Какое число называют составным ? .
Например , число 130 оканчивается цифрой 0 , оно делится на 10 , а 10 делится на 2 , следовательно , 130 делится на 2 ( по свойству 2 ) .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число делится на 9 .
Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей , где а , b , с , d — нечётные натуральные числа ? .
Каждое натуральное число р делится на 1 и само на себя .
Простым числом называют такое натуральное число , которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
Итак , справедливо равенство , где 4 — наибольшее число , произведение которого на 3 меньше 14 .
Это число называют неполным частным от деления 14 на 3 , а число 2 — остатком .
Это число называют неполным частным от деления 14 на 3 , а число 2 — остатком .
а ) Какое число называют простым ? .
Очевидно , что получаемые таким образом классы чисел не имеют общих чисел каждое натуральное число входит только в один класс .
Уменьшите число 64 в 4 раза , полученный результат уменьшите на 8 .
Каждое составное число делится на 1 , само на себя и ещё хотя бы на одно натуральное число .
а ) Уменьшите число 64 на 8 , полученный результат уменьшите в 4 раза .
Каждое составное число делится на 1 , само на себя и ещё хотя бы на одно натуральное число .
Если одно число делится нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно делится с остатком , равным нулю .
Простых чисел бесконечно много , есть первое число 2 , но нет последнего простого числа .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Какую цифру нужно поставить вместо звездочки , чтобы полученное число делилось на 9 .
Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
Например , чтобы прочитать число 148951784296 , выделим в нём классы : 148 951 784 296 и прочитаем число единиц каждого класса слева направо .
Что значит умножить число 5 на число 6 ? .
Что значит умножить число 5 на число 6 ? .
С помощью умножения решают задачи , в которых требуется найти число , большее данного в несколько раз .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Так как число кубиков в обоих случаях одно и то же .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Если число а больше числа b , то пишут а > b и говорят : « а больше b » , или пишут b < а и говорят : « b меньше а » .
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число , можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел .
Принято считать число 0 равным дроби вида , где q — любое натуральное число .
Принято считать число 0 равным дроби вида , где q — любое натуральное число .
Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же .
Как записывают число 0 в виде дроби ? .
Найдите число х , для которого верно равенство .
3 ) Два натуральных числа равны , если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны .
Известно , что за последний год число марок в коллекции увеличилось на .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Получится число 12 , называемое произведением чисел 3 и 4 .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
Придумайте задачу , в которой число заменено буквой , и проведите похожее исследование .
Как умножить натуральное число на дробь ?
Решите задачу с выбранным числом а . б ) Какое самое большое число а можно взять , чтобы задача имела решение , если на третьей полке была хотя бы одна книга ? .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
а ) Выберите такое число а , чтобы задача имела решение .
Какое число обратно самому себе ? .
Какое число получится : большее или меньшее 2 ? .
б ) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число , меньшее 1 ?
Так как любое натуральное число n можно представить в виде дроби , то справедливо равенство .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Чему равно произведение : а ) единицы на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
б ) Задумали число , увеличили его в 3 раза , полученный результат увеличили ещё в 4 раза .
Например , где р — любое натуральное число .
Например , 1001 больше 999 потому , что число 1001 содержит разрядов больше , чем число 999 .
Увеличьте число .
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
Например , 1001 больше 999 потому , что число 1001 содержит разрядов больше , чем число 999 .
Рассмотрим решения задач , в которых требуется найти часть числа или число но его части .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Будем считать , что искомое число состоит из трёх третьих долей .
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
в ) Какое число а нужно взять , чтобы разность в задании а была нулём ? .
Как найти число , 3/5 которого равны 30 ? .
Для этого найдём число , которое делится на 8 и на 3 , например 24 .
Например , 2821 больше 2819 потому , что у них одинаковое число разрядов , цифры четвёртых и третьих разрядов одинаковые , а цифры второго разряда у них разные : у первого числа больше , чем у второго .
