Левый контекст	Термин	Правый контекст
	Автомат	на кондитерской фабрике заворачивает 324 конфеты за 3 мин .
	Автомат	фасует масло в пачки по 1/5 кг .
	Величина	острого угла меньше 90 ° .
	Величина	.
	Величина	есть результат измерения , она определяется числом , выраженным в некоторых единицах .
	Величина	тупого угла больше 90 ° , но меньше 180 ° .
	Вершина	угла .
	Вершина	треугольника .
	Вершина	четырёхугольника .
	Вершина	многоугольника .
	Вершина	прямоугольного параллелепипеда .
Купили 3 коробки конфет по 400 г и 4 пачки печенья по 250 г.	Вес	чего можно найти следующим способом .
	Выражение	« цифры равны » употребляется для упрощения речи .
	Вычитаемое	.
	Вычитание	дробей .
	Вычитание	.
	Вычитание	смешанных дробей .
	Вычитать	большее число из меньшего нельзя , оставаясь среди неотрицательных чисел .
	Вычтите	произведение чисел 12 345 и 9 из числа 1 000 000 .
	Вычтите	сумму чисел 328 и 532 из числа 1000 . е )
	Градус	.
	Градус	обозначают знаком « ° » .
	Грани	пересекаются по отрезкам — рёбрам прямоугольного параллелепипеда .
	Деление	дробей .
	Деление	с остатком .
	Деление	нацело .
	Деление с остатком	.
	Делимое	.
	Делитель	.
	Делится	ли сумма .
	Делится	ли разность .
	Делить	на нуль нельзя .
	Десятичная	система , которой широко пользуются в настоящее время во всём мире , более совершенна .
	Десятичная	позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа .
	Десятичная	система записи натуральных чисел .
	Десятки	.
	Десятки	тысяч .
	Десятки	миллиардов .
	Десятки	миллионов .
	Диагональ	многоугольника .
	Диаметр	.
	Длина	отрезка AD больше длины отрезка АС , т .
	Длина	других частей была вычислена на основе этих измерений .
Точка А расположена на прямой между точками В и С.	Длина	отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Точка С расположена на прямой между точками A и В.	Длина	отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
	Длина	ломаной ABCDE больше расстояния АЕ между её концами .
	Длина	ломаной .
	Длина	отрезка AD равна сумме длин отрезков АС и CD .
	Длина	автобусного маршрута 24 км .
	Длина	верёвки 27 м .
	Длина	отрезка ОA равна 5 единичным отрезкам .
	Длину	отрезка AВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим , что два равных отрезка имеют равные длины .
	Доказательство	.
	Дробная	часть смешанной дроби .
	Дробь	означает две третьих части единицы .
	Дробь	называется правильной , если её числитель меньше знаменателя .
	Дробь	неправильная .
	Дробь	несократимая .
	Дробь	обратная данной .
	Дробь	обыкновенная .
	Дробь	правильная .
	Дробь	смешанная .
	Дробь	сократимая .
	Дробь	называют обратной для дроби .
	Дробь	означает половину , или одну вторую часть единицы ( миллиметра , килограмма , часа и т . п. ) .
	Дробь	с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи натурального числа р .
	Дробь	называется неправильной , если её числитель больше знаменателя или равен ему .
	Дробь	— означает одну третью часть единицы .
	Дробь	называют несократимой , если её числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей .
	Дробь	записывали так .
	Единицу	они обозначали знаком , десяток , сотню .
	Единицы	миллиардов .
	Единицы	времени .
	Единицы	миллионов .
	Единицы	.
	Единицы	тысяч .
	Единицы	площади .
	Единицы	объёма .
	Единицы	длины .
	Единицы	массы .
	Знак	называют знаком приближённого равенства и читают « приближённо равно » .
	Знаменатель	дроби .
	Касательная	.
	Квадрат	со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
	Квадрат	числа .
	Квадрат	площадью 1 м2 разрезали на несколько равных квадратов площадью .
	Квадрат	разделён на равные части , площадь каждой из которых равна дм2 .
	Координаты	точек А и В , найдите координаты точек С и D .
	Кратное	.
	Круг	.
	Круг	состоит из точек , удалённых от данной точки на расстояние , меньшее или равное его радиусу .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и высота которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )	Куб	с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
а )	Куб	с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
	Куб	, сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных параллелепипедов ? .
	Куб	, ребро которого равно лилейной единице , называют единичным кубом .
	Куб	.
	Куб	числа .
	Ломаная	ABODE , она имеет четыре звена АВ , ВС , CD и DE .
	Ломаная	.
	Ломаная	ABCD .
	Луч	.
	Луч	ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше угла ВОС .
	Луч	ОС делит развёрнутый угол AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше угла ВОС .
	Луч	обычно располагают горизонтально и направляют вправо .
Каждую из этих частей называют лучом с началом в точке A .	Луч	, так же как и прямую , обозначают двумя заглавными буквами .
	Луч	с началом в точке A можно обозначить и АВ , и АС .
	Многозначные	числа складывают и вычитают но разрядам , используя переместительный , сочетательный и распределительный законы .
	Многоугольник	называют выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от каждой прямой , содержащей его сторону .
	Многоугольник	ABCDE выпуклый , а многоугольник MNKLO нет .
	Многоугольник	.
	Многоугольник	, замкнутая ломаная линия , не являющаяся многоугольником .
	Многоугольник	называю правильным , если все его углы и все стороны равны .
	Многоугольники	.
	Многоугольники	ABCDE и KLMNO равны , так как они совмещаются при наложении .
	Множитель	.
Например , 12 делится на 4 , следовательно ,	НОД	( 12 , 4 ) 4 .
Чему равен	НОД	( а , b ) ? .
Например , числа 56 и 45 взаимно простые :	НОД	( 56 , 45 ) 1 .
В этой же книге указан способ ( алгоритм ) нахождения	НОД	двух натуральных чисел .
Найти	НОД	( 56 , 45 ) .
В разложении чисел 180 и 336 подчёркнуты все их общие делители , поэтому	НОД	( 180 , 336 ) 12 .
Наибольший общий делитель чисел а и b обозначают :	НОД	( а , b ) .
Найдите	НОД	( 12 321 , 111 ) .
Найти	НОД	( 180 , 336 ) .
Укажите все общие делители и	НОД	числителя и знаменателя дроби , затем сократите дробь .
Даны разложения чисел а и b на простые множители , найдите	НОД	( а , b ) и НОК ( а , 1 ) .
Найдите	НОД	( а , b ) .
Ученик нашёл	НОД	( 33 , 198 ) и получил 66 .
Придумайте пять пар таких чисел а и b , чтобы	НОД	( а , b ) = 1 .
Напишите пять пар чисел а и b , чтобы	НОК	( а , b ) = а .
Это число обозначают :	НОК	( а , b ) .
48 не делится на 18 , 72 — делится на 18 , поэтому	НОК	( 24 , 18 ) — 72 .
Ученица нашла	НОК	( 33 , 198 ) и получила 99 .
Найдём	НОК	( 18 , 24 ) .
Чему равно	НОК	( а , b ) ? .
Например , 120 делится нацело на 24 , следовательно ,	НОК	( 120 , 24)= 120 .
Разложим числа 24 и 18 на простые множители :	НОК	( 24 , 18 ) должно делиться и на 24 , и на 18 .
Даны разложения чисел а и b на простые множители , найдите НОД ( а , b ) и	НОК	( а , 1 ) .
Так как	НОК	( 36 , 54 ) — 108 , то наименьший общий знаменатель равен 108 , поэтому .
	Наибольший общий делители	взаимно простых чисел равен 1 .
	Наибольший общий делитель	чисел а и b обозначают : НОД ( а , b ) .
	Наибольший общий делитель	.
	Наибольшим общим делителем	чисел 12 и 54 является число 6 .
	Найдите	разность чисел 46 и 22 .
	Найдите	высоту прямоугольника .
	Найдите	большую сторону прямоугольника .
	Найдите	площадь его основания и площадь боковой поверхности , т .
	Найдите	стороны прямоугольника .
Сторона квадрата равна 13 см.	Найдите	его периметр .
	Найдите	в учебнике , справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см.	Найдите	сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
	Найдите	длину стороны квадрата .
	Найдите	среднее арифметическое чисел .
	Найдите	число х , для которого равенство верно .
	Найдите	площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда .
	Найдите	все несократимые дроби со знаменателем 60 , большие , но меньшие .
	Найдите	все делители числа а .
	Найдите	эти числа .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а )	Найдите	площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
	Найдите	все дроби со знаменателем 10 , которые больше , но меньше .
	Найдите	периметр прямоугольника со сторонами : а ) 12 см и 9 см ; б ) 93 см и 2 см ; в ) 11 см и 47 мм ; г ) 17 см и 3 дм .
	Найдите	периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 37 см , а другая : а ) на 6 см больше ; б ) на 8 см меньше .
	Найдите	его .
	Найдите	периметр прямоугольника , если одна из его сторон равна 26 см , а другая : а ) в 3 раза больше ; б ) в 2 раза меньше .
	Найдите	все дроби со знаменателем 13 , которые больше , но меньше .
	Найдите	трёхзначное число .
	Найдите	задуманное число .
Периметр прямоугольника равен 56 см , одна из его сторон равна 17 см.	Найдите	его другую сторону .
	Найдите	целое число , равное дроби .
	Найдите	двузначное число .
	Найдите	частное чисел .
	Найдите	неизвестное число , обозначенное буквой х .
	Найдите	равные четырёхугольники .
	Найдите	сумму этих чисел .
а ) Ребро куба равно 5 см.	Найдите	площадь поверхности куба , т .
б )	Найдите	сторону квадрата , площадь которого равна площади данного прямоугольника .
	Найдите	DOC .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см.	Найдите	длину отрезка ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
На прямой даны точки А , В и С , причём AB 6 см , АС 13 см.	Найдите	длину отрезка ВС , если .
	Найдите	длину отрезка А В .
	Найдите	а .
Известно , что .	Найдите	b .
	Найдите	длину отрезка АВ .
	Найдите	длину отрезка AB .
	Найдите	дробь с числителем 7 , равную дроби .
	Найдите	скорость течения .
	Найдите	скорость аэроплана .
	Найдите	частное и проверьте ответ умножением .
а )	Найдите	дробь со знаменателем 18 , равную дроби .
	Найдите	параллельные прямые .
	Найдите	несколько чисел , кратных 10 , и несколько чисел , кратных 15 .
	Найдите	несколько общих кратных чисел 10 и 15 .
	Найдите	наименьшее общее кратное этих чисел , не выполняя разложения чисел на простые множители .
	Найдите	наименьшее общее кратное этих чисел .
	Найдите	один из возможных маршрутов .
	Найдите	число .
	Найдите	несколько таких чисел .
	Найдите	число , — которого равны 60
	Найдите	все числа вида , кратные 36 .
AB 12 см . а )	Найдите	длины отрезков АС и СВ .
	Найдите	число , которого равны 99 .
	Найдите	число х , для которого верно равенство .
	Найдите	делимое .
	Найдите	частное .
	Найдите	все несократимые дроби с числителем 60 , бóльшие но меньшие .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см.	Найдите	длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача ? .
	Найдите	несократимую дробь , равную дроби .
На луче AM отложили отрезки AB и АС , АС 89 см.	Найдите	длину отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
	Найдите	ABC и ВОС .
	Найдите	количество .
	Найдите	координаты точек , делящих отрезок АВ на три равные части .
	Найдите	координату точки В по координатам точки А и точки С — середины отрезка АВ .
Даны точки А и В.	Найдите	координаты : точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
	Найдите	координату середины отрезка , соединяющего точки .
	Найдите	длину отрезков АВ , ВС , АС .
	Найдите	правила , по которым ребята заполнили клетки , и придумайте ещё одно решение .
	Найдите	целую часть дроби .
	Найдите	другие решения для 0 и 1 .
	Найдите	объём комнаты .
	Найдите	все делители чисел 45 и 60 .
	Найдите	первоначальную сумму денег .
	Найдите	высоту комнаты .
Укажите координаты точек А , В , С , D и Е.	Найдите	расстояние от этих точек до нулевой точки .
	Найдите	все общие делители чисел 45 и 60 .
	Найдите	: Число 12 321 делится на 111 .
	Найдите	площадь пола .
	Найдите	скорость течения реки , если известно , что расстояние между мостами 1 км .
	Найдите	НОД ( 12 321 , 111 ) .
	Найдите	в справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы .
	Найдите	сумму .
	Найдите	уменьшаемое и вычитаемое .
	Найдите	.
	Найдите	НОД ( а , b ) .
	Найдите	периметр треугольника .
7	Найдите	в учебнике , справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы .
	Найдите	слагаемые .
	Найдём	НОК ( 18 , 24 ) .
	Найдём	длину отрезка , соединяющего точки а и b , и координату середины этого отрезка .
	Найдём	.
	Найти	НОД ( 180 , 336 ) .
	Найти	НОД ( 56 , 45 ) .
	Натуральные	числа записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
	Натуральные	числа можно сравнивать по их десятичной записи .
	Натуральные	числа , записанные одной цифрой , называют однозначными , а записанные несколькими цифрами — многозначными : двумя — двузначными , тремя — трёхзначными и т .
	Натуральные	числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
	Натуральные числа	можно сравнивать по их десятичной записи .
	Натуральные числа	, записанные одной цифрой , называют однозначными , а записанные несколькими цифрами — многозначными : двумя — двузначными , тремя — трёхзначными и т .
	Натуральные числа	и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами , так как , кроме неотрицательных чисел , есть ещё и отрицательные числа .
	Натуральные числа	записанные в порядке возрастания и без пропусков , образуют натуральный ряд , или ряд натуральных чисел .
	Необходимо	покрыть кафельной плиткой пол , имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется , если в каждом ящике 50 плиток ?
	Нуль	не считают натуральным числом .
Глава 4	Обыкновенные дроби	.
	Окружность	с центром О , касательная АВ и радиус окружности ОС .
	Окружность	.
	Окружность	и круг .
	Основание	степени .
	Остаток	меньше делителя .
	Остаток	.
	Отрезок	АН разделён на 6 равных частей .
	Отрезок	, соединяющий центр сферы с любой её точкой , называют радиусом сферы .
	Отрезок	с концами в точках А и B обозначают AВ или ВА .
	Отрезок	.
	Отрезок	, соединяющий центр окружности с любой её точкой , называют радиусом .
а )	Отрезок	длиной 1 м разделили на несколько равных частей длиной 1/10 м .
	Отрезок	АН , разделённый на 7 равных частей .
	Отрезок	, соединяющий две любые точки окружности , называют хордой .
	Отрезок	, соединяющий две несоседние вершины многоугольника , называют диагональю многоугольника .
	Отрезок	, длина которого принята за единицу измерения , называют единичным отрезком .
	Периметр	треугольника .
	Периметр	равнобедренного треугольника AВС равен 30 см , а одна из сторон на 3 см больше другой .
	Периметр	четырехугольника .
	Периметр	прямоугольника равен 56 см , одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую сторону .
	Периметр	прямоугольника равен 54 см , основание на 5 см больше высоты .
	Периметр	прямоугольника 36 дм , основание на 6 см больше высоты .
а )	Периметр	прямоугольника равен 48 см , основание на 4 см больше высоты .
	Периметр	квадрата равен : а ) 16 см ; б ) 14 см ; в ) 13 см ; г ) 17 см .
	Периметр	треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите длину отрезка BD .
	Периметр	многоугольника .
	Периметр	равностороннего треугольника равен 27 см. Вычислите сторону этого треугольника .
	Периметры	треугольников BCD , BDE и ABE равны соответственно 20 см , 21 см и 22 см , а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см. Определите длины диагоналей BD и BE , если известно , что они равны .
	Плоскость	можно выложить также равными прямоугольниками .
	Площадь	пола комнаты 16м2 , высота комнаты 2 м .
	Площадь	пола комнаты 24 м2 , высота комнаты 3 м .
	Площадь	S основания прямоугольного параллелепипеда равна .
	Площадь	прямоугольника .
	Площадь	прямоугольника 91 см2 , а его высота 7 см. Определите основание прямоугольника .
	Площадь	прямоугольника равна 4 дм2 .
	Поверхность	стола или поверхность воды в пруду ( в безветренную погоду ) может служить примером части плоскости .
	Показатель	степени .
	Поле	площадью 5 га разделили на 8 равных участков прямоугольной формы .
	Положительные	дроби называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
	Прав	ли Петя ? .
	Правильная	дробь меньше 1 , а неправильная дробь больше или равна 1 .
	Правильная дробь	меньше 1 , а неправильная дробь больше или равна 1 .
	Правые	части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 28 , 22 , 81 и 100 .
	Прибавьте	к числу .
	Прибавьте	к уменьшаемому и вычитаемому по 1 ; по 2 ; по 3 и в каждом случае найдите разность .
	Приведите	примеры .
	Приведите	как можно больше таких примеров .
	Приведите	пример деления с остатком , назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
	Приведите	другие примеры .
	Приведите	пример .
	Приведите	примеры взаимно простых чисел .
	Приведите	дробь к знаменателю 10 , или 100 , или 1000 .
	Приведите	дроби к общему знаменателю .
	Приведите	дроби к наименьшему общему знаменателю .
	Приведите	дроби к общему знаменателю , равному произведению знаменателей дробей .
п.	Приведите	контрпример , показывающий , что Вася не прав . б ) Как исправить утверждение Васи , чтобы оно стало верным ? .
	Приведите	несколько примеров .
	Приведите	пример смешанной дроби , укажите её целую и дробную части .
	Произведение	одинаковых чисел также записывают короче . и называют степенью .
	Произведение	четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024 .
	Произведение	двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
	Произведение	.
	Произведение	взаимно обратных чисел равно 1 .
	Простым числом	называют такое натуральное число , которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя .
	Простых чисел	бесконечно много , есть первое число 2 , но нет последнего простого числа .
	Прямая	MN перпендикулярна прямой AС . .
	Прямая	.
	Прямая	не имеет ни начала , ни конца — она бесконечна .
	Прямоугольник	, у которого все стороны равны , называют квадратом .
	Прямоугольник	4 x 9 разрежьте на две части так , чтобы из них можно было сложить квадрат .
	Прямоугольник	ABCD .
	Прямоугольник	с основанием а 3 см и высотой b 5 см. Его можно разрезать на 5 слоёв по 3 квадрата в каждом слое , т .
	Прямоугольник	имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь квадрата , периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
	Прямоугольник	.
	Прямоугольник	состоит из таких частей , поэтому его площадь равна .
	Прямоугольный	параллелепипед .
	Прямоугольный	параллелепипед , у которого все рёбра равны , называют кубом .
	Прямоугольный	параллелепипед состоит из таких частей .
	Прямоугольный	параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
Формула верна и при дробных а , b и с.	Прямоугольный	параллелепипед с рёбрами а дм , b дм и с дм .
	Прямоугольный параллелепипед	.
	Прямоугольный параллелепипед	состоит из таких частей .
Формула верна и при дробных а , b и с.	Прямоугольный параллелепипед	с рёбрами а дм , b дм и с дм .
	Прямоугольный параллелепипед	, у которого все рёбра равны , называют кубом .
	Прямоугольный параллелепипед	, у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2 линейным единицам .
	Прямые	параллельные .
	Путь	, скорость , время .
	Равенство	верно , так как сумма разности и вычитаемого равна уменьшаемому .
	Равенство	дробей .
	Равенство	можно записать и в обратном порядке .
	Радиус	окружности .
	Разделим	путь , который проехал велосипедист , на его скорость : 3 ( ч ) — время движения велосипедиста .
	Разделим	путь , пройденный пешеходом , на время движения : 4 ( км / ч ) — скорость пешехода .
	Разделите	полтину на половину .
	Разделите	с остатком числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби .
	Разложение	на простые множители .
	Разложите	на простые множители число .
	Разложить	данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней .
	Разность	двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
	Разность	.
в ) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9 . г )	Разность	чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
	Разность	чисел а и b обозначают а — b .
	Разностью	чисел а и b называют такое число , которое при сложении с числом b даёт число а .
	Разностью	двух дробей называют дробь , которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое .
сумму площадей всех его граней . б )	Ребро	куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
а )	Ребро	куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба , т .
	Решение	этой задачи коротко записывают .
	Решение	текстовых задач с помощью умножения и деления .
	Решение	. 450 ( р . ) — покупатель истратил на вторую покупку ; 600 ( р . ) — всего истратил покупатель .
	Решение	.
	Решение	. 1 ) Сколько рублей стоил купленный товар ? .
	Решение	. 2 ( кор . ) — стоят 720 р .
	Решение	. 1 ) 6 ( км / ч ) — удвоенная скорость течения .
	Решение	. 1 ) 18 ( км / ч ) — скорость катера по течению реки .
	Решение	текстовых задач с помощью сложения и вычитания .
	Решения	таких задач можно оформить с помощью вопросов и ответов на них .
	Решения	таких задач можно оформить с помощью вопросов и ответов на них , а можно использовать более короткую запись — после действия пояснять , что найдено этим действием .
	Ромб	.
	Ряд	натуральных чисел .
	Система	счисления десятичная .
	Система	счисления двоичная .