б ) Какое самое большое натуральное число а можно взять , чтобы разность в задании а была натуральным числом ? .
а ) Каким может быть число а , чтобы вы могли устно вычислить разность двух произведений ?
Укажите , какое из следующих выражений определяет число деталей , изготовляемых : а ) первым рабочим за 4 ч ; б ) вторым рабочим за 4 ч ; в ) двумя рабочими за 1 ч ; г ) двумя рабочими за 4 ч .
Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из чисел , делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Одно и то же число квадратов подсчитано двумя способами .
Подсчитаем двумя способами число квадратов .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
Например , чтобы прочитать число 148951784296 , выделим в нём классы : 148 951 784 296 и прочитаем число единиц каждого класса слева направо .
Увеличьте число 48 в 3 раза , полученный результат увеличьте на 3 .
Увеличьте число 48 на 3 , полученный результат увеличьте в 3 раза .
Надо ли развязывать пачки , чтобы сосчитать число всех книг ?
Запишите число в виде произведения двух равных множителей .
Запишите число в виде произведения двух множителей .
Во сколько раз увеличилось число в итоге ? .
Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число , большее 1 ?
Вычислите неизвестное число х , удовлетворяющее равенству .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число , меньшее этого натурального числа ?
б ) Какое натуральное число а можно взять , чтобы значение данного выражения было дробью со знаменателем 13 ?
Получилось ли снова число 200 ?
Разностью чисел а и b называют такое число , которое при сложении с числом b даёт число а .
Найдите число , — которого равны 60
Найдите число , которого равны 99 .
Задумали число , увеличили его на y этого числа и получили 56 .
Какое число задумали ? .
Разностью чисел а и b называют такое число , которое при сложении с числом b даёт число а .
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
Вообще , равенство а = b означает , что а и b одно и то же число .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 6 чисел .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим число 9 .
Найдите число .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим число 9 .
Для этого , применяя уже известный способ , отметим в натуральном ряду число 3 , отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5 , отсчитаем от него вправо ещё 4 числа , получим число 9 .
Каждое натуральное число а больше нуля ; это записывают так : а>0 .
Получится то же число 8 , называемое суммой чисел 3 и 5 .
Но можно отметить в натуральном ряду сначала число 3 и отсчитать от него вправо 5 чисел .
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Получится число 8 , называемое суммой чисел 5 и 3 .
Рассмотрим ряд натуральных чисел , отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа .
Существует ли целое число , меньшее любого натурального числа ? .
Какое число называют положительным ? .
Вычитать большее число из меньшего нельзя , оставаясь среди неотрицательных чисел .
б ) Какое число а можно взять , чтобы значение данного выражения было равно нулю ? .
помощью распределительного закона можно коротко выполнить деление смешанной дроби на натуральное число .
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0 , то получится ряд неотрицательных целых чисел .
Найдите целое число , равное дроби .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Число а называют уменьшаемым , число b — вычитаемым .
Аналогично число , — которого равны 30 , есть число .
Вообще , средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых .
в ) Задумали число , увеличили его на 120 , результат уменьшили на 49 .
Найдите задуманное число .
Если а , b , с — натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а , а число с находится правее числа b , то из этого следует , что число с находится правее числа а , т .
Задумали число , уменьшили его на 45 и получили 66 .
Каким действием можно найти задуманное число ?
а ) Задумали число , увеличили его на 45 и получили 66 .
Найдите неизвестное число , обозначенное буквой х .
Восстановите равенство , вставив пропущенное число ( 59 , 60 ) .
Чтобы разделить дробь на натуральное число , можно её знаменатель умножить на это число .
Чтобы разделить дробь на натуральное число , можно её знаменатель умножить на это число .
Отметим , что число 0 , делённое на любую отличную от нуля дробь , даёт 0 .
Какое число называют разностью чисел а и b ? .
б ) Как разделить дробь на натуральное число ? .
в ) натуральное число на натуральное число . г ) нуль на нуль ? .