	Скобки	, в которые заключено одно действие умножения или деления , принято для краткости опускать .
	Следы	этой системы сохранились сейчас в единицах измерения времени : 1 ч — 60 мин , 1 мин — 60 с .
	Сложение	.
	Сложение	и вычитание чисел столбиком .
	Сложение	смешанных дробей выполняют с помощью законов сложения .
	Сложение	смешанных дробей .
	Сложение	дробей .
	Сложите	дроби , полученную дробь сократите .
	Сложите	величины .
	Сложите	числа .
	Сложите	дроби , предварительно сократив их .
	Сложите	дроби .
	Собственная	скорость теплохода 27 км / ч , скорость течения реки 3 км / ч .
	Сократите	дробь .
	Сократите	дроби по образцу .
	Среднее	арифметическое .
	Среднее	арифметическое пяти чисел равно 2 .
а )	Среднее	арифметическое двух чисел равно 5 .
	Среднее арифметическое	.
	Среднее арифметическое	пяти чисел равно 2 .
а )	Среднее арифметическое	двух чисел равно 5 .
	Средний	возраст оставшихся игроков оказался равным 20 года .
	Средний	возраст одиннадцати игроков футбольной команды 21 год .
	Степень	числа .
	Степень	с натуральным показателем .
	Сторона	квадрата равна 13 см. Найдите его периметр .
а )	Сторона	равностороннего треугольника равна 7 см. Вычислите периметр этого треугольника .
	Сторону	квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр квадрата ? .
	Стороны	прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
	Стороны	треугольника .
	Стороны	угла .
	Стороны	прямоугольника равны 4 см и см. Его площадь равна .
	Сумма	возрастов первого и четвёртого сына равна 9 годам , первого и шестого — 8 годам , второго и пятого — 8 годам , второго и третьего — 9 годам , третьего и шестого — 6 годам , четвёртого и седьмого — 4 годам , а седьмого и пятого — также 4 годам .
а )	Сумма	двух чисел 230 .
	Сумма	показывает , на сколько километров в час удаляются пешеходы друг от друга , эту величину называют скоростью удаления .
	Сумма	дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
	Сумма	двух чисел 350 .
	Сумма	двух чисел 432 , первое больше второго на 18 .
	Сумма	двух чисел 537 , первое меньше второго на 131 .
а )	Сумма	двух чисел равна 96 , а разность равна 18 .
	Сумма	двух чисел равна 87 , а разность равна 19 .
	Сумма	двух чисел равна 500 , а разность равна 6 .
	Сумма	цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
	Сумма	.
	Сумму	натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
	Сумму	длин сторон многоугольника называют его периметром .
	Сумму	длин сторон четырёхугольника называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом .
	Сумму	длин всех сторон треугольника называют его периметром .
	Сумму	длин всех звеньев ломаной называют длиной ломаной .
	Сфера	и шар .
	Сфера	.
	Таблицу умножения	однозначных чисел надо помнить наизусть .
	Точка	A , лежащая на прямой , делит её на две части .
	Точка	касания .
	Точка	С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
	Точка	А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
	Точки	А и В называют его концами .
	Точки	А , В , С и D называют вершинами прямоугольника , а отрезки AВ , ВС , CD и АD — его сторонами .
	Точки	обозначают заглавными ( большими ) латинскими буквами , например A , B , C .
	Точки	А , В и С называют вершинами треугольника .
	Точки	, в которых пересекаются рёбра , называют вершинами прямоугольного параллелепипеда .
	Точки	пересечения окружностей обозначьте буквами М и N. Постройте отрезки AM , AN , ВМ , BN .
	Точку	, изображающую на координатном луче дробь , называют точкой с координатой или , коротко , точкой .
	Точку	О называют центром окружности .
	Точку	В называют вершиной угла , лучи ВА и ВС — его сторонами .
	Третье	ребро разделим на три равные части ; две из них составляют высоту параллелепипеда .
	Третью	степень числа называют кубом числа .
	Треугольник	со сторонами 1 см , 2 см и 3 см тоже построить нельзя .
	Треугольник	тупоугольный .
	Треугольник	равносторонний .
	Треугольник	равнобедренный .
	Треугольник	с вершинами А , В и С обозначают так : АВС , читают : « треугольник AВС » .
	Треугольник	остроугольный .
	Треугольник	.
	Треугольник	прямоугольный .
	Треугольники	.
Говорят : «	Угол	ABD равен углу DВС » .
	Угол	, больший прямого , но меньший развёрнутого , называют тупым .
	Угол	.
	Угол	прямой .
	Угол	острый .
	Угол	развёрнутый .
	Угол	тупой .
	Угол	АВС обозначают так : ABC .
	Угол	, меньший прямого , называют острым .
	Уменьшаемое	.
	Умножение	чисел столбиком .
	Умножение	дробей .
	Умножение	.
	Умножение	и деление смешанных дробей .
В старину на Руси творили : «	Умноженье	— моё мученье , а деление — беда » .
	Умножим	числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8 .
	Умножим	скорость поезда на время движения : 260 ( км ) — путь поезда .
	Умножить	натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых , каждое из которых 4 .
	Фигуру	следует раскрасить « в шахматном порядке » , отсоединить закрашенные области друг от друга так , чтобы каждая из них имела не больше одной общей точки с какой - либо другой закрашенной областью .
	Фигуру	, образованную такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев ломаной , называют многоугольником .
	Фигуры	домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх квадратов так , чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом .
	Фигуры	пентамино можно получить из фигур тетрамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
	Фигуры	гексамино можно получить из фигур пентамино , приставляя к ним различными способами ещё один квадрат .
	Фигуры	тримино можно получить из единственной фигуры домино , приставляя к ней различными способами ещё один квадрат .
	Хорда	.
	Хорду	, проходящую через центр окружности , называют диаметром .
	Целая	часть смешанной дроби .
	Целую	часть писали над дробью .
	Центр	окружности .
	Четырехугольник	.
	Четырёхугольник	, все стороны которого равны , называют ромбом .
	Четырёхугольник	ABCD , изображена фигура , не являющаяся четырёхугольником , в дальнейшем такие фигуры рассматриваться не будут .
	Четырёхугольник	, у которого все углы прямые , называют прямоугольником .
	Четырёхугольники	ABCD и KLMN равны , так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по прямой m .
	Четырёхугольники	.
	Числа	взаимно обратные .
	Числа	3 и 4 называют множителями .
	Числа	иногда удобно обозначать буквами латинского алфавита ( см. форзац ) .
	Числа	можно сравнивать при помощи натурального ряда .
	Числа	простые .
	Числа	от 1 до 9 записывали так .
	Числа	взаимно простые .
	Числа	от 1 до 21 обозначают так .
	Числа	удобно представлять точками прямой .
	Числа	, не имеющие общих простых делителей , называют взаимно простыми числами .
	Числа	рациональные .
	Числа	разделите : а ) на 3 ; б ) на 1/3 .
	Числа	составные .
	Числа	5 и 3 называют слагаемыми .
	Числа	, которые используют при подсчёте предметов , называют натуральными числами .
	Числа	20 , 30 , 40 , 50 разделите : а ) на 4 ; б ) на 1/4 .
	Числитель	дроби .
	Число	3 показывает , сколько раз нужно взять множителем основание степени — число 2 .
а )	Число	уменьшили на этого числа , получилось 210 .
	Число	трёх- и пятирублёвых монет составляет 2/9 числа рублёвых монет .
	Число	« три » они называли « два и один » , число « четыре » — « два и два » , число « пять » — « два , два и один » , число « шесть » — « два , два и два » .
	Число	мальчиков составляет 3/8 числа девочек .
	Число	345 записывалось так .
	Число	называется средним арифметическим чисел а и b .
а )	Число	2 умножили на некоторую правильную дробь .
Найдите :	Число	12 321 делится на 111 .
	Число	нуль также целое , но не положительное .
	Число	2 простое — обведём его кружком , а все числа , кратные ему ( они стоят во втором , четвёртом и шестом столбцах ) , вычеркнем .
	Число	, которое можно записать в виде где р и q — натуральные числа , называют рациональным числом .
	Число	р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
	Число	54 имеет делители 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 , 27 , 54 .
	Число	12 имеет делители 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 .
а )	Число	а имеет простые делители .
	Число	50 увеличили в 3 раза , полученное число увеличили на 100 .
	Число	14 не делится нацело на 3 , так как нет натурального числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
	Число	375 не делится на 9 , так как сумма его цифр не делится на 9 .
	Число	7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
	Число	, не делящееся на 2 , называют нечётным .
	Число	, делящееся на 2 , называют чётным .
	Число	, большее нуля , называют положительным .
	Число	137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
	Число	52 не делится на 5 , потому что сумма числа 50 , делящегося на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
	Число	2305 оканчивается цифрой 5 , оно делится на 5 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 5 ( по свойству 3 ) .
	Число	тысяч — 14 — меньше 36 .
	Число	4561 не делится на 10 , потому что сумма числа 4560 , делящегося на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
	Число	123 454 321 делится на 11 111 .
а )	Число	12 сначала увеличили в 2 раза , полученный результат увеличили ещё в 3 раза .
	Число	4 можно записать в виде суммы , разности , произведения , частного , степени или другими способами .
	Число	200 увеличили на 1/10 этого числа , полученный результат уменьшили .
	Число	а называют уменьшаемым , число b — вычитаемым .
	Число	, делящееся на 12 , называют кратным числу 12 .
	Число	136 оканчивается цифрой 6 , оно делится на 2 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 2 ( по свойству 3 ) .
	Число	и его половина составляют 9 .
	Числу	12 кратны числа 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 и т .
	Шар	.
Эти умения будут использоваться не только в 5–6 классах , но и при изучении	алгебры	, физики и других школьных предметов в старших классах .
Здесь не сказано , сколько палочек разламывали на части каждый раз и на сколько именно частей , поэтому перебор всех возможных	вариантов	довольно сложен .
При измерении площадей чаще всего используют приближённые значения	величин	.
Чему равна сумма	величин	углов 1 и 3 ?
Глава 2 Измерение	величин	.
Чему равна сумма	величин	углов 3 и 2 ?
Чему равна сумма	величин	смежных углов ? .
Решая геометрические задачи , вы будете встречать знакомые предметы окружающего вас мира , познакомитесь с различными единицами измерения	величин	, с формулами , знание которых поможет вам не только успешно учиться , но и решать практические задачи .
Одна и та же	величина	в разных единицах выражается разными числами .
д. , называют	величинами	.
С помощью транспортира постройте угол	величиной	100 ° .
Измерьте длину отрезка LN и	величину	угла L .
Теперь рассмотрим задачи , для решения которых некоторую	величину	надо принять за одну или несколько равных частей .
Определите на глаз	величину	угла .
Сумма показывает , на сколько километров в час удаляются пешеходы друг от друга , эту	величину	называют скоростью удаления .
а ) Какую	величину	на Руси измеряли вёдрами ? .
Постройте развёртку спичечного коробка на альбомном листе в натуральную	величину	.
Рассмотрим задачу , в которой явно упоминаются части ( равные ) некоторой	величины	.
Данные	величины	запишите с точностью до 1 кг : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Однако известно , при этом	величины	5 см и 6 см отличаются от AB не более чем на 1 см. Их называют приближениями или приближёнными значениями длины AB с точностью до 1 см .
Сложите	величины	.
Данные	величины	запишите с точностью до 1 дм с недостатком ; с избытком ; с округлением по образцу .
Определите	величины	этих углов , если один из них : а ) в 5 раз больше другого ; б ) на 40″ больше другого .
Для обозначения	величины	пишут число , а рядом — название единицы .
Нижнюю и	верхнюю грани	называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней , рёбер и	вершин	? .
У прямоугольного параллелепипеда шесть граней , двенадцать рёбер и восемь	вершин	.
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной	вершине	, называют его длиной , шириной и высотой .
Что называют углом ,	вершиной	угла , сторонами угла ? .
Точку В называют	вершиной	угла , лучи ВА и ВС — его сторонами .
Назовите все лучи с	вершиной	в точках А , В и С. Сколько лучей получилось ? .
За сколько дней она поднимется на	вершину	столба высотой 8 м ? .
Иногда для краткости угол обозначают одной буквой , обозначающей	вершину	угла .
Из	вершины	угла проведите луч так , чтобы один из образовавшихся углов был : а ) в 4 раза больше другого ; б ) на 20 ° больше другого .
Назовите его грани , рёбра и	вершины	.
Обозначьте его	вершины	буквами .
Назовите все его стороны и	вершины	.
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d ) выпуклого многоугольника , выходящих из одной его	вершины	, от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Дана окружность , постройте равносторонний треугольник ,	вершины	которого лежат на этой окружности .
В многоугольнике звенья ломаной называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их	вершины	вершинами многоугольника .
Отрезок , соединяющий две несоседние	вершины	многоугольника , называют диагональю многоугольника .
Там же хранится изготовленная из специального сплава гиря ,	вес	которой принят за основную единицу веса — килограмм .
Если 1 кг сахара рассыпать поровну в четыре пакета , то каждый из них будет иметь	вес	, равный четверти килограмма .
Из пакета с картофелем ,	вес	которого 3 кг , отсыпали 1 кг .
Напомним , что в повседневной жизни слово « масса » заменяют словом «	вес	» .
В том же 1792 году Парижская академия наук предложила в качестве единой меры веса использовать	вес	одного кубического дециметра воды при температуре 4 ° С — килограмм .
В повседневной жизни слово « масса » заменяют словом «	вес	» .
Например , говорят : «	вес	яблока 100 граммов » вместо « масса яблока 100 граммов » .
Поэтому в задачах мы будем чаще писать «	вес	» вместо « масса » .
Определите	вес	каждого металла в отдельности .
Если буханку хлеба весом 1 кг разрезать на три равные по весу части — каждая по трети килограмма 1/3 кг , то две такие части будут иметь	вес	, равный двум третьим килограмма .
Яблоки составляют 7 частей , груши — 4 части , а сливы — 5 частей	веса	сухофруктов .
Яблоки составляют 4 части , груши — 3 части , а сливы — 2 части общего	веса	сухофруктов .
В том же 1792 году Парижская академия наук предложила в качестве единой меры	веса	использовать вес одного кубического дециметра воды при температуре 4 ° С — килограмм .
Основу системы мер	веса	и денег в Древнем Вавилоне составлял 1 талант ; его делили на 60 мин , а мину — на 60 шекелей .
Там же хранится изготовленная из специального сплава гиря , вес которой принят за основную единицу	веса	— килограмм .
Корона весит 60 мин ( греческая мера	веса	и денег ) и состоит из сплава золота , меди , олова и железа .
Золото и медь составляют , золото и олово , золото и железо общего	веса	.
Когда контролёры проверили его весы , то оказалось , что при	весе	800 г они показывали ровно 1 кг .
Как с помощью чашечных	весов	без гирь определить фальшивую монету : а ) за одно взвешивание , если монет 3 ; б ) за два взвешивания , если монет 9 ; в ) за три взвешивания , если монет 27 ? .
Эти старинные названия мер длины , а также и старинные названия мер	весов	встречаются во многих пословицах , поговорках и образных выражениях : ни пяди земли ; мерить на свой аршин ; косая сажень в плечах ; съесть пуд соли ; фунт лиха ; мал золотник , да дорог ; ты от дела на пяденьку , а оно от тебя на саженьку .
В городе Севре ( Франция ) в Международном бюро мер и	весов	в специальном помещении , где поддерживается температура 0 ° С , на специальных подставках лежит стержень .
В XVI – XVII веках на Руси установилась система мер длин и	весов	( см. форзац ) , которой пользовались до 1918 года , когда была введена метрическая система мер .
а ) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержит кусок сплава	весом	350 г ? .
Если буханку хлеба	весом	1 кг разрезать на три равные по весу части — каждая по трети килограмма 1/3 кг , то две такие части будут иметь вес , равный двум третьим килограмма .
Если буханку хлеба весом 1 кг разрезать на три равные по	весу	части — каждая по трети килограмма 1/3 кг , то две такие части будут иметь вес , равный двум третьим килограмма .
Когда контролёры проверили его	весы	, то оказалось , что при весе 800 г они показывали ровно 1 кг .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь	возводят	в степень .
До начала	вращения	шестерёнок соприкасающиеся зубцы пометили мелом .
Например , время движения поезда сравнивают с временем движения стрелки часов , которое , в свою очередь , сравнивают с временем	вращения	Земли вокруг своей оси .
Задайте формулой зависимость d от n . а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d )	выпуклого многоугольника	от числа его сторон ( n ) .
а ) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( d )	выпуклого многоугольника	, выходящих из одной его вершины , от числа сторон этого многоугольника ( n ) .
Упростите числовое	выражение	.
Используя четыре цифры 3 , знаки арифметических действий и скобки , составьте числовое	выражение	, равное .
Дано	выражение	.
Составьте	выражение	для вычисления периметра прямоугольника со сторонами .
Используя четыре цифры 8 , знаки арифметических действий и скобки , составьте числовое	выражение	, равное .
Например ,	выражение	не имеет смысла .
Прочитайте	выражение	, используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , « куб числа » .
Укажите порядок действий и упростите числовое	выражение	.
Решите задачу , составив числовое	выражение	.
Числовое	выражение	.
Для решения той же задачи можно составить числовое	выражение	, вынести общий множитель 3 за скобки .
Докажите , что	выражение	делится на 49 .
Что называют числовым	выражением	? .
Запись , в которой используются только числа , знаки арифметических действий и скобки , называют числовым	выражением	.
Заметим , что последнее по порядку действие в числовом	выражении	определяет название числового выражения .
Если в числовом	выражении	требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление , то эти действия выполняют но порядку слева направо .
2 ) Если в числовом	выражении	есть скобки , то сначала выполняют все действия в скобках , а потом за скобками .
Если в числовом	выражении	есть степень с натуральным показателем , то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий .
Если в числовом	выражении	требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Используя три цифры 5 , знаки арифметических действий и скобки , составьте несколько	выражений	, имеющих различные значения .
При вычислении значений числовых	выражений	, содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
Для правильного упрощения числовых	выражений	мало знать правила выполнения отдельных действий .
Укажите , какое из следующих	выражений	определяет число деталей , изготовляемых : а ) первым рабочим за 4 ч ; б ) вторым рабочим за 4 ч ; в ) двумя рабочими за 1 ч ; г ) двумя рабочими за 4 ч .
Этим часто пользуются для упрощения	выражений	.
Про какие числовые	выражения	говорят , что они не имеют смысла ? .
Запишите в двоичной системе нумерации числовые	выражения	.
Про числовые	выражения	, которые содержат деление на нуль , говорят , что они не имеют смысла .
По каким правилам упрощают числовые	выражения	, записанные без скобок ? .
Что можно узнать , вычислив значение числового	выражения	.
б ) Какое натуральное число а можно взять , чтобы значение данного	выражения	было дробью со знаменателем 13 ?
Например , найдём значение числового	выражения	.
а ) Каким натуральным числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого	выражения	? .
а ) Каким числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти значение этого	выражения	? .
б ) Какое число а можно взять , чтобы значение данного	выражения	было равно нулю ? .
Числовые	выражения	могут быть сложными .
Заметим , что последнее по порядку действие в числовом выражении определяет название числового	выражения	.
постепенное выполнение действий и приведение числового	выражения	к наиболее простой форме — числу , нередко требует серьёзных усилий .
Числовые	выражения	.
Например , укажем порядок действий в двух	выражениях	.
Эти старинные названия мер длины , а также и старинные названия мер весов встречаются во многих пословицах , поговорках и образных	выражениях	: ни пяди земли ; мерить на свой аршин ; косая сажень в плечах ; съесть пуд соли ; фунт лиха ; мал золотник , да дорог ; ты от дела на пяденьку , а оно от тебя на саженьку .
В числовых	выражениях	принято опускать скобки , но подразумевать их .
Особого внимания требует порядок выполнения действий в числовых	выражениях	, в которых имеются ( или подразумеваются ) скобки .
Если основание а и	высота	b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Площадь пола комнаты 16м2 ,	высота	комнаты 2 м .
Площадь прямоугольника 91 см2 , а его	высота	7 см. Определите основание прямоугольника .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а	высота	— 2 линейным единицам .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и	высота	— измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Объём комнаты 48 м3 , а	высота	3 м .
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда , длина которого 45 см , ширина 30 см , а	высота	25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Площадь пола комнаты 24 м2 ,	высота	комнаты 3 м .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и	высота	которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а ) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд .
Вычислите объём классной комнаты в литрах , если её ширина 6 м , длина 8 м , а	высота	3 м .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и	высота	) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если основание и	высота	прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда , площадь основания и	высота	которого равны : а ) 136 см2 , 5 см ; б ) 298 см2 , 4 см ; в ) 154 см2 , 8 см ; г ) 91 см2 , 19 см . а )
Если длина , ширина и	высота	прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Две другие стороны называют	высотами	, они тоже равны и параллельны .
Аэроплан шёл на	высоте	250 м и преодолел всё расстояние за 3 ч 30 мин .
Прямоугольник с основанием а 3 см и	высотой	b 5 см. Его можно разрезать на 5 слоёв по 3 квадрата в каждом слое , т .
За сколько дней она поднимется на вершину столба	высотой	8 м ? .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его длиной , шириной и	высотой	.
Найдите	высоту	прямоугольника .
его длину увеличить в 4 раза , а ширину и	высоту	уменьшить в 2 раза ? .
Третье ребро разделим на три равные части ; две из них составляют	высоту	параллелепипеда .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на	высоту	.
Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на	высоту	.
Найдите	высоту	комнаты .
б ) Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда , зная длину , ширину и	высоту	? .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на	высоту	.
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а	высоту	— в 4 раза ; г )
Периметр прямоугольника 36 дм , основание на 6 см больше	высоты	.
Периметр прямоугольника равен 54 см , основание на 5 см больше	высоты	.
а ) Периметр прямоугольника равен 48 см , основание на 4 см больше	высоты	.
На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил загадкой : « Если сложить день и номер месяца моего рождения , то получится 20 ; если из дня рождения	вычесть	номер месяца рождения , то получится 14 ; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900 , то получится год моего рождения » .
В дальнейшем будут введены новые числа — отрицательные , с помощью которых можно будет из меньшего числа	вычесть	большее .
Изучаемые нами дроби не позволяют из меньшей дроби	вычесть	большую .
Говорят : из 2	вычесть	9 нельзя , занимаем 1 десяток , из 12 вычтем 9 — получим 3 ( единицы ) , пишем 3 , из 6 вычтем 0 — получим 6 ( десятков ) , пишем 6 .
Найдите уменьшаемое и	вычитаемое	.
в ) если уменьшаемое и	вычитаемое	делятся на 3 , то и разность делится на 3 ? .
В равенстве назовите уменьшаемое ,	вычитаемое	, разность .
Число а называют уменьшаемым , число b —	вычитаемым	.
Разностью двух дробей называют дробь , которая в сумме с	вычитаемым	даёт уменьшаемое .
На доске были записаны верно выполненные примеры на сложение и	вычитание	, потом некоторые цифры стёрли и заменили их буквами .
Сложение и	вычитание	чисел столбиком .
Вот несколько примеров на сложение ,	вычитание	и умножение в двоичной системе .
Обычно сложение и	вычитание	выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда единиц .
Выполните	вычитание	.
Выполните	вычитание	и проверьте сложением .
Объясните на примере , как выполняют сложение и	вычитание	столбиком .
Выполните	вычитание	по образцу .
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить	вычитание	.
Перепишите в тетрадь и выполните	вычитание	.
Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными , то	вычитание	выполняют так же , как и выше .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то	вычитание	целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение ,	вычитание	, умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и	вычитание	( слева направо ) .
Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и	вычитание	или только умножение и деление , то эти действия выполняют но порядку слева направо .
Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то	вычитание	по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
Если при	вычитании	в каком - либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого , то нужно « занять » одну единицу в следующем ( справа налево ) разряде уменьшаемого .
Какие законы используют при сложении и	вычитании	столбиком ? .
При сложении и	вычитании	однозначных чисел удобно пользоваться таблицей сложения .
Тот , кто умел быстро и безошибочно делить , считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению ,	вычитанию	и таблице умножения .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило	вычитания	дробей с общим знаменателем .
К выбору действия сложения или	вычитания	для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « на 10 больше » не всегда требуют сложения .
Результаты сложения и	вычитания	однозначных чисел надо помнить наизусть .
В других случаях правило	вычитания	не применяется .
Для	вычитания	и деления переместительный закон не выполняется , поэтому промежуточный результат надо запомнить ( записать ) .
С помощью сложения и	вычитания	решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного на несколько единиц , ответить на вопросы « на сколько больше ? » , « на сколько меньше ? » , « сколько всего ? » , « сколько осталось ? » и т .
Как проверить результат	вычитания	двух дробей ? .
Рассмотрим примеры	вычитания	меньшего числа из большего .
Решение текстовых задач с помощью сложения и	вычитания	.
Дроби с разными знаменателями можно	вычитать	по формуле .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и	вычитать	.
а ) Как	вычитают	дроби с общим знаменателем ? .
Как	вычитают	дроби с разными знаменателями ? .
Многозначные числа складывают и	вычитают	но разрядам , используя переместительный , сочетательный и распределительный законы .
Как	вычитают	смешанные дроби ? .
Например ,	вычтем	из дроби дробь .
Пусть меньшее из этих двух чисел он	вычтет	из большего числа , зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр .
в ) Из числа 9999	вычтите	произведение чисел 999 и 9 . г ) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз .
Для более точного измерения углов используют доли	градуса	: минуты « ' » и секунды « ″ » .
г ) Какую часть	градуса	составляет одна минута ? .
Углы измеряют в	градусах	.
Для измерения углов в	градусах	пользуются транспортиром .
Его половина прямой угол — содержит 90	градусов	.
Считается , что развёрнутый угол содержит 180	градусов	.
Сколько	градусов	содержит развёрнутый угол , прямой угол ? .
Вычислите площадь всех	граней	и объём прямоугольного параллелепипеда , рёбра которого равны .
сумму площадей боковых	граней	.
сумму площадей всех его	граней	. б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
У прямоугольного параллелепипеда шесть	граней	, двенадцать рёбер и восемь вершин .
Определите объём и сумму площадей всех	граней	получившегося куба .
Сколько у прямоугольного параллелепипеда	граней	, рёбер и вершин ? .
Определите объём и сумму площадей всех	граней	получившегося прямоугольного параллелепипеда .
Вычислите площадь всех	граней	и объём куба с ребром .
Какое число изображено на : а ) нижней	грани	; б ) боковой грани слева ; в ) боковой грани сзади ? .
Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см. У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань ; только две	грани	; три грани ? .
Какое число изображено на : а ) нижней грани ; б ) боковой	грани	слева ; в ) боковой грани сзади ? .
Какое число изображено на : а ) нижней грани ; б ) боковой грани слева ; в ) боковой	грани	сзади ? .
Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см. У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань ; только две грани ; три	грани	? .
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные	грани	— боковыми гранями .
Назовите его	грани	, рёбра и вершины .
Нижнюю и верхнюю	грани	называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми гранями .
Каждая	грань	— прямоугольник .
Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см. У скольких маленьких кубиков окрашена только одна	грань	; только две грани ; три грани ? .
Снизу , сверху и с боков он ограничен	гранями	.
Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного параллелепипеда , остальные грани — боковыми	гранями	.
На гранях куба написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных	гранях	равна семи .
Какие числа изображены на нижних	гранях	кубиков ? .
На	гранях	куба написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи .
Эти	группы	называют классами .
Чтобы прочитать многозначное число , цифры в его записи разбивают справа налево на	группы	по три цифры в каждой .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата , имеющего такой же периметр , что и	данный	прямоугольник .
Система счисления	двоичная	.
В электронно - вычислительных машинах используется	двоичная	система счисления , в которой всего две цифры : 0 и 1 .
Запишите в	двоичной	системе нумерации числовые выражения .
Проверьте , что в	двоичной	системе нумерации справедливы равенства .
Вот несколько примеров на сложение , вычитание и умножение в	двоичной	системе .
Таблицы сложения и умножения для однозначных чисел в	двоичной	системе счисления очень просты .
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените	деление	умножением на дробь , обратную делителю .
При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить	деление	на 10 или 100 соответственно .
Выполните	деление	по образцу .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение ,	деление	) , то сначала выполняют умножение и деление ( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Про числовые выражения , которые содержат	деление	на нуль , говорят , что они не имеют смысла .
Умножение и	деление	смешанных дробей .
Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и	деление	, то эти действия выполняют но порядку слева направо .
помощью распределительного закона можно коротко выполнить	деление	смешанной дроби на натуральное число .
Объясните , как выполнено	деление	.
В старину на Руси творили : « Умноженье — моё мученье , а	деление	— беда » .
Такое	деление	записывают обычно короче — уголком .
Для однозначных и двузначных чисел	деление	, как правило , производится в уме , а для многозначных — уголком .
Выполните	деление	с остатком .
Выполните	деление	.
На доске написано несколько примеров на	деление	с остатком .
Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий ( сложение , вычитание , умножение , деление ) , то сначала выполняют умножение и	деление	( слева направо ) , а затем сложение и вычитание ( слева направо ) .
Выполните	деление	правильно .
Ученик выполнил	деление	: 8 ( ост .
Выполните	деление с остатком	.
На доске написано несколько примеров на	деление с остатком	.
После того как найдена « середина » в ряду делителей , остальные делители найдём	делением	.
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с	делением	шкалы , то можно указать два деления , между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с	делением	шкалы — например , 5 , то говорят , что длина отрезка AВ равна 5 см .
В первый класс включим все числа , имеющие остаток 0 при	делении	на 2 .
Так как при	делении	натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на два класса , содержащих бесконечно много чисел .
Во второй класс включим все числа , имеющие при	делении	на 2 остаток 1 .
Что получается при	делении	нуля на любое натуральное число ?
Так как при	делении	натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка , то множество всех натуральных чисел можно разбить на 3 класса .
При	делении	на 3 числа первого класса имеют остаток 0 , числа второго класса — остаток 1 , числа третьего класса — остаток 2 .
Какой наименьший остаток может получиться при	делении	натуральных чисел ? .
Чему равен остаток при	делении	нацело ? .
При	делении	на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно .
Какое наименьшее число при	делении	и на 3 , и на 5 , и на 7 даёт в остатке : а ) 0 ; б ) 1 ; в ) 2 ? .
При	делении	нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что делить на нуль нельзя .
Какие остатки получаются при	делении	натуральных чисел : а ) на 2 ; 6 ) на 3 ; в ) на 4 ; г ) на 7 ? .
Какой наибольший остаток может получиться при	делении	натуральных чисел ? .
Если же точка B оказалась бы ближе к	делению	5 , то мы сказали бы , что длина отрезка AB приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см .
Так как точка B расположена ближе к	делению	6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
Приведите пример	деления	с остатком , назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от	деления	числителя на знаменатель .
Решение текстовых задач с помощью умножения и	деления	.
Разбейте множество натуральных чисел на классы по остаткам от	деления	на 3 ; 4 ; 7 .
С помощью умножения и	деления	решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного в несколько раз , ответить на вопросы « во сколько раз больше ? » , « во сколько раз меньше ? » и т .
В самом деле , если числитель дроби р делится на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от	деления	р на q .
Какой остаток получится от	деления	числа ? .
К выбору умножения и	деления	для решения задачи надо подходить очень внимательно , так как , например , слова « в 3 раза больше » не всегда требуют умножения .
Вообще , средним арифметическим нескольких чисел называют частное от	деления	суммы этих чисел на число слагаемых .
Черту в записи дроби можно рассматривать как знак	деления	числителя на знаменатель .
Если , приложив шкалу сантиметровой линейки к отрезку AВ так , что точка 0 совпадёт с точкой A , окажется , что точка В не совпадает с делением шкалы , то можно указать два	деления	, между которыми находится точка В , — например , 5 и 6 .
Скобки , в которые заключено одно действие умножения или	деления	, принято для краткости опускать .
Принято считать , что в записях вида дроби также означает знак	деления	.
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от	деления	числителя на знаменатель .
Теперь необходимо разделить остаток от	деления	сотен — 2 сотни и десятки — 8 десятков , т .
Это число называют неполным частным от	деления	14 на 3 , а число 2 — остатком .
В записях , в которых черта дроби используется несколько раз , знак ставится у черты дроби , означающей последнее по порядку действие	деления	.
Результат	деления	14 на 3 записывают .
Для вычитания и	деления	переместительный закон не выполняется , поэтому промежуточный результат надо запомнить ( записать ) .
С помощью умножения и	деления	дробей можно решать задачи на нахождение части целого и целого по его части .
Остаётся разделить остаток от	деления	десятков ( 28 ) и единицы ( 8) , т .
Здесь 7 — неполное частное от	деления	38 на 5 , а 3 — остаток .
Приведите пример	деления с остатком	, назовите делимое , делитель , неполное частное , остаток .
Основу системы мер веса и денег в Древнем Вавилоне составлял 1 талант ; его	делили	на 60 мин , а мину — на 60 шекелей .
Чтобы перемножить , например , 537 и 82 , индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки ( по числу цифр в записи множителей ) , подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо , цифры второго числа снизу вверх ; клетки прямоугольника	делили	диагоналями .
В следующих записях замените буквы цифрами так , чтобы полученные числа	делились	на 3 .
Какую цифру нужно поставить вместо звездочки , чтобы полученное число	делилось	на 9 .
Можно ли с помощью цифр 1 , 2 , 5 , 6 ( без повторения ) составить трёхзначное число , которое	делилось	бы .
В каждом примере	делимое	стёрли и заменили буквой .
Назовите	делимое	, делитель и частное в примере .
Назовите	делимое	и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Приведите пример деления с остатком , назовите	делимое	, делитель , неполное частное , остаток .
Вычислите , записав	делимое	в виде суммы , по образцу .
Найдите	делимое	.
Отметим важное свойство частного :	делимое	и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Частным двух дробей называют дробь , которая при умножении на делитель даёт	делимое	.
При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить	делимое	и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен	делимому	, а знаменатель — делителю .
При этом пишут и называют а —	делимым	, b — делителем , с — частным .
На сколько частей прямая	делит	плоскость ? .
Точка A , лежащая на прямой ,	делит	её на две части .
Убедитесь , что прямая MN	делит	отрезок АВ пополам .
Луч ОС	делит	развёрнутый угол AОВ на два смежных угла ABC и ВОС так , что угол ABC в 3 раза больше угла ВОС .
Луч ОС	делит	развёрнутый угол AОВ на два смежных угла AОС и ВОС так , что угол ABC на 30 ° больше угла ВОС .
Разложить данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых	делителей	или их степеней .
Дробь называют несократимой , если её числитель и знаменатель не имеют общих простых	делителей	.
Для этого надо взять каждый из простых	делителей	числа 90 , их всевозможные произведения , содержащие не больше одного множителя 2 , двух множителей 3 и одного множителя 5 .
Числа , не имеющие общих простых	делителей	, называют взаимно простыми числами .
Сначала перебираем все делители числа 18 до тех пор , пока произведение двух соседних	делителей	не даст 18 .
После того как найдена « середина » в ряду	делителей	, остальные делители найдём делением .
Если делитель — простое число , то его называют простым	делителем	.
При этом пишут и называют а — делимым , b —	делителем	, с — частным .
Наибольшим общим	делителем	чисел 12 и 54 является число 6 .
а ) Что называют делителем натурального числа ; простым	делителем	натурального числа ? .
а ) Что называют	делителем	натурального числа ; простым делителем натурального числа ? .
Другие	делители	найдём , составляя различные произведения из этих простых делителей .
Число 12 имеет	делители	1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 .
В разложении чисел 180 и 336 подчёркнуты все их общие	делители	, поэтому НОД ( 180 , 336 ) 12 .
Наибольший общий	делители	взаимно простых чисел равен 1 .
б ) делится на все	делители	этих чисел .
Найдите все	делители	чисел 45 и 60 .
Используя этот приём , найдите все	делители	числа .
Получатся все	делители	числа 90 .
После того как найдена « середина » в ряду делителей , остальные	делители	найдём делением .
а ) Число а имеет простые	делители	.
Найдите все общие	делители	чисел 45 и 60 .
Укажите все	делители	числа .
Сначала перебираем все	делители	числа 18 до тех пор , пока произведение двух соседних делителей не даст 18 .
Выполняя предыдущее задание , можно заметить , что	делители	числа 18 обладают интересным свойством .
Запишите в порядке возрастания все	делители	числа .
Найдите все	делители	числа а .
Поэтому искомое число содержит все простые	делители	большего числа 24 ( т . е .
Мы видим , что числа 12 и 54 имеют общие	делители	1 , 2 , 3 , 6 .
б ) делится на все общие	делители	этих чисел .
Укажите все общие	делители	и НОД числителя и знаменателя дроби , затем сократите дробь .
Каждое простое число имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие	делители	.
Все	делители	числа 90 можно получить из разложения числа 90 на простые множители .
Например , число 13 имеет простой делитель 13 , число 4 — простой делитель 2 , а число 12 — простые	делители	2 и 3 .
б ) Чему равен наибольший общий	делитель	чисел 100 !
Наибольший общий	делитель	.
Определите	делитель	.
Если	делитель	— простое число , то его называют простым делителем .
Чему равен наибольший общий	делитель	взаимно простых чисел ? .
Наибольший общий	делитель	чисел а и b обозначают : НОД ( а , b ) .
Например , число 13 имеет простой	делитель	13 , число 4 — простой делитель 2 , а число 12 — простые делители 2 и 3 .
Общий	делитель	.
При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и	делитель	на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно .
Например , число 13 имеет простой делитель 13 , число 4 — простой	делитель	2 , а число 12 — простые делители 2 и 3 .
Назовите делимое ,	делитель	и частное в примере .
Часто наибольший общий	делитель	числителя и знаменателя сразу указать трудно .
Объясните , почему наибольший общий	делитель	двух чисел .
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на наибольший общий	делитель	ее числителя и знаменателя .
Частным двух дробей называют дробь , которая при умножении на	делитель	даёт делимое .
Назовите делимое и	делитель	, дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наибольший общий	делитель	этих чисел равен меньшему из них .
Приведите пример деления с остатком , назовите делимое ,	делитель	, неполное частное , остаток .
Отметим важное свойство частного : делимое и	делитель	можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится .
Заметим , что дробь , обратная	делителю	, поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а знаменатель —	делителю	.
Рассмотрим примеры нахождения наибольшего общего	делителя	.
Каждое простое число имеет только два	делителя	единицу и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
Остаток меньше	делителя	.
Запишите пять натуральных чисел , имеющих	делителями	числа .
Например , число 2300	делится	на 5 , потому что это число делится на 10 , а 10 делится на 5 ( по свойству 2 ) .
в ) сумма	делится	на 13 , где а и с — натуральные числа .
сумма	делится	на 3 , где а , b и с — натуральные числа .
Проверьте ,	делится	ли .
Число 52 не	делится	на 5 , потому что сумма числа 50 , делящегося на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а делится нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не	делится	нацело на b .
Число 2305 оканчивается цифрой 5 , оно	делится	на 5 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 5 ( по свойству 3 ) .
Проверьте ,	делится	ли число .
сумма	делится	на 11 .
Например , число 2300 делится на 5 , потому что это число	делится	на 10 , а 10 делится на 5 ( по свойству 2 ) .
Если число оканчивается цифрой 0 , то оно	делится	на 10 .
Например , число 4560 оканчивается цифрой 0 , его можно представить в виде произведения , которое	делится	на 10 ( по свойству 1 ) .
Число 4561 не	делится	на 10 , потому что сумма числа 4560 , делящегося на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5 , то оно	делится	на 5 .
а ) сумма	делится	на 9 .
4 ) 5 не делится на 3 , но	делится	на 5 .
б ) если каждое из двух слагаемых делится на 5 , то и сумма	делится	на 5 .
Как уже отмечалось в главе 1 , натуральное число а	делится	нацело на натуральное число b , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Если а	делится	на b , то говорят ещё , что а кратно b.
Если один ив множителей	делится	на некоторое число , то и произведение делится на это число .
Если один ив множителей делится на некоторое число , то и произведение	делится	на это число .
Например , 15	делится	на 3 .
Найдите : Число 12 321	делится	на 111 .
Если первое число	делится	на второе , а второе делится на третье , то первое число делится на третье .
Если первое число делится на второе , а второе	делится	на третье , то первое число делится на третье .
Если первое число делится на второе , а второе делится на третье , то первое число	делится	на третье .
Если каждое из двух чисел	делится	на некоторое число , то их сумма и разность делятся на это число .
Если одно из двух чисел	делится	на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не делятся на это число .
Известно , что число а	делится	нацело на число b.
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не	делится	, то их сумма и разность не делятся на это число .
Объясните , почему на 12	делится	произведение .
а ) если каждое из двух слагаемых	делится	на 2 , то и сумма делится на 2 .
Чтобы разделить число а на число b , надо найти частное , если а	делится	нацело на b , или найти неполное частное и остаток , если а не делится нацело на b .
Например , 12	делится	на 4 , следовательно , НОД ( 12 , 4 ) 4 .
а ) если каждое из двух слагаемых делится на 2 , то и сумма	делится	на 2 .
Говорят , что а	делится	на b нацело , если существует натуральное число с , при умножении которого на b получается а .
Если одно из двух чисел	делится	нацело на другое , то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них .
б ) если каждое из двух слагаемых	делится	на 5 , то и сумма делится на 5 .
в ) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3 , то и разность	делится	на 3 ? .
Если число оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , то оно	делится	на 2 .
Число 137 не	делится	на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
Например , число 130 оканчивается цифрой 0 , оно делится на 10 , а 10	делится	на 2 , следовательно , 130 делится на 2 ( по свойству 2 ) .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не	делится	на 3 .
Считается , что если номер года	делится	на 4 ( например , 2012 ) , то год содержит 366 суток .
Определите ,	делится	ли число 111 111 111 111 111 : а ) на 3 ; б ) на 9 .
Назовите наибольшее и наименьшее шестизначное число , которое	делится	на : а ) 2 ; б ) 3 ; в ) 5 ; г ) 9 ; д ) 10 .