в ) натуральное число на натуральное число . г ) нуль на нуль ? .
Найдите число х , для которого равенство верно .
Поэтому число 3 есть разность чисел 9 и 6 .
Получим число 3 .
Отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево шесть чисел .
Это число в 4 раза больше , чем .
Чтобы найти числа , можно умножить на это число .
Пусть теперь надо найти число , которого равны 60 .
Из сказанного выше следует , что число 60 можно получить умножением дроби на неизвестное число .
Из сказанного выше следует , что число 60 можно получить умножением дроби на неизвестное число .
Тогда это неизвестное число можно найти , разделив 60 на .
Итак , число , число .
Итак , число , число .
Аналогично число , — которого равны 30 , есть число .
С помощью сложения и вычитания решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного на несколько единиц , ответить на вопросы « на сколько больше ? » , « на сколько меньше ? » , « сколько всего ? » , « сколько осталось ? » и т .
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить .
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Запишите первое и последнее в натуральном ряду число : а ) двузначное ; б ) трёхзначное ; в ) четырехзначное .
Оказывается , этот результат зависит от числа « нечётных » узлов фигуры , в которых сходится нечётное число линий .
Ведь эти числа входят множителями в любое составное число — « составляют » его .
Составьте и решите аналогичную задачу , учитывая размеры вашей классной комнаты и число учащихся вашего класса .
1 не простое число и не составное — вычеркнем его .
Запишите и прочитайте число .
Говорят , что а делится на b нацело , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Если взять , то по рассмотренной формуле получится — составное число , делящееся .
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Большой вклад в её решение внёс великий русский математик академик П. Л. Чебышев ( 1821–1894 ) , доказавший , в частности , что между числами n и 2п ( n > 1 ) имеется по крайней мере одно простое число .
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Л. Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу , называемую проблемой Эйлера : « Доказать , что каждое чётное число , начиная с 4 , можно представить в виде суммы двух простых чисел » .
Более двухсот лет назад член Петербургской академии паук X. Гольдбах ( 1690–1764 ) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха : « Доказать , что каждое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых чисел » .
Для любых ли натуральных л число Р простое ? .
Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2 , в левой — на 3 и результаты сложить , а мне сообщить лишь , является сумма чётной или нет .
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 54 является число 6 .
Любое натуральное число а делить на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
Иногда целое число изображали дробью со знаменателем 1 .
Какое наименьшее число пачек мороженого он может купить ? .
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Известно , что число а делится нацело на число b.
Известно , что число а делится нацело на число b.
Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки будут совпадать ? .
Поэтому искомое число содержит все простые делители большего числа 24 ( т . е .
Это число обозначают : НОК ( а , b ) .
В какое наибольшее число подарков можно разложить все эти мандарины и яблоки так , чтобы во всех подарках было поровну мандаринов и поровну яблок ? .
Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде ?
Если взять любые две монеты , то получится чётное число рублей , поэтому любые шесть монет дают чётное число рублей .
Если взять любые две монеты , то получится чётное число рублей , поэтому любые шесть монет дают чётное число рублей .
Запишите число в виде квадрата натурального числа .
Запишите число , состоящее из . а ) 1 тысячи , 2 сотен , 3 десятков и 5 единиц .
Если же добавить седьмую монету ( достоинством 1 р . или 5 р . ) , то получится нечётное число рублей .
Например , запись означает , что это число содержит а тысяч , 5 сотен , b десятков и 7 единиц .
Запишите в виде степени с основанием 10 число .
В рассмотренной задаче требуется чётное число ( 20 ) представить в виде суммы нечётного числа ( 7 ) нечётных слагаемых ( 1 и 5 ) .
Разламывая палочку или на 3 , или на 5 частей , мы увеличиваем их общее число или на 2 , или на 4 палочки , т .
на чётное число палочек .
Запишите число в виде произведения одинаковых чисел .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Запишите каждое число в виде степени .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Но в этом случае частным могло бы быть любое число с. Поэтому считают , что нуль на нуль делить нельзя .