Докажите признак делимости на 4 : если две последние цифры числа образуют число , делящееся на 4 , то и само число	делится	на 4 .
Каждое натуральное число р	делится	на 1 и само на себя .
Простым числом называют такое натуральное число , которое больше единицы и	делится	только на 1 и само на себя .
Каждое составное число	делится	на 1 , само на себя и ещё хотя бы на одно натуральное число .
На какие числа	делится	каждое из приведённых ниже чисел ? .
а ) Напишите четырёхзначное число , которое	делится	на 9 .
Напишите четырёхзначное число , которое	делится	на 3 , но не делится на 9 .
Напишите четырёхзначное число , которое делится на 3 , но не	делится	на 9 .
Когда говорят , что натуральное число а	делится	нацело на натуральное число b ? .
Кроме того , число а	делится	на 1 .
Докажите , что если каждое из натуральных чисел а и b	делится	на натуральное число с , то верно равенство .
На какие числа	делится	нацело любое натуральное число ? .
Покажем , как можно разложить число 90 на простые множители . 1 ) 90	делится	на 2 .
2 ) 45 не	делится	на 2 , но делится на 3 .
2 ) 45 не делится на 2 , но	делится	на 3 .
3 ) 15	делится	на 3 .
4 ) 5 не	делится	на 3 , но делится на 5 .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках	делится	на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Например , число 130 оканчивается цифрой 0 , оно	делится	на 10 , а 10 делится на 2 , следовательно , 130 делится на 2 ( по свойству 2 ) .
Сумма цифр числа 679 , равная , не делится на 3 , и само число не	делится	на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также	делится	на 3 .
Любое натуральное число а	делится	на 1 и само на себя .
Например , число 130 оканчивается цифрой 0 , оно делится на 10 , а 10 делится на 2 , следовательно , 130	делится	на 2 ( по свойству 2 ) .
Если одно число делится нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно	делится	с остатком , равным нулю .
Например , 12	делится	на 1 и на 12 .
Число 136 оканчивается цифрой 6 , оно	делится	на 2 , так как его можно записать в виде суммы чисел , делящихся на 2 ( по свойству 3 ) .
Если одно число	делится	нацело на другое , то иногда удобно считать , что оно делится с остатком , равным нулю .
Если сумма цифр числа	делится	на 9 , то и само число делится на 9 .
Если сумма цифр числа делится на 9 , то и само число	делится	на 9 .
Например , сумма цифр 18 числа 7245	делится	на 9 .
Число 7245	делится	на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках	делится	на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 ( по свойству 3 ) .
Число 7245 делится на 9 , потому что его можно представить в виде суммы , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также	делится	на 9 ( по свойству 3 ) .
Число 375 не	делится	на 9 , так как сумма его цифр не делится на 9 .
Число 375 не делится на 9 , так как сумма его цифр не	делится	на 9 .
Это можно доказать следующим образом , где сумма в первых скобках	делится	на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — не делится на 9 ( по свойству 4 ) .
Это можно доказать следующим образом , где сумма в первых скобках делится на 9 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — не	делится	на 9 ( по свойству 4 ) .
Если сумма цифр числа	делится	на 3 , то и само число делится на 3 .
Если сумма цифр числа делится на 3 , то и само число	делится	на 3 .
Например , у числа 375 сумма цифр	делится	на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само	делится	на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Например , у числа 375 сумма цифр делится на 3 и оно само делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках	делится	на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3 .
Сумма цифр числа 679 , равная , не	делится	на 3 , и само число не делится на 3 , потому что , где сумма в первых скобках делится на 3 , а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3 .
Число 14 не	делится	нацело на 3 , так как нет натурального числа , при умножении которого на 3 получится 14 .
Например , число 2300 делится на 5 , потому что это число делится на 10 , а 10	делится	на 5 ( по свойству 2 ) .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не	делится	нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
б )	делится	на все общие делители этих чисел .
Докажите , что выражение	делится	на 49 .
Для этого найдём число , которое	делится	на 8 и на 3 , например 24 .
Докажите , что сумма всех чисел любого магического квадрата 3 x 3	делится	на 3 .
В самом деле , если числитель дроби р	делится	на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби	делится	на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Напомним , что если числитель дроби	делится	на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Любую неправильную дробь , числитель которой не	делится	нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Число 123 454 321	делится	на 11 111 .
Например , 120	делится	нацело на 24 , следовательно , НОК ( 120 , 24)= 120 .
б )	делится	на все делители этих чисел .
Будем выписывать числа , кратные 24 ( большему из данных чисел ) , проверяя ,	делится	ли каждое из них на 18 .
Если одно из двух чисел	делится	нацело на другое , то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них .
48 не делится на 18 , 72 —	делится	на 18 , поэтому НОК ( 24 , 18 ) — 72 .
48 не	делится	на 18 , 72 — делится на 18 , поэтому НОК ( 24 , 18 ) — 72 .
24 — не	делится	на 18 .
Любое натуральное число а	делить	на нуль нельзя , потому что не существует такого числа с , для которого выполнялось бы равенство .
Будем	делить	на 36 число сотен — 146 .
Можно ли	делить	на нуль ? .
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль : потому что	делить	на нуль нельзя .
Три дома нельзя было	делить	, их взяли старшие три брата .
Можно ли	делить	.
Мы уже знаем , почему нельзя число	делить	на нуль .
Тот , кто умел быстро и безошибочно	делить	, считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению , вычитанию и таблице умножения .
Удивились казаки : как это табунщик будет	делить	лошадей пополам ?
Но в этом случае частным могло бы быть любое число с. Поэтому считают , что нуль на нуль	делить	нельзя .
Разложим числа 24 и 18 на простые множители : НОК ( 24 , 18 ) должно	делиться	и на 24 , и на 18 .
Может ли оно не	делиться	на 3 ? .
На сколько частей	делят	плоскость две прямые , если они : а ) пересекаются ; б ) параллельны ? .
Эти лучи тоже	делят	плоскость на две части , каждую из которых называют развёрнутым углом .
Два различных луча ВА и ВС с общим началом В. Они	делят	плоскость на две части , называемые углами .
Как умножают и	делят	смешанные дроби ? .
Две точки	делят	окружность на две части , называемые дугами .
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число , то их сумма и разность	делятся	на это число .
Если одно из двух чисел делится на некоторое число , а другое на него не делится , то их сумма и разность не	делятся	на это число .
в ) если уменьшаемое и вычитаемое	делятся	на 3 , то и разность делится на 3 ? .
Напишите все числа от 23 до 46 , которые	делятся	на 5 .
а ) Напишите все числа от 15 до 95 , которые	делятся	на 10 . б )
Напишите все числа от 51 до 73 , которые	делятся	на 2 .
Какие из чисел	делятся	на 4 ? .
	Делятся	на 4 ? .
Напишите шесть чисел , которые	делятся	.
Какие из чисел 128 , 325 , 500 , 506 , 725 , 905 , 830 , 962 , 750 , 1000 , 1262 , 2440	делятся	на : а ) 2 ; 6 ) 5 ; в ) 2 и 5 ; г ) 10 ?
Какие из полученных чисел	делятся	на 5 .
	Делятся	на 2 .
	Делятся	на 10 .
Так как 365 и 366 не	делятся	нацело на 12 , то дни распределили между месяцами неравномерно : январь , март , май , июль , август , октябрь , декабрь содержат по 31 дню , апрель , июнь , сентябрь , ноябрь — по 30 дней , а февраль содержит 28 дней в обычном году и 29 — в високосном году .
С помощью цифр 2 , 3 , 5 , 7 ( без повторения ) запишите все четырёхзначные числа , которые	делятся	: а ) на 2 ; б ) на 5 .
Число 52 не делится на 5 , потому что сумма числа 50 ,	делящегося	на 5 , и числа 2 , не делящегося на 5 ( по свойству 4 ) .
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 ,	делящегося	на 2 , и числа 7 , не делящегося на 2 ( по свойству 4 ) .
Число 4561 не делится на 10 , потому что сумма числа 4560 ,	делящегося	на 10 , и числа 1 , не делящегося на 10 ( по свойству 4 ) .
Число 137 не делится на 2 , потому что сумма числа 130 , делящегося на 2 , и числа 7 , не	делящегося	на 2 ( по свойству 4 ) .
Найдите координаты точек ,	делящих	отрезок АВ на три равные части .
Число 2305 оканчивается цифрой 5 , оно делится на 5 , так как его можно записать в виде суммы чисел ,	делящихся	на 5 ( по свойству 3 ) .
Число 136 оканчивается цифрой 6 , оно делится на 2 , так как его можно записать в виде суммы чисел ,	делящихся	на 2 ( по свойству 3 ) .
Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из чисел ,	делящихся	на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Вася посчитал , что если каждая девочка посадит по 3	дерева	, а каждый мальчик — по 5 деревьев , то все 30 учащихся класса посадят 122 дерева .
Вася посчитал , что если каждая девочка посадит по 3 дерева , а каждый мальчик — по 5 деревьев , то все 30 учащихся класса посадят 122	дерева	.
Какое	дерево	самое высокое ?
Вася посчитал , что если каждая девочка посадит по 3 дерева , а каждый мальчик — по 5	деревьев	, то все 30 учащихся класса посадят 122 дерева .
Сколько диагоналей в выпуклом : а )	десятиугольнике	; б ) двадцатиугольнике ? .
В России	десятичная	система счисления начала распространяться в XVII веке .
В настоящее время принята десятичная система записи чисел (	десятичная	система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Система счисления	десятичная	.
В настоящее время принята	десятичная	система записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти знаков : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Когда говорят « число оканчивается цифрой » , имеют в виду «	десятичная	запись числа заканчивается цифрой » .
Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в	десятичной	системе .
В 1703 году был издан первый печатный учебник математики — « Арифметика » Л. Ф. Магницкого , в котором все вычисления велись в	десятичной	системе записи чисел .
Особую роль в	десятичной	системе играют числа 10 , 100 , 1000 и т .
Натуральные числа можно сравнивать по их	десятичной	записи .
Первая цифра справа в	десятичной	записи числа называется цифрой первого разряда , вторая цифра справа — цифрой второго ( шарада и т .
Важную роль в	десятичной	системе счисления играет число 10 .
применяли , в сущности ,	десятичную	систему счисления .
Поэтому	десятичную	систему счисления называют позиционной .
единицы : 4 .	десятки	: 13 ( 3 пишем , 1 запоминаем ) .
В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы ,	десятки	и сотни этого класса .
тысячи : 4 .	десятки	тысяч : 4 .
Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен — 2 сотни и	десятки	— 8 десятков , т .
в ) 8 сотен и 6	десятков	.
б ) 5	десятков	тысяч , 9 тысяч , 7 сотен и 4 единиц .
Запишите число , состоящее из . а ) 1 тысячи , 2 сотен , 3	десятков	и 5 единиц .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7	десятков	и 8 единиц .
В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов единиц ,	десятков	, сотен , тысяч , десятков тысяч , сотен тысяч и т .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9	десятков	и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8 единиц .
При этом говорят так : к 5 прибавим 9 — получим 14 , пишем 4 ( единицы ) и 1 ( десяток ) запоминаем , к 4 прибавим 3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 (	десятков	) , пишем 8 .
Говорят : из 2 вычесть 9 нельзя , занимаем 1 десяток , из 12 вычтем 9 — получим 3 ( единицы ) , пишем 3 , из 6 вычтем 0 — получим 6 (	десятков	) , пишем 6 .
Это вычисление можно записать столбиком подробно Обычно пишут короче , запоминая , что в разряд	десятков	добавляется один десяток .
г ) 7 сотен тысяч и 3	десятков	.
В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов единиц , десятков , сотен , тысяч ,	десятков	тысяч , сотен тысяч и т .
Для обозначения	десятков	, сотен и т .
Затем перемножали попарно цифры множителей и результат записывали в соответствующую клетку таблицы так : цифру единиц писали вверху клетки , цифру	десятков	— внизу .
д. не нужны новые значки , так как те же цифры используют и для записи	десятков	, сотен и т .
Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен — 2 сотни и десятки — 8	десятков	, т .
Остаётся разделить остаток от деления	десятков	( 28 ) и единицы ( 8) , т .
28	десятков	, на 36 .
Например , в записи числа 777 первая справа цифра 7 означает семь единиц , вторая — семь	десятков	, третья — семь сотен .
« цифру » единиц ставили до « цифры »	десятков	.
Делим на 7 число	десятков	.
Десять единиц называют десятком , десять	десятков	— сотней , десять сотен — тысячей и т .
Например , запись означает , что это число содержит а тысяч , 5 сотен , b	десятков	и 7 единиц .
Десять единиц называют	десятком	, десять десятков — сотней , десять сотен — тысячей и т .
Это вычисление можно записать столбиком подробно Обычно пишут короче , запоминая , что в разряд десятков добавляется один	десяток	.
При этом говорят так : к 5 прибавим 9 — получим 14 , пишем 4 ( единицы ) и 1 (	десяток	) запоминаем , к 4 прибавим 3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 ( десятков ) , пишем 8 .
Говорят : из 2 вычесть 9 нельзя , занимаем 1	десяток	, из 12 вычтем 9 — получим 3 ( единицы ) , пишем 3 , из 6 вычтем 0 — получим 6 ( десятков ) , пишем 6 .
Единицу они обозначали знаком ,	десяток	, сотню .
Например , в четырёхугольнике ABCD отрезки AC и BD —	диагонали	.
В квадрате 3x3 расставьте числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 так , чтобы сумма чисел в каждой строке , в каждом столбце и на каждой	диагонали	была одинакова .
Отрезок , соединяющий две несоседние вершины многоугольника , называют	диагональю	многоугольника .
Назовите центр , радиус ,	диаметр	окружности .
Отрезки OL , ОА , ОВ радиусы окружности , АВ — её	диаметр	, CD хорда .
Хорду , проходящую через центр окружности , называют	диаметром	.
Сумму	длин	всех звеньев ломаной называют длиной ломаной .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы	длин	двух других отрезков .
При измерении ещё меньших	длин	указывают , какую часть микрона они составляют .
В XVI – XVII веках на Руси установилась система мер	длин	и весов ( см. форзац ) , которой пользовались до 1918 года , когда была введена метрическая система мер .
Сумму	длин	сторон четырёхугольника называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом .
Сумму	длин	всех сторон треугольника называют его периметром .
Сумму	длин	сторон многоугольника называют его периметром .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме	длин	отрезков ; б ) разности длин отрезков .
Длина отрезка AD равна сумме	длин	отрезков АС и CD .
С помощью линейки постройте отрезок , длина которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности	длин	отрезков .
Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки , совместив её нулевую точку 0 с концом отрезка A. Если при этом окажется , что точка В совпадает с делением шкалы — например , 5 , то говорят , что	длина	отрезка AВ равна 5 см .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую длину , но	длина	не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров .
Отрезок ,	длина	которого принята за единицу измерения , называют единичным отрезком .
В каком случае будет больше отходов , если	длина	обоев в куске в обоих случаях 10 м ?
В равностороннем треугольнике	длина	стороны равна .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см ,	длина	отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС .
Какими могут быть	длина	и ширина этого участка ?
С помощью линейки постройте отрезок ,	длина	которого равна : а ) сумме длин отрезков ; б ) разности длин отрезков .
В этом случае точная	длина	отрезка AB осталась неизвестной .
Какова	длина	туннеля ? .
Какова	длина	маршрута ? .
Докажите , что	длина	ломаной АВС больше длины ломаной АDC .
Выразите в арах площадь прямоугольного участка земли ,	длина	и ширина которого .
В рассмотренном примере	длина	отрезка АВ приближённо равна 5 см с недостатком и 6 см с избытком с точностью до 1 см .
Через сколько минут после старта они встретятся , если	длина	дорожки бассейна 25 м и скорости папы и сына равны 14 м / мин и 11 м / мин соответственно ? .
В результате большой работы была найдена	длина	парижского меридиана в существовавших тогда французских мерах длины — туазах ( 1 туаз — 1 м 95 см ) .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением длины отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что	длина	отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
Если же точка B оказалась бы ближе к делению 5 , то мы сказали бы , что	длина	отрезка AB приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см .
В этом случае условились считать , что 6 см есть приближённая	длина	отрезка AB с точностью до 1 см с округлением .
Такие понятия , как	длина	, площадь , объём , масса , время , скорость и т .
С какой скоростью идёт пассажир метро , если	длина	эскалатора 150 м ? .
Пассажир , сидящий во втором поезде , заметил , что первый поезд шёл мимо него 12 с. Какова	длина	первого поезда ? .
Если	длина	, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами а , b и с , то его объем V вычисляется как произведение .
Как называют отрезок ,	длина	которого принята за единицу измерения ? .
Если	длина	и ширина прямоугольника выражены натуральными числами а и b , то его площадь S вычисляется как произведение .
Очевидно , что , поэтому точка 1 находится на координатном луче правее точки , а	длина	отрезка , соединяющего точки 1 и равна .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда (	длина	, ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Например ,	длина	ломаной ABCDE .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 ,	длина	— 4 , а высота — 2 линейным единицам .
б ) Рыболовную леску ,	длина	которой 11 м , разрезали на 4 равные части .
Если на отрезке AB ровно три раза укладывается отрезок длиной дм , то	длина	отрезка AB равна трём четвёртым дециметра : 3/4 ДМ .
Какова	длина	каждой части ? .
Вычислите площадь и периметр прямоугольника ,	длина	и ширина которого равны .
а ) Верёвку ,	длина	которой 20 м , разрезали на 3 равные части .
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда ,	длина	которого 45 см , ширина 30 см , а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку , чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см ? .
Вычислите объём классной комнаты в литрах , если её ширина 6 м ,	длина	8 м , а высота 3 м .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда —	длина	, ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Построить треугольник , длины сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если	длина	каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
а ) Отрезок длиной 1 м разделили на несколько равных частей	длиной	1/10 м .
Железнодорожный состав	длиной	1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин , а через туннель при той же скорости за 3 мин .
а ) Для укладки 100 м труб можно купить трубы	длиной	З м по 38 р .
а ) Отрезок	длиной	1 м разделили на несколько равных частей длиной 1/10 м .
Постройте отрезки	длиной	7 см , 11 см 4 мм , 14 см 6 мм .
Если отрезок	длиной	1 см разделить на две равные части , то каждая из них будет иметь длину , равную половине сантиметра .
а ) За куски ленты	длиной	м и м заплатили 18 р .
в ) От каната	длиной	100 м отрезали 3/4 его длины .
Три ребра прямоугольного параллелепипеда , которые сходятся в одной вершине , называют его	длиной	, шириной и высотой .
за штуку или	длиной	4 м по 50 р .
Так была открыта первая трасса Аэрофлота	длиной	420 км .
Проволоку	длиной	3 м нужно разрезать на куски по 12 см. Сколько таких кусков получится ? .
Сколько таких кусков получится из ленты	длиной	: а ) 1 м ; б ) 3 м ; в ) 11 м ; г ) 17 м ? .
Ленту надо разрезать на равные куски	длиной	м .
Рейка	длиной	147 см разрезана на 4 равные части .
Если на отрезке AB ровно три раза укладывается отрезок	длиной	дм , то длина отрезка AB равна трём четвёртым дециметра : 3/4 ДМ .
Изобразите на координатном луче ( возьмите единичный отрезок	длиной	6 см ) точки О .
Постройте отрезок	длиной	6 см. Отметьте этого отрезка .
Отрез ткани	длиной	15 м разрезали на 5 равных частей .
б ) От мотка телефонного провода	длиной	36 м отмотали его четвёртую часть .
Сумму длин всех звеньев ломаной называют	длиной	ломаной .
Возьмём , например , отрезок	длиной	1 см в качестве единичного .
Найдите	длину	отрезка AB .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 83 см , AС 97 см. Найдите	длину	отрезка ВС. Сколько решений имеет задача ? .
Если отрезок длиной 1 см разделить на две равные части , то каждая из них будет иметь	длину	, равную половине сантиметра .
На луче AM отложили отрезки AB и АС , АС 89 см. Найдите	длину	отрезка ВС , если : а ) AB на 15 см длиннее AС ; б ) AB на 15 см короче АС .
а ) его	длину	увеличить в 2 раза .
Объясните на примере , как измерить	длину	отрезка с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Определите	длину	оставшейся части маршрута , если расстояние от начала маршрута до первой остановки составляет .
его	длину	и ширину увеличить в 2 раза .
Измерьте	длину	и ширину тетради с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением .
Начертите отрезок с концами в этих точках и измерьте приближённо его	длину	.
в ) увеличить его	длину	в 2 раза , а ширину — в 3 раза ? .
Определите на глаз	длину	отрезка : а ) в сантиметрах ; б ) в миллиметрах Проверьте результат с помощью линейки .
б ) Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда , зная	длину	, ширину и высоту ? .
Для этого задают луч , выходящий из точки О в направлении , отмеченном стрелкой , и отрезок ,	длину	которого принимают за единицу .
Он возвышается над землёй на 2 м 30 см. Определите	длину	столба .
Вычислите	длину	прямоугольника , если его ширина равна .
Найдём	длину	отрезка , соединяющего точки а и b , и координату середины этого отрезка .
Если принять	длину	отрезка AB за 1 , то .
а ) Как вычислить площадь прямоугольника , зная	длину	и ширину ? .
В 1792 году Парижская академия паук решила измерить	длину	земного меридиана , проходящего через Париж .
Найдите	длину	стороны квадрата .
Его	длину	тоже называют радиусом .
Пусть задан отрезок AВ ,	длину	которого надо измерить .
Другое ребро куба разделим на две равные части ; одна из них составляет	длину	параллелепипеда .
Например , если 1 км разделить на q равных частей , то каждая часть будет иметь	длину	1 / q км , а р таких частей будут иметь длину p / q км .
Понятно , что всякий отрезок имеет определённую	длину	, но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров .
Найдите	длину	отрезков АВ , ВС , АС .
б ) Определите	длину	отрезка , 3/5 которого равны 15 см . а ) Сыну 10 лет .
Найдите	длину	отрезка АВ .
его	длину	увеличить в 4 раза , а ширину и высоту уменьшить в 2 раза ? .
Принято считать , что слово « сторона » означает не только отрезок , но и его	длину	.
Какой результат в прыжках в	длину	показал Боря ?
Например , если 1 км разделить на q равных частей , то каждая часть будет иметь длину 1 / q км , а р таких частей будут иметь	длину	p / q км .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его	длину	в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его длину увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его	длину	в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
Если принять	длину	отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .
Найдите	длину	отрезка А В .
Если принять длину отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет	длину	, а отрезок AD имеет длину .
На прямой даны три точки A , B и С , причём AB 13 см , AС 4 см. Найдите	длину	отрезка ВС. ( Задача имеет два решения . ) .
Однако ещё можно получить приближённую	длину	отрезка с точностью до 1 см с округлением .
Одну сторону квадрата разделим на 4 равные части ; три из них составляют	длину	прямоугольника .
АВ – 3 см , ВС — 4 см , СD — 13 см , АD — 12 см. Определите	длину	ломаной ABCD и расстояние между её концами .
Периметр треугольника ABD равен 12 см , периметр треугольника BDC — 30 см , а периметр четырёхугольника ABCD — 32 см. Определите	длину	отрезка BD .
Измерьте	длину	отрезка LN и величину угла L .
Какую	длину	имеет каждая часть с точностью до 1 см : а ) с недостатком ; б ) с избытком ; в ) с округлением ? .
Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда , если : а ) его	длину	увеличить в 2 раза ; б ) увеличить его длину в 2 раза , а ширину — в 3 раза ; в ) увеличить его длину в 2 раза , ширину — в 3 раза , а высоту — в 4 раза ; г )
На прямой даны точки А , В и С , причём AB 6 см , АС 13 см. Найдите	длину	отрезка ВС , если .
Если принять длину отрезка АН за 1 , то отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет	длину	.
а ) Алёша прыгнул в	длину	на 3 м 12 см. Это на 9 см лучше результата Бори и на 13 см хуже результата Вовы .
В результате большой работы была найдена длина парижского меридиана в существовавших тогда французских мерах	длины	— туазах ( 1 туаз — 1 м 95 см ) .
Парижская академия наук предложила в качестве единой меры	длины	новую единицу измерения метр , равную одной десятимиллионной доле четверти парижского меридиана .
AB 12 см . а ) Найдите	длины	отрезков АС и СВ .
6 ) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд , то какой	длины	получится ряд ? .
Измерение	длины	отрезка с избытком .
Естественная и древнейшая мера	длины	шаг .
Периметры треугольников BCD , BDE и ABE равны соответственно 20 см , 21 см и 22 см , а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см. Определите	длины	диагоналей BD и BE , если известно , что они равны .
Измерение	длины	отрезка с недостатком .
за меру	длины	принимали стадий .
В тетради постройте три отрезка различной	длины	.
Единицы	длины	.
Эти старинные названия мер	длины	, а также и старинные названия мер весов встречаются во многих пословицах , поговорках и образных выражениях : ни пяди земли ; мерить на свой аршин ; косая сажень в плечах ; съесть пуд соли ; фунт лиха ; мал золотник , да дорог ; ты от дела на пяденьку , а оно от тебя на саженьку .
С середины XVI века на Руси появилась мера	длины	аршин ( примерно 71 см ) , заимствованная с Востока .
Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше	длины	отрезка АС .
Точка С расположена на прямой между точками A и В. Длина отрезка AС равна 8 см , длина отрезка СВ на 3 см больше	длины	отрезка АС .
В старину на Руси пользовались такими мерами	длины	: пядь — расстояние между концами вытянутых большого и указательного пальцев руки ( примерно 18–23 см ) ; локоть — расстояние от конца среднего пальца руки до локтя ( примерно 38–46 см ) ; сажень — различали « простую » ( примерно 152 см ) , « маховую » ( примерно 176 см ) и « косую » ( примерно 248 см ) сажени .
в ) От каната длиной 100 м отрезали 3/4 его	длины	.
В России и в большинстве стран мира за основную единицу	длины	принят метр ( см. « Исторические сведения » ) .
Какой наименьшей	длины	может быть верёвка , чтобы её можно было разрезать без остатков на куски .
Однако известно , при этом величины 5 см и 6 см отличаются от AB не более чем на 1 см. Их называют приближениями или приближёнными значениями	длины	AB с точностью до 1 см .
Длина отрезка AD больше	длины	отрезка АС , т .
Докажите , что длина ломаной АВС больше	длины	ломаной АDC .
Если все стороны треугольника имеют разные	длины	, то его называют разносторонним .
Метрические единицы	длины	.
Вместо слов « единица измерения	длины	» часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Если взять	длины	сторон с избытком : АB — 4 см , AD — 6 см , то площадь прямоугольника ABCD будет меньше чем 24 ( см2 ) .
Какой	длины	получился ряд ? .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой	длины	получится ряд ? .
В самом деле , чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину	длины	отрезка АB .
объём куба равен третьей степени	длины	его ребра .
Существует ли замкнутая ломаная , имеющая три звена ,	длины	которых равны ? .
Так как точка B расположена ближе к делению 6 , то более точным приближением	длины	отрезка AB является 6 см. В таком случае говорят , что длина отрезка AB приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см .
В равнобедренном треугольнике даны	длины	двух сторон : 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника ? .
В таких случаях говорят , что были использованы различные единицы измерения	длины	.
Для измерения больших расстояний введена единица	длины	километр , равная 1000 метрам .
Очень малые	длины	измеряют микронами и микромикронами : 1 мм — 1000 микрон , 1 микрон — 1000 микромикрон .
Запишите	длины	получаемых при этом частей отреза .
Длину отрезка AВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим , что два равных отрезка имеют равные	длины	.
а ) Во сколько раз увеличиваются единицы	длины	при переходе слева направо на одну клетку ? .
Как называют основную единицу	длины	? .
Какие единицы	длины	используют для измерения небольших отрезков ? .
Построить треугольник ,	длины	сторон которого равны длинам заданных отрезков , можно в том случае , если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков .
Сравните	длины	отрезков АВ и АС , ВС и АС , ВС и АВ .
Отрезали 1/3 её	длины	.
Какие единицы	длины	используют для измерения больших расстояний ? .
Во сколько раз уменьшаются единицы	длины	при переходе справа налево на одну клетку ? .
На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной	длины	.
Эти теоретические сведения дают возможность решать задачи на	доказательство	не только в пятом , но и в старших классах .
Здесь впервые появится много задач на	доказательство	и задач , в которых надо определить , возможна ли описанная ситуация .
Если целые части смешанных	дробей	не равны , то больше та дробь , у которой целая часть больше .
Разностью двух	дробей	называют дробь , которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое .
Определением степени с натуральным показателем можно пользоваться и для	дробей	.
Если целые части смешанных	дробей	равны , то больше та дробь , у которой дробная часть больше .
Вычитание	дробей	.
Чтобы умножить несколько	дробей	, надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных	дробей	и выполнить действия с обыкновенными дробями .
Эту задачу в давние времена умели решать и без	дробей	.
Смешанные дроби можно сравнивать , не записывая их в виде неправильных	дробей	.
Произведение двух	дробей	есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Умножение	дробей	.
Умножение и деление смешанных	дробей	.
В несложных случаях можно не записывать смешанные дроби в виде неправильных	дробей	.
Чему равна разность равных	дробей	? .
Как проверить результат вычитания двух	дробей	? .
Разность двух	дробей	с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
Что называют разностью двух	дробей	?
Чтобы найти разность двух	дробей	с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания	дробей	с общим знаменателем .
Если знаменатели двух	дробей	не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих	дробей	.
Сумма	дробей	с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Из двух	дробей	с общим знаменателем больше та дробь , у которой числитель больше , т .
Выполняется ли для	дробей	переместительный закон сложения ; сочетательный закон сложения ? .
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи натуральных чисел и дробей встречаются обозначения обыкновенных и смешанных	дробей	.
Наименьший общий знаменатель этих	дробей	равен 56 .
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями , их нужно привести к общему знаменателю , а затем применить правило сравнения	дробей	с общим знаменателем .
Шестидесятиричная система записи натуральных чисел дала основу для записи	дробей	, так , 2 таланта 13 мин 41 шекель составляют шекель или таланта .
С помощью умножения и деления	дробей	можно решать задачи на нахождение части целого и целого по его части .
Для этого надо сложить её целую и дробную части по правилу сложения	дробей	.
В дальнейшем шестидесятеричная запись дробей была усовершенствована , появились специальные обозначения и названия для	дробей	.
Сравнение	дробей	.
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных	дробей	, так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Приведите дроби к общему знаменателю , равному произведению знаменателей	дробей	.
При сложении дробных частей двух смешанных	дробей	может получиться неправильная дробь .
При сравнении	дробей	полезно следующее утверждение .
Можно ли число 1 представить в виде суммы	дробей	, где а , b , с , d — нечётные натуральные числа ? .
Поэтому , например , дробь выражали как сумму двух	дробей	.
Однако общим знаменателем этих	дробей	может быть любое из чисел , делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Приведение	дробей	к общему знаменателю .
В задаче упоминаются произведения	дробей	.
В старых русских руководствах по арифметике использовали такие названия	дробей	: половина , четь , полчеть , полполчеть , полполполчеть .
Представление	дробей	на координатном луче .
Сложение смешанных	дробей	.
Здесь фактически используется понятие дроби и даже сложение	дробей	.
Кроме обыкновенных	дробей	, в Индии умели записывать и смешанные дроби .
Сложение смешанных	дробей	выполняют с помощью законов сложения .
Одним из примеров практического применения	дробей	может служить нотная запись в музыке .
Примем 24 за общий знаменатель	дробей	.
В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи натуральных чисел и	дробей	встречаются обозначения обыкновенных и смешанных дробей .
В дальнейшем шестидесятеричная запись	дробей	была усовершенствована , появились специальные обозначения и названия для дробей .
Равенство	дробей	.
Для любой дроби можно указать ряд равных ей	дробей	.
Чтобы сложить несколько	дробей	, надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Запишите дробь в виде суммы двух	дробей	.
Если знаменатели двух	дробей	не являются взаимно простыми числами , как в первом примере , то сложение по формуле приводит к лишним вычислениям .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения	дробей	с общим знаменателем .
Для	дробей	, как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы умножения .
В формуле и далее числители и знаменатели	дробей	— натуральные числа .
Может ли сумма двух правильных	дробей	быть правильной дробью ; неправильной дробью ?
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных	дробей	.
Сложение	дробей	.
Частным двух	дробей	называют дробь , которая при умножении на делитель даёт делимое .
Сколько таких	дробей	? .
Докажите , что из двух	дробей	с равными числителями больше та дробь , у которой знаменатель меньше .
Частное двух	дробей	вычисляется по формуле .
Запишите пять каких - либо обыкновенных	дробей	.
Для	дробей	, как и для натуральных чисел , выполняются переместительный и сочетательный законы сложения .
Из законов сложения следует , что сумму нескольких	дробей	можно записывать без скобок ; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки .
Вычитание смешанных	дробей	.
Деление	дробей	.
Для	дробей	выполняется распределительный закон .
Как умножают и делят смешанные	дроби	? .
Целая часть смешанной	дроби	.
Кроме обыкновенных дробей , в Индии умели записывать и смешанные	дроби	.
Основное свойство	дроби	.
Числитель	дроби	.
В Индии дроби записывали так же , как мы это делаем сейчас , по черту	дроби	не писали .
Положительные	дроби	называют ещё положительными рациональными числами , а точки , изображающие их на луче , называют положительными рациональными точками .
В несложных случаях можно не записывать смешанные	дроби	в виде неправильных дробей .
На Руси некоторые смешанные	дроби	имели свои названия : полтора , полтрети , полчетверта , полпята и т .
Знаменатель	дроби	.
Дробная часть смешанной	дроби	.
В Индии	дроби	записывали так же , как мы это делаем сейчас , по черту дроби не писали .
Эти вычисления обычно записывают короче , умножая устно целую и дробную части смешанной	дроби	на 2 .
Сокращение	дроби	.
Дроби с числителем , отличным от единицы ( кроме	дроби	2/3 , появились значительно позже .
В Древнем Египте в практических расчётах использовали	дроби	с числителем 1 .
Здесь отдельно разделили целую и дробную части смешанной	дроби	на 3 ( т .
Найдите целую часть	дроби	.
помощью распределительного закона можно коротко выполнить деление смешанной	дроби	на натуральное число .
Отличие заключается в том , что черту	дроби	не пишут и дробь не сокращают .
Здесь фактически используется понятие	дроби	и даже сложение дробей .
а ) Как умножить две	дроби	?
В самом деле , если числитель	дроби	р делится на знаменатель q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Сформулируйте основное свойство	дроби	.
Например , дроби правильные ,	дроби	неправильные .
При этом целая часть смешанной	дроби	будет равна неполному частному , а дробная часть — остатку , делённому на знаменатель .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной	дроби	, надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Например ,	дроби	правильные , дроби неправильные .
Поэтому основное свойство	дроби	можно сформулировать и так .
Найдите несократимую дробь , равную	дроби	.
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь — дробной частью смешанной	дроби	.
Сумму натурального числа и правильной	дроби	записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной дробью .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной	дроби	.
Пусть даны три	дроби	.
Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя	дроби	, затем сократите дробь .
Напомним , что если числитель	дроби	делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Понятие смешанной	дроби	.
Задачи на	дроби	.
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на знаменатель	дроби	и результат умножить на её числитель .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель	дроби	и результат умножить на её числитель .
Каждую смешанную дробь можно записать в виде неправильной	дроби	.
Например , сравним	дроби	.
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной	дроби	, знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
а ) Как сравнивают	дроби	с общим знаменателем ? .
Сравните	дроби	.
Например , сократим	дроби	.
Чтобы из первой дроби получить 1 , надо добавить , а чтобы из второй	дроби	получить 1 , надо добавить меньше : Следовательно , вторая дробь больше .
Чтобы из первой	дроби	получить 1 , надо добавить , а чтобы из второй дроби получить 1 , надо добавить меньше : Следовательно , вторая дробь больше .
Приведите пример смешанной	дроби	, укажите её целую и дробную части .
В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами	дроби	, а их « дополнения » до единицы .
Сравните	дроби	с числом , а затем между собой .
Любые две	дроби	можно привести к общему знаменателю , которым может быть произведение их знаменателей .
Сравните	дроби	с числом 1 , а затем между собой .
Что называют . а ) целой частью смешанной	дроби	. б ) дробной частью смешанной дроби ? .
Сравните	дроби	с одинаковыми числителями .
Сравните	дроби	и результат сравнения запишите с помощью знаков .
Сравните	дроби	и результат сравнения запишите с помощью знака .
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную	дроби	? .
г ) Можно ли найти дробь , знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную	дроби	? .
Смешанные	дроби	можно сравнивать , не записывая их в виде неправильных дробей .
Как сравнивают	дроби	с разными знаменателями ? .
Если числитель и знаменатель	дроби	имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Чтобы сравнить две	дроби	с разными знаменателями , их нужно привести к общему знаменателю , а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем .
Глава 4 Обыкновенные	дроби	.
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель	дроби	и результат умножить на её знаменатель .
Для	дроби	2/3 запишите равную ей дробь со знаменателем .
Запишите в виде	дроби	, какую часть отреза составляет : одна такая часть ; две части ; три части ; четыре части ; пять частей .
Прочитайте	дроби	.
Назовите три	дроби	: а ) с числителем 3 ; б ) со знаменателем 10 .
б ) К какому общему знаменателю лучше всего приводить две	дроби	? .
Запишите две	дроби	, у которых : а ) числитель на 2 больше знаменателя ; б ) знаменатель на 4 больше числителя .
а ) Любые ли две	дроби	можно привести к общему знаменателю ? .
Для любой	дроби	можно указать ряд равных ей дробей .
Умножим числитель и знаменатель	дроби	на дополнительный множитель 8 .
Черту в записи	дроби	можно рассматривать как знак деления числителя на знаменатель .
д. Можно ещё сказать , что	дроби	определяют одно и то же число , записанное разными способами ; дроби также определяют одно и то же число .
д. Можно ещё сказать , что дроби определяют одно и то же число , записанное разными способами ;	дроби	также определяют одно и то же число .
Если числитель и знаменатель	дроби	умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Приведём	дроби	к наименьшему общему знаменателю .
Это свойство называют основным свойством	дроби	.
С его помощью можно получать	дроби	, равные данной .
Но для упрощения вычислений нужно стараться привести	дроби	к наименьшему общему знаменателю .
Принято считать , что в записях вида	дроби	также означает знак деления .
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем	дроби	.
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем	дроби	p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
Число р , находящееся над чертой	дроби	, называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют знаменателем дроби .
При изучении главы 4 вам предстоит освоить обыкновенные	дроби	.
дробь больше	дроби	.
В главе 4 вам встретятся задачи « на	дроби	» и « на совместную работу » , среди которых есть интересные старинные задачи .
Понятие	дроби	.
В записях , в которых черта дроби используется несколько раз , знак ставится у черты	дроби	, означающей последнее по порядку действие деления .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель	дроби	и результат умножить на её знаменатель .
В записях , в которых черта	дроби	используется несколько раз , знак ставится у черты дроби , означающей последнее по порядку действие деления .
Определите , равны ли	дроби	.
Найдите все	дроби	со знаменателем 10 , которые больше , но меньше .
Приведём	дроби	к знаменателю 24 .
Частное любых двух натуральных чисел равно	дроби	, числитель которой равен делимому , а знаменатель — делителю .
Такой же смысл имеют	дроби	пять шестых , семь одиннадцатых , пять четвертых и т .
Приведите	дроби	к общему знаменателю .
Приведите	дроби	к наименьшему общему знаменателю .
Приведите	дроби	к общему знаменателю , равному произведению знаменателей дробей .
Для этого умножим числитель и знаменатель	дроби	на дополнительный множитель 3 .
Запишите в виде	дроби	частное .
Замените следующие	дроби	равными им дробями со знаменателем 12 .
Из сказанного выше следует , что число 60 можно получить умножением	дроби	на неизвестное число .
а ) Как записать неправильную дробь в виде смешанной	дроби	? .
Что называют . а ) целой частью смешанной дроби . б ) дробной частью смешанной	дроби	? .
Найдите дробь с числителем 7 , равную	дроби	.
а ) Как вычитают	дроби	с общим знаменателем ? .
В дальнейшем будут введены отрицательные	дроби	, и такое действие станет возможным .
Изучаемые нами дроби не позволяют из меньшей	дроби	вычесть большую .
Изучаемые нами	дроби	не позволяют из меньшей дроби вычесть большую .
Принято считать число 0 равным	дроби	вида , где q — любое натуральное число .
Левые части равенств — данные дроби , а правые — равные им несократимые	дроби	.
Например , вычтем из	дроби	дробь .
Поэтому складывать правильные	дроби	и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу .
Чтобы сложить смешанные	дроби	, надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить .
Левые части равенств — данные	дроби	, а правые — равные им несократимые дроби .
Найдите все	дроби	со знаменателем 13 , которые больше , но меньше .
Для каждой	дроби	существует единственная равная ей несократимая дробь .
а ) Найдите дробь со знаменателем 18 , равную	дроби	.
Сложите	дроби	, предварительно сократив их .
Например , дроби несократимые	дроби	, так как числа 1 и 2 , 3 и 4 , 5 и 7 не имеют общих простых делителей , т .
При вычислении значений числовых выражений , содержащих	дроби	, пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
Запишите натуральные числа 1 , 2 , 5 в виде	дроби	со знаменателем .
Сложите	дроби	.
Как вычитают	дроби	с разными знаменателями ? .
Как складывают смешанные	дроби	?
Из основного свойства дроби следует , что если числитель	дроби	делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной	дроби	и эту неправильную дробь возводят в степень .
Назовите дробь , обратную	дроби	.
Из основного свойства	дроби	следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Чтобы умножить или разделить смешанные	дроби	, можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями .
Какие	дроби	называют взаимно обратными ?
Дробь называют обратной для	дроби	.
Как записывают число 0 в виде	дроби	? .
Как вычитают смешанные	дроби	? .
Можно считать , что произведение натурального числа n на дробь — есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно	дроби	.
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель	дроби	умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
В этом случае сокращение	дроби	выполняют постепенно .