3 , 2 — простое число , 5 , 3 — простое число и т .
Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя .
Я предлагаю товарищу записать ( так , чтобы я не видел ) любое трёхзначное число , состоящее из различных цифр ( без нуля ) .
При этом число 2 называют основанием степени , а число 3 — показателем степени .
При этом число 2 называют основанием степени , а число 3 — показателем степени .
Если q — натуральное число , то дробь — ( читается « одна кутая » ) означает одну кутую часть единицы .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
Для упрощения речи вместо слов « рациональное число p / q » говорят « дробь p / q » .
Если хочешь в произведении иметь 121 212 , возьми 12 , умножь на 2 и на 10 , будет 240 , прибавь первое число , будет 252 .
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
Число 3 показывает , сколько раз нужно взять множителем основание степени — число 2 .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8 единиц .
Какое число называют рациональным числом ? .
Запишите число в виде произведения двух множителей всеми возможными способами .
б ) Как ещё называют рациональное число ? .
Каждое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых .
в ) Является ли натуральное число рациональным числом ?
Отметим важное свойство частного : делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
д. Можно ещё сказать , что дроби определяют одно и то же число , записанное разными способами ; дроби также определяют одно и то же число .
д. Можно ещё сказать , что дроби определяют одно и то же число , записанное разными способами ; дроби также определяют одно и то же число .
Определите , является число простым или составным .
а ) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 8 . б ) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так , чтобы сумма этих множителей была равна 35
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8 единиц .
ещё одно число 3 ) .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является простым числом .
3 , 2 — простое число , 5 , 3 — простое число и т .
Например : число 8 больше числа 5 , число 3 больше числа 1 , так как в ряду натуральных чисел 8 правее 5 , а 3 правее 1 .
Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число .
Старший брат выписал из справочника число 15 ! , а Вася случайно поставил в его тетради кляксу на одну цифру .
Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи , чтобы ответ выражался натуральным числом ?
( Возраст каждого из сыновей выражается натуральным числом . ) .
Сравните дроби с числом 1 , а затем между собой .
Докажите , что сумма двух нечётных чисел является чётным числом .
Из двух натуральных чисел с одинаковым числом разрядов больше то , у которого больше первая ( слева направо ) из неодинаковых цифр .
В том случае , когда одно из двух чисел является натуральным числом или правильной дробью , вычисления выполняются аналогично .
Сравните дроби с числом , а затем между собой .
Вася считает , что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел , произведение которых является простым числом .
Разностью чисел а и b называют такое число , которое при сложении с числом b даёт число а .
а ) Каким числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
Считают ли число нуль натуральным числом ? .
Величина есть результат измерения , она определяется числом , выраженным в некоторых единицах .
Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи , чтобы ответ выражался натуральным числом ?
Какое число называют рациональным числом ? .
Замените букву х числом так , чтобы равенство стало верным .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на единицу .
Отсутствие предметов для счёта условились обозначать числом нуль ( 0 ) .
Является ли данная дробь целым числом .
а ) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом ? .
Верно ли , что сумма любых двух простых чисел является простым числом ? .
Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников , состоящие только из мальчиков или только из девочек .
Докажите , что сумма двух чётных чисел является чётным числом .
в ) Является ли натуральное число рациональным числом ?
Нуль не считают натуральным числом .
натуральным числом ?
При этом всё равно , какую работу выполняют и чем эту работу измеряют — числом деталей , количеством вспаханных гектаров пашни и т .
б ) Какое самое большое натуральное число а можно взять , чтобы разность в задании а была натуральным числом ? .
По каким правилам складывают числа с числом 0 ? .
а ) Каким натуральным числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого выражения ? .
Принято считать , что единица не является пи простым , пи составным числом .
Является ли нуль положительным числом ? .
Решите задачу с выбранным числом n . б ) Какое самое большое и какое самое маленькое число n можно взять , чтобы задача имела решение ? .