Так как любое натуральное число n можно представить в виде	дроби	, то справедливо равенство .
Придумайте две	дроби	, разность которых равна .
Запишите обыкновенную дробь в виде смешанной	дроби	.
Сократите	дроби	по образцу .
Запишите числитель и знаменатель	дроби	в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Сложите	дроби	, полученную дробь сократите .
Приведём	дроби	к общему знаменателю .
Докажем распределительный закон , считая , что	дроби	в скобках уже приведены к общему знаменателю .
Запишите сумму в виде смешанной	дроби	.
Для упрощения вычислений нужно стараться приводить	дроби	к наименьшему общему знаменателю , а получаемые результаты приводить к несократимому виду .
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной	дроби	.
Разделите с остатком числитель	дроби	на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби .
Разделите с остатком числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной	дроби	.
Определите числитель	дроби	в равенстве .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой	дроби	прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью дробь и т .
Например , сложим по формуле	дроби	.
Например ,	дроби	несократимые дроби , так как числа 1 и 2 , 3 и 4 , 5 и 7 не имеют общих простых делителей , т .
Найдите целое число , равное	дроби	.
Чтобы сложить две	дроби	с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
а ) Как складывают	дроби	с общим знаменателем ? .
Запишите неправильную дробь в виде смешанной	дроби	.
Упростите запись смешанной	дроби	.
Найдите все несократимые	дроби	со знаменателем 60 , большие , но меньшие .
Выделите целую часть	дроби	.
Запишите смешанную дробь в виде неправильной	дроби	.
б ) Как записать смешанную дробь в виде неправильной	дроби	? .
в ) Как сравнивают смешанные	дроби	? .
Запишите числа 3 , 5 , 7 в виде	дроби	со знаменателем .
Как складывают	дроби	с разными знаменателями ? .
Найдите все несократимые	дроби	с числителем 60 , бóльшие но меньшие .
Если	дробная	часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то в целой части уменьшаемого « занимают » единицу .
Если делая и	дробная	части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному , а	дробная	часть — остатку , делённому на знаменатель .
Если целые части смешанных дробей равны , то больше та дробь , у которой	дробная	часть больше .
Например , смешанная дробь , у которой целая часть ,	дробная	часть .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и	дробной	частей вычитаемого , то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают .
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную дробь —	дробной	частью смешанной дроби .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель	дробной	части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Что называют . а ) целой частью смешанной дроби . б )	дробной	частью смешанной дроби ? .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель	дробной	части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Если дробная часть уменьшаемого меньше	дробной	части вычитаемого , то в целой части уменьшаемого « занимают » единицу .
Для этого надо сложить её целую и	дробную	части по правилу сложения дробей .
Эти вычисления обычно записывают короче , умножая устно целую и	дробную	части смешанной дроби на 2 .
Здесь отдельно разделили целую и	дробную	части смешанной дроби на 3 ( т .
Приведите пример смешанной дроби , укажите её целую и	дробную	части .
Заметим , что любое натуральное число имеет	дробную	часть , равную нулю , и любая правильная дробь имеет целую часть , равную нулю .
Если целые или	дробные	части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными , то вычитание выполняют так же , как и выше .
Если	дробные	части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить вычитание .
Если	дробные	части слагаемых имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить сложение .
Чтобы сложить смешанные дроби , надо сложить отдельно их целые и их	дробные	части и полученные результаты сложить .
Если делая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и дробной частей вычитаемого , то вычитание целых и	дробных	частей выполняют отдельно и результаты складывают .
Формула верна и при	дробных	а , b и с. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами а дм , b дм и с дм .
При сложении	дробных	частей двух смешанных дробей может получиться неправильная дробь .
Формула верна и при	дробных	а и b.
Чему равна	дробь	, числитель которой равен знаменателю ? .
Найдите	дробь	с числителем 7 , равную дроби .
Определите , сократима ли	дробь	.
Чтобы разделить	дробь	на натуральное число , можно её знаменатель умножить на это число .
Какую	дробь	называют несократимой ?
Найдите несократимую	дробь	, равную дроби .
Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби , затем сократите	дробь	.
Например ,	дробь	— записывали так .
Отличие заключается в том , что черту дроби не пишут и	дробь	не сокращают .
Поэтому , например ,	дробь	выражали как сумму двух дробей .
а ) Как разделить одну	дробь	на другую ? .
Ту же	дробь	записывали так , что соответствовало сумме или .
б ) Как разделить	дробь	на натуральное число ? .
Сократите	дробь	.
г ) Можно ли найти	дробь	, знаменатель которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
Можно ли найти	дробь	, числитель которой натуральное число , а знаменатель 121 , равную дроби ? .
Отметим , что число 0 , делённое на любую отличную от нуля	дробь	, даёт 0 .
а ) Найдите	дробь	со знаменателем 18 , равную дроби .
а ) нуль на	дробь	, отличную от нуля .
Для дроби 2/3 запишите равную ей	дробь	со знаменателем .
Частным двух дробей называют	дробь	, которая при умножении на делитель даёт делимое .
Сумма дробей с общим знаменателем есть	дробь	, числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Чтобы сложить несколько дробей , надо к первой дроби прибавить вторую , к полученной сумме прибавить третью	дробь	и т .
Сложите дроби , полученную	дробь	сократите .
Запишите	дробь	в виде суммы двух дробей .
Подберите	дробь	, которая в сумме с данной дробью даёт .
Верно ли , что при умножении натурального числа на правильную	дробь	получится число , меньшее этого натурального числа ?
Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную	дробь	получиться число , большее 1 ?
Разностью двух дробей называют	дробь	, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое .
б ) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную	дробь	получиться число , меньшее 1 ?
Разность двух дробей с общим знаменателем есть	дробь	с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
а ) Число 2 умножили на некоторую правильную	дробь	.
Например , вычтем из дроби	дробь	.
Смешанная	дробь	.
Произведение двух дробей есть	дробь	, числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей .
Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную	дробь	по образцу .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на	дробь	, можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а знаменатель оставить тот же .
Можно считать , что произведение натурального числа n на	дробь	— есть сумма n слагаемых , каждое из которых равно дроби .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую	дробь	умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью дробь и т .
Чтобы умножить несколько дробей , надо первую дробь умножить на вторую , полученное произведение умножить на третью	дробь	и т .
Назовите	дробь	, обратную дроби .
Чтобы из первой дроби получить 1 , надо добавить , а чтобы из второй дроби получить 1 , надо добавить меньше : Следовательно , вторая	дробь	больше .
Докажите , что из двух дробей с равными числителями больше та	дробь	, у которой знаменатель меньше .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную	дробь	с неправильной .
Сравните : а ) правильную дробь с 1 ; б ) неправильную	дробь	с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Итак , для любых натуральных чисел р и q всегда есть их частное :	дробь	.
Приведите	дробь	к знаменателю 10 , или 100 , или 1000 .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на	дробь	, обратную делителю .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на	дробь	, можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
	Дробь	больше дроби .
Из двух дробей с общим знаменателем больше та	дробь	, у которой числитель больше , т .
Обратите смешанную	дробь	в обыкновенную дробь .
Если первая	дробь	меньше второй , а вторая дробь меньше третьей , то первая дробь меньше третьей .
Обратите смешанную дробь в обыкновенную	дробь	.
Если первая дробь меньше второй , а вторая	дробь	меньше третьей , то первая дробь меньше третьей .
Так как НОК(4 , 8) = 8 , то к знаменателю 8 надо привести только первую	дробь	.
Если первая дробь меньше второй , а вторая дробь меньше третьей , то первая	дробь	меньше третьей .
Так как первая	дробь	меньше второй , а так как вторая дробь меньше третьей .
Так как первая дробь меньше второй , а так как вторая	дробь	меньше третьей .
Из полученных неравенств для натуральных чисел следует , что первая	дробь	меньше третьей .
Заметим , что	дробь	, обратная делителю , поэтому чтобы разделить дробь на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Правильная	дробь	меньше 1 , а неправильная дробь больше или равна 1 .
Правильная дробь меньше 1 , а неправильная	дробь	больше или равна 1 .
Отсюда следует , что любая правильная	дробь	меньше неправильной .
а ) Какую	дробь	называют правильной ? .
б ) Какую	дробь	называют неправильной ? .
Сравните : а ) правильную	дробь	с 1 ; б ) неправильную дробь с 1 ; в ) правильную дробь с неправильной .
Заметим , что дробь , обратная делителю , поэтому чтобы разделить	дробь	на дробь , можно делимое умножить на дробь , обратную делителю .
Заметим , что	дробь	, обратная делителю .
Если q — натуральное число , то	дробь	— ( читается « одна кутая » ) означает одну кутую часть единицы .
б )	дробь	на нуль .
Говорят , что можно сократить дробь на n и получить равную ей	дробь	.
Говорят , что можно сократить	дробь	на n и получить равную ей дробь .
Левая часть равенства ( 2 ) есть	дробь	, числитель и знаменатель которой имеют общий множитель n.
Назовите делимое и делитель , дробь , обратную делителю , и замените деление умножением на	дробь	, обратную делителю .
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей	дробь	.
Для упрощения речи вместо слов « рациональное число p / q » говорят «	дробь	p / q » .
Если p и q натуральные числа , то	дробь	— ( читается « пэ кутых » ) означает пэ кутых части единицы .
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то	дробь	равна частному от деления числителя на знаменатель .
Любую неправильную	дробь	, числитель которой не делится нацело на знаменатель , можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
При этом натуральное число называют целой частью , а правильную	дробь	— дробной частью смешанной дроби .
Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную	дробь	возводят в степень .
Смешанную	дробь	читают так : « три целых и одна вторая » .
Чтобы записать неправильную	дробь	( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Каждую смешанную	дробь	можно записать в виде неправильной дроби .
Чтобы записать смешанную	дробь	в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Если целые части смешанных дробей равны , то больше та	дробь	, у которой дробная часть больше .
Если целые части смешанных дробей не равны , то больше та	дробь	, у которой целая часть больше .
Перед возведением в степень смешанную	дробь	записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень .
Как умножить натуральное число на	дробь	?
Запишите обыкновенную	дробь	в виде смешанной дроби .
При сложении дробных частей двух смешанных дробей может получиться неправильная	дробь	.
Заметим , что любое натуральное число имеет дробную часть , равную нулю , и любая правильная	дробь	имеет целую часть , равную нулю .
Ha координатном луче можно изобразить любую	дробь	.
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель , то	дробь	можно сократить на этот множитель , т .
Точку , изображающую на координатном луче	дробь	, называют точкой с координатой или , коротко , точкой .
Запишите неправильную	дробь	в виде смешанной дроби .
Запишите смешанную	дробь	в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Является ли данная	дробь	целым числом .
Запишите	дробь	в виде целого числа .
б ) Как записать смешанную	дробь	в виде неправильной дроби ? .
а ) Как записать неправильную	дробь	в виде смешанной дроби ? .
Запишите смешанную	дробь	в виде неправильной дроби .
Получится равная ей	дробь	.
Например , смешанная	дробь	, у которой целая часть , дробная часть .
Например , сократим	дробь	.
Для каждой дроби существует единственная равная ей несократимая	дробь	.
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную	дробь	на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя .
Назовите делимое и делитель ,	дробь	, обратную делителю , и замените деление умножением на дробь , обратную делителю .
Чтобы получить несократимую	дробь	, надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то	дробь	равна частному от деления числителя на знаменатель .
Если часть искомого целого выражена	дробью	, то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель .
Какой	дробью	можно записать часть яблока , полученную каждой девочкой ? .
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной	дробью	; неправильной дробью ?
Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью ; неправильной	дробью	?
Подберите дробь , которая в сумме с данной	дробью	даёт .
В том случае , когда одно из двух чисел является натуральным числом или правильной	дробью	, вычисления выполняются аналогично .
Что называют смешанной	дробью	?
Если часть целого выражена	дробью	, то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель .
Он обозначается	дробью	, так как нижняя цифра обозначает длительность доли , а верхняя цифра — количество долей в такте ( две доли ) .
Какой	дробью	можно выразить взятую часть кубиков , если взять : а ) 2 кубика ; б ) 4 кубика ; в ) 8 кубиков ? .
Иногда целое число изображали	дробью	со знаменателем 1 .
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без знака « + » , и называют смешанной	дробью	.
Целую часть писали над	дробью	.
Записи 1/2 , 1/3 , 1/4 , 2/3 , 3/4 называют обыкновенными дробями или , короче ,	дробями	.
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными	дробями	— записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Дроби называют взаимно обратными	дробями	( числами ) .
Замените следующие дроби равными им	дробями	со знаменателем 12 .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными	дробями	, то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными	дробями	, то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными	дробями	, не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать .
Отметим , что многие задачи на совместную работу можно решить этим старинным способом , не пользуясь	дробями	.
Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными	дробями	можно по этому же правилу .
Чтобы умножить или разделить смешанные дроби , можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными	дробями	.
неправильными	дробями	.
а ) правильными	дробями	. б )
Могут ли два взаимно обратных числа одновременно являться смешанными	дробями	? .
Записи 1/2 , 1/3 , 1/4 , 2/3 , 3/4 называют обыкновенными	дробями	или , короче , дробями .
Обычно рассматривается одна из	дуг	окружности , определяемая по смыслу задачи .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте дуги , равные	дуге	АВ .
Постройте окружность с центром A и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой В. С помощью циркуля от точки В отметьте	дуги	, равные дуге АВ .
Убедитесь , что конец шестой	дуги	, считая от точки A , совпадает с точкой А .
Обычно рассматривают один из этих углов — его определяют по смыслу задачи и отмечают	дугой	или штриховкой .
Например , в записи числа 777 первая справа цифра 7 означает семь	единиц	, вторая — семь десятков , третья — семь сотен .
Десять	единиц	называют десятком , десять десятков — сотней , десять сотен — тысячей и т .
Затем перемножали попарно цифры множителей и результат записывали в соответствующую клетку таблицы так : цифру	единиц	писали вверху клетки , цифру десятков — внизу .
д. Каждые 10	единиц	любого ( шарада составляют одну единицу следующего ( более высокого ) разряда .
Делим на 7 число	единиц	9 .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9	единиц	, число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8 единиц .
Как это делается , видно из следующих примеров : число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц , число 3278 состоит из 3 тысяч , 2 сотен , 7 десятков и 8	единиц	.
Например , запись означает , что это число содержит а тысяч , 5 сотен , b десятков и 7	единиц	.
Запишите число , состоящее из . а ) 1 тысячи , 2 сотен , 3 десятков и 5	единиц	.
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше	единиц	предыдущего разряда .
Например , чтобы прочитать число 148951784296 , выделим в нём классы : 148 951 784 296 и прочитаем число	единиц	каждого класса слева направо .
Класс	единиц	.
В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов	единиц	, десятков , сотен , тысяч , десятков тысяч , сотен тысяч и т .
Первый класс справа называют классом	единиц	, второй классом тысяч , третий — классом миллионов , четвёртый — классом миллиардов и т .
« цифру »	единиц	ставили до « цифры » десятков .
288	единиц	, на 36 .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13	единиц	второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять	единиц	этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
С помощью сложения и вычитания решают задачи , в которых требуется найти число , большее или меньшее данного на несколько	единиц	, ответить на вопросы « на сколько больше ? » , « на сколько меньше ? » , « сколько всего ? » , « сколько осталось ? » и т .
Обычно сложение и вычитание выполняют столбиком , записывая числа друг под другом так , чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом , и начинают вычисления с разряда	единиц	.
б ) 5 десятков тысяч , 9 тысяч , 7 сотен и 4	единиц	.
Вместо слов «	единица	измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная	единица	» , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
д . —	единица	.
Для измерения больших расстояний введена	единица	длины километр , равная 1000 метрам .
Сутки — основная	единица	времени .
Принято считать , что	единица	не является пи простым , пи составным числом .
Основная	единица	массы — грамм .
Это вычисление записывают , отмечая точкой разряд , в котором « занята »	единица	.
Для определения площади пасти плоскости , находящейся внутри многоугольника или какой - либо другой фигуры , надо выяснить , сколько раз выбранная	единица	площади содержится в этой части плоскости .
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на h единичных кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим	единицам	.
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным	единицам	.
Решая геометрические задачи , вы будете встречать знакомые предметы окружающего вас мира , познакомитесь с различными	единицами	измерения величин , с формулами , знание которых поможет вам не только успешно учиться , но и решать практические задачи .
Величина есть результат измерения , она определяется числом , выраженным в некоторых	единицах	.
Выразите этот объём в принятых в России	единицах	.
При этом предполагается , что стороны прямоугольника измерены в одинаковых линейных	единицах	.
Одна и та же величина в разных	единицах	выражается разными числами .
При этом предполагается , что рёбра прямоугольного параллелепипеда измерены в одинаковых линейных	единицах	.
Следы этой системы сохранились сейчас в	единицах	измерения времени : 1 ч — 60 мин , 1 мин — 60 с .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной	единице	, называют единичным квадратом .
Куб , ребро которого равно лилейной	единице	, называют единичным кубом .
Говорят , что площадь единичного квадрата равна одной квадратной	единице	( 1 м2 , 1 дм2 ) .
Поэтому обычно в таких задачах всю работу принято считать равной	единице	, объём выполненной работы выражают как часть этой единицы .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной линейной	единицей	и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной линейной	единицей	и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют	единицей	следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту единицу к цифре следующего разряда .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной линейной	единицей	и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
В науке основной	единицей	измерения времени считается секунда .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной линейной	единицей	и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
В России и в большинстве стран мира за основную	единицу	длины принят метр ( см. « Исторические сведения » ) .
Часто употребляют ещё одну	единицу	массы — центнер .
Для этого задают луч , выходящий из точки О в направлении , отмеченном стрелкой , и отрезок , длину которого принимают за	единицу	.
Объём единичного куба принимают за	единицу	измерения объёмов .
Где используют эту	единицу	? .
Если сложение в каком - либо разряде даст в результате число , большое или равное 10 , то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего ( справа налево ) разряда , прибавляя эту	единицу	к цифре следующего разряда .
Примем всё расстояние между пристанями А и B за	единицу	, тогда за 1 ч плот проплывает по реке 2 этого расстояния , а теплоход за 1 ч проплывает по озеру 4 такого же расстояния .
Каждое простое число имеет только два делителя	единицу	и само себя , а каждое составное число , кроме единицы и себя , имеет и другие делители .
Рассмотрим задачи на движение по реке , при решении которых удобно весь путь принимать за	единицу	, а скорость катера по течению реки , против течения и скорость течения реки выражать как часть пути , пройденного за единицу времени .
Как называют основную	единицу	длины ? .
На нём имеются две отметки , расстояние между которыми принято за основную	единицу	измерения — метр .
Там же хранится изготовленная из специального сплава гиря , вес которой принят за основную	единицу	веса — килограмм .
Примем всё расстояние за	единицу	.
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого , то в целой части уменьшаемого « занимают »	единицу	.
Парижская академия наук предложила в качестве единой меры длины новую	единицу	измерения метр , равную одной десятимиллионной доле четверти парижского меридиана .
В натуральном ряду есть первое число 1 , но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число , большее предшествующего на	единицу	.
Рассмотрим задачи на движение по реке , при решении которых удобно весь путь принимать за единицу , а скорость катера по течению реки , против течения и скорость течения реки выражать как часть пути , пройденного за	единицу	времени .
Так как 1 а — 100 м2 , то эту	единицу	измерения площади часто называют соткой .
Для измерения площадей небольших земельных участков оказалось удобным ввести	единицу	измерения — 1 ар ( обозначают 1 а ) .
Говорят , что тело движется равномерно , если оно за каждую	единицу	времени проходит одно и то же расстояние .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41	единицу	первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
Примем всю работу за	единицу	, тогда за 1 ч первая бригада выполняет , а вторая всей работы .
Примем расстояние между сёлами за	единицу	. ( расстояния ) проходит пешеход за 1 мин . ( расстояния ) — проезжает велосипедист за 1 мин . ( расстояния ) — такую часть расстояния они проходят за 1 мин при движении навстречу друг другу .
Примем объём бочки за	единицу	и выразим время « работы » каждого пирата в днях : пират Ерёма выпьет бочку рома за 35 дней , а пират Емеля выпьет эту бочку рома за 14 дней .
Если при вычитании в каком - либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого , то нужно « занять » одну	единицу	в следующем ( справа налево ) разряде уменьшаемого .
Как называют отрезок , длина которого принята за	единицу	измерения ? .
Отрезок , длина которого принята за	единицу	измерения , называют единичным отрезком .
д. Каждые 10 единиц любого ( шарада составляют одну	единицу	следующего ( более высокого ) разряда .
Примем объём кади за	единицу	. ( кади ) — выпивает муж за 1 день .
Для измерения площадей более крупных земельных участков ввели	единицу	измерения — 1 гектар ( обозначают 1 га ) .
Говорят : из 2 вычесть 9 нельзя , занимаем 1 десяток , из 12 вычтем 9 — получим 3 (	единицы	) , пишем 3 , из 6 вычтем 0 — получим 6 ( десятков ) , пишем 6 .
Каждое простое число имеет только два делителя единицу и само себя , а каждое составное число , кроме	единицы	и себя , имеет и другие делители .
Остаётся разделить остаток от деления десятков ( 28 ) и	единицы	( 8) , т .
Дроби с числителем , отличным от	единицы	( кроме дроби 2/3 , появились значительно позже .
Для обозначения	единицы	использовали знак , десяти и т .
Чему равно произведение : а )	единицы	на любое натуральное число ; б ) нуля на любое натуральное число ? .
Какие	единицы	массы вы знаете ? .
Простым числом называют такое натуральное число , которое больше	единицы	и делится только на 1 и само на себя .
а ) Во сколько раз увеличиваются	единицы	площади , записанные во второй строке таблицы , при переходе слева направо на одну клетку ? .
Таким образом , множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел , составных чисел и	единицы	.
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2 единицы третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём	единицы	каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
б ) Какие	единицы	измерения времени вы знаете ? .
В каких странах используются эти	единицы	измерения ? .
Кроме того , используют такие	единицы	измерения времени , как год , месяц , неделя — эти названия вам знакомы , а также квартал и декада .
В каждом классе цифры справа налево обозначают	единицы	, десятки и сотни этого класса .
	Единицы	: 4 . десятки : 13 ( 3 пишем , 1 запоминаем ) .
г ) Какие	единицы	измерения площади вы знаете ? .
б ) Во сколько раз уменьшаются	единицы	объёма при переходе справа налево на одну клетку ? .
Непростые натуральные числа , большие	единицы	, называют составными .
Например , та же запись означала не только 2 таланта 13 мин 41 шекель , но и 2	единицы	третьего разряда , 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда , причём единицы каждого следующего разряда ( справа налево ) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда .
б ) Во сколько раз уменьшаются	единицы	площади , записанные во второй строке таблицы , при переходе справа налево на одну клетку ? .
Выразим одни	единицы	объёма через другие .
а ) Во сколько раз увеличиваются	единицы	объёма ? .
Если q — натуральное число , то дробь — ( читается « одна кутая » ) означает одну кутую часть	единицы	.
Во сколько раз уменьшаются	единицы	длины при переходе справа налево на одну клетку ? .
Если p и q натуральные числа , то дробь — ( читается « пэ кутых » ) означает пэ кутых части	единицы	.
Какие	единицы	длины используют для измерения больших расстояний ? .
Таким образом , шестидесятые доли таланта , мины ( любой	единицы	) записывали с помощью натуральных чисел .
В таких случаях говорят , что были использованы различные	единицы	измерения длины .
Какие	единицы	длины используют для измерения небольших отрезков ? .
Это позволяло долго вести расчёты с долями	единицы	как с натуральными числами .
Дробь означает две третьих части	единицы	.
При этом говорят так : к 5 прибавим 9 — получим 14 , пишем 4 (	единицы	) и 1 ( десяток ) запоминаем , к 4 прибавим 3 — получим 7 , да ещё 1 запомнили — будет 8 ( десятков ) , пишем 8 .
Дробь — означает одну третью часть	единицы	.
Дробь означает половину , или одну вторую часть	единицы	( миллиметра , килограмма , часа и т . п. ) .
В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами дроби , а их « дополнения » до	единицы	.
Для обозначения величины пишут число , а рядом — название	единицы	.
Поэтому обычно в таких задачах всю работу принято считать равной единице , объём выполненной работы выражают как часть этой	единицы	.
Таким же образом можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем , большим	единицы	.
г ) Какие	единицы	измерения объёмов вы знаете ?
а ) Во сколько раз увеличиваются	единицы	длины при переходе слева направо на одну клетку ? .
Метрические	единицы	длины .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого	единичного	отрезка число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Для этого надо часть	единичного	отрезка отложить р раз на координатном луче от точки О .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго	единичного	отрезка — число 2 и т .
Возьмём , например , отрезок длиной 1 см в качестве	единичного	.
Объём	единичного	куба принимают за единицу измерения объёмов .
Говорят , что площадь	единичного	квадрата равна одной квадратной единице ( 1 м2 , 1 дм2 ) .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого	единичного отрезка	число 1 , правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т .
Будем считать , что точка О представляет число нуль , правый конец первого единичного отрезка число 1 , правый конец второго	единичного отрезка	— число 2 и т .
Для этого надо часть	единичного отрезка	отложить р раз на координатном луче от точки О .
На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков	единичной	длины .
Выберите удобный	единичный	отрезок и отметьте на координатном луче точки .
Изобразите на координатном луче ( возьмите	единичный	отрезок длиной 6 см ) точки О .
	Единичный	.
Изобразите на координатном луче ( возьмите	единичный отрезок	длиной 6 см ) точки О .
Выберите удобный	единичный отрезок	и отметьте на координатном луче точки .
Постройте координатный луч с	единичным	отрезком 1 см ( 2 клетки тетради ) .
а ) Какой куб называют	единичным	? .
Какой отрезок называют	единичным	? .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют	единичным	квадратом .
Этот отрезок называют	единичным	отрезком .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n	единичным	отрезкам .
а ) Какой квадрат называют	единичным	? .
Отрезок , длина которого принята за единицу измерения , называют	единичным	отрезком .
Длина отрезка ОA равна 5	единичным	отрезкам .
Куб , ребро которого равно лилейной единице , называют	единичным	кубом .
Произвольное натуральное число n изображается на координатном луче точкой , расстояние от которой до пулевой точки равно n	единичным отрезкам	.
Длина отрезка ОA равна 5	единичным отрезкам	.
Этот отрезок называют	единичным отрезком	.
Постройте координатный луч с	единичным отрезком	1 см ( 2 клетки тетради ) .
Отрезок , длина которого принята за единицу измерения , называют	единичным отрезком	.
Если прямоугольник можно разрезать на k	единичных	квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным единицам .
Этот прямоугольный параллелепипед можно разрезать на 2 слоя , в каждом из которых по	единичных	куба .
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на h	единичных	кубов , то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
С помощью	единичных	квадратов измеряют площади прямоугольников .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5	единичных	отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3	единичных	отрезка влево .
Всего прямоугольный параллелепипед содержит 24	единичных	куба , т .
Определите , сколько	единичных	квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
на 15	единичных	квадратов со стороной 1 см. Следовательно , его площадь S равна .
Кузнечик прыгает на 5	единичных	отрезков в любом направлении на плоскости .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3	единичных отрезка	влево .
Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно : на 5	единичных отрезков	вправо и на 3 единичных отрезка влево .
Кузнечик прыгает на 5	единичных отрезков	в любом направлении на плоскости .
Например , ломаная ABCDEА	замкнутая	.
Многоугольник ,	замкнутая	ломаная линия , не являющаяся многоугольником .
Существует ли	замкнутая	ломаная , имеющая три звена , длины которых равны ? .
Если конец ломаной совпадает с её началом , то ломаную называют	замкнутой	.
Карандаш начертит на плоскости	замкнутую	линию — окружность .
Заметим , что многоугольником называют как	замкнутую	ломаную , так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Какую цифру нужно поставить вместо	звездочки	, чтобы полученное число делилось на 9 .
Некто купил	зерна	2359 четвертей , за четверть платил по 65 коп .
Над одной или несколькими буквами ставили особый	знак	( титло ) , чтобы подчеркнуть , что полученная запись не буква , не слово , а число .
Черту в записи дроби можно рассматривать как	знак	деления числителя на знаменатель .
— Это не восклицательный	знак	.
Вася увидел в тетради старшего брата странную , как ему показалось , запись . — Что это за восклицательный	знак	? — спросил он .
Принято считать , что в записях вида дроби также означает	знак	деления .
В записях , в которых черта дроби используется несколько раз ,	знак	ставится у черты дроби , означающей последнее по порядку действие деления .
Для обозначения единицы использовали	знак	, десяти и т .
Поставьте	знак	сравнения между числами .
Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью	знака	.
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо , без	знака	« + » , и называют смешанной дробью .
Эти	знаки	называют цифрами .
Верно ли поставлены	знаки	сравнения .
Используя три цифры 5 ,	знаки	арифметических действий и скобки , составьте несколько выражений , имеющих различные значения .
Запись , в которой используются только числа ,	знаки	арифметических действий и скобки , называют числовым выражением .
Используя четыре цифры 3 ,	знаки	арифметических действий и скобки , составьте числовое выражение , равное .
Как называют эти	знаки	? .
Используя четыре цифры 8 ,	знаки	арифметических действий и скобки , составьте числовое выражение , равное .
Сколько	знаков	используют для записи натуральных чисел в десятичной системе .
Результат запишите с помощью	знаков	.
В настоящее время принята десятичная система записи чисел ( десятичная система счисления ) , в которой числа записывают при помощи десяти	знаков	: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью	знаков	.
Единицу они обозначали	знаком	, десяток , сотню .
Знак называют	знаком	приближённого равенства и читают « приближённо равно » .
Градус обозначают	знаком	« ° » .
Так как произведение	знаменателей	.
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а знаменатель — произведению	знаменателей	этих дробей .
Приведите дроби к общему знаменателю , равному произведению	знаменателей	дробей .
После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями , не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей , так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без	знаменателей	и их было удобно складывать и вычитать .
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю , которым может быть произведение их	знаменателей	.
Разность двух дробей с общим	знаменателем	есть дробь с тем же знаменателем , числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
а ) Как складывают дроби с общим	знаменателем	? .
Сумма дробей с общим	знаменателем	есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен знаменателю данных дробей .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему знаменателю , а затем применить правило сложения дробей с общим	знаменателем	.
б ) Какое натуральное число а можно взять , чтобы значение данного выражения было дробью со	знаменателем	13 ?
Найдите все дроби со	знаменателем	13 , которые больше , но меньше .
Найдите все дроби со	знаменателем	10 , которые больше , но меньше .
Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же	знаменателем	, числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого .
а ) Как сравнивают дроби с общим	знаменателем	? .
Запишите натуральные числа 1 , 2 , 5 в виде дроби со	знаменателем	.
а ) Найдите дробь со	знаменателем	18 , равную дроби .
Найдите все несократимые дроби со	знаменателем	60 , большие , но меньшие .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему знаменателю , а затем применить правило вычитания дробей с общим	знаменателем	.
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями , их нужно привести к общему знаменателю , а затем применить правило сравнения дробей с общим	знаменателем	.
а ) Как вычитают дроби с общим	знаменателем	? .
Иногда целое число изображали дробью со	знаменателем	1 .
Однако общим	знаменателем	этих дробей может быть любое из чисел , делящихся на 8 и на 12 : 24 , 48 , 96 , 120 , — Наименьшим среди этих чисел является число 24 .
Запишите числа 3 , 5 , 7 в виде дроби со	знаменателем	.
Число р , находящееся над чертой дроби , называют числителем дроби p / q ; число q , находящееся под чертой , называют	знаменателем	дроби .
Дробь с числителем р и	знаменателем	1 есть другая форма записи натурального числа р .
со	знаменателем	17 ?
Из двух дробей с общим	знаменателем	больше та дробь , у которой числитель больше , т .
Назовите три дроби : а ) с числителем 3 ; б ) со	знаменателем	10 .
Для дроби 2/3 запишите равную ей дробь со	знаменателем	.
Замените следующие дроби равными им дробями со	знаменателем	12 .
Если дробные части слагаемых имеют разные	знаменатели	, то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить сложение .
Если	знаменатели	двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в рассмотренном примере , то вычитание по формуле ( 2 ) приводит к лишним вычислениям .
В формуле и далее числители и	знаменатели	дробей — натуральные числа .
Если	знаменатели	двух дробей не являются взаимно простыми числами , как в первом примере , то сложение по формуле приводит к лишним вычислениям .
Дроби имеют одинаковые	знаменатели	.
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные	знаменатели	, то сначала нужно привести их к общему знаменателю , а потом выполнить вычитание .
Прочитайте их , назовите числители и	знаменатели	.
Дроби имеют разные	знаменатели	, но их можно привести к общему знаменателю .
Так как НОК ( 36 , 54 ) — 108 , то наименьший общий	знаменатель	равен 108 , поэтому .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби ,	знаменатель	дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а знаменатель оставляют тот же .
Произведение двух дробей есть дробь , числитель которой равен произведению числителей , а	знаменатель	— произведению знаменателей этих дробей .
Докажите , что из двух дробей с равными числителями больше та дробь , у которой	знаменатель	меньше .
При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному , а дробная часть — остатку , делённому на	знаменатель	.
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на знаменатель ) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на	знаменатель	с остатком .
Чтобы записать неправильную дробь ( числитель которой не делится нацело на	знаменатель	) в виде смешанной дроби , надо её числитель разделить на знаменатель с остатком .
Любую неправильную дробь , числитель которой не делится нацело на	знаменатель	, можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби .
Напомним , что если числитель дроби делится на знаменатель ( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на	знаменатель	.
Напомним , что если числитель дроби делится на	знаменатель	( нацело ) , то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Наименьший общий	знаменатель	этих дробей равен 56 .
Чтобы разделить дробь на натуральное число , можно её	знаменатель	умножить на это число .
Частное любых двух натуральных чисел равно дроби , числитель которой равен делимому , а	знаменатель	— делителю .
Разделите с остатком числитель дроби на	знаменатель	и запишите результат в виде смешанной дроби .
Запишите числитель и	знаменатель	дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу .
Таким образом , чтобы умножить натуральное число на дробь , можно числитель дроби умножить на это натуральное число , а	знаменатель	оставить тот же .
Умножим числитель и	знаменатель	дроби на дополнительный множитель 8 .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а	знаменатель	равен знаменателю данных дробей .
Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления числителя на	знаменатель	.
Для этого умножим числитель и	знаменатель	дроби на дополнительный множитель 3 .
Примем 24 за общий	знаменатель	дробей .
Если числитель и	знаменатель	дроби имеют общий множитель , то дробь можно сократить на этот множитель , т .
Общий	знаменатель	.
Запишите две дроби , у которых : а ) числитель на 2 больше знаменателя ; б )	знаменатель	на 4 больше числителя .
Если числитель и	знаменатель	дроби умножить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь .
Левая часть равенства ( 2 ) есть дробь , числитель и	знаменатель	которой имеют общий множитель n.
разделить на него и числитель , и	знаменатель	.
Дробь называют несократимой , если её числитель и	знаменатель	не имеют общих простых делителей .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на	знаменатель	, то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель .
Из основного свойства дроби следует , что если числитель дроби делится на знаменатель , то дробь равна частному от деления числителя на	знаменатель	.
В самом деле , если числитель дроби р делится на	знаменатель	q , то его можно записать в виде произведения , где n частное от деления р на q .
Можно ли найти дробь , числитель которой натуральное число , а	знаменатель	121 , равную дроби ? .
г ) Можно ли найти дробь ,	знаменатель	которой натуральное число , а числитель 144 , равную дроби ? .
Чтобы найти 2/5 числа 1000 , можно число 1000 разделить на	знаменатель	дроби и результат умножить на её числитель .
Если часть целого выражена дробью , то , чтобы найти эту часть , можно целое разделить на	знаменатель	дроби и результат умножить на её числитель .
Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби , знаменатель дробной части умножают на целую часть , прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель , а	знаменатель	оставляют тот же .
Если часть искомого целого выражена дробью , то , чтобы найти это целое , можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её	знаменатель	.
Чтобы найти число , 2/3 которого равны 600 , можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на её	знаменатель	.
Говорят , что они имеют общий	знаменатель	25 .
Если дробные части слагаемых имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему	знаменателю	, а потом выполнить сложение .
Любые две дроби можно привести к общему	знаменателю	, которым может быть произведение их знаменателей .
Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь , числитель которой равен сумме числителей , а знаменатель равен	знаменателю	данных дробей .
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями , их надо привести к общему	знаменателю	, а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем .
Приведём дроби к	знаменателю	24 .
Для упрощения вычислений нужно стараться приводить дроби к наименьшему общему	знаменателю	, а получаемые результаты приводить к несократимому виду .
а ) Любые ли две дроби можно привести к общему	знаменателю	? .
Так как НОК(4 , 8) = 8 , то к	знаменателю	8 надо привести только первую дробь .
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели , то сначала нужно привести их к общему	знаменателю	, а потом выполнить вычитание .
Приведём дроби к общему	знаменателю	.
Докажем распределительный закон , считая , что дроби в скобках уже приведены к общему	знаменателю	.
Дроби приведены к общему	знаменателю	.
Чему равна дробь , числитель которой равен	знаменателю	? .
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями , надо привести их к общему	знаменателю	, а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем .
Приведение дробей к общему	знаменателю	.
Дроби имеют разные знаменатели , но их можно привести к общему	знаменателю	.
Но для упрощения вычислений нужно стараться привести дроби к наименьшему общему	знаменателю	.
б ) К какому общему	знаменателю	лучше всего приводить две дроби ? .
Дроби приведите к	знаменателю	24 .
Дроби приведите к	знаменателю	36 .
Приведите дроби к общему	знаменателю	, равному произведению знаменателей дробей .
Приведём дроби к наименьшему общему	знаменателю	.
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями , их нужно привести к общему	знаменателю	, а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем .
Приведите дроби к наименьшему общему	знаменателю	.
Приведите дроби к общему	знаменателю	.
Приведите дробь к	знаменателю	10 , или 100 , или 1000 .
Дробь называется неправильной , если её числитель больше	знаменателя	или равен ему .
Запишите две дроби , у которых : а ) числитель на 2 больше	знаменателя	; б ) знаменатель на 4 больше числителя .
Дробь называется правильной , если её числитель меньше	знаменателя	.
Чтобы получить несократимую дробь , надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и	знаменателя	.
Часто наибольший общий делитель числителя и	знаменателя	сразу указать трудно .
Укажите все общие делители и НОД числителя и	знаменателя	дроби , затем сократите дробь .
При этом одна и та же цифра имеет различное	значение	в зависимости от того места ( позиции ) , где она расположена в записи числа .
б ) Какое натуральное число а можно взять , чтобы	значение	данного выражения было дробью со знаменателем 13 ?
а ) Каким числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти	значение	этого выражения ? .
а ) Каким натуральным числом надо заменить букву а , чтобы можно было устно найти	значение	этого выражения ? .
Например , найдём	значение	числового выражения .
Что можно узнать , вычислив	значение	числового выражения .
б ) Какое число а можно взять , чтобы	значение	данного выражения было равно нулю ? .
8 В те далёкие времена , когда счёт не был хорошо развит , слово « семь » использовалось также в	значении	« много » , что отражено в поговорках и загадках , например : семеро одного не ждут ; семь одёжек и все без застёжек .
При вычислении	значений	числовых выражений , содержащих дроби , пользуются теми же правилами порядка действий , что и для натуральных чисел .
д. Одна и та же цифра имеет различные	значения	в зависимости от места ( позиции ) , где она записана .
Используя три цифры 5 , знаки арифметических действий и скобки , составьте несколько выражений , имеющих различные	значения	.
При измерении площадей чаще всего используют приближённые	значения	величин .
Однако известно , при этом величины 5 см и 6 см отличаются от AB не более чем на 1 см. Их называют приближениями или приближёнными	значениями	длины AB с точностью до 1 см .
б ) На XXII Олимпийских	играх	в Москве ( 1980 г. ) спортсмены СССР получили 195 медалей , из них 126 золотых и бронзовых .
Постройте третью окружность , центр которой лежит на отрезке AB и которая	касается	двух первых окружностей внутренним образом .
Окружность с центром О ,	касательная	АВ и радиус окружности ОС .
Покажите , как должны располагаться две окружности , чтобы они имели а общих	касательных	?
Построенные окружности имеют только одну общую точку В. Говорят , что они	касаются	внутренним образом .
Построенные окружности имеют только одну общую точку С. Говорят , что они	касаются	внешним образом .
Постройте две окружности с центрами A и B радиусами 3 см и 5 см ,	касающиеся	внешним образом .
Постройте две окружности радиусами 3 см и 4 см ,	касающиеся	: а ) внешним образом ; б ) внутренним образом .
а ) Какой	квадрат	называют единичным ? .
Первый магический	квадрат	был составлен в Китае в V – IV веке до н .
Фигуры домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх квадратов так , чтобы любой	квадрат	имел общую сторону хотя бы с одним квадратом .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е )	квадрат	разности чисел .
Разрежьте полученную фигуру на две части так , чтобы из них можно было сложить	квадрат	.
Говорят , что	квадрат	со стороной 1 м имеет площадь один квадратный метр ( 1 м2 ) .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , «	квадрат	числа » , « куб числа » .
Прямоугольник 4 x 9 разрежьте на две части так , чтобы из них можно было сложить	квадрат	.
Примером правильного многоугольника является	квадрат	.
в ) сумму квадратов чисел . г )	квадрат	суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
	Квадрат	со стороной 1 см имеет площадь один квадратный сантиметр ( 1 см2 ) .
Цифры около фигуры домино соответствуют номеру фигуры тримино , которая получится , если на место цифры приложить третий	квадрат	.
Постройте в тетради	квадрат	со стороной : а ) 4 см ; б ) 34 мм .
Фигуры пентамино можно получить из фигур тетрамино , приставляя к ним различными способами ещё один	квадрат	.
Фигуры гексамино можно получить из фигур пентамино , приставляя к ним различными способами ещё один	квадрат	.