Решите задачу с выбранным числом а . б ) Какое самое большое число а можно взять , чтобы задача имела решение , если на третьей полке была хотя бы одна книга ? .
Простым числом называют такое натуральное число , которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
д ) В каких странах число нуль считают натуральным числом ? .
Не выполняя сложения , определите , каким числом ( чётным или нечётным ) является сумма .
Число , которое можно записать в виде где р и q — натуральные числа , называют рациональным числом .
4 а ) Назовите число , которое следует в натуральном ряду за числом : 13 , 276 , 3590 , 999 999
г ) К трёхзначному числу приписали цифру 7 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , сумма которых равна 8360 .
К двузначному числу приписали цифру 6 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , разность которых равна 162 .
Например , число 48 кратно числу 24 .
а ) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , разность которых равна 234 .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров .
Число , делящееся на 12 , называют кратным числу 12 .
Напишите 5 чисел , кратных числу .
Прибавьте к числу .
Назовите число , которое предшествует в натуральном ряду числу : 2 , 74 , 100 , 3050 , 438 109 , 1 000 000 .
б ) К двузначному числу приписали цифру 1 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , сумма которых равна 926 .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину длины отрезка АB .
в ) К трёхзначному числу приписали цифру 2 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , сумма которых равна 5929 .
Принято считать , что первая степень любого числа равна самому числу .
а ) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева , а потом справа — получили два трёхзначных числа , сумма которых равна 912 .
г ) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , разность которых равна 639 .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел .
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число , можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего .
Вычислите произведение 7 и числа , обратного числу .
постепенное выполнение действий и приведение числового выражения к наиболее простой форме — числу , нередко требует серьёзных усилий .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника делили диагоналями .
а ) Вычислите произведение и числа , обратного числу 3 .
По числу сторон многоугольник называют треугольником , четырёхугольником , пятиугольником и т .
в ) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева , а потом справа — получили два четырёхзначных числа , разность которых равна 2214 .
Более двухсот лет назад член Петербургской академии паук X. Гольдбах ( 1690–1764 ) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха : « Доказать , что каждое нечётное число , большее 5 , можно представить в виде суммы трёх простых чисел » .
Если сумма чётная , то двухрублёвая монета в левой руке , если нечётная , то в правой .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
Петя их не видел , но утверждает , что по количеству записанных чисел легко определит , чётная или нечётная у них сумма .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Докажите , что : а ) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная ; б ) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная .
в ) чётного и нечётного чисел ? .
Докажите , что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число чётное .
Докажите , что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число чётное .
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Если взять любые две монеты , то получится чётное число рублей , поэтому любые шесть монет дают чётное число рублей .
Если взять любые две монеты , то получится чётное число рублей , поэтому любые шесть монет дают чётное число рублей .
Л. Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу , называемую проблемой Эйлера : « Доказать , что каждое чётное число , начиная с 4 , можно представить в виде суммы двух простых чисел » .
В рассмотренной задаче требуется чётное число ( 20 ) представить в виде суммы нечётного числа ( 7 ) нечётных слагаемых ( 1 и 5 ) .
на чётное число палочек .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2 , в левой — на 3 и результаты сложить , а мне сообщить лишь , является сумма чётной или нет .
Использование идеи чётности позволяет решать разнообразные задачи , в условии которых ничего не говорится о чётности .
Использование идеи чётности позволяет решать разнообразные задачи , в условии которых ничего не говорится о чётности .
Первоначальное число палочек 13 — нечётное , и , добавляя к нему каждый раз чётное число палочек , невозможно получить чётную сумму 100 , так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная .
Покажите , что чётные числа 18 , 20 , 48 , 96 можно записать в виде 2k , где k — некоторое натуральное число .
Например , числа 152 и 790 — чётные , а числа 111 и 293 — нечётные .
Если отметить чётные и нечётные узлы соответственно буквами « ч » и « n » , то получится рисунок , на котором нечётных узлов больше двух .