	Квадрат	со стороной 1 мм имеет площадь один квадратный миллиметр ( 1 мм2 ) .
Учтите , что	квадрат	является прямоугольником .
Если	квадрат	со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
	Квадрат	со стороной 1 км имеет площадь один квадратный километр ( 1 км2 ) .
Перечертите в тетрадь	квадрат	4 x 4 клетки .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а	квадрат	, сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Другой магический	квадрат	был составлен в Индии в I веке н .
Изображён	квадрат	MNKL .
Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино , приставляя к ней различными способами ещё один	квадрат	.
б ) Является ли любой	квадрат	прямоугольником ?
	Квадрат	со стороной 1 дм имеет площадь один квадратный дециметр ( 1 дм2 ) .
Из листа фанеры размером 11 см х 15 см выпилили два	квадрата	со стороной 5 см и три прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см. Определите площадь оставшейся части .
Так как у	квадрата	все стороны равны , площадь квадрата равна второй степени его стороны .
б ) Найдите сторону	квадрата	, площадь которого равна площади данного прямоугольника .
Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см . а ) Найдите площадь	квадрата	, периметр которого равен периметру данного прямоугольника .
Сторону	квадрата	увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр квадрата ? .
Сторону квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр	квадрата	? .
Как изменится периметр	квадрата	, если его сторону : а ) увеличить в 2 раза ; б ) уменьшить в 3 раза ? .
Определите , сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь	квадрата	со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Закрасьте : а ) 1/2	квадрата	; б ) 1/4 квадрата ; в ) 1/8 квадрата .
Закрасьте : а ) 1/2 квадрата ; б ) 1/4	квадрата	; в ) 1/8 квадрата .
Закрасьте : а ) 1/2 квадрата ; б ) 1/4 квадрата ; в ) 1/8	квадрата	.
в ) Чему равна площадь	квадрата	? .
Это площадь	квадрата	со стороной 100 м .
Это площадь	квадрата	со стороной 10 м .
Говорят , что площадь единичного	квадрата	равна одной квадратной единице ( 1 м2 , 1 дм2 ) .
Так как у квадрата все стороны равны , площадь	квадрата	равна второй степени его стороны .
Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону	квадрата	, имеющего такой же периметр , что и данный прямоугольник .
Сторона	квадрата	равна 13 см. Найдите его периметр .
Во сколько раз увеличится площадь	квадрата	, если его сторону увеличить : а ) в 2 раза ; б ) в 3 раза ; в ) в 10 раз ? .
Докажите , что сумма всех чисел любого магического	квадрата	3 x 3 делится на 3 .
Запишите число в виде	квадрата	натурального числа .
Найдите длину стороны	квадрата	.
Периметр	квадрата	равен : а ) 16 см ; б ) 14 см ; в ) 13 см ; г ) 17 см .
Вычислите периметр	квадрата	, сторона которого равна .
Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4	квадрата	— всего квадрата .
Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата — всего	квадрата	.
Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3	квадрата	— всего квадрата .
Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3 квадрата — всего	квадрата	.
Жёлтые квадраты расположены в четырёх рядах по 3	квадрата	в каждом , т .
Достроим прямоугольник до	квадрата	со стороной 1 дм .
Одну сторону	квадрата	разделим на 4 равные части ; три из них составляют длину прямоугольника .
Необходимо покрыть кафельной плиткой пол , имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму	квадрата	со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется , если в каждом ящике 50 плиток ?
Вычислите площадь и периметр	квадрата	со стороной .
Считать начинали с правого верхнего угла	квадрата	.
Другую сторону	квадрата	разделим на 3 равные части ; две из них составляют ширину прямоугольника .
Прямоугольник с основанием а 3 см и высотой b 5 см. Его можно разрезать на 5 слоёв по 3	квадрата	в каждом слое , т .
В	квадрате	3x3 расставьте числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 так , чтобы сумма чисел в каждой строке , в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова .
Запись 52 читают « пять в	квадрате	» .
Говорят , что площадь единичного квадрата равна одной	квадратной	единице ( 1 м2 , 1 дм2 ) .
квадрат со стороной 1 дм имеет площадь один	квадратный	дециметр ( 1 дм2 ) .
квадрат со стороной 1 см имеет площадь один	квадратный	сантиметр ( 1 см2 ) .
квадрат со стороной 1 км имеет площадь один	квадратный	километр ( 1 км2 ) .
Говорят , что квадрат со стороной 1 м имеет площадь один	квадратный	метр ( 1 м2 ) .
квадрат со стороной 1 мм имеет площадь один	квадратный	миллиметр ( 1 мм2 ) .
Используя степень числа 10 ,	квадратный	километр можно записать так .
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов , то говорят , что он имеет площадь S , равную k	квадратным	единицам .
Определите площадь каждого участка в	квадратных	метрах .
Выразите его площадь в	квадратных	метрах ; в арах ; в гектарах .
Выразите в	квадратных	дециметрах .
После этого складывали полученные результаты вдоль диагоналей	квадратов	.
жёлтых	квадратов	.
Фигуры домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх	квадратов	так , чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом .
В чём заключается магическое свойство этих	квадратов	? .
В каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 красных квадратов , а всего в каждом ряду	квадратов	.
В каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 красных	квадратов	, а всего в каждом ряду квадратов .
Подсчитаем двумя способами число	квадратов	.
Из двух одинаковых	квадратов	можно составить только одну фигуру домино .
на 15 единичных	квадратов	со стороной 1 см. Следовательно , его площадь S равна .
Так как число	квадратов	в обоих случаях одно и то же .
Красных	квадратов	, а всего квадратов .
В четырёх же рядах всего	квадратов	.
Сравните суммы чисел в строчках , столбцах и диагоналях	квадратов	.
Квадрат площадью 1 м2 разрезали на несколько равных	квадратов	площадью .
Сколько таких	квадратов	получилось ? .
в ) сумму квадратов чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность	квадратов	чисел . е ) квадрат разности чисел .
Переместительный закон умножения легко проверить при подсчёте двумя способами числа	квадратов	.
Переложите 2 спички так , чтобы получилось 5 равных	квадратов	.
в ) сумму	квадратов	чисел . г ) квадрат суммы чисел . д ) разность квадратов чисел . е ) квадрат разности чисел .
Определите , сколько единичных	квадратов	содержит прямоугольник на рисунке 100 . а ) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см . б ) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы .
Составьте таблицу	квадратов	чисел от 0 до 15 .
С помощью единичных	квадратов	измеряют площади прямоугольников .
Если прямоугольник можно разрезать на k единичных	квадратов	, то говорят , что он имеет площадь S , равную k квадратным единицам .
Одно и то же число	квадратов	подсчитано двумя способами .
Красных квадратов , а всего	квадратов	.
Вторую степень числа называют также	квадратом	числа .
Что называют : а )	квадратом	числа ; б ) кубом числа ? .
Фигуры домино , тримино , тетрамино составляют из двух , трёх , четырёх квадратов так , чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним	квадратом	.
Прямоугольник , у которого все стороны равны , называют	квадратом	.
а ) Какой прямоугольник называют	квадратом	? .
Является ли любой прямоугольник	квадратом	? .
Какой из четырёхугольников является : а ) прямоугольником ; б )	квадратом	? .
Поэтому часто вторую степень числа называют	квадратом	числа .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным	квадратом	.
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на	квадраты	со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Жёлтые	квадраты	расположены в четырёх рядах по 3 квадрата в каждом , т .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на	квадраты	со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд .
Но можно расположить все	квадраты	в 4 столбца по 3 квадрата — всего квадрата .
Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные	квадраты	в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные	квадраты	в ряд .
Все	квадраты	можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата — всего квадрата .
У всех пирамид 128	колец	.
а ) Для детского сада купили 20 пирамид : больших и маленьких — по 7 и по 5	колец	.
За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх	колец	на другой штырёк , если за один ход разрешается переносить только одно кольцо ; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее .
Решите задачу : а ) для четырёх колец ; б ) для пяти	колец	.
Решите задачу : а ) для четырёх	колец	; б ) для пяти колец .
Имеется 3 штырька , на один из которых насажены 3	кольца	.
За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк , если за один ход разрешается переносить только одно кольцо ; при этом нельзя большее	кольцо	класть на меньшее .
Саша из 10 бросков имел 6 попаданий в	кольцо	, а Коля из 8 бросков имел 5 попаданий .
За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк , если за один ход разрешается переносить только одно	кольцо	; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее .
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с	координатами	.
Назовите три точки , расположенные на координатном луче правее точек с указанными	координатами	, и три точки , расположенные левее их .
Обозначьте точки с	координатами	7 , 5 , 3 , 1 соответственно буквами А , В , С и D .
Например , отмечена точка А с	координатой	5 , пишут A(5 ) .
Эту точку называют точкой n или точкой с	координатой	n .
Точку , изображающую на координатном луче дробь , называют точкой с	координатой	или , коротко , точкой .
A говорят : « точка А с	координатой	.
Найдите	координату	точки В по координатам точки А и точки С — середины отрезка АВ .
Например , точка А имеет	координату	.
Найдите	координату	середины отрезка , соединяющего точки .
Говорят ещё , что точка О имеет	координату	О , и пишут О(0 ) .
Найдём длину отрезка , соединяющего точки а и b , и	координату	середины этого отрезка .
По рисунку определите	координату	точки А приближённо с точностью до 1 : а ) с недостатком ; б ) с избытком .
Таким образом , можно вычислить	координату	середины отрезка , соединяющего любые две рациональные точки .
В этом случае точка , имеющая бόльшую	координату	, расположена на координатном луче правее .
Середина этого отрезка имеет	координату	.
В самом деле , чтобы вычислить	координату	точки С — середины отрезка АB , надо к числу а прибавить половину длины отрезка АB .
Координаты точек А и В , найдите	координаты	точек С и D .
Даны точки А и В. Найдите	координаты	: точки С — середины отрезка АВ , точки D — середины отрезка СВ , точки Е — середины отрезка CD .
Укажите	координаты	точек А , В , С , D и Е. Найдите расстояние от этих точек до нулевой точки .
Найдите	координаты	точек , делящих отрезок АВ на три равные части .
Если а делится на b , то говорят ещё , что а	кратно	b.
Например , число 48	кратно	числу 24 .
Чему равно наименьшее общее	кратное	чисел 10 и 15 ? .
Найдите наименьшее общее	кратное	этих чисел , не выполняя разложения чисел на простые множители .
Найдите наименьшее общее	кратное	этих чисел .
Объясните , почему наименьшее общее	кратное	двух чисел .
Чему равно наименьшее общее	кратное	взаимно простых чисел ? .
Если одно из двух чисел делится нацело на другое , то наименьшее общее	кратное	этих чисел равно большему из них .
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей , то их наименьшее общее	кратное	равно произведению этих чисел .
Наименьшее общее	кратное	двух чисел обычно находят одним из двух способов .
Чему равно наименьшее общее	кратное	чисел 100 ! и 50 ! ? .
Наименьшее общее	кратное	.
Общее	кратное	.
Числу 12	кратны	числа 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 и т .
д. Числу 18	кратны	числа 18 , 36 , 54 , 72 , 90 , 108 , 126 и т .
Из чисел выберите числа ,	кратные	.
Мы видим , что имеются числа ,	кратные	одновременно 12 и 18 .
Будем выписывать числа ,	кратные	24 ( большему из данных чисел ) , проверяя , делится ли каждое из них на 18 .
Найдите все числа вида ,	кратные	36 .
Оно простое — обведём его кружком , а все незачёркнутые числа ,	кратные	ему ( они стоят в третьем столбце ) , вычеркнем .
Число 2 простое — обведём его кружком , а все числа ,	кратные	ему ( они стоят во втором , четвёртом и шестом столбцах ) , вычеркнем .
Оно простое обведём его кружком , а все незачёркнутые числа ,	кратные	ему ( они расположены на параллельных прямых ) , вычеркнем .
Число , делящееся на 12 , называют	кратным	числу 12 .
Наименьшим общим	кратным	натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число , делящееся нацело на каждое из чисел а и b.
Например , 36 , 72 , 108 , — Эти числа называются общими	кратными	чисел 12 и 18 .
Напишите 5 чисел ,	кратных	числу .
Найдите несколько чисел , кратных 10 , и несколько чисел ,	кратных	15 .
Найдите несколько общих	кратных	чисел 10 и 15 .
Найдите несколько чисел ,	кратных	10 , и несколько чисел , кратных 15 .
а ) Почему после « просеивания » чисел ,	кратных	2 , 3 , 5 , 7 , в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа ? .
После вычеркивания из таблицы чисел ,	кратных	7 ( они также расположены на параллельных прямых ) , в ней останутся только простые числа — они тоже обведены кружком .
На сколько частей могут разбить	круг	три различные хорды ? .
Окружность и	круг	.
На рисунке изображён	круг	с центром О и радиусом ОА .
Назовите какой - нибудь предмет , имеющий форму	круга	.
Изучая главу 2 , вам предстоит повторить всё , что знаете о геометрических фигурах и их измерении , а также узнать много нового и интересного об углах , треугольниках и четырёхугольниках , окружностях и	кругах	, о равных фигурах .
Они решили , что водить будет та из них , которая окажется 25-й при счёте по	кругу	.
з )	куб	суммы чисел .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) ,	куб	с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) ,	куб	с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) ,	куб	с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Является ли любой	куб	прямоугольным параллелепипедом ?
Вырежьте развёртку из бумаги , оставляя припуски для склеивания , и склейте	куб	.
В результате	куб	разделён на равные части , объём каждой из которых равен дм3 .
Говорят , что	куб	с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) , куб с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Окрашенный	куб	распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см. У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань ; только две грани ; три грани ? .
	Куб	разности чисел .
6 ) Если	куб	с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд , то какой длины получится ряд ? .
Прочитайте выражение , используя слова « сумма » , « разность » , « произведение » , « частное » , « квадрат числа » , «	куб	числа » .
Подсчитайте , сколько различных развёрток имеет	куб	.
Перерисуйте рисунок в тетрадь и обведите жирной линией видимые рёбра куба так , чтобы	куб	был виден : а ) сверху и справа ; б ) снизу и слева .
а ) Какой	куб	называют единичным ? .
Говорят , что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр ( 1 м3 ) , куб с ребром 1 дм имеет объём один кубический дециметр ( 1 дм3 ) , куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр ( 1 см3 ) , куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр ( 1 мм3 ) ,	куб	с ребром 1 км имеет объём один кубический километр ( 1 км3 ) .
Одно ребро	куба	разделим на пять равных частей ; две из них составляют ширину параллелепипеда .
Другое ребро	куба	разделим на две равные части ; одна из них составляет длину параллелепипеда .
Во сколько раз увеличится объём	куба	при увеличении его ребра : а ) в 2 раза ; б ) в 3 раза ; в ) в 10 раз ? .
Для этого достроим прямоугольный параллелепипед до	куба	с ребром 1 дм .
Так как у	куба	все рёбра равны , т .
объём	куба	равен третьей степени длины его ребра .
а ) Ребро	куба	равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба , т .
Вычислите площадь всех граней и объём	куба	с ребром .
а ) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности	куба	, т .
Объём единичного	куба	принимают за единицу измерения объёмов .
Перерисуйте рисунок в тетрадь и обведите жирной линией видимые рёбра	куба	так , чтобы куб был виден : а ) сверху и справа ; б ) снизу и слева .
Постройте развёртку	куба	со стороной 2 см .
в ) Чему равен объём	куба	? .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности	куба	.
Постройте развёртку	куба	, ребро которого м .
На гранях	куба	написали числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 так , что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи .
Вычислите объём	куба	с ребром .
Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося	куба	.
Всего прямоугольный параллелепипед содержит 24 единичных	куба	, т .
сумму площадей всех его граней . б ) Ребро	куба	равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба .
Составьте таблицу	кубов	чисел от 0 до 10 .
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на h единичных	кубов	, то говорят , что его объём V равен k кубическим единицам .
и ) разность	кубов	чисел .
сумму	кубов	чисел .
Третью степень числа называют	кубом	числа .
Что называют : а ) квадратом числа ; б )	кубом	числа ? .
а ) Что называют	кубом	? .
б ) Является ли любой прямоугольный параллелепипед	кубом	?
Поэтому часто третью степень числа называют	кубом	числа .
Прямоугольный параллелепипед , у которого все рёбра равны , называют	кубом	.
Куб , ребро которого равно лилейной единице , называют единичным	кубом	.
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят «	линейная	единица » , а квадрат , сторона которого равна линейной единице , называют единичным квадратом .
Вместо слов « единица измерения длины » часто говорят « линейная единица » , а квадрат , сторона которого равна	линейной	единице , называют единичным квадратом .
Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина , ширина и высота — измерены одной	линейной	единицей и выражены натуральными числами а , b и с , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если три измерения а , b и с прямоугольное параллелепипеда ( длина , ширина и высота ) измерены одной	линейной	единицей и выражены обыкновенными дробями , то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений .
Если основание и высота прямоугольника измерены одной	линейной	единицей и выражены натуральными числами а и b , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Если основание а и высота b прямоугольника измерены одной	линейной	единицей и выражены обыкновенными дробями , то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту .
Прямоугольный параллелепипед , у которого ширина равна 3 , длина — 4 , а высота — 2	линейным	единицам .
При этом предполагается , что стороны прямоугольника измерены в одинаковых	линейных	единицах .
При этом предполагается , что рёбра прямоугольного параллелепипеда измерены в одинаковых	линейных	единицах .
Существует ли замкнутая	ломаная	, имеющая три звена , длины которых равны ? .
Например ,	ломаная	ABCDEА замкнутая .
Многоугольник , замкнутая	ломаная	линия , не являющаяся многоугольником .
Длина	ломаной	.
Если никакие два из этих отрезков , имеющих общие точки , не лежат на одной прямой , то полученную линию называют	ломаной	линией или , коротко , ломаной и обозначают ABCDE .
Если никакие два из этих отрезков , имеющих общие точки , не лежат на одной прямой , то полученную линию называют ломаной линией или , коротко ,	ломаной	и обозначают ABCDE .
Отрезки АВ , ВС , CD ) и DE называют звеньями	ломаной	.
Сумму длин всех звеньев	ломаной	называют длиной ломаной .
Сумму длин всех звеньев ломаной называют длиной	ломаной	.
В многоугольнике звенья	ломаной	называют сторонами многоугольника , углы , составленные каждыми двумя соседними сторонами , — углами многоугольника , а их вершины вершинами многоугольника .
Например , длина	ломаной	ABCDE .
Длина	ломаной	ABCDE больше расстояния АЕ между её концами .
Если конец	ломаной	совпадает с её началом , то ломаную называют замкнутой .
Фигуру , образованную такой замкнутой ломаной линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев	ломаной	, называют многоугольником .
Фигуру , образованную такой замкнутой	ломаной	линией , что никакие два её звена не имеют общих точек , кроме концов соседних звеньев ломаной , называют многоугольником .
а ) Какую линию называют	ломаной	линией ? .
Докажите , что длина	ломаной	АВС больше длины ломаной АDC .
Что называют звеньями	ломаной	? .
АВ – 3 см , ВС — 4 см , СD — 13 см , АD — 12 см. Определите длину	ломаной	ABCD и расстояние между её концами .
Докажите , что длина ломаной АВС больше длины	ломаной	АDC .
Постройте	ломаную	ABODE .
г ) Какую	ломаную	называют замкнутой ? .
Как обозначают	ломаную	? .
Если конец ломаной совпадает с её началом , то	ломаную	называют замкнутой .
Заметим , что многоугольником называют как замкнутую	ломаную	, так и эту линию вместе с частью плоскости , расположенной внутри этой линии .
Как построить координатный	луч	? .
Из вершины угла проведите	луч	так , чтобы один из образовавшихся углов был : а ) в 4 раза больше другого ; б ) на 20 ° больше другого .
Невозможно полностью изобразить бесконечный координатный	луч	, но можно себе его представить ( вообразить ) .
Координатный	луч	.
При этом на первом месте ставится буква , обозначающая начало луча , а на втором — буква , обозначающая какую - либо другую его точку :	луч	АВ .
Постройте координатный	луч	с единичным отрезком 1 см ( 2 клетки тетради ) .
д. , с той лишь разницей , что любая линейка ограничена ( конечна ) , а координатный	луч	неограничен ( бесконечен ) .
Обычно координатный	луч	располагают горизонтально и направляют слева направо .
Внутри развёрнутого угла ABC проведите	луч	BD .
На рисунке изображён координатный	луч	.
Координатный	луч	напоминает линейку , на которой отмечены числа 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 и т .
Для этого задают	луч	, выходящий из точки О в направлении , отмеченном стрелкой , и отрезок , длину которого принимают за единицу .
Мы построили координатный	луч	.
Дан координатный	луч	.
Кузнечик прыгает вдоль координатного	луча	попеременно : на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево .
При этом на первом месте ставится буква , обозначающая начало	луча	, а на втором — буква , обозначающая какую - либо другую его точку : луч АВ .
Внутри развёрнутого угла АОВ проведены два	луча	OD и ОС так , что AOC 130 ° , a DOB 120 ° .
Проведите внутри этого угла два	луча	OD и ОЕ .
Это — расстояние , которое прох