Если отметить чётные и нечётные узлы соответственно буквами « ч » и « н » , то получится рисунок .
Если же узел чётный , то в нём не обязательно начинать или заканчивать рисование линии — его можно пройти один или несколько раз , но если всё же в нём начать рисование линии , то в нём же нужно и закончить .
Докажите , что сумма двух нечётных чисел является чётным числом .
Какое число называют чётным ?
Число , делящееся на 2 , называют чётным .
Докажите , что сумма двух чётных чисел является чётным числом .
Не выполняя сложения , определите , каким числом ( чётным или нечётным ) является сумма .
Обратим внимание на то , что в одних точках сходится чётное число линий ( назовём их чётными узлами ) , а в других нечётное число линий ( назовём их нечётными узлами ) .
Докажите , что сумма двух чётных чисел является чётным числом .
Докажите , что , кроме числа 2 , не существует других чётных простых чисел .
Назовите 6 чётных чисел .
а ) двух чётных чисел .
Сфера и шар .
Назовите какой - нибудь предмет , имеющий форму шара .
Все точки шара удалены от его центра на расстояние , меньшее или равное радиусу шара .
Все точки шара удалены от его центра на расстояние , меньшее или равное радиусу шара .
Представление о шаре даёт арбуз .
Часть пространства , состоящую из всех точек сферы и всех точек , находящихся внутри сферы , называют шаром .
Постройте в тетради правильный шестиугольник и измерьте его углы .
С помощью циркуля и линейки можно построить правильный шестиугольник , у которого стороны равны и углы равны .
а ) Определите периметр шестиугольника .
Пчёлы строят свои соты в виде правильных шестиугольников .
Какими могут быть длина и ширина этого участка ?
Если длина , ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если длина и ширина прямоугольника выражены натуральными числами а и b , то его площадь S вычисляется как произведение .
Вычислите объём классной комнаты в литрах , если её ширина 6 м , длина 8 м , а высота 3 м .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
Вычислите длину прямоугольника , если его ширина равна .
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда , длина которого 45 см , ширина 30 см , а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Вычислите площадь и периметр прямоугольника , длина и ширина которого равны .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Выразите в арах площадь прямоугольного участка земли , длина и ширина которого .
в ) Для оклейки комнаты можно купить 8 кусков обоев шириной 50 см или 7 кусков обоев шириной 60 см .
в ) Для оклейки комнаты можно купить 8 кусков обоев шириной 50 см или 7 кусков обоев шириной 60 см .
Каковы должны быть размеры участка , чтобы он занимал наибольшую площадь , если ограда должна иметь калитку шириной 1 м ? .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и высотой .
Измерьте длину и ширину тетради с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
его длину увеличить в 4 раза , а ширину и высоту уменьшить в 2 раза ? .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
в ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ? .
Другую сторону квадрата разделим на 3 равные части ; две из них составляют ширину прямоугольника .
а ) Как вычислить площадь прямоугольника , зная длину и ширину ? .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
б ) Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда , зная длину , ширину и высоту ? .
его длину и ширину увеличить в 2 раза .
Одно ребро куба разделим на пять равных частей ; две из них составляют ширину параллелепипеда .

Введите данные для входа

Введите актуальный логин и пароль для входа или зарегистрируйтесь кликнув по ссылке регистрация

Регистрация Забыли пароль?
Логотип Rulex
При поддержке Института филологии и межкультурных коммуникаций

Наши разработки

Анализатор RuLex Списки терминов Тренажёр функциональной грамотности Тест на вербальный интеллект Психодиагностические методики

О нас

Команда проекта Лаборатория «Текстовая аналитика» Исследования Сайт ИФМК Сайт КФУ Лаборатория «Текстовая аналитика» rulingva@kpfu.ru
*В настоящий момент инструменты платформы реализованы для уровня начальной школы. Последующие уровни находятся в стадии разработки.